1. Módulo 8
Funciones de producción y
tecnología

2. Tecnologías
g
Una tecnología es un proceso por el cual
los insumos se convierten en producto
Ej.: trabajo, computadora, proyector,
electricidad, y software se combinan para
p
producir estas notas de clase

3. Tecnologías
g
Generalmente varias tecnologías
producirán el mismo producto – un
pizarrón y tiza pueden utilizarse en vez
de comp tadora y pro ector
computadora proyector
¿
¿Cuál es la “mejor” tecnología?
j g
¿Cómo se comparan las tecnologías?

4. Cestas de insumos
xi denota la cantidad utilizada de insumo
i; i e el nivel de insumo I
i.e.
Una cesta de insumo es un vector de
niveles de insumo; (x1, x2, … , xn)
Ej. (x1, x2, x3) = (6, 0, 9×3).
9 3).

5. Funciones de producción
p
y denota el nivel de producto
La tecnología de la función de producción
muestra la cantidad máxima de producto
posible de una cesta de insumo,
y = f ( x1 ,L, xn )

6. Funciones de producción
p
Un insumo, un producto
Nivel producto y = f(x) es la
función de
u có
y’ producción
y’ = f(x’) es el prod cto
’ f( ’) producto
máximo que se obtiene de
las distintas unidades de
insumos x
x’ x
Nivel insumo

7. Conjuntos tecnológicos
j g
Un plan de producción es una cesta de
insumo y un nivel de producto; (x1, … , xn, y)
Un plan de producción es posible si
y ≤ f ( x1 , L , xn )
El conjunto de todos los planes de producción
posibles es el conjunto tecnológico

8. Conjuntos tecnológicos
j g
Un insumo, un producto
Nivel producto y = f(x) es la
función de
producción
y’
y’ = f(x’) es el nivel máximo de
producto que se puede
obtener de x’ unidades de
insumo
y” y” = f(x’) es el nivel de
p
producto que es asequible
q q
con x’ unidades de insumo
x’ x
Nivel insumo

9. Conjuntos tecnológicos
j g
El conjunto tecnológico es
T = {( x1 ,L, xn , y ) | y ≤ f ( x1 ,L, xn )
x1 ≥ 0,K, xn ≥ 0}
}.

10. Conjuntos tecnológicos
j g
Un insumo, un producto
Nivel producto
y’
El conjunto
tecnológico
y”
x’ x
Nivel insumo

11. Conjuntos tecnológicos
j g
Un insumo, un producto
Nivel producto
Planes
técnicamente
y’ eficientes
El conjunto
Planes
Pl tecnológico
y”
técnicamente
ineficientes
i fi i t
x’ x
Nivel insumo

12. Tecnologías con múltiples insumos
g p
¿Cómo se ve una tecnología cuando hay
más de un insumo?
El caso de dos insumos: los niveles de
insumo son x1 y x2. El nivel del producto
es y
Supongamos que la función de
producción es
y = f (x1, x2 ) = 2x x .
1/ 3 1/ 3
1 2

13. Tecnologías con múltiples insumos
g p
E.g. el nivel máximo de producto posible
dada la cesta de insumos
(
(x1, x2) = ( , 8) es
(1, )
y = 2x x = 2×1 ×8 = 2×1×2 = 4.
1/ 3 1/ 3
1 2
1/ 3 1/ 3
Y el máximo nivel posible de producto
dada la cesta (x1,x2) = (8,8) es
y = 2x x = 2×8 ×8 = 2×2×2 =8.
1/ 3 1/ 3
1 2
1/ 3 1/ 3

14. Tecnologías con múltiples insumos
g p
Producto,
P d t y
x2
(8,8)
(8,1)
(8 1)
x1

15. Tecnologías con múltiples insumos
g p
La isocuanta y es el conjunto de todas las
cestas de insumo que resultan en una
cantidad dada de producción

