Circuitos Electricos

1. Ω
• Explicación del tema sesión 11:
Teorema de superposición.
El teorema establece que:
"La corriente o la tensión que existe en cualquier elemento de una red lineal
bilateral es igual a la suma algebraica de las corrientes o las tensiones producidas
independientemente por cada fuente"
Para considerar los efectos de cada fuente de manera independiente requiere que
las fuentes se retiren y reemplacen sin afectar al resultado final. Para retirar una
fuente de tensión al aplicar este teorema, la diferencia de potencia entre los
contactos de la fuente de tensión se debe ajustar a cero (en corto); el retiro de una
fuente de corriente requiere que sus contactos estén abiertos (circuito abierto).
Cualquier conductancia o resistencia interna asociada a las fuentes desplazadas
no se elimina, sino que todavía deberá considerarse.
La corriente total a través de cualquier porción de la red es igual a la suma
algebraica de las corrientes producidas independientemente por cada fuente; o
sea, para una red de dos fuentes, si la corriente producida por una fuente sigue
una dirección, mientras que la producida por la otra va en sentido opuesto a través
del mismo resistor, la corriente resultante será la diferencia entre las dos y tendrá
la dirección de la mayor. Si las corrientes individuales tienen el mismo sentido, la
corriente resultante será la suma de dos en la dirección de cualquiera de las
corrientes. Esta regla es cierta para la tensión a través de una porción de la red,
determinada por las polaridades y se puede extender a redes con cualquier
número de fuentes.
El principio de la superposición no es aplicable a los efectos de la potencia, puesto
que la pérdida de potencia en un resistor varía con el cuadrado (no lineal) de la
corriente o de la tensión. Por esta razón, la potencia en un elemento no se puede
determinar sino hasta haber establecido la corriente total (o la tensión) a través del
elemento mediante la superposición.
El teorema de superposición ayuda a encontrar:
- Valores de tensión, en una posición de un circuito, que tiene más de una
fuente de tensión.
- Valores de corriente, en un circuito con más de una fuente de tensión
Este teorema establece que el efecto de dos o más fuentes que se tienen sobre
una resistencia es igual, a la suma de cada uno de los efectos de cada fuente
tomados por separado, sustituyendo todas las fuentes de tensión restantes por un
corto circuito.
Ejemplo: Se desea saber cual es la corriente que circula por la resistencia RL
(resistencia de carga).
R1 = 2 kilohmios R2 = 1 kilohmio RL = 1 kilohmio V1 = 10 voltios V2 = 20 voltios

2. Circuito Original Corriente por RL solo por V2 Corriente por RL solo por V1
Como hay dos fuentes de voltaje, se utiliza una a la vez mientras se cortocircuita
la otra. De cada caso se obtiene la corriente que circula por la resistencia RL y
después estos dos resultados se suman para obtener la corriente total en esta
resistencia
Primero se analiza el caso en que sólo está conectada la fuente V1.
Se obtiene la corriente total que entrega esta fuente obteniendo la resistencia
equivalente de las dos resistencias en paralelo R1 y RL
Req.= RL // R2 = 0.5 kilohmios (kilohms) (//: significa paralelo)
A este resultado se le suma la resistencia R1 (R1 esta en serie con Req.)
Resistencia total = RT = R1 + Req. = 0.5 + 2 = 2.5 kilohmios
De esta manera se habrá obtenido la resistencia total equivalente en serie con la
fuente.
Para obtener la corriente total se utiliza la Ley de Ohm I = V / R I total = 10 Voltios
/ 2.5 kilohmios = 4 miliamperios (mA.)
Por el teorema de división de corriente se obtiene la corriente que circula por RL
IRL = [I x RL // R2] / RL donde RL // R2 significa el paralelo de RL y R2 (se obtuvo
antes Req. = 0.5 kilohmios)
Reemplazando: IRL = [4 mA x 0.5 kilohmios] / 1 kilohmio = 2 mA. (miliamperios)
El caso de la fuente V2 se desarrolla de la misma manera, sólo que se deberá
corto circuitar la fuente V1. En este caso la corriente debido sólo a V2 es: 8 mA.
(miliamperios)
Sumando las dos corrientes se encontrarán la corriente que circula por la
resistencia RL del circuito original
Corriente total = IT = 2 mA. + 8 mA. = 10 mA. (miliamperios).
Si se tiene la corriente total en esta resistencia, también se puede obtener su
voltaje con solo utilizar la ley de Ohm: VL = IT x RL
• Explicación del tema sesión 12:
TEOREMA DE THEVENIN
Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es
equivalente a un generador ideal de tensión en serie con una resistencia, tales
que:
• La fuerza electromotriz del generador es igual a la diferencia de potencial que
se mide en circuito abierto en dichos terminales

