economia-minera unsaac ing. alarcon

ECONOMIA
MINERA
ARNALDO ALEJANDRO RUIZ CASTRO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH
“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y
METALURGIA

AGRADECIMIENTO
En primer lugar vaya mi profundo agradecimiento a Dios por ser el artífice de mi
existencia.
Agradecer a las autoridades de la UNASAM, en la persona del Sr. Rector Dr. Fernando
Castillo Picón, Sr. Vicerrector Académico Mag. Roosevelt Villalobos Diaz, Sr.
Vicerrector Académico Cesar Narro Cachay y al Sr. Decano de la Facultad de Ingeniería
de Minas, Geología y Metalurgia Mag. Porfirio Baldomero Poma Rique, por permitirme
realizar la siguiente publicación. Así mismo, vaya mi agradecimiento al Ing. Luís Torres
Yupanqui, por su continua contribución para la ejecución de la presente publicación.
Un cariñoso agradecimiento a mi esposa Rosa Enith, y a mis hijos, Rosa Milagros, Martín
Gregorio, Yessenia, Carla Virginia, Rainer; quienes en forma silenciosa mostrando su
comprensión, permitían el desarrollo del presente tratado técnico -económico.
ii

PRESENTACION
Uno de los retos cotidianos que afrontamos todos los profesionales es la adecuada toma
de decisiones en los diferentes campos en los cuales nos desarrollamos, para afrontar los
mismos se hace necesario contar con las herramientas adecuadas que propicien los logros
técnico-económicos óptimos de la solución de problemas.
En el presente tratado denominado simplemente Economía Minera, se realiza el enfoque
de algunas de las tantas herramientas económicas, que nos permitirán tomar las decisiones
convenientes sobre aspectos técnicos, utilizando algunas de las herramientas con las
cuales se cuenta, como es el caso por ejemplo de la selección de equipos de limpieza, que
dada la gran cantidad y variedad de equipos, será necesario aplicar la matemática
financiera para lograr la mejor elección final, que permita una mayor rentabilidad de esta
operación unitaria minera.
Dada mi experiencia como profesional en el campo netamente de la actividad minera a lo
largo de diez años, en proyectos mineros como son el caso de Mina Aguila, Proyecto de
Expansión Cobriza, Proyecto Aurífero Arirahua y proyectos de la pequeña minería y
minería artesanal, así como más de veinte años en la actividad docente, han permitido que
desarrolle un apropiado enfoque sobre las herramientas económicas que posibilitarán
tomar decisiones apropiadas y a su debido tiempo, en el campo de la minería; como es el
caso de la matemática financiera; el análisis marginal para una determinación estática-
periódica de la capacidad operativa de la mina; la ley mínima explotable, como un
indicador dinámico-periódico del minado. Finalmente se predisponen la variedad de
consideraciones para la realización de la valuación o valorización de las propiedades
mineras en sus diferentes etapas; es decir, ya sea como un proyecto inicial, o dentro de la
etapa de operación.
Es bien cierto, que en este primer enfoque, se están visualizando los principales
algoritmos para tomar decisiones, muchos de los cuales se encuentran sistematizados en
programas computarizados, que permiten una rápida determinación de los mismos, pero
también es necesario que se continúen con los análisis de los mismos, para una
adecuación inmediata y a su debido tiempo. Por lo cual, tengo la esperanza que se de
continuidad a la presente publicación, con otros tratados similares.
Arnaldo Ruiz Castro
iii

PROLOGO
En los momentos actuales en que la cantidad de textos en la materia de Economía en
forma general casi llega a ser exuberante, sin embargo la publicación de esta obra en
“Economía Minera” acreditada por varias razones, como la influencia en la ciencia y
tecnología de esta materia en el mundo económico, y aparece en un momento en que la
economía minera adquiere una notable relevancia sin precedentes, específicamente
cuando la minería en el mundo y particularmente en nuestra región atraviesa sus apogeos
más importante. Además acrecienta el mérito del autor, el formidable esfuerzo realizado
para escribirla, como fruto de su experiencia académica y profesional desarrollada en la
Facultad de Ingeniería de Minas Geología y Metalurgia de la UNASAM, que desde años
viene compartiendo la docencia de la asignatura de “Economía Minera” , y la necesidad
imprescindible de una constante actualización en los temas involucrados, aportando de
esa manera un texto que sea de mucha utilidad tanto para estudiantes, profesionales
dedicados a la industria minera.
En la FIMGM- UNASAM, este es el primer libro que se publica en “Economía
Minera”, personalmente para mí es un honor que el Ing. Arnaldo Ruiz Castro autor del
presente tratado, me haya solicitado que prologue esta obra. Además, quiero hacer
recomendar y hacer extensiva la necesidad ser leída en forma obligatoria por nuestros
alumnos de ingeniería, de manera que puedan afianzar y especializarse en este
fascinante mundo de la economía minera, adquiriendo y introduciendo en ella los
conocimientos y herramientas necesarias para entenderlas, comprenderlas y hacer mucho
más fácil su aplicación.
El autor ha explicado en forma sencilla, sucinta, claramente estructurados, y
desarrolla con detalles los conceptos necesarios, y resuelve las interrogantes más
frecuentes, desde las definiciones básicas, las matemáticas financieras, el complejo
trabajo de clasificarlas, finalmente complementan con amplios ejemplos prácticos que
consolidan el saber de la Economía Minera, presentarlo en forma didáctica los diferentes
métodos de análisis y con el mérito singular, de recoger conceptos que talvez todavía no
se haya incluido en otros tratados similares.
Finalmente quiero subrayar, que nuestro país y en el mundo entero, se vive
actualmente el auge de la minería, particularmente debido al alza de los precios de los
metales, y muy excepcionalmente en nuestro medio, la Regiòn Ancash, donde se ubican
las operaciones de dos grandes empresas, lideres en la minería mundial, la Cìa Minera
Antamina SA y la Cìa Barrica Misquichica SA, por lo que nos obligan acentuar los
conocimientos cada vez más crecientes en la economía minera. Por una de estas razones
es que justamente llega a nuestras manos una obra con lo que acertadamente ha afianzado
y consolidado el Ing. Arnaldo Ruiz Castro..
M. Sc. Ing. Porfirio B. Poma Rique
iv

Decano de la FIMGM- UNASAM
INDICE
AGRADECIMIENTO ii
PRESENTACION iii
PROLOGO iv
INDICE v
CAPITULO I
CONCEPTOS BASICOS
1.1. Definición de Economía 7
1.1.1. Análisis Macroeconómico 7
1.1.2. Análisis Macroeconómico 8
1.2. La Industria Minera y su clasificación. 9
1.3. Análisis Económico de la Actividad Minera. 10
1.4. La aplicación de la economía a la actividad minera. 12
1.5. Toma de Decisiones: 12
1.6. “Ingeniería Económica” y “Evaluación Económica”. 13
1.7. Análisis general de inversiones: 13
1.8. Uso Industrial de los minerales: 14
CAPITULO II
MATEMATICA FINANCIERA
2.1. Definición. 16
2.2. Relaciones de las Matemáticas Financieras con otras Disciplinas: 16
2.2.1. Contabilidad: 16
2.2.2. Derecho 16
2.2.3. Economía 17
2.2.4. Ciencia Política 17
2.2.5. Ingeniería 17
2.2.6. Informática 17
2.2.7. Finanzas 17
2.2.8. Sociología 17
2.3. Interés económico y financiero. 18
2.3.1. Regímenes de Intereses. 18
2.3.2. Tipos de Tasa de Interés. 21
2.3.3. Determinación de la Tasa de Interés Nominal. 24
2.4.Formulas de Interés Compuesto en Toma de Decisiones. 25
2.4.1. Factor de Pago Simple – Cantidad compuesta. 27
2.4.2. Factor de Pago Simple – Cantidad Presente. 28
2.4.3. Factor de Series Uniformes - Cantidad Compuesta. 28
2.4.4. Factor de Depósito de Fondo de Amortización. 29
2.4.5. Factor de Series Uniformes – Valor Presente 30
2.4.6. Factor de Recuperación del Capital. 31
2.5.Aplicación General de la Matemática Financiera en Toma de Decisiones. 32
v

2.5.1. Primera Etapa.- Identificación de Variables: 32
2.5.2. Segunda Etapa.- Elaboración del Diagrama o Flujo Económico: 32
2.6. Series de Gradientes. 37
2.6.1. Series de gradientes aritméticas. 37
2.6.2. Series geométricas. 38
2.7. Efectos económicos de proyectos frente al radio de retorno (ROR). 40
2.8. Aplicación de la Matemática Financiera a la Minería. 42
2.8.1. En proyectos de inversión minero metalúrgicos. 42
2.8.2. En la toma de decisiones de proyectos mutuamente excluyentes: 44
2.8.3. En la selección económica de equipos y maquinarias
de mina y planta. 46
2.8.4. En la toma de decisiones que consideran diferentes horizontes
de vida útil. 47
CAPITULO III
VARIABLES ECONOMICAS ESTÁTICAS Y DINAMICAS EN LA MINERIA
3.1.Concepto y clasificación de costos en la actividad minera. 50
3.2.Método del análisis marginal. 53
3.2.1. Fundamentos.- 53
3.2.2. Interrelación de las Variables Fundamentales.-
53
3.2.3. Análisis de la Producción Económica.-
54
3.2.4. Análisis del Factor Marginal.-
55
3.2.5. Rentabilidad Máxima.
56
3.3. Ley mínima explotable. 57
3.3.1. Fundamentos.-
57
Determinación de la ley mínima explotable. 58
3.4. Aplicaciones a la minería 60
CAPITULO IV
DEPRECIACION, AGOTAMIENTO, AMORTIZACIÓN Y FLUJO DE CAJA
4.1. Flujo Corporativo en la actividad minera. 73
4.2. Definición y métodos de depreciación. 75
4.2.1. Métodos de depreciación.- 75
4.3. Definición y métodos de agotamiento. 77
Métodos de agotamiento.- 78
4.4. Definición y métodos de amortización. 80
4.4.1. Métodos de amortización 81
4.5. Flujo de caja. 87
4.5.1. Clasificación de flujo de caja. 87
4.6. Aplicaciones a la minería 90
CAPITULO V
VALUACION DE PROPIEDADES MINERAS
5.1. Conceptos básicos para la valorización de propiedades mineras. 92
5.2. Metodologías genéricas aplicadas a la valorización de empresas. 92
vi

5.2.1. Métodos basados en el balance 92
5.2.2. Métodos basados en el descuento de flujo de fondos 95
5.3. Valorización de propiedades mineras en proyecto. 98
5.4. Valorización de propiedades mineras en operación. 98
5.5. Aplicaciones a la minería. 99
BIBLIOGRAFIA. 100
vii

CAPITULO I
CONCEPTOS BASICOS
1.1. Definición de Economía.-
Resulta complicado obtener una definición exacta de la economía, por cuanto presenta
una serie de efectos sobre el que hacer del ser humano, para considerar su presencia
indiscutible sobre la actividad humana, presentamos algunos enfoques de la economía.
Según la Real Academia Española, la economía deriva del latín oeconomía y este a su vez
del griego ο κονομ α, y presenta las siguientes definiciones:ἰ ἰ
a) Administración eficaz y razonable de los bienes.
b) Conjunto de bienes y actividades que integran la riqueza de una colectividad
o un individuo.
c) Ciencia que estudia los métodos más eficaces para satisfacer las necesidades
humanas materiales, mediante el empleo de bienes escasos.
d) Contención o adecuada distribución de recursos materiales o expresivos.
e) Ahorro de trabajo, tiempo o de otros bienes o servicios.
f) Ahorros mantenidos en reserva.
g) Reducción de gastos anunciados o previstos.
La mayoría de autores bajo consideraciones generales, establecen una definición que
concuerda con lo establecido por Francisco Mochón Morcillo, que lo define como:
“Aspectos de toda actividad humana que en el intento de satisfacer las necesidades
materiales, implica la necesidad de elegir”.
El análisis económico se establece bajo dos enfoques: el microeconómico y el
macroeconómico.
1.1.1. Análisis Macroeconómico.-
a. Definición.- La macroeconomía es la rama de la economía que estudia el
funcionamiento de ésta en su conjunto. Es decir, estudia la economía global de un
país, si bien para proceder a dicho estudio lo que hace es fijarse en el funcionamiento
individual de una serie de mercados y en las interrelaciones que se producen entre
ellos.
b. Tipos de Mercado.- Dentro del contexto internacional, se presentan los siguientes
tipos de mercados: Mercado de bienes y servicios: donde se compran y venden todo
tipo de bienes (alimentos, electrodomésticos, ordenadores, ladrillos, etc.) y de
servicios (servicios profesionales de abogados, médicos, espectáculos, competiciones
deportivas, peluquería, etc.). Mercado de dinero: donde confluye la demanda de
dinero (interés de familias, empresas, organismos públicos, etc. de disponer de
dinero) y la oferta de dinero (cantidad de dinero que el Banco Central del país
mantiene en circulación). Mercado de trabajo: donde confluye la oferta de trabajo
(deseo de los habitantes del país de trabajar) y la demanda de trabajo (interés de las
empresas de contratar trabajadores).
c. Indicadores Macroeconómicos.- Entre los indicadores de mayor relevancia tenemos:
8