16. Isocuantas con dos insumos variables
x2
y≡8
y≡4
x1

17. Isocuantas con dos insumos variables
Las isocuantas pueden graficarse
agregando un eje denominado nivel de
producto y mostrando cada isocuanta a la
altura
alt ra del ni el de prod cto de la
nivel producto
isocuanta

18. Isocuantas con dos insumos variables
Producto,
P d t y
y≡8
x2 y ≡ 4
x1

19. Isocuantas con dos insumos variables
Más isocuantas nos dice más acerca de la
tecnología

20. Isocuantas con dos insumos variables
x2
y≡8
y≡6
y≡4
y≡2
x1

21. Isocuantas con dos insumos variables
Producto,
P d t y
y≡8
y≡6
x2 y ≡ 4
y≡2
x1

22. Isocuantas con múltiples insumos
p
La colección completa de isocuantas es el
mapa de isocuantas
El mapa de isocuantas es equivalente a la
función de producción
u có p oducc ó
E.g.
y = f ( x1 , x2 ) = 2 x x
1/ 3 1/ 3
1 2

23. Isocuantas con múltiples insumos
p
x2
y
x1

24. Isocuantas con múltiples insumos
p
x2
y
x1

25. Isocuantas con múltiples insumos
p
x2
y
x1

26. Isocuantas con múltiples insumos
p
x2
y
x1

27. Isocuantas con múltiples insumos
p
x2
y
x1

28. Isocuantas con múltiples insumos
p
x2
y
x1

29. Isocuantas con múltiples insumos
p
y
x1

30. Isocuantas con múltiples insumos
p
y
x1

31. Isocuantas con múltiples insumos
p
y
x1

32. Isocuantas con múltiples insumos
p
y
x1

33. Isocuantas con múltiples insumos
p
y
x1

34. Isocuantas con múltiples insumos
p
y
x1

35. Isocuantas con múltiples insumos
p
y
x1

36. Isocuantas con múltiples insumos
p
y
x1

37. Isocuantas con múltiples insumos
p
y
x1

38. Isocuantas con múltiples insumos
p
y
x1

39. Tecnologías Cobb-Douglas
g g
Una función de producción Cobb-
Douglas tiene la forma
y = Ax x × L ×x .
a1 a2
1 2
an
n
E.g.
y=x x
1/ 3 1/ 3
1 2
con 1
n = 2, A = 1,a1 = ,
3
1
a2 = .
3

40. Tecnologías Cobb-Douglas
g g
x2
Todas las isocuantas son
hiperbólicas, asíntota a, pero
nunca t
tocando el eje
d l j
y=x x a1
1
a2
2
x1

41. Tecnologías Cobb-Douglas
g g
x2
Todas las isocuantas son
hiperbólicas, asíntota a, pero
nunca t
tocando el eje
d l j
y = x x1
a1 a2
2
x1a1 x 2 2 = y "
a
x1

42. Tecnologías Cobb-Douglas
g g
x2
Todas las isocuantas son
hiperbólicas, asíntota a, pero
nunca t
tocando el eje
d l j
y = x 1a1 x 2 2
a
a1
x x
1
a2
2 = y"
a1
x x
1
a2
2 = y'
x1

43. Tecnologías Cobb-Douglas
g g
x2
Todas las isocuantas son
hiperbólicas, asíntota a, pero
nunca t
tocando el eje
d l j
y = x1 x 2
a1 a 2
y"> y '
a1
x x
1
a2
2 = y"
a1
x x
1
a2
2 = y'
x1

44. Tecnologías de p p
g proporciones fijas
j
Una función de producción de
proporciones fijas tiene la forma
y = min{a1 x1, a2 x2 ,L, an xn }.
E.g.
g
y = min{x1,2 x2}
i {
con
n =2,a1 = 1,a2 = 2.