3. • La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde los terminales en
cuestión, cortocircuitando los generadores de tensión y dejando en circuito
abierto los de corriente
Para aplicar el teorema de Thévenin, por ejemplo, en el caso de la Figura 1,
elegimos los puntos X e Y y, suponemos que desconectamos todo lo que tenemos
a la derecha de dichos puntos, (es decir, estamos suponiendo que las resistencias
R3 y R4, las hemos desconectado físicamente del circuito original) y miramos
atrás, hacia la izquierda.
FIGURE 1. CIRCUITO ORIGINAL
En esta nueva situación calculamos la tensión entre estos dos puntos (X,Y) que
llamaremos la tensión equivalente Thévenin Vth que coincide con la tensión en
bornes de la resistencia R2 y cuyo valor es:
El siguiente paso es, estando nosotros situados en los puntos indicados (X Y)
mirar hacia la izquierda otra vez y calcular la resistencia que vemos, pero teniendo
en cuenta que debemos suponer que los generadores de tensión son unos
cortocircuitos y los generados de corriente son circuitos abiertos, en el caso de
nuestro circuito original, sólo hay un generador de tensión que, para el cálculo que
debemos hacer lo supondremos en cortocircuito y ¿que es lo que vemos?
Pues si miras la figura 1, lo que vemos es que, las resistencias R1 y R2 están en
paralelo. Por lo que la resistencia equivalente Thévenin, también llamada
impedancia equivalente, Z th. vale:

4. El circuito estudiado a la izquierda de los puntos X, Y se reemplaza ahora por el
circuito equivalente que hemos calculado y nos queda el circuito de la figura 2,
donde ahora es mucho más fácil realizar los cálculos para obtener el valor Vo
FIGURE 2. CIRCUITO EQUIVALENTE THEVENIN
La otra forma de calcular Vo es, la de la teoría de mallas, que calculamos en la
figura 3 y donde observamos que los resultados son los mismos. Pero las
ecuaciones resultantes son bastante más laboriosas.

5. FIGURE 3. ANALISIS DEL MISMO CIRCUITO DE LA FIGURA 1 PERO
APLICANDO LAS ECUACIONES POR MALLAS
Así pues, hemos observado que, aplicando el Teorema de Thévenin para el
análisis de circuitos, seremos capaces de simplificar nuestros cálculos, lo que nos
será siempre muy útil, sobre todo, en otros circuitos más complejos
• Explicación del tema sesión 13:
TEOREMA DE NORTON
Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es
equivalente a un generador ideal de corriente en paralelo con una resistencia,
tales que:
• La corriente del generador es la que se mide en el cortocircuito entre los
terminales en cuestión.
• La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde dichos terminales,
cortocircuitando los generadores de tensión y dejando en circuito abierto los
de corriente.-( Coincide con la resistencia equivalente Thévenin)
Aplicando el Teorema de Norton al circuito, nos quedará el siguiente circuito:
Donde hemos cortocircuitado los puntos X Y de la figura. La corriente que circula
por entre estos dos puntos la llamaremos Ith y lógicamente es igual a la tensión V
del generador de tensión dividido por la resistencia R1 (Ley de OHM) Ith = V / R1
la resistencia Thévenin es la misma que la calculada anteriormente, que era el
paralelo de R1 y R2
Zth =R1//R2 = R1 x R2 / (R1 + R2)
EQUIVALENCIA ENTRE THEVENIN Y NORTON