 El PBI (Producto Bruto Interno): El PBI se puede medir desde dos
enfoques diferentes, obteniendo en ambos casos el mismo resultado: Como flujo de
gastos (o de productos finales): es decir, cuál ha sido el destino de los distintos bienes
y servicios producidos durante el ejercicio, y Como flujo de rentas: cómo se
distribuyen las rentas que se han generado durante la producción de esos bienes y
servicios.
 El PNB (Producto Nacional Bruto): mide lo producido por los
nacionales de un país, ya residan en el mismo, ya residan en el extranjero.
 El PIN (Producto Interior Neto): es igual que el PBI, pero deduciendo la
pérdida de valor (el desgaste) que haya experimentado el equipo productivo
(infraestructuras, maquinaria, instalaciones, etc.) durante el ejercicio.
1.1.2. Análisis Microeconómico.-
a. Definición.- La Microeconomía estudia la conducta de las unidades (empresas,
hogares o consumidores, y otros agentes económicos) que integran la economía.
Según el Dr. Antonio García Sánchez, “la microeconomía es el conjunto de teorías cuyo
objetivo consiste en explicar el proceso mediante el cual los recursos escasos se asignan a
usos alternativos”.
b. Teorías Microeconómicos.- La microeconomía, establece sus criterios
fundamentados en las siguientes teorías:
 Teoría de la Conducta del Consumidor y de la Demanda: Esta teoría,
según Ferguson, establece que “El esfuerzo más o menos consciente, para alcanzar la
satisfacción máxima con un ingreso limitado, determina la demanda individual de
bienes y servicios”.
 Teoría de la Producción y el Costo: Toda acción que se realiza con la
finalidad de generar bienes y servicios, se establece mediante procesos productivos,
que de hecho hacen necesario la participación de recursos humanos y recursos físicos
(maquinarías y/o equipos, y materiales e insumos). Tanto los recursos humanos y
recursos físicos a través destiempo condicionan su transformación económica a
costos.
 Teoría de la Empresa y la Organización del Mercado: Los bienes y
servicios generados por acciones empresariales, son procesados en los mercados
reales y/o virtuales, donde dadas las consideraciones de una competencia perfecta a
través de las ofertas y demandas, se determinan los precios de los bienes y servicios;
así mismo, bajo consideraciones de competencias restringidas (monopolio y/o
oligopolio), también se condicionan los precios de los bienes y servicios. Un caso,
específico de mercados monopólicos y oligopólicos lo establece la actividad minera,
donde el precio de los metales se genera a través de la bolsa de valores donde tienen
ingerencia sólo algunas empresas.
 Teoría de la Distribución: Dadas las consideraciones de la oferta y la
demanda de un mercado bajo consideraciones de competencia perfecta o imperfecta,
se determina la cantidad de los bienes y servicios que serán distribuidos a los
mercados, para su respectivo proceso de comercialización.
 La Teoría del Equilibrio General y el Bienestar Económico: Los
consideraciones establecidas en los procesos operativos de una empresa de bienes o
prestación de servicios, condicionan efectos de producción y productividad,
estableciendo la productividad como la medida de la producción frente a los recursos
9

utilizados, esto conlleva a establecer la optimización de resultados que permitan
obtener un equilibrio adecuado del uso de recursos, es decir una minimización de
costos permitiendo una maximización de utilidades generadas por la empresa.
1.2. La Industria Minera y su clasificación.
El Perú ostenta un gran potencial minero, los mismos que se encuentran ubicados en la
costa, sierra y selva, por lo cual su clasificación, se diversifica del modo siguiente:
 Por el Tipo de Minerales que se Explotan:
 Yacimientos metálicos.
 Yacimientos no metálicos.
 Yacimientos carboníferos
 Yacimientos de hidrocarburos.
 Por el Grado de Tecnificación:
 Minería artesanal.
 Minería tecnificación continúa.
 Minería altamente tecnificada.
 Por el Tipo de Procesamiento:
 Industria minera con productos iniciales.
 Industria minera con productos intermedios.
 Industria minera con productos terminados.
 Por el Sistema de Explotación:
 Minado subterráneo.
 Minado Superficial.
 Por la Cuantificación del Proceso Minero:
 Minería artesanal.
 Pequeña minería
 Mediana minería.
 Gran minería
En lo referente a la quinta clasificación, los detalles de cuantificación técnica y
económica, se detallan en el Cuadro Nº 1 - 001.
CUADRO Nº 1 – 001
CLASIFICACION DE LA MINERIA EN EL PERU
EST RAT O TAM AÑO DE LA CONCESIÓN (Has.)CAPACIDAD PRO DUCT IVA (T M D)VENT AS ANUALES (US $)
M inería Artesanal Hasta 1,000 Hasta 25
Pequeña M inería Hasta 2,000 Hasta 350
M ediana M inería M ás de 2,000 H asta 5,000 > 30'000,000 < 100'000,000
G ran Minería M ás de 2,000 M ás de 5,000 > 100'000,000
Caso: M ateriales de construcción, arenas gravas auriferas de placer, m etales pesados detríticos.
M inería artesanal: Hasta 200 m
3
/día
Pequeña M inería: Hasta 3,000 m
3
/día
Fuente: M INEM
< 30'000,000
10

1.3. Análisis Económico de la Actividad Minera.
Dentro del desarrollo de la actividad minera, así como dentro de otras actividades
empresariales, se predisponen dos aspectos de fundamentación económicos, por un lado
tenemos los ingresos económicos generados por la comercialización de los productos
accesibles a los mercados de compra y venta de los minerales, y por otro lado, los gastos
generados por el proceso minero – metalúrgico, que se pueden diversificar en costos
operativos y costos productivos.
El análisis de ingresos, es propio de cada producto que es puesto al mercado para su
comercialización, en el presente caso lo sustentaremos a la comercialización de productos
minero metálicos, para lo cual se recurren a dos aspectos fundamentales: el aspecto
técnico que consiste en elaborar adecuada y cuidadosamente el Balance Metalúrgico del
mineral procesado, obtenido este del beneficiado de los minerales, por cualquiera de los
métodos utilizados (separación gravimetrica, flotación, hidrometalurgia, etc.), además de
la consideración de la presencia cualitativa y cuantitativa de los elementos metálicos
penalizables, y el aspecto de valorización económica de los productos obtenidos,
sustentados bajo estándares establecidos y corroborados por los contratos bipartitos
contraídos entre el productor y el comprador.
En lo referente a los egresos económicos, se predisponen los costos de operación,
que bajo los lineamientos establecidos en la presente publicación corresponden a los
generados por las operaciones de minado, ya sean operaciones unitarias y operaciones
auxiliares; las operaciones metalúrgicas extractivas y/o las de fundición y refinación, y las
actividades de transporte. Por otro lado se consigan los costos productivos, que son
aquellos que involucran todos los rubros para un desarrollo empresarial sostenido,
incluyendo los costos operacionales.
En el Gráfico Nº 1 - 002, se observa los flujos físicos y monetarios establecidos por el
proceso general del desarrollo de la actividad minera.
En este gráfico, establecemos que el punto de partida de la actividad minera, son las
reservas de mineral generadas a través de los trabajos de exploración realizados,
posteriormente iniciada la actividad de explotación, mediante el minado superficial o
subterráneo del yacimiento, establecemos el proceso de producción minero metalúrgico,
hasta obtener un mineral intermedio (concentrado) o terminado (metal), que sea accesible
al mercado consumidor, produciéndose el proceso de comercialización del producto
obtenido, en este punto lo que se comercializa tiene características de un flujo físico,
obteniéndose después de la comercialización un flujo monetario por las ventas del
producto. En el proceso de distribución del ingreso, se canalizan cuatro rubros de
distribución: los costos operativos, el capital financiero, esto es el monto que retorna a la
actividad minera para su continuidad, que también podría establecerse como capital de
trabajo, los pagos de impuestos y las utilidades establecidas por las empresas. El proceso
financiero, nos permite tener un monto económico que mantenga la operatividad del
proceso minero metalúrgico, teniendo además cuidado de tener una cierta reserva de
dinero por las posibles eventualidades que pueden estar presente durante la operación de
la mina; bajo las circunstancias de una falta de liquidez, se recurrirá a un financiamiento
externo, que posteriormente debe ser cubierto con los ingresos generados por la empresa.
El capital de operación e inversiones nos permite acceder al mercado abastecedor
donde se realizan las acciones de compra de maquinarías, equipos, materiales e insumos
11

necesarios para las operaciones minero metalúrgicas. Este circuito cerrado se mantiene
durante la vida útil del yacimiento.
GRAFICO Nº 1 – 002
FLUJO FISICO – ECONOMICO DE LA ACTIVIDAD MINERA
UTILIDAD
LEYENDA:
Flujo Físico
Flujo Monetario
PROCESO DE
ABASTECI-
MIENTO
MERCADO
ABASTECE-
DOR
PROCESO DE
PRODUCCION
RESERVAS Y
STOCK DE
PRODUCTOS EN
PROCESO
PROCESO
FINANCIERO
MERCADO
FINANCIERO
STOCK DE
CAPITAL
STOCK DE
MATERIALES
EQUIPOS E
INSUMOS
MERCADO
CONSUMIDOR
PROCESO DE
COMERCIA-
LIZACION
STOCK DE
PRODUCTOS
VENDIBLES
MERCADO
TRIBUTARIO
PROCESO DE
DISTRIBUCION
DEL INGRESO
COSTOS
OPERATIVOS
CAPITAL FINANCIERO
CAPITAL DE
OPERACIÓN
E INVERSION
MAQUINARIAS,
EQUIPOS,
MATERIALES E
INSUMOS PARA EL
PROCESO MINERO
METALURGICO
INGRESO
ECONOMICO
POR VENTAS
12

1.4. La aplicación de la economía a la actividad minera.
Como se puede deducir de los párrafos antes descritos, la microeconomía es la parte de la
economía que nos permitirá adecuar parámetros, para realizar adecuadas tomas de
decisiones dentro del desarrollo de la actividad minera en sus diferentes clasificaciones,
de este modo estaremos maximizando la rentabilidad de la empresa, mediante la
minimización de costos y por ente la optimización de los recursos humanos y físicos
utilizados en los procesos minero metalúrgicos. Las consideraciones de la
microeconomía, se hacen aplicativos en las diferentes etapas de los proyectos mineros;
esto es que, en el anteproyecto minero, se debe enfocar un uso racional de la inversión
que permita el descubrimiento del yacimiento mediante exploraciones sistemáticas
sucesivas, hasta obtener las reservas de mineral que rentabilicen el proyecto en sí.
Durante el proyecto minero, considerando la etapa de la infraestructura e
implementación, es decir la etapa pre – operativa, será necesario utilizar adecuadamente
las inversiones que permitan la puesta en marcha del proceso minero y/o metalúrgico.
Finalmente el la etapa operativa del proyecto se debe sustentar la optimización técnico
– económica del proceso.
1.5. Toma de Decisiones:
Peter Drucker, en sus textos de administración gerencial, ha establecido que la toma de
decisiones tiene cinco fases que son las siguientes:
 Definir el problema.
 Analizar el problema.
 Desarrollo de soluciones alternas.
 Decidir sobre la mejor solución.
 Convertir la decisión en una acción eficaz.
Estas fases de la toma de decisión se aplican a la toma de decisiones de evaluación
económica, así como a la toma de decisiones empresariales en general. Definir problemas
de evaluación económicos claramente, es tan importante en el análisis económico como
cualquier otra situación que requiera una decisión. En cualquier situación que requiere
toma de decisiones es necesario hacer las preguntas convenientes antes de que uno pueda
esperar conseguir las respuestas que son necesarias. El análisis del problema o de las
preguntas es el paso siguiente en el procedimiento de toma de decisiones, para el análisis
económico así como decisiones empresariales en general. Esto conduce a la tercera fase
de la toma de decisiones, respecto a si las aproximaciones alternativas o las inversiones
no pudieran ser mejores. El análisis de estas inversiones alternativas entonces nos deja
en una posición para decidir sobre la mejor opción económica y para tomar la decisión
de poner la mejor opción en ejecución.
Estas consideraciones de toma de decisiones, se puede efectivizar haciendo uso de la
“Ingeniería Económica” y la “Evaluación Económica”, las consideraciones al respecto lo
analizamos en el siguiente párrafo.
13