45. Tecnologías de p p
g proporciones fijas
j
x2 y = min{ x1 , 2 x 2 }
x1 = 2x2
7 min{x1,2x2} = 14
2x
4 min{x1,2x2} = 8
2 min{x1,2x2} = 4
2x
4 8 14 x1

46. Tecnologías de sustitutos p
g perfectos
Una producción con sustitutos perfectos
tiene la forma
y = a1x1 + a2 x2 +L+ an xn .
E.g.
y = x1 + 3 2
3x
con
n = 2,a1 = 1,a2 = 3.

47. Tecnologías de sustitutos p
g perfectos
x2 y = x1 + 3x2
x1 + 3x2 = 18
x1 + 3x2 = 36
x1 + 3x2 = 48
8
6
Todas son lineales y
3
paralelas
9 18 24 x1

48. Productos (físicos) marginales
( ) g
y = f ( x1 , L , x n )
El producto marginal del insumo I es la tasa de
cambio del nivel del producto a medida que el
nivel del insumo i cambia, manteniendo
constantes todos los demás niveles de insumo
Es decir,
∂y
MP i =
∂ xi

49. Productos (físicos) marginales
( ) g
E.g.
E g si
y = f ( x1, x2 ) = x x
1/ 3 2 / 3
1 2
entonces el producto marginal del insumo
1 es

50. Productos (físicos) marginales
( ) g
E.g.
E g si
y = f ( x1 , x 2 ) = x
1/ 3
1 x 2/3
2
entonces el producto marginal del insumo
1 es
∂ y 1 −2 / 3 2 / 3
MP1 = = x1 x 2
∂ x1 3

51. Productos (físicos) marginales
( ) g
E.g.
E g si
y = f ( x1 , x 2 ) = x1 / 3 x 2 / 3
1 2
entonces el producto marginal del insumo
1 es
∂ y 1 −2 / 3 2 / 3
MP1 = = x1 x 2
∂ x1 3
y el producto marginal del insumo 2 es
p g

52. Productos (físicos) marginales
( ) g
E.g.
E g si
y = f ( x1 , x2 ) = x x
1/ 3 2 / 3
1 2
entonces el producto maginal del insumo
1 es
∂ y 1 −2 / 3 2 / 3
MP1 = = x1 x2
∂ x1 3
y el producto marginal del insumo 2 es
∂ y 2 1 / 3 −1 / 3
MP2 = = x1 x2 .
∂ x2 3

53. Productos (físicos) marginales
( ) g
Generalmente el producto de un
insumo depende de la cantidad utilizada de
otros insumos E g si
insumos. E.g.
1 −2 / 3 2 / 3
MP1 = x1 x2 entonces, ,
3
1 −2 / 3 2 / 3 4 −2 / 3
si x2 = 8, MP1 = x1 8 = x1
3 3
y si x2 = 27 entonces
1 −2 / 3 2 / 3 −2 / 3
MP1 = x1 27 = 3 x1 .
3

54. Productos (físicos) marginales
( ) g
El producto marginal del insumo i es
decreciente si éste es más pequeño a
medida que el nivel de insumo i se
incrementa.
incrementa Es decir si
decir,
∂ MPi ∂  ∂ y  ∂ 2 y
= 
 ∂ x  = ∂ x 2 < 0.
∂ xi ∂ xi  i  i

55. Productos (físicos) marginales
( ) g
E.g. si y = x1 / 3 x 2 / 3
1 2
entonces
1 −2 /3 2 /3 2 1 / 3 −1 / 3
MP 1 = x1 x2 y MP 2 = x1 x 2
3 3

56. Productos (físicos) marginales
( ) g
E.g. si y = x 1/ 3
1 x 2/3
2
entonces
1 −2 / 3 2 / 3 2 1 / 3 −1 / 3
MP1 = x1 x 2 y MP 2 = x1 x 2
3 3
entonces
∂ MP1 2 −5 / 3 2 / 3
= − x1 x 2 < 0
∂ x1 9