6. Sea cual sea el equivalente obtenido es muy fácil pasar al otro equivalente sin
más que aplicar el teorema correspondiente, así por ejemplo, supongamos que
hemos calculado el equivalente Thévenin de un circuito y hemos obtenido el
circuito de la izquierda de la figura siguiente:
Aplicando el teorema de Norton a la figura de la izquierda, cortocircuitaremos la
salida y calcularemos la corriente que pasa entre ellos que será la corriente: Ith =
10 / 20 = 0,5 A. y la resistencia Norton es 20 W. por lo que nos quedará el circuito
equivalente Norton de la derecha
• Explicación del tema sesión 14:
1. Estudio de transitorios de circuitos.
a.- Circuito resistivo-inductivo serie.
La forma general de un circuito RL serie bajo excitación de tensión es la
siguiente:
La respuesta a esta excitación de tensión será una corriente i que producirá sobre
la resistencia y sobre la inductancia sendas caídas de tensión, las cuales vendrán
dadas respectivamente por:
Rivr.=
dtdiLvL.=
Si aplicamos al circuito la segunda ley de Kirchoff, tendremos que el valor
instantáneo de la tensión en función del tiempo será:
dtdiLRiv..+=
En esta última expresión observamos:
1.- La respuesta a la transición depende de una ecuación diferencial lineal de
primer orden, donde este, viene dado por la cantidad de elementos reactivos del
circuito.
2.- Debido a que hay una excitación v, la ecuación es no homogénea lo cual
dificulta su resolución.
Analizaremos ahora el comportamiento de este circuito bajo diversos tipos de
excitación.
2.- Circuito R L serie sin excitación con condiciones iniciales no nulas.
Este caso es denominado: Régimen natural
Partamos del siguiente circuito:

7. Luego de un tiempo prolongado de funcionamiento circulará una corriente I o como
la indicada en el circuito. En un determinado instante que designamos con t =0 se
abre la llave l, de forma tal que en la bobina se cumplirá:
t = 0 entonces i = Io
Bajo estas condiciones estudiaremos como varía la corriente i en función del
tiempo a través del circuito que contiene a la resistencia R.
El circuito, queda así librado a la única acción de la energía concentrada en el
campo magnético de la bobina la cual retorna al circuito disipándose
progresivamente en el resistor en forma de calor.
Del párrafo anterior sabemos que:
dtdiLRiv..+=
Pero en este caso v = 0, por lo tanto:
dtdiLRi..0+=
Esta última ecuación diferencial es lineal, de primer orden y homogénea, la cual
puede resolverse separando diferenciales, es decir, se procede como sigue:

8. dtdiLRi..−=
ididtLR=−
Para resolver esta ecuación integramos ambos miembros, con lo que obtenemos:
KtLRi+−=.ln
El valor de la constante de integración K, lo obtenemos aplicando a la última
expresión las condiciones iniciales, es decir:
t = 0 entonces i = Io por lo tanto
ln Io = K
Valor este que remplazando en la expresión anterior, nos da:
0ln.lnItLRi+−=
Operando en esta última expresión obtenemos:
tLRIi.lnln0−=−
de donde:
tLReIi.0−=
Es decir que el proceso tiene una variación exponencial, se inicia cuando la
relación de intensidades es uno para t = 0 y tiende asintóticamente a cero tal cual
se puede observar en el gráfico: 01ti/Ioτ = Stαα+π/

9. Hallemos ahora el valor de la subtangente, en el triángulo formado en la figura por
los ejes y la recta tangente a la curva en t = 0, observemos:
tg _ = St / 1 de donde St = 1 . tg _a)
por otro lado:
απαtgtgLReLRdtIidttLRt1)2(.0.00−=+=−=−==−= (b)
Relacionando las expresiones (a) y (b), llegamos a la conclusión:
RLSt=
Donde la subtangente es el tiempo al cabo del cual el valor final de la corriente es
nulo si el decrecimiento en lugar de ser exponencial se verifica en forma lineal con
la misma pendiente del instante t = 0.
A dicho tiempo _ se lo llama constante de tiempo y su unidad es el segundo. Es
posible demostrar que no solamente para t = 0, sino para cualquier otro instante,
la subtangente continua tomando el mismo valor, es decir, que la constante de
tiempo es una característica de los parámetros del circuito y jamás del tipo de
excitación.
Dijimos que si el proceso fuese lineal al cabo de t = _ segundos, la corriente sería
nula, pero debido a la naturaleza exponencial del fenómeno el valor será:
368,01..0≅===−−−eeeIiRLLRtLRττ
Es decir que al cabo de un tiempo _ la corriente se reduce en un 36,8 % del valor
inicial, o también que existe una reducción del 63,2% del valor total.
En definitiva, la intensidad en función del tiempo, vendrá dada por:
tLReIti.0.)(−=
τteIti−=.)(0
Las caídas de tensión instantáneas en las resistencias y en la inductancia en
función del tiempo, serán:

10. τtreRIRiv−==...0
ττττtttLeRIeRLILeILdtdiLv−−−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==.......000
Grafiquemos estas tres expresiones en función del tiempo:
3.- Circuito R L serie con excitación escalón y condiciones iniciales nulas.
La excitación escalón corresponde a la siguiente expresión matemática:
t _entonces u (t) = 0
t > 0 entonces e (t) = V
Partimos como siempre de la expresión:
dtdiLRitv..)(+=tiIo�tv(t)0 tvVrVl

11. Siendo nuestro circuito el siguiente:
Esta última expresión, es una expresión diferencial no homogénea, lineal de
primer orden, la cual para resolverla requerirá una previa separación de variables
tal cual se indica en las operaciones que haremos.
dtdiLRiV..=−
dtdiLVRi..−=−
dtdiRLRVi..−=− por tanto RVidiRLdt−−=.
Integrando ambos miembros:
KRViRLt+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=ln. (1)
Resta ahora aplicar las condiciones iniciales, es decir:
para t = 0 i = 0
y con esto determinar K:
KRVRL+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=ln.0 por tanto ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=RVRLKln.

12. Reemplazando el valor de K en ( 1 ):
⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=RVRLRViRLtln.ln.
Multiplicando por – l esta última expresión y operando llegamos a :
⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=−RVRVitLRln.
τteRVRVi−=−−
τteRVRVti−−=.)(
Luego, la caída de tensión en la resistencia será:
τtreVVRiv−−==..
y la caída de tensión en la bobina será:
τtLevdtdiLv−==..
Representando estas tres expresiones gráficamente obtendremos:

13. Cabe, ahora, hacer las siguientes consideraciones como conclusión:
1.-Tanto i como vr y vl tienen dos términos, el primero que no es función del tiempo
(en el caso del vl vale cero) y describe el comportamiento final del circuito.
Corresponde al régimen permanente también llamado estacionario o forzado. Por
ejemplo la corriente forzada será igual a V/R y responde justamente a la ley de
0hm.
2.- El segundo término describe el régimen natural del circuito el que depende
primero de las condiciones de excitación, de las condiciones iniciales y de los
parámetros circuitales.
3.- La superposición de ambos regímenes da el comportamiento durante la
transición.
4.- la corriente crece desde cero hasta V / R en forma exponencial. El régimen de
crecimiento, está dado por la constante de tiempo _ = L / R que depende
exclusivamente de los parámetros circuitales.
5.- La tensión en la resistencia varía de cero a V siguiendo la misma ley.
6.- La tensión en la bobina disminuye de V a cero siguiendo la misma ley. Debido
a que en el instante inicial, la tensión aplicada cae totalmente en la bobina y luego
disminuye en forma exponencial.
7.- Se cumple la segunda ley de Kirchoff, es decir la suma de los valores
instantáneos de vr y vl es constante e igual a V en el circuito. tiV/Rτ

14. 4.- Circuito R L serie con excitación escalón y condiciones iniciales no nulas
Este es el caso para el cual:
en t = 0 entonces i = +/- Io
será menester para este caso determinar nuevamente la constante de integración.
El circuito a emplear será el siguiente:
Para calcular la constante de integración nos basaremos en la expresión (1 ) del
párrafo anterior, es decir:
KRViRLt+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=ln.
Aplicando a esta expresión las condiciones iniciales:
en t = 0 entonces i = +/- Io
KRVIRL+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−±−=0ln.0 por tanto ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−±=RVIRLK0ln.
Remplazando esta última expresión en la expresión (1) tendremos:

15. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−±+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=RVIRLRViRLt0ln.ln.
⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−±−=−RVIRVitLR0ln
τteRVIRVti−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−±+=.)(0
Graficando esta última expresión en función del tiempo para distintos valores de I o,
tendremos los siguientes diagramas:
5.- Circuito R C serie
La forma general de este circuito bajo excitación de tensión será el siguiente:
tiV/RIo>V/R>0Io=V/R0<Io<V/RIo=0Io<0

