1. La Divina Proporción
y la
Arquitectura
Profesora Giselle Goicovic

2.  La geometría tiene dos grandes
tesoros: uno es el teorema de
Pitágoras, y el otro el número áureo.
El primero puede compararse a una
medida de oro, y el segundo a una
piedra preciosa.
Kepler

3. Número áureo
 Este número es un número irracional al igual
que su primo hermano el número PI, y su valor
es 1,618...
 Es designado con la letra griega PHI
 Un número irracional, es aquel con infinitas
cifras decimales, sin que exista una secuencia
de repetición que lo convierta en un número
periódico.
 Es imposible conocer todas las cifras de dicho
número.

4. La sección áurea
 La sección áurea es la división armónica de una
segmento en media y extrema razón.
 Es decir, que el segmento menor es al
segmento mayor, como este es a la totalidad.
 De esta manera se establece una relación de
tamaños con la misma proporcionalidad entre el
todo dividido en mayor y menor.

5.  Hacer esta escala sobre un segmento es
muy simple.
 Se divide la medida total por 1.618.
 O se multiplica por 0.618.

9. El Modulor
 Sistemas de medidas ideado por Le Corbusier
y recogido en el libro del mismo nombre en
1953.
 Este sistema se basa en las medidas naturales
del hombre y en la Sección Aurea.
 Tomó como escala el francés medio de 1,70 m
de estatura; más adelante añadió el policía
británico de 6 piés (1,83 m), lo que dio el
Modulor II.
 Sobre esta proporción establece una altura
media de techo, ventana, puerta...

10.  Las medidas parten desde la medida del
hombre con la mano levantada (226 cm) y de
su mitad, la altura del ombligo (113 cm).
 Desde la primera medida sumando
sucesivamente y restando de igual manera la
sección áurea se obtiene la llamada serie azul,
y de la segunda del mismo modo la roja.
 Serie azul en metros seria: ..., 9'57, 5'92,
3'66, 2'26 , 1'40, 0'86, 0'53, 0'33, 0'20, ...
 Serie roja en metros seria: ..., 4'79, 2'96,
1'83, 1'13 , 0'70, 0'43, 0'26, 0'16, 0'10, ...

12. El Rectángulo Áureo
 A partir de los estudios de Vitruvio, también se
ideó un sistema de cálculo matemático de la
división pictórica.
 Seccionando los espacios en partes iguales y
así conseguir una mejor composición.
 Se basa en el principio general de contemplar
un espacio rectangular dividido, a grandes
rasgos, en terceras partes, tanto vertical como
horizontalmente.

13.  Un rectángulo con lados de proporciones PHI
(1x1,618).
 Al realizar un cuadrado de 1 x 1.
 El rectángulo que queda tiene lados en
proporción PHI.
R
A
o
B
Q
C

14. Construcción del rectángulo áureo:
Para realizar esta construcción, necesitaremos regla y
compás. Procederemos de la siguiente manera:
1. Construimos un cuadrado de lado 2a
2a
2a

15. 2. Dividimos el cuadrado en dos rectángulos iguales,
y trazamos la diagonal del segundo rectángulo:
a 5
a
2a
a

16. 3. marcamos dicha medida sobre la horizontal y se tiene:
B
C
2a
A
a
a
ABCD, ES RECTANGULO AUREO
D

18. ESPIRAL ÁUREA

19. Espiral áurea

22. Espiral de Durero
Se construye tomando como base un triángulo
isósceles cuyo ángulo menor mide 36°. A partir
de cada triángulo se construye otro triángulo
isósceles cuyo lado menor coincide con el
mayor del triángulo anterior.
Los cocientes entre el lado mayor y el lado
menor de cada triángulo tiende hacia el
número de oro.
La espiral se construye uniendo mediante
arcos de circunferencia los vértices
consecutivos de estos triángulos.

23. Pitágoras
 La relación entre la diagonal del pentágono y
su lado es el número de oro.
 También podemos comprobar que los
segmentos QN, NP y QP están en proporción
áurea

26. Secuencia Fibonacci
 La secuencia de Fibonacci es una secuencia
infinita de número que comienza por: 1, 1, 2, 3,
5,8,13..., en la que cada uno de ellos es la suma
de los dos anteriores.
 Así: 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, 13=8+5 .
 Para cualquier valor mayor que 3 contenido en
la secuencia, la proporción entre cualesquiera
dos números consecutivos es 1,618, o Sección
Áurea.

27.  La Serie de Suma
de Fibonacci crea
una espiral de PHI
(la forma universal
usada en la
Naturaleza), desde
flores, conchas
marinas o galaxias.
 La espiral de PHI es
la geometría del
crecimiento.

29. Ejemplos en la Naturaleza

35. Ejemplos en el Arte y la Arquitectura
 Las más
grandes obras
de arte de todos
los tiempos han
sido realizadas a
partir de la
divina
proporción.

36. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la
altura de uno de los tres triángulos que forman la
pirámide y el lado es 2 FI

37. Pirámides de Giza

44. Templo de Ceres

45. Templo de Poseidón

47. El Hermes de Praxíteles
(390-330 a. C.)

48. Piet Mondrian

66. LA SAGRADA FAMILIA
MIGUEL ANGEL

67. Martirio de
San Bartolomé,
de Ribera

68. La Carta,
de Vermeer,

81. Chartes

83. Notre Dame

87. Chicago Spire
Santiago Calatrava

93.  En la dinámica elevación de la torre se
encuentra la repetición fundamental de la
naturaleza, un triunfo escultórico de la
matemática y el arte.
 La Relación Áurea reúne a dos de las más
profundas influencias en Santiago Calatrava: la
naturaleza y el trabajo realizado por el
arquitecto suizo Le Corbusier.
 La fe de Le Corbusier en el orden matemático
del universo estaba estrechamente vinculado a
la proporción áurea y la serie de Fibonacci, y lo
llevó a crear su propia escala de proporciones
para el uso en sus diseños.

97.  En botánica, Fibonacci puede ser encontrado en
acción en la estructura de las flores.
 En biología, guía el crecimiento en espiral de la
caparazón del nautilus - esta primitiva, pero
hermosa criatura es una de las claves de
inspiración para Calatrava detrás de sus
diseños para el Chicago Spire.
 La forma representa los elementos, la idea de la
fluidez y el crecimiento, la belleza y la
perfección de la fuerza geométrica.

100.  Aquí, donde el lago y el río
se encuentran, en el punto
donde la historia comenzó
en esta famosa ciudad,
estamos creando un hogar
para el día de hoy y de
mañana.
 No hay dos casas iguales
en el Chicago Spire. Gracias
a los sutiles giros de la
construcción a medida que
asciende al cielo, cada
residente tendrá una forma
de vida individual.