1.6. “Ingeniería Económica” y “Evaluación Económica”.
La ingeniería y la tecnológica científica, de un modo u otro proporcionan la base para las
mejores oportunidades de inversión en mundo actual. Incluso la posibilidad económica de
inversiones en terrenos se relaciona a menudo con la tecnología de la ingeniería que
puede hacer la tierra más valiosos varios años después, con departamentos, un parque o la
utilización de una planta industrial. En una sociedad capitalista es imprescindible que las
propuestas de ingeniería tanto como otros tipos de propuestas de inversión sean evaluadas
en términos de valor monetario y costos antes que ellos sean emprendidos. Incluso en
actividades públicas, los beneficios deben ser mayores que los costos antes que los gastos
sean normalmente aprobados. Así, el término “ingeniería económico” que se utiliza
ampliamente en la literatura y los textos se aplican en general a la “evaluación
económico” de todos los tipos de situaciones de inversión. Los términos “evaluación
económica” e “ingeniería economía” son considerados para tener el mismo significado en
este tratado. Una persona no necesita ser un ingeniero para ser proficiente en la aplicación
de los principios de la ingeniería económica (o evaluación económica) para evaluar
alternativas de inversión. El prerrequisito de las empresas exitosas de ingeniería es la
factibilidad económica. Este prerrequisito aplicado a las situaciones de inversión de
ingeniería y de no-ingeniería, tanto como los términos “evaluación económica” o
“ingeniería económica” tienen el significado e importancia válidos, no sólo para los
ingenieros, sino también para los banqueros, los contadores, los administradores de
negocios y otro personal en una amplia variedad de descripciones de trabajo donde ellos
están involucrados en la evaluación económica de las alternativas de la inversión.
1.7. Análisis general de inversiones:
La actividad minera en sus diferentes etapas de proyecto, establece tres criterios generales
de inversión, los cuales deben ser adecuadamente analizados y sustentados, para realizar
una adecuada toma de decisiones.
Para toda consideración empresarial, deben considerarse los siguientes análisis de
inversión:
 Análisis Económico.
 Análisis Financiero.
 Análisis Intangible.
El análisis económico implica la evaluación de los méritos relativos de situaciones de
inversión desde un punto de vista de la utilidad y del costo (o económicos). El análisis
financiero establece de donde se obtendrán los fondos de inversión para las inversiones
propuestas. Algunas métodos alternativos de financiar inversiones incluyen el uso de
fondos personales o corporativos, solicitando prestamos bancarios, teniendo un
ofrecimiento de deuda financiado corporativo de enlaces o de obligaciones, o ir al público
con un nuevo ofrecimiento de la acción ordinaria. El análisis intangible implica la
consideración de factores que afectan las inversiones pero que no puede ser cuantificado
fácilmente en términos económicos. Los factores intangibles típicos son consideraciones
legales, opinión o voluntad pública, factores ecológicos y ambientales, condiciones
inciertas de la ley reguladora o de impuesto, y muchas otras.
14

Muchas veces una alternativa que parece ser económicamente la mejor puede ser
rechazada por razones financieras o intangibles. Por ejemplo, los proyectos atractivos
pueden ser rechazados por razones financieras, si los fondos internos no están
disponibles para financiarlos y los financiamientos externos no pueden ser obtenidos con
radios de interés atractivos. Los factores intangibles que pueden causar el rechazo de
proyectos económicamente atractivos son innumerables, pero los más altos en la lista de
importancia son la opinión pública potencial y los problemas legales de la posible
contaminación del aire, de la tierra o del agua. La importancia del análisis de los factores
financieros e intangibles en relación con los factores económicos nunca debe ser
subestimando en la toma de decisión de la gerencia de inversiones. Ellos a menudo son
tan importantes o más importantes que las consideraciones económicas.
Hay una tendencia en la literatura y la práctica de intercambiar el uso de los términos
“análisis económico” y “análisis financiero”. Esto conduce a menudo a la confusión y
al uso incorrecto de los métodos de la decisión de la inversión. Es importante reconocer
eso, según lo utilizado en este tratado, el “análisis económico” se relaciona con lo
beneficioso de un proyecto propuesto y el “análisis financiero” se relaciona con cómo el
proyecto será financiado. En esta publicación nos referiremos sobre todo, al desarrollo y
la ilustración de las técnicas económicas del análisis.
1.8. Uso Industrial de los minerales:
En el Cuadro Nº 1 - 003, se presenta en forma muy sintetizada la utilización de los
minerales en forma genérica, los mismos que están en relación con las demandas
efectivizadas por los sectores que los utilizan.
USO INDUSTRIAL DE LOS MINERALES
PRODUCTOS MINEROS SECTOR DE USO
 Fierro y metales ferrosos (manganeso,
molibdeno, vanadio, wolframio, telurio,
etc.)
 Aluminio, cobre, zinc.
 Plomo, antimonio, cadmio, tungsteno,
indio.
Productos industriales.
 Bienes de inversión, maquinarias,
equipos, y en la construcción.
 Bienes de consumo durables.
 Estaño
 Plata
 Bismuto
 Selenio
Industrias en general o sectores no
productores de bienes y servicios.
 Roca fosfórica.
 Arsénico.
Sector agrario.
 Oro
 Plata
Sector Financiero
15

Los fines de uso de los minerales permiten realizar la siguiente clasificación:
a) Metálicos:
 De utilidad general: fierro, cobre, plomo, níquel y mercurio.
 Metales ligeros, imprescindibles en la era espacial: aluminio, magnesio,
titanio., etc.
 Metales preciosos: oro, plata, platino, etc.
 Metales ferrosos de uso industrial: cromo, manganeso, molibdeno,
tungsteno, vanadio, berilio, etc.
b) No metálicos:
 Azufre y pirita: fuentes de ácido sulfúrico.
 Nitratos, fosfatos y potasa: para fertilizantes y otros usos.
 Fluospar, dolomita, magnesita, criolita: en procesos metalúrgicos.
 Cal, tiza: diversos usos.
 Caolín, arcilla: diversos usos
 Asbesto, mica, grafito y otros: usos especiales.
c) Combustibles:
 Carbón de piedra: dependiendo de la calidad tiene diversidad de usos.
 Petróleo.
 Gas natural.
16

CAPITULO II
MATEMATICA FINANCIERA
2.1. Definición.
Es una rama de la matemática aplicada que estudia el valor cronológico del dinero, es
decir el valor que toma el dinero con respecto al tiempo, al combinar elementos
fundamentales que lo condicionan como son: capital, tasa de interés y el tiempo, para
conseguir un rendimiento o interés económico, al brindarle herramientas y métodos que
permitan tomar la decisión más correcta al momento de realizar una inversión.
2.2. Relaciones de las Matemáticas Financieras con otras Disciplinas:
Según Tovar Jiménez, José y Carlos Ortiz, Mairena, establecen que es fundamental una
adecuada toma de decisiones en muchas disciplinas del que hacer humano, para este fin se
recurre a las matemáticas aplicadas, que permitirá lograr resultados adecuados y
coherentes para el logro de los fines que se persiguen. A continuación detallamos algunas
de las disciplinas fundamentales donde interviene la matemática financiera.
2.2.1. Contabilidad: Es el proceso mediante el cual se identifica, mide, registra y
comunica la información económica de una organización o empresa, con el fin de
que las personas interesadas puedan evaluar la situación de la entidad.
Relación: Suministra en momentos precisos o determinados, información
razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente
privado o publico, que permitirá tomar la decisión mas acertada al momento de
realizar inversiones.
2.2.2. Derecho: Es el conjunto de leyes, preceptos y reglas, a los que están sometidos
los hombres que viven en toda sociedad civil. El derecho posee diferentes ramas
por lo que se relaciona de diversas maneras con las matemáticas financieras.
 Derecho Mercantil: es el conjunto de leyes relativas al comercio y a las
transacciones realizadas en los negocios.
Relación: En sus leyes se encuentran artículos que regulan las ventas, los
instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros,
corretaje, garantías y embarque de mercancías; que representan instrumentos
esenciales en las finanzas.
 Derecho Civil: es el conjunto de normas e instituciones destinadas a la
protección y defensa de la persona y de los fines que son propios de ésta.
Relación: Regula la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden
adquirir, los contratos de compra y venta, disposiciones sobre hipotecas,
prestamos a interés; que representa el campo de estudio de las matemáticas
17

financieras, es decir, todas las transacciones económicas que estudia esta
disciplinas.
2.2.3. Economía: Es una ciencia social que estudia los procesos de producción,
distribución, comercialización y consumo de bienes y servicios; es decir, estudia
la riqueza para satisfacer necesidades humanas.
Relación: esta disciplina brinda la posibilidad de determinar los mercados en los
cuales, un negocio o empresa, podría obtener mayores beneficios económicos.
2.2.4. Ciencia Política: es una disciplina que predispone el estudio sistemático del
gobierno en su sentido más amplio. Abarca el origen de los regímenes políticos,
sus estructuras, funciones e instituciones, las formas en que los gobiernos
identifican y resuelven problemas socioeconómicos y las interacciones entre
grupos e individuos importantes en el establecimiento, mantenimiento y cambio
de los gobiernos.
Relación: Las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos que
tengan que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en manos
de los gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma
de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajustes económicos y
negociaciones que beneficien a toda la población.
2.2.5. Ingeniería: Es él termino que se aplica a la profesión en la que el conocimiento
de las matemáticas y la física; alcanzado con estudio, experiencia y practica, se
aplica a la utilización eficaz de los materiales y las fuerzas de la naturaleza.
Relación: Esta disciplina controla costos de producción en el proceso fabril, en el
cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de
los equipos industriales de producción.
2.2.6. Informática: Es el campo de la ingeniería y de la física aplicada, relativo al
diseño y aplicación de dispositivos, por lo general circuitos electrónicos, cuyo
funcionamiento depende del flujo de electrones para la generación, transmisión,
recepción y almacenamiento de información.
Relación: Esta disciplina ayuda a ahorrar tiempo y a optimizar procedimientos
manuales que estén relacionados con movimientos económicos, inversiones y
negociaciones.
2.2.7. Finanzas: Es el termino aplicado a la compra-venta de instrumentos legales cuyos
propietarios tienen ciertos derechos para percibir, en el futuro, una determinada
cantidad monetaria.
Relación: Esta disciplina trabaja con activos financieros o títulos valores e
incluyen bonos, acciones y prestamos otorgados por instituciones financieras, que
forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras.
18

2.2.8. Sociología: Es la ciencia que estudia el desarrollo, la estructura y la función de la
sociedad. Esta analiza las formas en que las estructuras sociales, las instituciones
y los problemas de índole social influyen en la sociedad.
Relación: La sociedad posee empresas que necesitan el buen manejo o una buena
administración de los recursos tanto humano como material. La matemática
financiera trabaja con inversiones y le proporciona a la sociología las
herramientas necesarias para que esas empresas produzcan más y mejores
beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad.
2.3. Interés económico y financiero.
Según el glosario de términos de definición.org, se define la tasa de interés o sólo interés
como: “Es la valoración del costo que implica la posesión de dinero producto de un
crédito. Rédito que causa una operación, en cierto plazo, y que se expresa
porcentualmente respecto al capital que lo produce. Es el precio en porcentaje que se paga
por el uso de fondos prestables”.
Desde una interpretación semántica el término interés queda establecido según R. Nicolau
Casellas, como: “El vocablo “interés” proviene del latín “inter esse” que significa “estar
entre”. Tratamos de explicar la idea: si tenemos un capital inicial de 100 unidades
monetarias (um) y al cabo de un tiempo dado tenemos 120 um, lo que esta en medio entre
ambas cifras, es la diferencia (20 um) y corresponde precisamente a los intereses”.
Desde un punto de vista técnico, el interés es el costo del dinero y su cálculo, se
fundamenta en:
a) El capital inicial prestado o ahorrado, que financieramente se denomina valor
presente (P).
b) El periodo o fracción de tiempo (t).
c) La tasa de interés, que es un porcentaje (i)
El costo del dinero puede establecerse por día, por semana, por mes, etc., siendo lo más
usual que el dinero se preste a una tasa de interés anual.
2.3.1. Regímenes de Intereses.
Bajo las consideraciones de efectivización entre los entes naturales o jurídicos que lo
aplican, los intereses se establecen bajo dos regímenes: interés simple e interés
compuesto.
a) Interés Simple.
En la modalidad de interés simple, el interés de cada periodo es calculado siempre en
función del capital o monto inicial:
De acuerdo a lo establecido el interés simple se puede formular del modo siguiente:
Interés Simple (I) = Capital Inicial (P) x Tasa de Interés (i) x Tiempo (t)
19