57. Productos (físicos) marginales
( ) g
E.g. si y= x 1/ 3
1 x 2/3
2 entonces
1 −2 / 3 2 / 3 2 1 / 3 −1 / 3
MP1 = x1 x 2 y MP2 = x1 x 2
3 3
entonces
∂ MP1 2 −5 / 3 2 / 3
= − x1 x 2 < 0
∂ x1 9
y
∂ MP2 2 1/ 3 −4 / 3
= − x1 x 2 < 0 .
∂ x2 9

58. Productos (físicos) marginales
( ) g
E.g. si y=x x 1/ 3 2 / 3
1 2 entonces
1 −2 / 3 2 / 3 2 1 / 3 −1 / 3
MP1 = x1 x 2 y MP2 = x1 x 2
3 3
entonces
∂ MP1 2 −5 / 3 2 / 3
= − x1 x 2 < 0
∂ x1 9
y
∂ MP2 2 1/ 3 −4 / 3
= − x1 x 2 < 0 .
∂ x2 9
Ambos productos marginales son
p g
decrecientes

59. Retornos a escala
Los productos marginales describen el
cambio en el nivel de producto a medida
q
que el nivel de un único insumo cambia
Los retornos a escala describen cómo
cambia el ni el de prod cto a medida q e
nivel producto que
cambian todos los niveles de insumo en
proporción directa (e.g. se duplican todos
los niveles de insumos))

60. Retornos a escala
Si,
Si para cualquier cesta de insumos
(x1,…,xn),
f (kx1 , kx2 ,L, kxn ) = kf ( x1, x2 ,L, xn )
entonces la tecnología descrita por la
función de producción f exhibe retornos
constantes a escala
t t l
E.g. (k = 2) duplicando todos los niveles de
insumos se duplica el nivel de producto

61. Retornos a escala
Un insumo, un producto
Nivel producto
y = f( )
f(x)
2y’
Retornos
y
y’ constantes a
escala
x’ 2x’ x
Nivel insumo

62. Retornos a escala
Si,
Si para cualquier cesta de insumos
(x1,…,xn),
f ( kx1 , kx2 ,L , kxn ) < kf ( x1 , x2 ,L , xn )
entonces la tecnología exhibe retornos
decrecientes a escala
E.g.
E (k = 2) d li
duplicando todos l niveles de
d d los i l d
insumos hace que se incremente el nivel
del producto en menos del doble

63. Retornos a escala
Un insumo, un producto
Nivel producto
2f(x’) y = f(x)
f(2x’)
f(2 ’)
Retornos decrecientes
f(x )
f(x’) a escala
x’ 2x’ x
Nivel insumo

64. Retornos a escala
Si,
Si para cualquier cesta de insumos
(x1,…,xn),
f ( kx1 , kx 2 , L , kx n ) > kf ( x1 , x 2 , L , x n )
entonces la tecnología exhibe retornos
crecientes a escala
E.g. (k = 2) duplicando todos los niveles
de insumos incrementa el nivel del
producto en más del doble

65. Retornos a escala
Un insumo, un producto
Nivel producto
Retornos crecientes
y = f(x)
a escala
f(2x’)
f(2 ’)
2f(x’)
f(x )
f(x’)
x’ 2x’ x
Nivel insumo

66. Retornos a escala
Una única tecnología puede exhibir
‘localmente’ diferentes retornos
localmente
crecientes a escala

67. Retornos a escala
Un insumo, un producto
Nivel producto
Retornos y = f(x)
crecientes a escala
i t l
Retornos
decrecientes a escala
x
Nivel insumo

68. Ejemplos de retornos a escala
j p
La función de producción de sustitutos
p
perfectos es
y = a 1 x 1 + a 2 x 2 +L + a n x n .
Expandiendo todos los niveles de insumos
proporcionalmente por k. El nivel de
p
producto es
a 1 ( kx 1 ) + a 2 ( kx 2 ) +L + a n ( kx n )