16. Aplicando la segunda ley de Kirchoff a este circuito, tendremos:
v (t) = vr + vC
Donde vC es la caída de tensión en el capacitor y vr =i . R es la caída de tensión en
la resistencia. De la definición de corriente sabemos que:
dtdqi=
y de la definición de capacidad:
dvdqC=
llegamos a la siguiente expresión de la corriente:
dtdvCi.=
que remplaza en la expresión de vr da:
dtdvRCvcr..=
y en definitiva:
ccvdtdvRCtv+=..)(
La cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden y no homogénea. Todas
las conclusiones sacadas para el circuito R L son válidas para este circuito.
6.- Circuito R C sin excitación con condiciones iniciales no nulas.
Régimen natural.
Este circuito a estudiar queda librado a la acción de la carga:

17. Qo = C . Vo
que almacena el capacitor.
2
Su energía E = ½ C. Vo se disipa en el resistor y el circuito de estudio será el
siguiente:
A partir de la ecuación diferencial del párrafo anterior trataremos de estudiar la ley
de variación de la tensión en el capacitor y la de la corriente del circuito, para ello
tendremos:
ccvdtdvRCtv+=..)(
Pero la excitación del circuito es nula, es decir, llegamos a la siguiente expresión,
la cual es una ecuación diferencial, lineal de primer orden y homogénea, lo cual
facilita su resolución por separación de variables:
RCdtvdvcc.−=
integrando esta última expresión obtenemos:
KRCtvc+−=.ln
donde K es la constante de integración la cual será determinada como siempre a
partir de las condiciones iniciales; para nuestro caso:
para t = 0 es vc = Vo
es decir: K = ln Vo
Por lo tanto remplazando el valor de la constante K en la expresión respectiva,
llegamos a:
0ln.lnVRCtvc+−= de donde RCtVvc.lnln0−=−

18. RCtVvc.ln0−=
τtRCtceVeVv−−==..0.0
Donde _ = C. R es la constante de tiempo de un circuito R C serie, es decir es le
tiempo en que la tensión del condensador en descarga se reduce a un 36,8% del
valor inicial o en carga aumenta en un 63,2% del valor de la tensión final partiendo
de cero.
La ley de variación de la intensidad vendrá dada por:
τττttceCRVCeVCdtdvCti−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==....1...)(00
τteRVti−−=..)(0
Por otro lado la caída de tensión en la resistencia será: τtreVRiv−==..0
Representando gráficamente estas expresiones obtenemos: ti-Vo/Rτ

19. 7.- Circuito R C serie con excitación escalón y condiciones iniciales nulas.
Para este caso el circuito bajo excitación de tensión es el indicado en la
figura:
Donde como siempre se cumple la segunda ley de Kirchhoff, es decir:
cvRitv+=.)(
ccvdtdvRCtv+=..)(
Ecuación esta última diferencial, lineal, de primer orden, y no homogénea
debido a la excitación de tensión, excitación esta, de tipo escalón, es decir:
v (t) = V
Para resolver esta ecuación diferencial tendremos que separar variables, es
decir, operamos de la siguiente manera:
dtdvRCvVcc..=− de donde dtdvRCVvcc..−=−
VvdvRCdtcc−=−.
integrando esta última expresión, llegamos a :

20. KVvRCtc+−=−)ln(.
Donde K es la constante de integración y la determinamos aplicando en la
ecuación anterior las condiciones iniciales, es decir:
Para t = 0 es vc = 0
por lo tanto:
0 = ln (-V) + K por lo tanto K = - ln (-V)
Expresión esta última que remplazada en la anterior queda:
)ln()ln(.VVvRCtc−−−=−
VVvRCtc−−=−)(ln.
VVvect−−=−τ
y en definitiva:
– t /_
vc = V - V . e
Expresión esta que nos indica la variación exponencial de la tensión en
función del tiempo. Para t = 0, vc será cero y veremos que toda la tensión cae en la
resistencia; luego vc irá aumentando y en definitiva para t tendiendo a infinito la
tensión de la fuente caerá totalmente en el capacitor.
La expresión en función del tiempo que nos identifica la variación de la
intensidad será:
RCeVCeVCdtdvCtittc......)(τττ−−===
o sea:
τteRVti−=.)(
y la caída de tensión en la resistencia será:
vr = i . R
τtreVv−=.
Funciones todas estas que graficadas, adoptan la siguiente configuración:

21. tvVrVc
8. Circuito R C serie excitación escalón y condiciones iniciales no nulas.
Para este caso el circuito será el que sigue:
Para resolver este caso directamente habrá que variar la aplicación de las
condiciones iniciales en el cálculo de la constante de integración. Las nuevas
condiciones iniciales serán:
Para t = 0 será vc = +/- Vo

22. Es decir, aplicando a la siguiente ecuación estas condiciones tendremos:
KVvRCtc+−=−)ln(.
KVV+−±=)ln(00
)ln(0VVK−±−=
es decir:
)ln()ln(.0VVVvRCtc−±−−=−
VVVvRCtc−±−=−0ln.
τtceVVVv−−±+=).(0 (1)
Donde el valor de la corriente en función del tiempo será:
dtdvCtic.)(=
τteRVVti−+±=.)(0
Por otro lado, la caída de tensión en la resistencia vendrá dada por:
vr = i . R
τtreVVv−+±=).(0
Graficando la expresión (1) tendremos:

23. 9. Excitación senoidal.
Tomemos es siguiente circuito RL serie:
v(t)
y la fuente lo excita con una tensión senoidal:
)cos(.max)(
donde _es la separación que existe entre el origen de coordenadas y el valor
máximo de v (t) y lo medimos desde el máximo de la función v (t) al origen, de esta
forma pueden acontecer dos casos: tVVo>VVo=VV>Vo>0Vo=0Vo<0 vVm Vmax

24. y a causa de
Sabemos además,componente natu
de donde, la componente natura
dtdiLRitv+=.)(
con _ = L / R
dtdiLRitV+=+.)cos(.maxψω
d
fniii+=
Al cabo de un tiempo t>>5._, la tracorriente total tenderá a la forzada. Re
τtneKi−=. +
)cos(.Imϕψω−+=tif
)cos(.)(.Im..)cos(.Im.ψωϕψωωϕψω+=−
)cos(.)](..)cos(..[Imψωϕψωωϕψω+=−+−++tVmtsenLtR

25. )ψ
⎥⎦⎢⎣⎟⎠⎜⎝−+=+aarctgxbaxbxacos.cos.cos.
En esta últim
(
ϕψωω−+=−==txLbRa;.;
lu
222..ImLRVmω+=
0)
dinstante ini
ZVmLRVm=+=222.Imω
por lo tanto:
fniii+= t
)cos(..ϕψωτ−++=−tZVmeKit
El valor inicial de la componente forzada ser
)cos(.ϕψ−−=ZVmK
y el de la com
)cos(.).cos(.ϕψωϕψτ−++−−=−tZVmeZVmi
]).cos().[cos(τϕψϕψωtetZVmi−−−−+=
)cos(.ϕψ−=ZVmif

26. )cos(.ϕψ−−=ZVmin
áf
i Puede ocurrir que en los siguientes gr

27. i
A
tensión que las mismas provocan en los elementos del circuito. Este fue otro
ejemplo en el que aplicamos un modelo matemátic
caso, las ecuaciones diferenciales para resolver el problema de los efectos
transitorios en los circuitos eléctricos. in (intensidad natural) if
• Explicación del tema sesión 15:
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos.
A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja
sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
Supongamos que tenemos la aproximación a la raíz de , ixrx)(xf
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ())(,iixfx; ésta cruza al eje x en
un punto que será nuestra siguiente aproximación a la raíz . 1+ixrx
Para calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente.
Sabemos que tiene pendiente 1+ix
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
Hacemos, : 0=y
Y despejamos, x:

28. Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximación:
,
si
Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos
asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de
que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este
método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin
embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez
impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.
También observe que en el caso de que 0)(=′ixf, el método no se puede aplicar.
De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje x en ningún punto, a menos que
coincida con éste, en cuyo caso mismo es una raíz de ! ix)(xf
Ejemplo 1 Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de ,
comenzando con xexfxln)(−=−10=x y hasta que %1<∈a.
Solución En este caso, tenemos que
De aquí tenemos que:
Comenzamos con 10=x y obtenemos:
En este caso, el error aproximado es,

29. Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla: Error aprox.
Aprox. a la raíz
1
1.268941421 21.19%
1.309108403 3.06%
1.309799389 0.052%