El monto final, o financieramente denominado valor futuro (F), se calcula mediante la
siguiente fórmula:
Ejemplo Nº 2 – 001:
Se pide un préstamo bancario de US $ 1,000.00, con una tasa de interés de 60 % nominal
anual, esto es 15 % trimestral. Calcular el interés simple que debe generarse durante un
año y los montos finales que se generarían trimestralmente.
El interés generado durante un año es de:
I = P x i x t = 1,000.00 x 0.60 x 1 = US $ 600.00
El monto final o valor futuro será de:
F = P (1 + it) = 1,000.00 (1 + 0.60 x 1) = US $ 1,600.00
Los montos trimestrales generados son:
TABLA Nº 2 – 004
MONTOS TRIMESTRALES CON INTERES SIMPLE
TRIMESTRE MONTOINICIAL INTERES MONTOFINAL
1 1,000.00 150.00 1,150.00
2 1,150.00 150.00 1,300.00
3 1,300.00 150.00 1,450.00
4 1,450.00 150.00 1,600.00
Como podemos apreciar en el cuadro expuesto, los intereses generados trimestralmente
son siempre los mismos.
b) Interés Compuesto.
En la actualidad, el uso del interés simple se ha restringido a algunas operaciones
comerciales, siendo el interés compuesto el de mayor utilización para actividades
económicas y financieras. El proceso de capitalización denominado interés compuesto,
establece el criterio del pago sobre el capital inicial y sobre el interés establecido. Por lo
general se calcula el interés compuesto sobre una tasa anual, la cual puede ser capitalizada
en forma continua, diaria, mensual, bimestral, trimestral o semestral.
Por lo establecido, el monto final o futuro de una capital invertido, ahorrado o prestado,
se calcula utilizando la siguiente fórmula matemática:
F = P + I = P (1 +it)
20

Donde:
F = Monto Final o Valor Futuro
P = Monto inicial o Valor Presente
i = Tasa de interes.
n = Número de períodos.
Se pide un préstamo bancario de US $ 1,000.00, con una tasa de interés compuesto anual
de 60 % nominal, esto es 15 % trimestral. Calcular el monto final que debe generarse
durante un año y los montos finales que se generarían trimestralmente.
Aplicando la fórmula general tendremos el siguiente resultado:
F = P (1 + i)n
= 1,000.00 (1 + 0.60)1
F = US $ 1,600.00
Bajo las consideraciones de la aplicación de un interés compuesto de 60/4 = 15 %
trimestral, los resultados que se obtienen se muestran el la Tabla N° 2 – 005:
TABLA Nº 2 – 005
MONTOS TRIMESTRALES CON INTERES COMPUESTO
TRIMESTRE MONTO INICIAL INTERES MONTO FINAL
1 1,000.00 150.00 1,150.00
2 1,150.00 172.50 1,322.50
3 1,322.50 198.38 1,520.88
4 1,520.88 228.13 1,749.01
En el Gráfico N° 2 – 006, observamos la diferencia que se predispone entre un monto
final generado por la aplicación de un interés simple y un interés compuesto, bajo las
consideraciones de un mismo monto inicial y una misma tasa de aplicación, lo cual estaría
produciendo que para periodos de tiempo mayores existiría un incremento del interés
compuesto que se obtiene.
F = P (1 + i)n
21

COMPARACION DE MONTOS FINALES GENERADO POR UN
INTERÉS SIMPLE Y UN INTERES COMPUESTO
2.3.2. Tipos de Tasa de Interés.
En el mercado financiero existe una gran variedad de tipo de intereses, que además
dependen de los efectos de su aplicación. En el presente tratado, nos referimos a los tipos
de tasa de interés de acuerdo a su aplicación en el mercado financiero en concordancia
con las entidades que solicitan los préstamos (prestatarios).
a) Tasa de Interés Nominal (in).
Es la tasa de interés básica que se nombra o declara en una operación financiera. Por lo
general el valor correspondiente a esta tasa lo determina el Banco Centra de cada país,
para transacciones bancarias y comerciales; pero también, se puede establecer por
contrata de los prestamistas y prestatarios. Esta tasa de interés por lo general se establece
para un periodo anual y es propio de cada unidad monetaria. Por ejemplo en el país el
Banco de la Nacional establece un promedio de 6 % anual para una cuenta de ahorros,
mientras que esta misma entidad establece un 18 % anual para préstamos.
b) Tasa de Interés Periódica (ip).
INTERES SIMPLE VS INTERES COMPUESTO
1,000.00
1,100.00
1,200.00
1,300.00
1,400.00
1,500.00
1,600.00
1,700.00
1,800.00
1 2 3 4
PERIODO DE TIEMPO
MONTO(US$)
Serie1 INTERES SIMPLE INTERES COMPUESTO
22

Esta tasa se determina para diferentes fracciones de tiempo, generalmente periodos
menores a un año, el cual es directamente proporcional al tiempo establecido. Por
ejemplo, si la tasa de interés nominal anual es de 60 % su tasa de Interés periódica
mensual, será de: 60/12 = 5 %.
Por lo tanto podemos establecer que:
100x
m
i
i n
p =
Donde:
ip = Tasa de interés periódica, correspondiente al periodo del año.
in = Tasa de interés nominal anual dividida entre 100.
m = Número de periodos al año.
c) Tasa de Interés Efectiva (ief).
Es la tasa que utilizan las entidades bancarias y financieras, para la concretización de
pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier tipo de gastos que la operación
implique. Esta tasa de interés es la variación que sufre el interés periódico por la
aplicación de un interés compuesto a los periodos de tiempo que se establecen durante un
año, de aquí que su fórmula matemática, sea la siguiente:
100]1)1[( x
m
i
i mn
ef −+=
Donde:
Ief = Tasa de interés efectiva anual
in = Tasa de interés nominal anual dividida entre 100.
m = Número de veces al año que se acumulan intereses al capital (capitalización).
Ejemplo 2 – 003:
Determinar la tasa de Interés efectiva anual, de una tasa de interés nominal del 60 %,
capitalizable mensualmente.
Ief = [(1 + in/m)m
– 1) x 100] = [(1 + 0.60/12)12
– 1) x 100]
Ief = 79.59 %
d) Tasa de Interés Continua (ic).
23

Este tipo de tasa de interés se genera cuando, el número de periodos, m, por año, es
bastante grande. Por lo establecido deducimos que el radio de interés periódico, in/m, será
muy pequeño.
Aplicando geometría analítica de límites podemos deducir:
ic = limite [(1 + in/m)m
– 1]
m  ∞
ic = limite [{(1 + in/m)m/in
}in
– 1]
m  ∞
ic = limite [em/inln(1+in/m)
]in
– 1
m  ∞
ic = ein
- 1
Ejemplo 2 – 004:
¿Qué tasa de interés efectiva es equivalente a las siguientes consideraciones?
1. Una tasa de interés nominal de 8 % compuesto trimestralmente.
ief = [(1 + 0.08/4)4
–1] x 100 = 8.243 %
2. Una tasa de interés nominal de 8 % compuesto diariamente.
ief = [(1 + 0.08/365)365
–1] x 100 = 8.328 %
3. Una tasa de Interés nominal de 8 % compuesto continuo.
ic = (e0.08
– 1) x 100 = 8.329 %
e) Tasa de Interés Real (ir).
Una de las variables que influye sobre el poder adquisitivo del dinero con respecto al
tiempo, es la inflación, la Tasa de Interés Real establece esta variable (inflación) para
corregir los efectos causados sobre una tasa de interés efectiva, ya que esta última es la
que más se aplica en las transacciones financieras; la influencia de la inflación queda
determinada en la siguiente fórmula que determina la tasa de interés real:
Donde:
Ir = Tasa de Interés Real anual.
Ir = [(ief - ϕ )/(1 + ϕ )] x 100
24

ief = Tasa de Interés efectiva anual dividida entre 100.
ϕ = Tasa de Inflación anual dividida entre 100.
La inflación puede condicionarse de dos maneras:
Ex – post.- Es decir después de haberse producido el efecto inflacionario, el cual es
utilizado para encontrar el costo real de una operación financiera, una vez
efectuada la misma.
Ex – ante.- Antes de que suceda el efecto inflacionario, como efecto para tomar
decisiones, por lo cual la inflación será una variable estimada, con la
consiguiente incertidumbre de su cumplimiento.
Calcular la tasa de interés real, producida una inflación de 2.35 % en el año 2006, bajo las
consideraciones de una moneda nacional, considerando una tasa efectiva anual de 79.59
%:
Ir = [(ief - ϕ)/(1 + ϕ)] x 100 = [(0.7959 – 0.0235)/(1 + 0.0235)] x 100
Ir = 75.47 %
2.3.3. Determinación de la Tasa de Interés Nominal.
Como se manifestó anteriormente la tasa de interés nominal queda fijada anualmente por
el Banco de Crédito de cada país, al cual denominaremos tasa de interés bancario, el cual
sirve como base para determinar las tasas que podrían aplicarse a cada tiempo de empresa
económica o financiera, lográndose así establecer la denominada tasa mínima atractiva de
retorno y la tasa interna de retorno, esta última bajo consideraciones económicas es la
máxima tasa de interés que podría lograrse por efectos económicos financieros.
De un modo gráfico sencillo esto podría apreciarse del modo siguiente:
TASAS DE INTERES
RIESGO
TASAS DE INTERES
TASA MINIMA ATRACTIVA DE RETORNO (TMAR)
TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)
RIESGO
TASA DE INTERES BANCARIA O BASICA (TIB)
TASA MINIMA ATRACTIVA DE RETORNO (TMAR)
25

Del grafico inferimos que una TIB, produciría el mínimo interés que estará generándose
por la inversión de un capital determinado, tomándose como inversión en este caso un
ahorro establecido, si asumimos que en moneda extranjera (dólar), ahorramos US $
100.00 y la tasa de interés bancario es de 2 % anual, el interés generado anual sería de US
$ 2.00, que representaría la ganancia de una persona natural o jurídica.
Pero, bajo las circunstancias que esta misma persona natural o jurídica, desease invertir en
una actividad empresarial se debe establecer una TMAR, que por las consideraciones de
inversión están sujetas a riesgos de inversión, que inclusive podrían llegar a la pérdida del
capital invertido. Los riesgos de una actividad empresarial tienen características de
internas y externas; en el caso de consideraciones internas están los riesgos técnicos y
económicos; en cuanto a los externos se encuentran los efectos de políticas económicas y
sociales. Por ejemplo en el caso de la minería un riesgo técnico será la determinación de
las reservas de mineral y en el caso de política económica encontramos la variación del
precio de los metales en el mercado internacional, y como política social, encontramos
por ejemplo el cambio de un mandato presidencial.
La cuantificación de los riesgos es típica de la actividad empresarial la cual se establece,
por ejemplo en el caso de la minería el valor del riesgo estaría variando entre 50 % a 100
%. Esto estaría generando una TMAR entre 27 % a un 36 % anual.
2.4. Formulas de Interés Compuesto en Toma de Decisiones.
La toma de decisiones sobre acciones técnicas, económicas o financieras, conllevan al
éxito o fracaso de una actividad empresarial, siendo la elección económica y/o financiera
la de mayor preponderancia para determinar la(s) mejor(es) alternativa(s).
El flujo económico y/o financiero de una actividad empresarial sobre diferentes periodos
de tiempo; considerando el flujo como un efecto monetario de ingresos, egresos o
combinación de ambos; para una aplicación específica; esta relacionada a seis (06)
fórmulas básicas de interés compuesto, que a su vez se sustentan únicamente a cinco (05)
variables, que en el presente tratado se detallarán con la siguiente nomenclaturas:
P = Valor Presente, referido a un valor de ingresos o costos monetarios.
F = Valor futuro, referido a un valor de ingresos o costos monetarios.
A = Valor anual, de una serie de “n” valores anuales iguales, realizados al final de
cada periodo de interés, denominado también valor anual equivalente.
i = Tasa de interés efectiva por periodo (utilizaremos esta nomenclatura
por consideraciones de simplificación, ya que la nomenclatura del interés
efectivos es ief).
n = Número de periodos de interés.
Gráficamente, estas variables pueden ser visualizadas del modo siguiente:
26

VALOR CRONOLOGICO DEL DINERO
Cada problema de interés esta compuesto de cuatro (04) de estas variables, tres (03) de las
cuales son valores dados y el cuarto debe ser determinado.
Para facilitar la solución de problemas complejos, se recomienda utilizar la notación
denominada estándar, que describe de un modo particular las consideraciones de
configuración de las variables que intervienen en un problema específico. Por ejemplo:
La notación estándar (F/P,i,n), significa que la variable incógnita (es decir que debe ser
hallada) es F (valor futuro); conocidos: P (valor presente), i (tasa de interés efectiva) y n
(periodo anual de tiempo). La notación estándar (A/F,i,n); significaría, determinar “A”,
dados “F”, “i” y “n”.
Los seis (06) factores derivados para la solución de problemas de interés compuesto, son
las siguientes:
2.4.1. Factor de Pago Simple – Cantidad compuesta.
Mediante este factor se calcula el valor futuro simple, teniendo como dato el valor
presente simple.
Un análisis de la generación del interés y del monto final en los diferentes periodos de
tiempo, nos conduce a los siguientes resultados:
Primer Periodo:
Capital inicial  P
Interés  Pi
Capital Final  P (1 + i)
Segundo Periodo:
Capital Inicial  P (1 + i)
Interés  [P (1 + i)]i
Capital Final  P(1 + i)2
.
A A A A A
0 1 2 3 n-2 n-1 n
P F
VALORES ANUALES EQUIVALENTES
VALOR PRESENTE VALOR FUTURO
PERIODOS ANUALES DE TIEMPO
27