69. Ejemplos de retornos a escala
j p
La función de producción de sustitutos
p
perfectos es
y = a 1 x1 + a 2 x 2 +L + a n x n .
Expandiendo todos los niveles de insumos
proporcionalmente por k. El nivel de
p
producto es
a 1 ( kx 1 ) + a 2 ( kx 2 ) + L + a n ( kx n )
= k ( a 1 x1 + a 2 x 2 +L + a n x n )

70. Ejemplos de retornos a escala
j p
La función de producción de sustitutos
perfectos es
y = a1 x1 + a 2 x 2 +L+ a n x n .
Expandiendo todos los niveles de insumos
proporcionalmente por k. El nivel de
producto es
a1( kx1 ) + a 2 ( kx 2 ) +L+ a n ( kx n )
= k ( a1 x1 + a 2 x 2 +L+ a n x n )
= ky .
La función de producción de sustitutos
perfectos exhibe retornos constantes a escala
f hib l

71. Ejemplos de retornos a escala
j p
La función de producción de complementos
p p
perfectos es
y = min{ a1 x1 , a 2 x 2 ,L, a n x n }
}.
Expandiendo todos los niveles de insumos
proporcionalmente por k. El nivel de
p
producto es
min{ a1( kx1 ), a 2 ( kx 2 ),L, a n ( kx n )}

72. Ejemplos de retornos a escala
j p
La función de producción de complementos
p p
perfectos es
y = min{ a1 x1 , a 2 x2 ,L, a n xn }
}.
Expandiendo todos los niveles de insumos
proporcionalmente por k. El nivel de
p
producto es
min{ a1( kx1 ), a 2 ( kx 2 ),L, a n ( kx n )}
= k (min{ a1 x1 , a 2 x2 ,L, a n xn })

73. Ejemplos de retornos a escala
j p
La función de producción de complementos
perfectos es
y = min{ a 1 x1 , a 2 x 2 ,L , a n x n }.
Expandiendo todos los niveles de insumos
proporcionalmente por k. Tenemos
min{ a 1 ( kx 1 ), a 2 ( kx 2 ),L , a n ( kx n )}
= k (min{ a 1 x1 , a 2 x 2 ,L , a n x n })
= ky .
La función de producción d complementos
L f ió d d ió de l t
perfectos exhibe retornos constantes
a escala

74. Ejemplos de retornos a escala
j p
La función de producción Cobb-Douglas es
p g
y = x x Lx .
a1 a2
1 2
an
n
Expandiendo t d l i
E di d todos los insumos
proporcionalmente por k. El nivel de
producto es
a1 a2 an
(kx1 ) (kx2 ) L(kxn )

75. Ejemplos de retornos a escala
j p
La función de producción Cobb-Douglas es
p g
y = x x Lx .
a1 a2
1 2
an
n
Expandiendo t d l i
E di d todos los insumos
proporcionalmente por k. El nivel de
producto es
a1 a2 an
( kx1 ) ( kx 2 ) L ( kx n )
= k a1 k a2 L k an x a1 x a2 L x an

76. Ejemplos de retornos a escala
j p
La función de producción Cobb-Douglas es
p g
y = x1 x2 Lxn .
a1 a2 an
Expandiendo t d l i
E di d todos los insumos
proporcionalmente por k. El nivel de
producto es
( kx 1 ) a1 ( kx 2 ) a 2 L ( kx n ) a n
= k a1 k a 2 L k a n x a1 x a 2 L x a n
= k a1 + a 2 + L + a n x1a1 x 2 2 L x n n
a a

77. Ejemplos de retornos a escala
j p
La función de producción Cobb-Douglas es
p g
y = x x Lx .
a1
1
a2
2
an
n
Expandiendo t d l i
E di d todos los insumos
proporcionalmente por k. El nivel de
producto es
( kx 1 ) a1 ( kx 2 ) a 2 L ( kx n ) a n
= k k a1 a2
Lk an a1
x x a2
Lx an
a1 + a 2 + L + a n
= k a1
x x
1
a2
2 Lx an
n
a1 + L + a n
= k y.

