Materia Doctoral II: Introducción a la Física del Plasma

INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DEL PLASMA
Javier García Molleja

Doctorado

Índice

I Descripción de la asignatura 7

II Resumen de la asignatura 10
1. La teoría cinética de gases 11
1.1. Medida del alto vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Funciones de distribución de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1. Funciones de distribución de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2. Funciones de distribución de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Colisiones entre partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1. Colisiones elásticas binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2. Colisiones inelásticas binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3. Interacciones heterogéneas en la superficie . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4. Regímenes colisionales del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Características cinéticas en el modelo de esferas duras . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1. Parámetros colisionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2. Flujo de partículas sobre una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3. Flujo de potencia sobre una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Fenómenos de transporte directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1. Transporte difusivo de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.2. Transporte de momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.3. Transporte de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.4. Transporte de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

2. Movimiento de cargas en campos eléctricos y magnéticos 17
2.1. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos . . . . . . . . . . . 17
2.1.1. El electrón-voltio como unidad de energía . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2. Generador de Van de Graff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos . . . . . . . . . . 18
2.2.1. Dinámica magnética de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2. Trayectoria de partículas en campos magnéticos . . . . . . . . . . . 18
2.2.3. Separación electromagnética de isótopos . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos esta-
cionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1. Dinámica de partículas de campos cruzados . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2. Velocidad de deriva en campos cruzados . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3. Calentamiento magnetoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.4. El flujímetro electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.5. Espectrógrafo de masas de Bainbridge . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos lenta-
mente variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1. Calentamiento resonante por radio frecuencia . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2. Espejos y boquillas magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3. Confinamiento magnético de plasmas industriales . . . . . . . . . . 23
2.5. Movimiento relativista de partículas cargadas . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.1. Transformaciones de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.3. Cinemática en relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.4. Transformación de Lorentz de campos eléctrico y magnético . . . . 26
2.5.5. Dinámica en relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.6. Energía de una partícula en relatividad especial . . . . . . . . . . . 26
2.6. Teoría de diodos planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.1. Características del diodo planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.2. Operación en el límite de vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.3. Flujo de corriente limitada por la distribución espacial de carga . . 27
2.6.4. Diodos planares limitados por la distribución espacial de carga . . . 27
2.7. Diodo planar relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7.1. Características del diodo relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7.2. Flujo de corriente limitado por la distribución espacial de carga . . 28
2.7.3. Ley de Child relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8. Teoría de diodos cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8.1. Características del diodo cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8.2. Operación en el límite del vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8.3. Flujo de corriente cilíndrica limitada por la distribución espacial de
carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2

2.8.4. Operación de diodos cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Características del plasma 29
3.1. Propiedades másicas del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1. Resistividad y conductividad eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2. Movilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.3. Calentamiento óhmico de plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.4. Frecuencia de transferencia de energía . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.5. Ley de Ohm y fuerzas volumétricas en plasmas magnetizados . . . . 31
3.2. Cuasi-neutralidad del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3. Ecuación electrostática de Boltzmann (barométrica) . . . . . . . . . . . . . 32
3.4. Vainas electrostáticas simples del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5. Frecuencia del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6. La ecuación de Saha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7. Transporte difusivo en plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.1. Ley de Fick de la difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.2. Tiempo de confinamiento de plasmas dominados por difusión . . . . 35
3.7.3. Coeficiente de difusión en un plasma no magnetizado . . . . . . . . 36
3.7.4. Difusión clásica en un plasma magnetizado . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.5. Movilidad en un plasma magnetizado . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.6. Relación de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.7. Coeficiente de difusión de Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7.8. Difusión ambipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.8. Frecuencia electrónica de colisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.8.1. Clasificación de gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.8.2. Datos tabulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.9. Descarga eléctrica a baja presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.9.1. Geometría clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.9.2. Característica tensión-corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.10. Fuentes de potencia para plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.10.1. Regímenes de frecuencia de fuentes de potencia . . . . . . . . . . . 39
3.10.2. Disponibilidad de fuentes de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.10.3. Tecnología de la fuente de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.10.4. Coste relativo de la entrada de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.10.5. Imposiciones operacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Descargas electrónicas oscuras en gases 39
4.1. Ionización de fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2. Régimen de saturación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3. Descarga Townsend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1. Crecimiento de la corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