Tercer Periodo:
Capital Inicial  P(1 + i)2
.
Interés  [P(1 + i)2
]i
Capital Final  P(1 + i)3
.
Por analogía establecemos que en el periodo final (n), tendremos:
Capital Inicial  P(1 + i)n-1
.
Interés  [P(1 + i)n-1
]i
Capital Final  P(1 + i)n
.
Este último valor así determinado viene a representar al valor futuro, por lo tanto en
forma genérica tendremos:
n
iPF )1( +=
El factor (1 + i)n
, es el denominado Factor de Pago Simple – Cantidad Compuesta,
cuya denominación estándar es:
(1 + i)n
= (F/P, i, n)
Calcular el monto final, después de 7 años, de una inversión inicial de US $ 1,250.00 al 8
% efectivo compuesto anualmente.
F = 1,250.00 (1 + 0.08)7
F = US $ 2,142.28
2.4.2. Factor de Pago Simple – Cantidad Presente.
Mediante este factor se realiza la transformación de un valor futuro a un valor presente,
utilizando la siguiente fórmula:
28

]
)1(
1
[ n
i
FP
+
=
El factor 1/(1 + i)n
, es el denominado Factor de Pago Simple – Cantidad Compuesta,
el mismo que tiene la siguiente denominación estándar:
[1/(1 + i)n
] = (P/F, i, n)
Si se necesita un monto final US $ 6,500.00 al final del año 5, que cantidad debe
invertirse en la actualidad, con una tasa de interés efectiva de 7.5 % compuesto anual.
P = 6,500.00 [1/(1 + 0.075)5
]
P = US $ 4,527.63.
2.4.3. Factor de Series Uniformes - Cantidad Compuesta.
Este factor nos permite calcular el valor futuro, de una series de valores anuales
equivalente.
Analíticamente podemos establecer lo siguiente:
Para: n = 1  F = A
n = 2  F = A (1 + i) + A
n = 3  F = A (1 + i) (1 + i) + A (1 + i) + A
F = A (1 + i)2
+ A (1 +i) + A
De donde podemos establecer que para un periodo de tiempo “n”, tendremos la siguiente
relación:
F = A (1 + i)n-1
+ A (1 + i)n-2
+ ………….. + A (1 + i) + A
F = A [(1 + i)n-1
+ (1 + i)n-2
+ ………….. + (1 + i) + 1]
29

Si multiplicamos esta última ecuación por (1 + i), obtendremos:
F (1 + i) = A [(1 + i)n
+ (1 + i)n-1
+ ………….. + (1 + i)2
+ (1 + i)]
Sustrayendo estas dos últimas ecuaciones, tendremos:
Fi = A [(1 + i)n
– 1]
]
1)1(
[
i
i
AF
n
−+
=
La relación [(1 + i)n
– 1]/i, se denomina Factor de Series Uniformes - Cantidad
Compuesta, y tiene la siguiente notación estándar:
[(1 + i)n
– 1]/i = (F/A, i, n).
Ejemplo Nº 2 – 008.
Si se realizaron inversiones anuales de US $ 725.00, durante 12 años consecutivos, con un
interés efectivo compuesto anual de 9 %, determinar la cantidad total generada al final de
este periodo.
F = [725.00 (1 + 0.09)12 – 1]/0.09
F = US $ 14,602.02
2.4.4. Factor de Depósito de Fondo de Amortización.
Este factor nos permitirá determinar el valor anual equivalente de un valor futuro
establecido; la interrelación entre estas dos variables es la siguiente:
]
1)1(
[
−+
= n
i
i
FA
El factor i/[(1 + i)n – 1], es el denominado Factor de Depósito de Fondo de
Amortización, cuya notación estándar es:
i/[(1 + i)n – 1] = (A/F, i, n)
Si se considera una tasa de interés efectiva anual de 6 %, que cantidad debe depositarse al
final de cada año para redituar US $ 2,825.00 al final del año 7.
A = 2,825.00 x 0.06/ [(1 + 0.06)7
– 1]
A = US $ 336.56.
30

2.4.5. Factor de Series Uniformes – Valor Presente
Mediante este factor se realiza la transformación de valores anuales equivalentes a un
valor presente, el mismo que puede ser deducido del modo siguiente:
Si: F = A [(1 + i)n
– 1]/i
y F = P (1 + i)n
.
Luego:
P (1 + i)n
= A [(1 + i)n
– 1]/i
n
n
ixi
i
AP
)1(
1)1(
+
−+
=
El valor [(1 + i)n
– 1]/[i x (1 + i)n
], es el denominado Factor de Series Uniformes –
Valor Presente, y cuya denominación estándar es la siguiente:
[(1 + i)n
– 1]/[i x (1 + i)n
] = (P/A, i, n)
Una inversión producirá US $ 610.00, al final de cada año durante 15 años. Si la tasa de
interés efectiva compuesta anual es de 10 %. ¿Cuál es el valor presente de esta inversión?.
P = 610.00 [(1 + 0.10)15
– 1]/[0.10 x (1 + 0.10)15
]
P = US $ 4,639.71
2.4.6. Factor de Recuperación del Capital.
Mediante este factor se calcula el valor de las anualidades equivalentes, de un valor
presente, para lo cual se utiliza la siguiente fórmula de matemática financiera:
1)1(
)1(
−+
+
= n
n
i
ixi
PA
Donde [i(1 + i)n]/[(1 + i)n – 1], es el denominado Factor de Recuperación del Capital,
cuya formulación estándar es el siguiente:
[i(1 + i)n]/[(1 + i)n – 1] = (A/P, i, n)
Se ofertan US $ 3,500.00 para una inversión; determinar cuanto se conseguirá al final de
cada año en un periodo de 6 años para la justificación de esta inversión a una tasa de
interés efectiva anual de 12 %.
31

A = 3,500.00 {[0.12(1 + 0.12)6
]/[(1 + 0.12)6
– 1]}
A = US $ 851.29
En el Cuadro Nº 2 – 009, presentamos en forma resumida las fórmulas de los factores
antes descritos:
FORMULAS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
2.5. Aplicación General de la Matemática Financiera en Toma de Decisiones.
La aplicación de las fórmulas antes descritas, tienen la finalidad de tomar decisiones
técnico – financieras, ya que establecido el aspecto técnico de características generales o
específicas, se aplica el enfoque económico, permitiendo de este modo realizar la
selección de consideraciones análogas o mutuamente excluyentes.
Para la solución integral de problemas de matemáticas financieras, se debe recurrir a dos
etapas, lo cual permitirá el planteamiento y la solución adecuada del problema, las etapas
son las siguientes:
2.5.1. Primera Etapa.- Identificación de Variables:
Los problemas de matemáticas financieras, como quedó establecido, se base en cinco (05)
variables: Valor Presente, Valor Futuro, Valor Anual Equivalente, Tasa de Interés y
Periodo de duración. En esta primera etapa, se identifican las variables que condicionan
valores dados y se establece la variable que se desea determinar.
2.5.2. Segunda Etapa.- Elaboración del Diagrama o Flujo Económico:
NOMBRE, FORMULA: ESPECIFICA/ESTANDAR
1. Factor de Pago Simple - Cantidad compuesta P = Dado F=P(F/P,i,n)
(1 + i)
n
= F/P, i, n
0 n
2. Factor de Pago Simple - Cantidad Presente P=F(P/F,i,n) F = Dado
1/(1 + i)
n
= P/F, i, n
0 n
3. Factor de Series Uniformes-Cantidad Compuesta A = Dado F=A(F/A,i,n)
[(1 + i)
n
- 1]/i = F/A, i, n
0 1 n
4. Factor de Depósito de Fondos de Amortización A = F(A/F,i,n) F = Dado
i/[(1 + i)
n
- 1] = A/F, i, n
0 1 n
5. Factor de Series Uniformes - Valor Presente P=A(P/A,i,n) A = Dado A
[(1 + i)
n
- 1]/i(1 + i)
n
= P/A, i, n
0 1 n
6. Factor de Recuperación del Capital P=Dado A = P(A/P,i,n) A
i(1 + i)
n
/[(1 + i)
n
- 1] = A/P, i, n
0 1 n
REPRESENTACION GRAFICA
32

En problemas generales y específicamente en aquellos de difícil interpretación, es útil
visualizar el problema a través de un flujograma económico, a criterio del proyectista,
donde se interrelaciona el Efecto Económico frente al Periodo de Tiempo establecido.
Tal como se muestra en el Grafico Nº 2 - 010:
INTERRELACION EFECTO ECONOMICO VS. TIEMPO
P A A A A A F
0 1 2 3 n-1 n TIEMPO
Donde:
P = Valor Presente.
F = Valor Futuro
A = Valor Anual Equivalente
0, 1, 2, n-1, n = Período de tiempo
En el caso descrito de representación, los valores anuales equivalentes, así como el valor
presente y el valor futuro, se establecen como valores económicos positivos, la
representación de valores negativos estarían precedido por el signo menos (-).
Algunos autores prefieren hacer una representación de valores económicos mediante
flechas, los valores positivos tendrán las flechas hacia arriba, mientras que los negativos
lo harán con flechas hacia abajo, tal como se aprecia en el Gráfico Nº 2 – 011
REPRESENTACION SAGITAL DE UN FLUJO ECONOMICO
P F
A A A A
0 1 2 3 n-1 n TIEMPO
33

Para dar solución a problemas de matemáticas financieras, es necesario establecer
criterios de solución adecuados, ya que un mismo problema puede resolverse de varias
formas, pero al final del proceso deben arribarse a resultado similares.
Ejemplo 2 – 012:
Una inversión minera establece el siguiente criterio económico, para la oportunidad de
canalización de un determinado capital; el monto invertido genera US $ 1,000.00 durante
los tres (03) primeros años y US $ 600.00 para los dos (02) años siguientes. Si al final del
periodo de inversión no se tienen un valor de rescate y la tasa de interés para este tipo de
inversiones es de 12 % efectivo anual. Establecer el monto que debe tenerse para ejecutar
dicho proyecto.
Solución:
Como se puede apreciar, la aplicación directa de una de las fórmulas antes indicadas no
estaría solucionando el problema en mención, por lo cual es necesario recurrir a un
análisis de solución, en este caso el problema en discusión puede ser resuelto de tres
modos diferentes.
El planteamiento general del problema utilizando las etapas antes mencionadas, es el
siguiente:
Primera Etapa:
El análisis del problema, nos conduce a determinar que las variables con valores
conocidos son: Valor anual, Tasa de interés anual efectiva y el periodo de tiempo.
Mientras que el valor que se desea conocer es el valor presente, el mismo que debe ser
calculado de los valores anuales, que en este caso tienen datos numéricos que no son
equivalentes.
Segunda Etapa:
El flujograma económico se puede simular del modo siguiente:
P =?
A1 A2 A3 A4 A5
0 1 2 3 4 5 Tiempo (años)
Donde:
34

P = Valor presente, incógnita del problema
A1 = A2 = A3 = US $ 1,000.00.
A4 = A5 = US $ 600.00
Primera Alternativa de Solución:
En esta alternativa, se establece el criterio de solución, predisponiendo dos arreglos:
considerando dos flujos con los valores anuales equivalentes dados, en el segundo flujo se
calcula un valor presente hipotético en el periodo tres (03) y se realiza su posterior
conversión al momento actual.
P P
A1 A1 A1 A2 A2
+
0 1 2 3 t 0 1 2 3 4 5 t
P’
Donde:
A1 = US $ 1,000.00
A2 = US $ 600.00
P’ = Valor presente hipotético.
Planteamiento estandarizado del problema:
P = A1(P/A, i, n) + A2((P/A, i, n) x (P/F, i, n))
P = 1000(P/A, 12, 3) + 600((P/A, 12, 2) x (P/F, 12, 3)).
Planteamiento específico del problema:
P = 1000((1 + i)n
– 1)/i(1 + i)n
) + 600((1 + i)n
– 1)/i(1 + i)n
) x (1/(1 + i)n
)
P = 1000((1.12)3
– 1)/0.12(1.12)3
) + 600((1.12)2
– 1)/0.12(1.12)2
) x (1/(1.12)3
)
35