78. Ejemplos de retornos a escala
j p
La función de producción Cobb-Douglas es
p g
y = x x Lx .
a1 a2
1 2
an
n
a1 +L+an
(kx1 ) (kx2 ) L(kxn ) = k
a1 a2 an
y.
Los
L retornos a escala de la tecnología
l d l l í
Cobb-Douglas es
constante si a1+ … + an = 1

79. Ejemplos de retornos a escala
j p
La función de producción Cobb-Douglas es
p g
y = x1a1 x 2 2 L x n n .
a a
a1 +L + a n
( kx1 ) ( kx 2 ) L ( kx n ) = k
a1 a2 an
y.
Los
L retornos a escala de la tecnología
l d l l í
Cobb-Douglas es
constante si a1+ … + an = 1
creciente si a1+ … + an > 1

80. Ejemplos de retornos a escala
j p
La función de producción Cobb-Douglas es
p g
y = x1 x 2 L x n .
a a a1 2 n
( kx 1 ) a 1 ( kx 2 ) a 2 L ( kx n ) a n = k a 1 + L + a n y .
Los
L retornos a escala de la tecnología
l d l l í
Cobb-Douglas es
constante si a1+ … + an = 1
creciente si a1+ … + an > 1
decreciente si a1+ … + an < 1.

81. Retornos a escala
P: ¿Puede una tecnología exhibir
retornos crecientes a escala incluso si
todos sus productos marginales son
decrecientes?

82. Retornos a escala
P: ¿Puede una tecnología exhibir
retornos crecientes a escala incluso si
todos sus productos marginales son
decrecientes?
R: Sí
E.g.
y = x1 x2 .
2/ 3 2/ 3

83. Retornos a escala
y=x x2/ 3 2/ 3
1 2 =x x
a1 a2
1 2
4
a1 + a2 = > 1 esta tecnología exhibe
3
retornos crecientes a escala

84. Retornos a escala
y=x 2/3 2/3
1 x
2 =x x
a1 a2
1 2
4
a1 + a 2 = > 1 esta tecnología exhibe
3
retornos crecientes a escala
2 −1 / 3 2 / 3
Pero MP 1 = x1 x 2 disminuye a medida
3
que x1 se i
incrementa
t

85. Retornos a escala
y=x x =x x
2/ 3 2/ 3
1 2
a1 a2
1 2
4 esta tecnología exhibe
a1 + a 2 = > 1
3 retornos crecientes a escala
2 −1 / 3 2 / 3
Pero MP 1 = x1 x 2 disminuye a medida
3
que x1 se i
incrementa y
t
2 2 / 3 −1 / 3
MP 2 = x1 x 2 disminuye a medida
y
3
que x2 se incrementa

86. Retornos a escala
Por lo tanto, una tecnología puede
exhibir retornos crecientes a escala
incluso si todos sus productos marginales
son decrecientes ¿Por q é?
decrecientes. qué?

87. Retornos a escala
El PMg es la tasa de cambio del producto
a medida que se incrementa el nivel del
insumo en una unidad, manteniendo fij
i id d t i d fijos
todos los demás insumos
Los PMgs disminuyen porque los otros
insumos son fijos por lo que el
fijos,
incremento tiene cada vez menos de los
otros ins mos con los c ales trabajar
insumos cuales

88. Retornos a escala
Cuando todos los niveles de insumos se
incrementan proporcionalmente, no
necesariamente h una di i
i t hay disminución d
ió de
los productos marginales dado que cada
insumo siempre tendrá la misma
cantidad de los otros insumos con los
cuales trabajar. Las productividades de
los insumos no caerían y los retornos a
escala pueden ser constantes o crecientes

89. Tasa de sustitución técnica
¿A qué tasa una firma puede sustituir un
insumo por otro sin cambiar su nivel de
producto?

