Este documento presenta 10 problemas de circuitos eléctricos y sistemas masa-resorte resueltos mediante ecuaciones diferenciales. Los problemas cubren temas como circuitos RL, RC, RLC y sistemas masa-resorte con y sin amortiguamiento. El objetivo es que los estudiantes aprendan a modelar diferentes sistemas físicos utilizando ecuaciones diferenciales y obtener soluciones para la corriente, carga y posición en función del tiempo.

1. Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas”.
Facultad de Ingeniería y Arquitectura.
Departamento de Matemática.
Matemática IV.
Sección 03.
Ciclo 02/2014.
Prof. Ing. Eduardo Escapini Peñate.
Jefe de instructores: Jonathan Landaverde.
Aplicaciones de Ecuaciones diferenciales.
(CIRCUITOS)
1. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 H y la resistencia es de 50 ohm, se le aplica una tensión de 30 V. Determine la corriente 푖(푡) si se sabe que 푖(0)=0. ¿Cuál será el valor de la corriente después de un tiempo largo, 푡→∞?
2. A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de 200 ohm y la capacitancia es de 10E-4 F, se le aplica una tensión de 100 V. Si 푞(0)=0, calcule la carga 푞(푡) en el capacitor y obtenga la corriente 푖(푡).
3. Un inductor de L henrys varia con el tiempo t (en segundos) de acuerdo a L=0.05+0.001t. Se conecta en serie con un generador cuya fem es de 40 V y una resistencia de 10 ohm. Si la corriente 푖(0)=0, calcule 푖(푡) para todo t mayor que cero. ¿Cuál es la corriente máxima teórica?
4. Una resistencia de 20 ohm y un inductor de 5 H se conectan en serie en un circuito eléctrico en el cual hay un flujo de corriente de 20 A en el tiempo cero. Encuentre la corriente para todo tiempo mayor o igual que cero, si la fem es cero para todo tiempo mayor que cero.

2. 5. Un condensador de 5E-3 F está en serie con una resistencia de 25 ohm y una fem de 50cos(6t) V, donde t es mayor o igual que cero. El interruptor se cierra en t=0. Si la carga inicial en el condensador es cero, determine la carga y la corriente en cualquier tiempo.
6. Una resistencia de 20 ohm se conecta en serie con un condensador de 0.01 F y una fem en volts dada por 40푒−3푡+20푒−6푡. Si 푞(0)=0, muestre que la carga máxima en el condensador es de 0.25 coulombs.
7. Un circuito consiste de una resistencia constante de R ohm en serie con una fem constante de E voltios y una inductancia constante de L henrys. Si la corriente inicial es cero, muestre que la corriente crece a la mitad de su valor teórico máximo en 퐿푙푛(2) 푅 푠.
8. A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de 1000 ohm y la capacitancia es de 5E-6 F, se le aplica una tensión de 200 V. Determine la carga 푞(푡) en el capacitor si se sabe que 푖(0)=0.4. ¿Cuál será el valor de la corriente y la carga para t=0.005 s, y la carga después de un tiempo largo, 푡→∞?
9. Se aplica una fuerza electromotriz 퐸(푡)={ 120,0≤푡≤200,푡>20 a un circuito en serie LR, en donde la inductancia es de 20 henrys y la resistencia es de 2 ohm. Determine la corriente 푖(푡), si 푖(0)=0.
10. Se tiene un circuito en serie, configurado como RLC. Se le pide encontrar la carga y corriente para cualquier tiempo requerido, dadas las condiciones: 푖(0)= 1 퐴푚푝푒푟푒 y que el voltaje en el capacitor es 퐸푐(0)=20 푉표푙푡푖표푠; si se sabe que la resistencia R tiene un valor de 40 Ω, el inductor L tiene una inductancia de 10 henrys, y el condensador C tiene una capacitancia de 0.01 Faradios y que además dicho circuito está conectado a fuente que varía su voltaje con el tiempo, dicha variación viene dada por: 퐸(푡)=25푠푒푛(5푡+30).

3. (SISTEMA MASA RESORTE)
1. Un resorte de 4 pies alcanza 8 pies al colgarle una pesa de 8 lb. El sistema se coloca en un medio a través del cual se ofrece una resistencia numéricamente igual a √2 veces su velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si la pesa parte de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 pies/s hacia abajo. Calcule el tiempo en que llega a su desplazamiento extremo respecto a la posición de equilibrio. ¿Cuál es su posición en ese instante?
2. Se une una masa de 1 slug a un resorte cuya constante es de 5 lb/pie. Se suelta la masa a 1 pie debajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 pies/s hacia abajo; el movimiento se da en un medio cuya fuerza de amortiguamiento es numéricamente igual al doble de la velocidad instantánea. Se le pide deducir la ecuación del movimiento si una fuerza externa dada por:푓(푡)=12cos(2푡)+ 3푠푒푛(2푡) actúa sobre la masa.
3. Después de unir una pesa de 10 lb a un resorte de 5 pies, este mide 7 pies. Se quita y se reemplaza con otra pesa de 8 lb y el sistema se coloca en un medio que ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea.
a) Deduzca la ecuación de movimiento, si la pesa parte 0.5 pie debajo de la posición de equilibrio a una velocidad de 1 pie/s hacia abajo.
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma: 푥(푡)=퐴푒−휆푡푠푒푛((√휔2−휆2)푡+∅).
4. Una pesa de 24 lb estira 4 pies un resorte. El movimiento que se produce se lleva a cabo en un medio que presenta una resistencia numéricamente igual a 훽 (훽>0) veces la velocidad instantánea. Si la pesa parte de la posición de equilibrio con una velocidad de 2 pie/s hacia arriba, demuestre que si 훽>3√2, la ecuación del movimiento es: 푥(푡)= −3√훽2−18 푒 −2훽푡 3푠푒푛ℎ( 23√훽2−18푡).
5. El movimiento en un sistema masa-resorte amortiguado se describe con la siguiente ecuación diferencial ordinaria: 푚푑2푥 푑푡2+푐푑푥 푑푡 +푘푥=0. Donde x = desplazamiento de la posición de equilibrio (m), t =tiempo (s), m = 10 kg de masa, y c = el coeficiente de amortiguamiento (N.s/m). El coeficiente de amortiguamiento toma tres valores: 5 (subamortiguado), 40 (amortiguamiento crítico) y 200 (sobreamortiguado). La constante del resorte, k = 40 N/m. La velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial es x = 1 m. Calcule para cada uno de los tres valores del coeficiente de amortiguamiento, la ecuación de movimiento en función del tiempo.