P = US $ 3,123.61
Segunda Alternativa de Solución:
Para la solución del problema, establecemos dos flujos, que tengan valores anuales
equivalente, tal que se puedan aplicar las fórmulas de un modo directos, como detallamos
a continuación:
P P
A1 A1 A1 A1 A1 A2 A2 A2
+
0 1 2 3 4 5 t 0 1 2 3 t
Donde:
A1 = US $ 600.00
A2 = US $ 400.00
P = A1(P/A, i, n) + A2(P/A, i, n)
P = 600(P/A, 12, 5) + 400(P/A, 12, 3)
Planteamiento especifico del problema:
P = A1((1 + i)n
– 1)/i(1 + i)n
) + A2((1 + i)n
– 1)/i(1 + i)n
)
P = 600((1.12)5
– 1)/0.12(1.12)5
) + 400((1.12)3
– 1)/0.12(1.12)3
)
P = US $ 3,123.60
Tercera Alternativa de Solución:
En esta alternativa, se consideran los valores de las anualidades en forma independiente,
establecidos como valores futuros para poder aplicar la fórmula del valor futuro para cada
uno de ellos. La simulación gráfica será del modo siguiente:
36

P
A1 A2 A3 A4 A5
0 1 2 3 4 5 t
Donde:
A1 = A2 = A3 = US $ 1,000.00
A4 = A5 = US $ 600.00
P = A1(P/F, i, n) + A2(P/F, i, n) + A3(P/F, i, n) + A4(P/F, i, n) + A5(P/F, i, n)
P = 1,000(P/F, 12, 1) + 1,000(P/F, 1000, 2) + …. + 600(P/F, 12, 4) + 600(P/F, 12, 5)
Planteamiento específico del problema:
P = A1/(1 + i)n
+ A2/(1 + i)n
+ A3/(1 + i)n
+ A4/(1 + i)n
+ A5/(1 + i)n
P = A1/(1.12)1
+ A2/(1.12)2
+ A3/(1.12)3
+ A4/(1.12)4
+ A5/(1.12)5
P = 1,000/(1.12)1
+ 1,000/(1.12)2
+ 1,000/(1.12)3
+ 600/(1.12)4
+ 600/(1.12)5
P = US $ 3,123.00
2.6. Series de Gradientes.
Los flujos económicos no permanecen constantes a lo largo de un periodo de tiempo,
dependiendo del tipo de empresa, se producen incrementos que pueden tener
consideraciones aritméticas o geométricas. Si bien es cierto que las soluciones pueden
tener características convencionales, existen algoritmos matemáticos para solucionar estos
problemas, sin la aplicación de muchas iteraciones.
2.6.1. Series de gradientes aritméticas.
El incremento o decremento de una cantidad fija periódica sucesiva, produce una serie de
gradiente aritmética, “G”. Bajo estas circunstancias el flujo económico anual tendrá dos
componentes:
37

a) Una cantidad constante, al cual denominaremos “A1”, similar al flujo económico
del primer periodo.
b) Una cantidad variable que se determina según la relación: (n – 1) x G.
Para solucionar este tipo de problemas, se transforman los valores variables de “G”, a un
valor constante, aplicando la siguiente fórmula:






−= ),,/(
1
2 niFA
i
n
i
GA
El factor de conversión de cantidades variables a una cantidad constante futura:
( )





− niFA
i
n
i
,,/
1
, es el denominado “factor de series aritméticas”, su designación
estándar es (A/G, i, n).
El cálculo de la cantidad anual se realiza utilizando la siguiente fórmula:
A = A1 + A2
A = A1 + G(A/G, i, n)
2.6.2. Series geométricas.
Una gradiente geométrica establece que el incremento o decremento de un flujo
económico, entre periodos sucesivos no es una cantidad constante, sino un porcentaje
constante.
Si representamos por “j” el porcentaje de cambios entre periodos contiguos, y si se tiene
un valor de flujo económico constante como “A” en cada periodo anual; el flujo
económico en cualquier periodo siguiente, “k”, es:
Ak = A(1 + j)k-1
.
El valor presente de una serie de gradientes geométricas, se calcula según la fórmula:
( ) ( )∑=
−
++=
n
K
kk
ijAP
1
1
11
( ) ( )
( )∑= +
+
+=
n
k
k
k
i
j
jAP
1 1
1
1
Bajo estas consideraciones, se pueden diversificar dos fórmulas, dependiendo de los
valores relativos que pueden tomar “i” y “j”.
Para i = j
38

( )i
nA
P
+
=
1
Para i ≠ j
( ) ( )
( ) 





−
++−
=
−
ji
ij
AP
nn
111
Ejemplo 2 – 013:
Los beneficios que genera una planta de fundición y refinación de cobre, son en la
actualidad US $ 1’400,000.00 anualmente, la tasa de interés efectiva anual que se
considera para este tipo de empresas es de 8 %, determinar el valor presente de tales
beneficios para los próximos 10 años, si:
a) Las ventas se incrementan a razón de US $ 150,000.00 al año.
b) Si las ventas se incrementan en 10 % anual.
Solución:
a) Variables establecidas para la serie de gradientes aritméticas
i = 8 %
n = 10 años.
G = US $ 150,000.00
A1 = US $ 1’400,000.00
Formulación estándar para la transformación de la serie de gradiente en un valor anual
equivalente.
A2 = G(A/G, i, n)  A2 = 150,000(A/G, 8 %, 10).
Fórmula especifica para la determinación del valor anual equivalente de la serie de
gradientes:
( ) 















−+
−=
11
1
2 n
i
i
i
n
i
GA
( ) 















−+
−=
108.01
08.0
08.0
10
08.0
1
000,150 102A
A2 = US $ 580,697.09
39

A = A1 + A2
A = 1’400,000.00 + 580,697.09
A = US $ 1’980,697.09
El Valor presente se determina considerando:
La formulación estandarizada:
P = A (P/A, i, n)  P = 1’980,697.09 (P/A, 8%, 10)
La formulación específica aplicada es:
( )
( )n
n
ii
i
AP
+
−+
=
1
11
( )
( )10
10
08.108.0
108.1
09.697,980'1
−
=P
P = US 13’290,638.70
b) Variables establecidas para la serie de gradientes geométricas:
i = 8 %
j = 10 %
n = 10 años
A1 = 1’400,000.00
Aplicando la fórmula específica, cuando i ≠ j, tendremos:
( ) ( )
( ) 





−
++−
=
−
ji
ij
AP
nn
111
( ) ( )






−
−
=
−
10.008.0
08.110.11
000,400'1
1010
P
P = US $ 14’098,323.20
2.7. Efectos económicos de proyectos frente al radio de retorno (ROR).
El radio de retorno de la inversión, es una tasa de interés que se determina con la finalidad
de conocer el porcentaje de utilidad generado al realizar una inversión, este valor debe
calcularse frente a los beneficios brutos y los costos de producción establecidos en un
40

proceso productivo o bajo la generación de un servicio. Para la toma de una decisión
adecuada los valores obtenidos de un análisis matemático financiero, que calculan este
valor, se comparan con tasas de interés estándares propios de cada actividad empresarial,
definitivamente valores mayores a las tasas estándares serán los adecuados para iniciar o
dar continuidad al proceso.
Ejemplo 2 – 014:
Se realiza una inversión de US $ 10,000.00 que serán amortizados en 5 años, con pagos
mensuales de US $ 2,630.00. Determinar el radio de retorno (ROR) de esta inversión.
Solución:
Para la solución de este tipo de problemas, se hace una comparación del valor presente
invertido, que como se deduce será un valor negativo, así mismo este valor se compara
con las amortizaciones anuales que como son pagos también establecen valores negativos,
por lo cual se pueden trabajar como si fuesen valores positivos.
Aplicamos la fórmula estándar del valor presente frente a las anualidades establecidas.
P = A(P/A, i, n)
10,000 = 2,638 (P/A, i, 5).
Como se puede apreciar en esta última formulación, el valor desconocido es la tas de
interés “i”, aplicando la fórmula específica, tendremos:
( )
( )






+
−+
= 5
5
1
11
638,2000,10
ii
i
Para solucionar este tipo de problemas, consignamos el método de pruebas y errores, esto
es se asimilan valores que supuestamente podrías estar cercanos a la solución final y por
último aplicando una interpolación, se consigue el resultado deseado.
a) Asimilación de valor cercanos al resultado de P = US $ 10,000.00, esto es:
Para i = 8 %:
( )
( )






+
−+
= 5
5
08.0108.0
108.01
638,2000,10
10,000 = 10,523.77
Como se puede apreciar, este valor es ligeramente mayor al resultado deseado, como “P”
e “i”, son inversamente proporcionales, realizaremos la tentativa de aproximación con un
valor de “i” mayor a 8.
Para i = 11%
41

( )
( )






+
−+
= 5
5
11.0111.0
111.01
638,2000,10
10,000 = 9,749.78
b) Interpolación de resultados:
8 %  10,532.76
ROR %  10,000.00
11 %  9,749.78
Realizando una resta entre el último valor y el primer valor y entre el último valor y el
segundo valor, tendremos:
3 %  - 782.98
(11 – ROR) %  - 250.22
Estableciendo el criterio de igualdad del producto de extremos por extremos, tendremos:
(11 – ROR) x (- 782.98) = 3 x (-250.22)
Calculando el ROR:
ROR = 10.04 %
2.8. Aplicación de la Matemática Financiera a la Minería.
2.8.1. En proyectos de inversión minero metalúrgicos.
Bajo estas consideraciones, se determina el valor de la variable que permitirá tomar una
decisión adecuada, esto a criterio del proyectista.
Aplicación 2 – 015:
Una empresa minera ha determinado que su radio de retorno sobre la inversión es de 10
% efectivo anual. Bajo esta consideración ha establecido que su flujo económico de
procesamiento para dar inicio a la actividad minera – metalúrgica de su yacimiento es el
siguiente:
Debe realizar una inversión inicial de US $ 200,000.00, los cuales deben generar ingresos
netos anuales de US $ 20,000.00, durante los 10 años de vida útil del yacimiento mineral,
al final de este periodo las instalaciones y equipamiento de mina y planta, establecen un
valor de rescate de US $ 250,000.00.
Solución:
42

Cualquiera de las tres variables que establecen valores económico, esto es: valor presente,
valor futuro o valor anual equivalente podrían predisponer la solución al problema dado,
pero no serían suficiente para una toma de decisión adecuada.
a) Considerando el valor presente para dar solución al problema:
Con el planteamiento estandarizado del problema, tendremos:
P = -II + IN(P/A, i, n) + F(P/F, i, n).
Donde:
P = Valor presente
II = Inversión inicial
IN = Ingresos netos
F = Valor futuro
P = -200,000.00 + 20,000(P/A, 10, 10) + 250,000(P/F, 10, 10)
El planteamiento específico será:
P = -200,000 +
( )
( )






+
−+
n
n
RORROR
ROR
1
11
000,20 +
( )n
ROR+1
000,250
P = -200,000 +
( )
( )






+
−+
10
10
10.0110.0
110.01
000,20 +
( )10
10.01
000,250
+
P = US $ 19,277.16
El resultado del valor presente nos permite deducir, que bajo las consideraciones
expuestas en el periodo establecido de 10 años tendríamos una rentabilidad de US $ 19,
277.16, este valor positivo calculado no es un indicador suficiente para realizar una toma
adecuada de decisión de inversión.
b) Considerando el ROR para solucionar el problema.
El planteamiento estandarizado nos detalla:
II = IN(P/A, i, n) + F(P/F, i, n)
200,000.00 = 20,000(P/A, ROR, 10) + 250,000(P/F, ROR, 10)
El planteamiento específico será:
43

200,000 =
( )
( )






+
−+
n
n
RORROR
ROR
1
11
000,20 +
( )n
ROR+1
000,250
200,000 =
( )
( )






+
−+
10
10
1
11
000,20
RORROR
ROR
+
( )10
1
000,250
ROR+
Aplicando el método de interpolación, tendremos:
Para 12 %  193,497.77
Para ROR %  200,000.00
Para 10 %  219,277.16
Realizando una sustracción entre el primer valor y el último valor, y entre el segundo
valor y el último valor, obtenemos:
2 %  - 25,779.39
(ROR – 10) %  - 19,277.16
Luego:
ROR = 11.50 %
Como podemos observar este valor de ROR así obtenido, es ligeramente mayor al 10 %,
por lo tanto se acepta la inversión para este proyecto, como podemos observar el ROR,
nos permite realizar una toma de decisión más adecuada.
2.8.2. En la toma de decisiones de proyectos mutuamente excluyentes:
Bajo estas consideraciones, se analizan diferentes proyectos de inversión, que pueden ser
canalizados por personas naturales o jurídicas, de modo que se seleccione la mejor
alternativa de inversión.
Aplicación 2 – 016.
Una empresa minera desea realizar inversiones en tres diferentes proyectos minero
– metalúrgicos, los cuales tienen 6 años de vida útil y cuyo radio de retorno es de 10 %
anual efectivo. Las consideraciones económicas que se consignan son las siguientes:
44