90. Tasa de sustitución técnica
x2
'
x2
y≡100
x 1' x1

91. Tasa de sustitución técnica
La pendiente es la tasa a la cual se
x2 debe renunciar el insumo 2 a medida
que se incrementa el nivel del
insumo 1 para no cambiar el nivel
del producto. La pendiente de una
'
x2 isocuanta es su tasa de sustitución
técnica
y≡100
x 1' x1

92. Tasa de sustitución técnica
¿Cómo se obtiene la tasa de sustitución
técnica?

93. Tasa de sustitución técnica
¿Cómo se obtiene la tasa de sustitución
técnica?
La función de producción es y = f ( x1, x2 ).
Un cambio pequeño (dx1, dx2) en la cesta
de insumos causa un cambio en el nivel de
producto igual a
∂y ∂y
dy = dx 1 + dx 2 .
∂ x1 ∂ x2

94. Tasa de sustitución técnica
∂y ∂y
dy = dx1 + dx2 .
∂ x1 ∂ x2
Pero d = 0 dado que no h cambios en
P dy d d hay bi
el nivel de producto, por lo que los
cambios dx1 y dx2 en los niveles de los
insumos deben satisfacer
∂y ∂y
0= dx 1 + dx 2 .
∂ x1 ∂ x2

95. Tasa de sustitución técnica
∂y ∂y
0= dx 1 + dx 2
∂ x1 ∂ x2
re-ordenando
∂y ∂y
dx 2 = − dx 1
∂ x2 ∂ x1
entonces
dx 2 ∂ y / ∂ x1
=− .
dx 1 ∂ y / ∂ x2

96. Tasa de sustitución técnica
dx 2 ∂ y / ∂ x1
=−
dx1 ∂ y / ∂ x2
es l t
la tasa a l cual d b renunciarse el
la l debe i l
insumo 2 a medida que el insumo 1
se incrementa para mantener el nivel del
p
producto constante. Es la pendiente de la
p
isocuanta

97. Tasa de sustitución técnica;
un ejemplo Cobb-Douglas
j l C bb D l
y = f ( x1, x2 ) = x x
a b
1 2
entonces
∂y a −1 b y ∂y a b−1
= ax1 x2 = bx1 x2 .
∂ x1 ∂ x2
La tasa de sustitución técnica es
dx2 ∂ y / ∂ x1 ax x a−1 b
ax2
=− =− =−
1 2
.
dx1 ∂ y / ∂ x2 bx x a b −1
1 2bx1

98. Tasa de sustitución técnica;
un ejemplo Cobb-Douglas
j l C bb D l
x2 1 2
y = x x ;a = and b =
1/ 3 2 / 3
1 2 d
3 3
ax2 (1 / 3) x2 x2
TRS = − =− =−
bx1 ( 2 / 3) x1 2 x1
x1

99. Tasa de sustitución técnica;
un ejemplo Cobb-Douglas
j l C bb D l
x2 1 2
y = x x ;a = and b =
1/ 3 2 / 3
1 2 d
3 3
ax2 (1 / 3) x2 x2
TRS = − =− =−
bx1 (2 / 3) x1 2 x1
x2 8
TRS = − =− = −1
8 2 x1 2× 4
4 x1

100. Tasa de sustitución técnica;
un ejemplo Cobb-Douglas
j l C bb D l
x2 1 2
y=x x ; a=
1/ 3 2 / 3
1 2 y b=
3 3
ax2 (1/ 3)x2 x2
TRS = − =− =−
bx1 (2 / 3)x1 2x1
x2 6 1
TRS = − =− =−
2x1 2×12 4
6
12 x1

101. Tecnologías con buen comportamiento
g p
Una tecnología con buen comportamiento
es
monotónica, y
,
convexa

102. Tecnologías con buen comportamiento,
monotonicidad
Monotonicidad: más de cualquier
insumo genera más producto
y y
monotónica
no
monotónica
x x