PROYECTOS ALTERNATIVOS
PROYECTO
INVERSION
INICIAL (US $)
INGRESOS
BRUTOS
ANUALES (US $)
GASTOS
ANUALES (US
$)
VALOR DE
RESCATE (US
$)
1 100,000.00 60,000.00 20,000.00 40,000.00
2 150.000.00 90,000.00 35,000.00 50,000.00
3 200,000.00 110,000.00 50,000.00 70,000.00
Solución:
En este caso, se puede utilizar cualquiera de las variables de toma de decisiones, ya que el
mayor valor obtenido de entre los proyectos, será el que determine la mejor alternativa.
Utilizando el cálculo del valor presente, la formulación estandarizada genérica, es la
siguiente:
P = - II + IBA(P/A, i, n) – GA(P/A, i, n) + VR(P/F, i, n) ó
P = - II ± INA(P/A, i, n) + VR(P/F, i, n).
Donde:
P = Valor presente.
II = Inversión inicial.
IBA = Ingresos brutos anuales.
GA = Gastos anuales
VR = Valor de rescate
Proyecto 1:
Considerando la segunda formulación estandarizada tendremos:
P = -100,000 + 40,000(P/A, 10, 6) + 40,000(P/F, 10, 6).
La formulación específica, es la siguiente:
P = -100,000 +
( )
( )






+
−+
6
6
10.0110.0
110.01
000,40 +
( )6
10.01
000,40
+
P = US $ 96,789.40
45

Proyecto 2:
P = -150,000 +
( )
( )






+
−+
6
6
10.0110.0
110.01
000,55 +
( )6
10.01
000,50
+
P = US $ 117,763.00
Proyecto 3:
P = -200,000 +
( )
( )






+
−+
6
6
10.0110.0
110.01
000,60 +
( )6
10.01
000,70
+
P = US $ 100,828.80
La mejor alternativa es el proyecto 2, el cual debe ser seleccionado.
2.8.3. En la selección económica de equipos y maquinarias de mina y planta.
Esto nos permite tomar decisiones sobre la adquisición de dos o más tipos de equipos y
maquinas que se utilizarán en las operaciones de mina o de plantas de tratamiento de
minerales, también por analogía se usa para el reemplazamiento de equipos minero-
metalúrgicos.
Aplicación 2 - 017:
Una unidad operativa minera, esta considerando dos tipos diferentes de fajas
transportadoras, para el manipuleo del mineral desde el interior de la mina hasta la cancha
de gruesos.
La Faja Nº 1, tiene un costo inicial de de US $ 10,000.00, los costos de operación y
mantenimiento anuales es de US $ 3,000.00, mientras que su valor de rescate será de US
$ 6,000.00 al final de su vida útil consignada en 6 años.
La Faja N° 2, tiene un costo inicial de US $ 15,000.00, y sus costo de operación y
mantenimiento son del orden de US $ 2,000.00 al año, considerando un valor de rescate
de US $ 10,000.00 al final de 6 años de operación. Si el ROR para este tipo de
inversiones es de 15 % efectivo anual, establecer la mejor alternativa económica.
Solución:
Si aplicamos el algoritmo del valor presente y tratándose de costos tanto inicial, como de
operación y mantenimiento anual, que deben ser consignados con valores negativos, lo
asimilamos a valores positivos, mientras que el valor de rescate debe tener una valor
negativo; la decisión final se establecerá considerando el menor de los valores obtenidos,
por ser el menor costo; la formulación estándar para ambos casos, es la siguiente.
P = CI + COM(P/A, i , n) – VR(P/F, i, n).
46

Donde:
P = Costo presente del flujo económico
CI = Costo inicial del bien.
COM = Costo de operación y mantenimiento.
VR = Valor de rescate.
F = Valor futuro.
La solución especifica, es como sigue:
Faja Nº 1:
P = 10,000 +
( )
( )






+
−+
n
n
RORROR
ROR
1
11
000,3 -
( )n
ROR+1
000,5
P = 10,000 +
( )
( )






+
−+
6
6
15.0115.0
115.01
000,3 -
( )6
15.01
000,5
+
P = US $ 19,191.80
Faja Nº 2:
P = 15,000 +
( )
( )






+
−+
n
n
RORROR
ROR
1
11
000,2 -
( )n
ROR+1
000,10
P = 15,000 +
( )
( )






+
−+
6
6
15.0115.0
115.01
000,2 -
( )6
15.01
000,10
+
P = US $ 18,245.70
Si bien es cierto, que la diferencia entre los valores de las alternativas es de US
$ 946.10, pero la selección corresponde a la Faja Nº 2, por ser el de menor costo.
2.8.4. En la toma de decisiones que consideran diferentes horizontes de vida
útil.
En algunos aspectos del desarrollo minero, es necesario considerar diferentes horizontes
de vida para realizar selecciones de proceso, equipos, maquinarías, recursos físicos, etc.
La metodología más aplicada para dar solución a este tipo de problemas es el denominado
“reemplazamiento de igual categoría”, este método asume tiempos de horizontes de vida
iguales que para la alternativa de mayor duración, estableciendo para el tiempo hipotético
47

adicionado, consideraciones de flujos económicos repetitivos a los generados en el
horizonte de vida de menor duración.
Aplicación 2 – 018:
Una empresa minera que explotará un yacimiento metálico por el método a cielo abierto,
tiene dos alternativas para la adquisición de cargadores frontales de diferentes
capacidades, los mismos que establecen diferentes usos y periodos de operación.
Se considera la adquisición de un cargador frontal que tiene un costo inicial de US $
225,000.00 y su costo de operación y mantenimiento anual es de US $ 30,000.00, con un
valor de rescate de US $ 150,000.00 al final de los 6 años de vida útil, este equipo minero
ha sido considerado para el desbrozamiento del sobreencape que tendrá una duración de 3
años y 3 años adicionales de minado del tajo abierto.
El segundo cargador frontal de menor capacidad que el anterior, que únicamente será
utilizado para el desencape del material que sobreyace al yacimiento, tiene un costo
inicial de US $ 67,500.00, mientras que sus costos de operación y mantenimiento anual
son desorden de US $ 60,000.00 y sus valor de rescate en este periodote tiempo es de US
$ 37,500.00.
El ROR, para este tipo de inversiones es de 15 % efectivo anual.
Determinar la mejor alternativa de inversión.
Solución:
Estableciendo el flujograma económico de ambas alternativas, donde se visualiza un flujo
económico hipotético para la segunda alternativa, se consideran a los costos como valores
positivos y a los ingresos con valores negativos.
Primera Alternativa:
CI COM COM COM COM COM COM -L
0 1 2 3 4 5 6 t
Segunda Alternativa:
CI COM COM COM-L CI COM COM COM -L
0 1 2 3 3 4 5 6 t
Flujo económico hipotético
Donde:
CI = Costo inicial
COM = Costo de mantenimiento y operación
48

L = Valor de rescate
Solución:
Considerando el valor presente como la variable solución y aplicando las fórmulas
específicas, tendremos:
Primera alternativa:
P = 225,000 +
( )
( )





 −
6
6
15.115.0
115.1
000,30 -
( )6
15.1
000,150
P = US $ 273,685.30
Segunda Alternativa:
P = 67,500 +
( )
( )





 −
6
6
15.115.0
115.1
000,60 +
[ ]
( )3
15.1
500,37500,67 −
-
( )6
15.1
500,37
P = US $ 298,082.20
Como podemos observar, se selecciona la primera alternativa, por ser el de menor
costo.
49

CAPITULO III
VARIABLES ECONOMICAS ESTÁTICAS Y DINAMICAS EN LA MINERIA
3.1. Concepto y clasificación de costos en la actividad minera.
La actividad minera, como un efecto empresarial, establece gastos en las diferentes etapas
en la cual se desarrolla, esto es desde el descubrimiento del mineral en el cateo y/o
prospección hasta la etapa en que se comercializan los productos minerales obtenidos (ya
sea como concentrados o sea como productos terminados).
Al no existir una regla específica que determine la clasificación de costos. Una
clasificación general de los costos en minería, sería el siguiente:
a) Inversiones o Costos de Capital.
Los costos de capital o inversiones tienen tres componentes principales: el activo fijo o
capital fijo, el activo circulante o capital circulante, y activo intangible.
a.1. El activo fijo, son los fondos necesarios para la adquisición del conjunto de bienes
que poseerá una empresa, que tiene una vida útil dada, que se destina en forma directa o
indirecta a realizar la producción industrial, en el caso de un proyecto inicial minero, los
costos mas significativos son:
 Adquisición de terrenos.
 Desarrollo de preproducción.
 Estudios ambientales y permisos.
 Equipos mineros y/o metalúrgicos, instalaciones y servicios.
 Infraestructura (vías de comunicación, energía eléctrica, agua
industrial, etc.)
 Diseño e ingeniería.
 Construcción y montaje.
 Contingencias o imprevistos.
a.2. El activo circulante o capital circulante, representa el dinero necesario para
empezar la operación y asumir las obligaciones subsiguientes durante la puesta en marcha
del proyecto. Este monto esta constituido por: Dinero en caja y bancos, cuentas por
cobrar, cuentas por pagar e inventario.
a.3. El activo intangible, son los que determinan un valor por su adecuación, pero que no
pueden ser visualizados físicamente, entre estos tenemos:
 Patentes y marcas registradas de la empresa.
 Estudios y organizaciones en general.
 Capacitación al personal.
 Investigaciones realizadas.
 Derechos adquiridos por la empresa.
50

Para casos específicos de minería, los costos de capital que pueden ser establecidos,
serían tomando como base del CES (Cost Estimating System), desarrollado por la Mineral
Availability Field Office del US Bureau of Mines, que es el siguiente:
A. Evaluación del impacto ambiental.
B y C. Minería a cielo abierto y subterráneo
 Exploración.
 Desarrollo de preproducción.
 Equipos mineros.
 Transporte.
 Instalaciones y servicios mineros.
 Infraestructura.
 Restauración durante la construcción.
 Ingeniería y dirección de la construcción.
 Capital circulante.
D. Tratamiento de minerales.
 Conminución.
 Beneficio.
 Separación sólido líquido.
 Hidrometalurgía.
 Aplicaciones especiales.
 Transporte.
 Servicios generales.
 Infraestructura.
 Restauración.
 Ingeniería y dirección de construcción.
 Capital circulante.
E. Infraestructura General.
 Accesos.
 Servicios generales.
 Instalaciones de carga.
 Transporte.
 Tratamiento de aguas residuales.
b) Capital de trabajo.
Es el monto económico necesario para mantener en marcha el proceso productivo hasta su
posterior comercialización. Por lo cual es el capital requerido una vez finalizada la etapa
de anteproyecto, construcción y puesta en marcha del proyecto.
Este capital se destina a:
51

 Stock de materiales e insumos
 Gastos de comercialización
 Disponibilidad mínima en caja y bancos.
c) Costos de Operación.
Son los montos económicos necesarios para el desarrollo de las operaciones unitarias y
auxiliares en el proceso minero – metalúrgico.
Los rubros donde se deben detallar este tipo de costos son:
 Costos directos:
- Mano de obra.
- Maquinarías y equipos
- Materiales e insumos
 Costos indirectos:
- Mano de obra.
- Maquinarías y equipos
- Materiales e insumos
d) Costo de Producción:
Entendemos por Costos de producción, a la sumatoria de todos los gastos que ocasiona el
proceso productivo, hasta poner el producto comerciable en el puerto de embarque, FOB.
Estos costos incluyen la mano de obra, materiales e insumos y los pagos por servicios,
etc, no consideran los gastos administrativos, ni los costos financieros, ni los tributos que
deben ser pagados.
e) Gastos administrativos:
Montos económicos destinados para el mantenimiento continúo de la producción de la
empresa minera, a través del personal, equipos y materiales e insumos, de apoyo directo o
indirectos de la actividad minera.
Está constituido por:
• Planilla Pas
• Sueldos del personal de apoyo: legal y logístico
• Pagos por asesoramiento.
• Gastos en equipamiento
• Gastos de materiales.
f) Tributación en Minería
52