103. Tecnologías con buen comportamiento,
convexidad
id d
Convexidad: si la cesta de insumos x’ y
x
x” proveen y unidades de producto
entonces la mezcla tx’ + (1-t)x” provee al
menos y unidades de prod cto para
nidades producto,
cualquier 0 < t < 1

104. Tecnologías con buen comportamiento,
convexidad
id d
x2
'
x2
"
x2
y≡100
x1' x1" x1

105. Tecnologías con buen comportamiento,
convexidad
id d
x2
'
x2
(tx + (1 − t ) x ,tx
'
1
"
1
'
2 + (1 − t ) x
"
2 )
"
x 2
y≡100
x 1' x 1" x1

106. Tecnologías con buen comportamiento,
convexidad
id d
x2
'
x2
(tx + (1− t)x , tx + (1− t)x )
'
1
"
1
'
2
"
2
"
x2 y≡120
y≡100
x 1'
x 1"
x1

107. Tecnologías con buen comportamiento,
convexidad
id d
x2 Convexidad implica que la TMS
se incrementa (es menos
'
x2 negativa) a medida que x1
ti ) did
se incrementa
"
x2
x 1' x 1" x1

108. Tecnologías con buen comportamiento
g p
x2 Mayor p
y producto
y≡200
y≡50 y≡100
y
x1

109. El corto y el largo plazo
g p
El largo-plazo es la circunstancia en el
cual una firma no está restringida en sus
elecciones de todos los niveles de insumos
Hay muchos corto plazo posibles
El corto plazo es una circunstancia en la
cual una firma está restringida de alguna
forma en la elección de al menos el nivel
de un insumo

110. El corto y el largo plazo
g p
Ejemplos de restricciones que tienen
lugar en el corto plazo de una firma:
g p
no disponible temporalmente para
instalar, cambiar,
instalar cambiar maquinarias
compromiso para cumplir con la ley
con respecto al ambiente de trabajo

111. El corto y el largo plazo
g p
Una forma útil de pensar en el largo
plazo es que la firma puede escoger como
así lo requiera en qué situación de corto
plazo
pla o estar

112. El corto y el largo plazo
g p
¿Qué implican las restricciones de corto
plazo para la tecnología de la firma?
Supongamos que l restricción d corto
S la i ió de
plazo es fija en el nivel de insumo 2
El insumo 2 es por tanto un insumo fijo
en el corto plazo Insumo 1 permanece
plazo.
variable

113. El corto y el largo plazo
g p
x2
y x1

114. El corto y el largo plazo
g p
x2
y x1

115. El corto y el largo plazo
g p
x2
y
x1

116. El corto y el largo plazo
g p
x2
y
x1

117. El corto y el largo plazo
g p
x2
y
x1

118. El corto y el largo plazo
g p
x2
y
x1

119. El corto y el largo plazo
g p
x2
y
x1

120. El corto y el largo plazo
g p
x2y
x1

121. El corto y el largo plazo
g p
y
x2
x1

122. El corto y el largo plazo
g p
y
x2 x1

123. El corto y el largo plazo
g p
y
x1

124. El corto y el largo plazo
g p
y
x1

125. El corto y el largo plazo
g p
y
x1
4 funciones de producción de corto plazo

126. El corto y el largo plazo
y = x x es l f ió d producción d
1/ 3
1
1/ 3
2 la función de d ió de
largo plazo (x1 y x2 son variables)
La función de producción de corto plazo
cuando x2 º 1 es
d
y = x1 1 = x1 .
1/ 3 1/ 3 1/ 3
La función de producción de corto plazo
cuando x2 º 10 es
d
y = x1 / 3 10 1 / 3 = 2 ,15 x1 / 3 .
1 1

127. El corto y el largo plazo
g p
y = x1 / 3101/ 3
1
y=x 5 1/ 3 1/ 3
1
y=x 2 1/ 3 1/ 3
1
y
y=x 1 1/ 3 1/ 3
1
x1
4 funciones de producción de corto plazo