En la minería como en cualquier actividad empresarial esta sujeta a tributos propios del
Estado Peruano, en el caso específico de esta actividad los tributos a que esta sujeto son
los siguientes:
• Derecho de tenencia de la concesión.- en este caso se paga un dólar por hectárea por
año en concesiones por exploración para el caso de la pequeña minería y tres dólares
en el caso de la mediana y gran minería, monto absorbido por el MINEM.
• Derecho de vigencia de la propiedad minera.- Monto similar que el anterior, pero para
concesiones por explotación, pagados anualmente durante la vida útil del yacimiento
minero, absorbido por el MINEM.
• Impuesto a la renta de personas naturales (IRPN) y jurídicas (IRPJ), aplicado al monto
de ingresos netos generados por la actividad que desarrolla, en el caso de la minería es
del 50 %.
• Impuesto General a la Ventas (IGV), establecido por las transacciones comerciales de
compra y venta de productos, normativamente es de 19 %, del monto establecido.
• Impuesto Selectivo al Consumo (ISC), tiene un impuesto especifico para cada
producto
3.2. Método del análisis marginal.
El análisis del factor marginal nos permitirá establecer las siguientes variables técnico-
económicas empresariales:
a) Las ganancias o pérdidas de la empresa minera a diferentes niveles de producción.
b) La explotación económica del yacimiento para alcanzar el objetivo de
rentabilidad establecido por la empresa minera.
c) La sensibilidad de la rentabilidad o ganancia, bajo posibles fluctuaciones del
precio de los metales en el mercado internacional, los costos productivos de la
empresa, y volúmenes de producción y venta de los metales o minerales obtenidos.
Los detalles antes mencionados se sustentan en tres variables fundamentales: los ingresos
brutos económicos generados, los costos de producción, y los niveles de producción. Los
ingresos en el caso de la minería se encuentran establecidos por el tipo de mineral y el
precio de los metales predispuestos en el mercado internacional. En el caso de los costos
estos se sustentan en los costos variables y costos fijos.
3.2.2. Interrelación de las Variables Fundamentales.-
Gráficamente las variables fundamentales se pueden visualizar en el gráfico Nº 3 - 013.
Estas variables en el gráfico expuesto establecen efectos lineales, que muy pocas veces se
cumplen en la realidad, por lo que es necesario realizar ajustes al momento de establecer
criterios para un mayor grado de precisión de los parámetros de producción, costos y
rentabilidad.
53

FACTOR
ECONOMICO INGRESOS BRUTOS
COSTO TOTAL
COSTO VARIABLE
COSTO FIJO
PRODUCCION
La relación de las variables, se establece del modo siguiente:
CT = CV + CF
CV = CVU x T
I = PU x T
Donde:
CT = Costo Total
CV = Costo Variable
CF = Costo Fijo
CVU = Costo Variable Unitario
T = Cantidad Producida.
I = Ingresos Brutos Económicos
PU = Precio Unitario del mineral.
3.2.3. Análisis de la Producción Económica.-
Teniendo las variables antes mencionadas, la utilidad económica (UE) generada antes del
pago de los gastos financieros y de los impuestos, se establece según la fórmula:
UE = PU x T - (CF + CVU x T)
La rentabilidad (r) que se genera, se define como la utilidad económica sobre los costos
totales, produciéndose la siguiente fórmula matemática:
54

TxCVCF
TxCVCFTxP
r
U
UU
+
+−
=
)(
La producción económica que se debe obtener en forma teórica, se deduce de la fórmula
antes establecida, es decir:
PU x T - (CF + CVU x T) = r (CF + CVU x T)
= r x CF + r x CVU x T
PU x T - CVU x T - r x CVU x T = r x CF + CF
T[PU - CVU (1 + r)] = CF (1 + r)
)1(
)1(
rCVP
rCF
T
UU +−
+
= .................................... (1)
3.2.4. Análisis del Factor Marginal.-
El análisis marginal define a la Explotación Mínima (EM) del yacimientos, donde el
nivel de rentabilidad de la empresa minera es nula, r = 0, lo cual predispone que los
ingresos brutos generados equilibran exactamente a los costos totales.
Bajo este efecto, la fórmula (1), con una rentabilidad igual a cero, considera la producción
mínima del yacimiento minero, donde la fórmula matemática es la siguiente:
UU CVP
CF
EM
−
= ……………………… (2)
La producción EM, así calculada, representa la cantidad de mineral que debe
comercializarse, sin que se generen ni ganancias ni pérdidas, es decir que la utilidad neta
será igual a cero (0).
El Factor Económico Crítico (FEC), esto es, la cantidad monetaria que tiene la dualidad
de ser ingresos brutos y costos totales a la vez, se determinan mediante el siguiente
análisis matemático, multiplicamos la ecuación (2) por “PU”, se obtiene:
UU
U
U
CVP
CFxP
TxP
−
=
Luego, FEC, se determinará por la fórmula:
U
U
P
CV
CF
FEC
−
=
1 …………………….. (3)
Gráficamente, los parámetros antes manifestados se visualizarían del modo siguiente:
55

FACTOR
ECONOMICO INGRESOS
COSTO TOTAL
PUNTO DE COSTO VARIABLE
EQUILIBRIO
FEC
COSTO FIJO
EM PRODUCCION
3.2.5. Rentabilidad Máxima.
Establecidas las consideraciones económicas y técnicas de un proyecto, es necesario
determinar los límites máximos de rentabilidad que puede tener la empresa, bajo
consideraciones analíticas, esto reobtendría cunado las cantidades producidas y vendidas
sean infinitas, sin producirse cambios en las otras variables. Esto matemáticamente puede
establecerse del modo siguiente:
En la ecuación (1), se tendría:
Cuando T  ∞ [PU – VU(1 + r)]  0
La rentabilidad máxima (r*) se obtiene de la relación PU = VU(1 + r*).
Luego: PU = VU + VU r*.
1* −=
U
U
V
P
r …………………… (4)
Gráficamente, la función de rentabilidad de una empresa, se puede representar entre un
valor mínimo de “r”, esto es -100 %, es decir la pérdida total de los costos incurridos, y el
valor máximo “r*” y r = 0 en el punto de equilibrio.
56

3.3. Ley mínima explotable.
La ley mínima explotable, denominado en el idioma inglés “cut off grade”, mal traducido
como ley de corte, ya que traducción real debe ser ley mínima de corte, permitirá
determinar en el proceso de minado de la unidad productiva minera las siguientes
consideraciones:
a) La ley del mineral de mina, que propiciará que los ingresos netos que se generen
sean igual a cero (0), esto es que los ingresos brutos económicos sean iguales a los
costos de producción.
b) Determina que mineral, dentro del proceso de explotación, debe ser extraído bajo
consideraciones de rentabilidad económica; es decir establece el planeamiento de
minado de las labores mineras de explotación.
c) Permite determinar la rentabilidad óptima de la empresa, de un modo continuo.
d) La determinación correcta de la ley mínima explotable es de vital importancia
para definir la cantidad de reserva mineral que sustentará el proyecto minero a
ejecutarse en un determinado periodo de tiempo.
La ley mínima explotable debe ser calculada como mínimo anualmente y a lo largo del
horizonte de vida del proyecto minero, de allí que esta variable tiene un carácter
dinámico. Bajo consideraciones de una variación de las variables que lo condicionan,
tales como el precio de los metales y los costos de producción, su cálculo puede ser
realizado tantas veces como sea necesario durante un año, de modo que se consignen la
explotación rentable del yacimiento en operación, especialmente cuando se produce la
caída del precio de los metales en el mercado internacional.
EM
-1
0
r*
T
r
57

Determinación de la ley mínima explotable.
En toda operación minera, para un cierto valor de ley de mineral (Lm) le corresponde un
valor económico (Vm), como se puede indicar:
Si al valor del mineral le deducimos el Costo de Producción (Cp), se tiene el margen de
ganancia de la operación (Mg):
En un depósito mineralizado, se tiene la opción de trabajar leyes más altas que la ley
mínima explotable, de modo que el valor del mineral será superior al costo de producción,
es decir reportará ganancias:
Por lo contrario, si la ley de mineral disminuye debajo de la ley mínima explotable, habrá
pérdidas:
De esta manera se pasa de una posición de ganancias a otra de pérdidas, lo que significa
que en dicho tramo, en algún momento habrá un punto cero, sin ganancias ni pérdidas
económicas, es decir:
Vm = Cp
En este momento se predispone la ley mínima explotable (Lme).
Lm Vm
Lm Vm – Cp = Mg
Lm Vm
Vm > Cp = Ganancia
Lm Vm
Vm < CP = Pérdida
58

Si consideramos la siguiente relación:
Establecemos la fórmula de la ley mínima explotable.
Vm
Cp
xLmLme =
Otro modo de calcular la ley mínima explotable es aplicando la siguiente fórmula:
RxP
Cp
Lme
N
=
Donde:
Lme = Ley mínima explotable
Cp = Costo de producción.
PN = Precio neto pagable.
R = Recuperación metalúrgica del mineral.
Las fórmulas establecidas para el cálculo de la Lme, son aplicables en yacimientos
monometálicos. Para calcular la Lme en yacimientos polimetálicos, se aplican las mismas
Lm Vm
Vm > Cp = Ganacia
Lm Vm
Vm < CP = Pérdida
Lme Vm = Cp
Lm Vm
Lme Cp
59

fórmulas, pero con ciertas variaciones, en la Aplicación 3 – 023, se desarrolla un
problema para la determinación de la Lme en yacimientos polimetálicos.
Por otro lado, en yacimientos polimetálicos también se puede calcular la Lme,
considerando las equivalencias respectivas entre los minerales con valor económico, en la
Aplicación 3 – 024, se presenta un problema de este tipo.
3.4. Aplicaciones a la minería
Aplicación 3 – 019 (análisis marginal)
La Mina Pierina, tiene una explotación de 22,000 toneladas métricas secas por día
(TMSD), considera una explotación promedio mensual de 25 días, considerando el precio
actual del oro en US$ 1,000.00 la onza troy y teniendo que el costo fijo anual es de US$
125’345,000.00, mientras que su costo variable es de US$ 18.50/TMS, realizar el análisis
marginal de este proyecto aurífero, si tiene una recuperación metalúrgica inicial de 80 %,
mientras que su recuperación final es de 90 %, la promedio del mineral de mina es de 6
gr/TMS.
Solución:
1. Ley mínima pagable (LMP).
LMP = 6 gr/TMS x 0.80 x 0.90 = 4.32 gr/TMS.
2. Producción Anual Calculada.(PAC)
PAC = 22,000 x 25 x 12 = 6’600,000 TMSA
3. Contenido fino del mineral procesado (CFP)
CFP = 6`600,000 TMSA x 4.32 gr/TMS = 28’512,000 gr/año de oro fino
4. Ingresos económicos brutos generados por la producción anual
(PT)
6.00916'784,56$/000,512'28
/1.31
/00.000,1$
USañogrx
onztgr
onztUS
P ==
5. Rentabilidad (r).
)5.18000,600'6000,345'125(
)5.18000,600'6000,345'125(566,784'916
x
x
r
+
+−
=
r = 2.70 = 270 %
6. Precio unitario del mineral de mina.
60

TMS
US
PU
000,600'6
566,784'916$
=
PU = US$ 138.91/TMS
7. Explotación mínima del yacimiento.
50.1891.138
000,345'125
−
=EM
EM = 1’040,985 TMSA
EM = 3, 470 TMSD
8. Factor económico crítico.
91.138
50.18
1
000,345'125
−
=FEC
FEC = US$ 144’603,221.91/año
9. Rentabilidad máxima
1* −=
U
U
V
P
r
1
5.18
91.138
* −=r
r* = 6.51 = 651 %
Aplicación 3 – 020 (análisis marginal)
Una unidad minera, establecida como pequeña productora; determina que sus costos
totales para producir 1,000 TMSM (toneladas métricas secas por mes) de concentrado de
plomo es de US$ 5,000.00, mientras que los costos totales para producir 1,500 TMSM de
concentrado de plomo es de US$ 6,000.00. Asumiendo que los costos variables están en
relación directa con el rango de producción. Determinar lo siguiente:
a) El costo variable unitario.
b) El costo fijo.
c) El costo fijo unitario para la producción de las 1,000
TMSM de concentrado.
d) Si el precio del concentrado es de US$ 10.00/TMS,
determinar la explotación mínima (EM)
e) Bajo las mismas consideraciones que para el punto
anterior, calcular el factor económico crítico (FEC).
61

f) Si reproducen 200 TMSM de concentrado, determinar
la pérdida que se genera.
Solución:
Recurriendo a una solución gráfica, que nos permitirá consignar soluciones preliminares,
tendremos lo siguiente:
Metodología:
1. En el eje de las absisas de un sistema de
coordenadas cartesianas, establecemos la producción de concentrado de plomo a una
escala determinada a libre albedrío.
2. En el eje de las ordenadas se establece el
factor económico también a una escala a criterio del proyectista.
3. Se consignan puntos de interrelación
producción – factor económico, tales como A y B, del Grafico Nº 3 – 016, los cuales
se originan trazando líneas perpendiculares a los ejes de las absisas y ordenadas para
una determinada producción y factor económico; esto es, que para 1,000 TMS que
establece un costo de US$ 5,000.00, tendremos el punto “A”, mientras que para la
producción de 1,500 TMS y un costo de US$ 6,000.00, se tendrá el punto “B”.
6000
A
2000
4000
8000
10000
PUNTO DE
EQUILIBRIO
A
B
T(TMSM)
500 1000 1500 2000 2500
FE (US$)
INGRESOS BRUTOS
COSTO TOTAL
COSTO FIJO
COSTO VARIABLE
62

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