4.3.2. Primer coeficiente de ionización de Townsend . . . . . . . . . . . . 41
4.3.3. Medición de α y E . . . . . . . . . . . . . . .
p p
. . . . . . . . . . . . 41
4.3.4. Punto de Stoletow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4. Descargas corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.1. Fenomenología de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.2. Aplicaciones de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.3. Efectos detrimentales de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5. Fuentes de coronas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5.1. Corona de un punto abrupto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5.2. Corona de un cable o borde fino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.3. Configuraciones generadoras de coronas . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.4. Apantallamiento de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5.5. Características eléctricas de las coronas . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6. Ruptura eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6.1. Corriente en la descarga de Townsend . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6.2. Segundo coeficiente de ionización de Townsend . . . . . . . . . . . . 47
4.6.3. Criterio de Townsend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6.4. Potencial mínimo de ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6.5. La curva de Paschen universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6.6. Ruptura a altas presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5. Descargas eléctricas glow DC en gases 49
5.1. Fenomenología de las descargas glow DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.1. Descarga glow normal a baja presión . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.2. Regiones de la descarga glow normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.3. Descargas estriadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.4. Descargas glow anormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.5. Descargas obstruidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2. Teoría de las descargas glow DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2.1. Teoría de Townsend de la región catódica . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2.2. Plasmas lorentzianos no magnetizados . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2.3. Plasmas lorentzianos magnetizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3. Condición de Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.1. Te de la conservación de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.2. ne de la conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.3. Distribución de potencia en descargas glow DC . . . . . . . . . . . 56
5.3.4. Relaciones de similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4. Teoría de las estrías móviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4.1. Características de la descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4.2. Ecuaciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4.3. Relación de dispersión para estrías móviles . . . . . . . . . . . . . . 57

4

5.5. Teoría de las vainas de plasma DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5.1. Aproximación de vaina a baja tensión DC . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5.2. Modelo de Bohm de la vaina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5.3. Vainas de alta tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.5.4. Vainas «matriz» transitorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.5.5. Vainas de ley de Child . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.6. Fuentes de plasma de descarga glow DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.6.1. Fuentes de descarga glow cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.6.2. Fuentes de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.6.3. Fuentes de haz plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6.4. Fuentes de plasma de bombardeo electrónico . . . . . . . . . . . . . 62
5.6.5. Fuentes de plasma de descarga Penning . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6.6. Fuentes de plasma de magnetrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.7. Características de los reactores de descarga glow . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.7.1. Comparativa de características de operación . . . . . . . . . . . . . 63
5.7.2. Variables de control para descargas glow . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.7.3. Ejemplos de descargas glow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.8. Cuestiones en la física de descarga glow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6. Descargas eléctricas de arco DC en gases 64
6.1. Régimen de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.1. Características tensión-corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.2. Rangos de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2. Fenomenología de los arcos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2.1. Nomenclatura clásica del arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2.2. Nomenclatura moderna del arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3. Procesos físicos en arcos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3.1. Fuerzas volumétricas sobre arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3.2. Formación del chorro del electrodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3.3. Radiación de arcos térmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3.4. Modelado de arcos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4. Ejemplos de operación de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4.1. Arco no térmico de H. Ayrton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4.2. Campo eléctrico axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4.3. Arco térmico de Eberhart y Seban . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.5. Fuentes de potencia para arcos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.5.1. Fuentes de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.5.2. Estabilización eléctrica de arcos no térmicos . . . . . . . . . . . . . 70
6.6. Mecanismos de iniciación para arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.7. Conﬁguraciones aplicadas de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.7.1. Arcos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5

6.7.2. Arcos de expansión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.7.3. Arcos rotatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.8. Cuestiones en física de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6

Parte I
Descripción de la asignatura
El libro de referencia que se utilizó en el dictado de la asignatura fue: Roth J.R.:
Industrial Plasma Engineering. Volume 1: Principles; Ed. IOP Publishing (1995).
La asignatura trata de manera teórica todos los fundamentos de la física del plasma:
teoría cinética de los gases; movimiento de cargas en campos eléctricos y magnéticos;
características macroscópicas del plasma; haces y fuentes de electrones, de iones y de
fotones; regímenes de las descargas eléctricas DC en gases (oscura, glow y arco); descargas
eléctricas RF en gases (inductivas y capacitivas), y descargas de microondas. También se
describen las diferentes conﬁguraciones de los reactores de plasma.
Las fuentes de electrones estudiadas son:

Emisión termoiónica

Emisión fotoeléctrica

Emisión de campo

De cátodo hueco

Emisión secundaria de electrones

Las fuentes de iones son:

Kaufman

Descarga Penning

Haz plasma

Von Ardenne

Freeman

Rayo canal

Pulsadas de chispa

Emisión de campo

Ionización superﬁcial

Las fuentes de fotones son:

Javier García Molleja 7

Ciclotrón

Betatrón

Sincrotrón

Pinzamiento esférico inductivo y resistivo

Plasma focus
Fuentes de descargas corona:
Punto abrupto

Cable o borde ﬁno
Fuentes de descargas glow:
Descarga cilíndrica

Placas paralelas

Haz plasma

Bombardeo electrónico

Descarga Penning

Magnetrón
Fuentes de descarga arco:
Lineales

De expansión

Rotatorios
Fuentes RF inductivas:
Antorcha

Placas paralelas

Rotamak

Toroidales
Fuentes RF capacitivas:

8 Javier García Molleja

De barril

Hexagonal

Plano paralelo

Magnetrón

Electrodos extremales

Cilíndrico

Celda de referencia GEC

Fuentes de microondas:

Resonancia ciclotrónica de electrones (inmerso, distribuido)

No resonantes (ﬂujo continuo, antorcha, distribuido y no resonante)


Parte II
Resumen de la asignatura
En esta parte se expondrá detalladamente el trabajo de exposición que se llevó a cabo
para aprobar la materia. Los apartados de los que constó el contenido de la asignatura
serán enunciados de la manera más elaborada posible, dentro de la concepción de que se
realizó un resumen de la asignatura, no una exposición completa y detallada.


1 LA TEORÍA CINÉTICA DE GASES

1. La teoría cinética de gases
Para comprender los procesos físicos que se dan en el plasma debe estudiarse de manera
microscópica, o sea, a nivel de partículas individuales. La rama física que permite esta
descripción es la teoría cinética, que mediante la mecánica estadística se reﬂeja en los
procesos macroscópicos.

1.1. Medida del alto vacío
La medida a bajas presiones se realiza con el torr, mientras que los estudios de altas
presiones utilizan como unidad la atmósfera. La unidad del SI (sistema internacional) es
el pascal de dimensiones de N/m2 . La relación entre estas unidades es: 760 Torr ≡ 1 atm
≡ 101325 Pa. Normalmente, lo que interesa es la densidad numérica del gas de fondo más
que el valor de la presión. El cambio de una magnitud a otra es sencillo, si aplicamos la
ley de los gases ideales: p = nkB T.

1.2. Funciones de distribución de partículas
Las partículas de un plasma no tienen la misma velocidad, ya que al interactuar entre
sí adoptan una distribución de Maxwell–Boltzmann.

1.2.1. Funciones de distribución de velocidades
En coordenadas cartesianas se puede determinar la función de distribución de v =
2 2 2
vx + vy + vz
3
4n m 2 mv
− 2k T
2

f (v) = √ v2e B
π 2kB T
Si el volumen es constante el área encerrada bajo la curva es constante, aunque su forma
cambie al variar la temperatura. Veamos el valor de los tres primeros momentos
∞
Densidad numérica del gas: f (v) dv = n
0

∞
1 8kB T
Velocidad térmica media: v =
¯ vf (v) dv =
n 0 πm
∞
1 3kB T
Raíz de la velocidad cuadrática media: vrms = v 2 f (v) dv =
n 0 m
2kB T
Otra velocidad útil es la más probable: vm = m
. Estas velocidades son válidas si la
distribución es maxwelliana.



Figura 1: Esquema de la función de distribución de velocidades de Maxwell–Boltzmann
con la velocidad más probable vm , la velocidad térmica media v y el segundo momento,
¯
la raíz de la velocidad cuadrática media vrms indicadas esquemáticamente en la función
de distribución.

1.2.2. Funciones de distribución de la energía

1
Si definimos la energía cinética como w ≡ 2
mv 2 , su distribución será también de
Maxwell–Boltzmann:
√
2n w − k wT
f (w) = √ 3 e
B
π (kB T ) 2

kB T
La energía más probable es wm = 2
y la energía media será

∞
1 3
w=
¯ wf (w) dw = kB T
n 0 2

Si la distribución no es maxwelliana se puede definir una temperatura efectiva, que es la
que tendría una distribución maxwelliana con igual w que aquélla. Para que la distribución
¯
sea de Maxwell–Boltzmann el gas debe estar en equilibrio: el termodinámico tiene flujos
de energía insignificantes, el trayecto del fotón es menor que las dimensiones del gas y
la radiación es la de un cuerpo negro; el cinético se alcanza cuando las colisiones hacen
que el gas sea maxwelliano. Debido a las altas temperaturas se escoge como unidad el
electrón-voltio: 1 eV=11604 K.



Figura 2: Esquema de la función de distribución de energías de Maxwell–Boltzmann. La
energía más probable, en el máximo, es wm = kB T /2 y la energía media es w = 3kB T /2.
¯
El área bajo la curva es igual a la densidad numérica de partículas.

1.3. Colisiones entre partículas
Las colisiones que hacen al gas maxwelliano pueden ser binarias o de muchos cuerpos.

1.3.1. Colisiones elásticas binarias

Sólo interaccionan dos partículas. Si es elástica la energía cinética total se conserva
durante el proceso. En primera aproximación el proceso se considera de esferas duras en
las que siempre interviene, como mínimo, una partícula neutra. La sección eﬁcaz σ se
deﬁne el área de la sección transversal del blanco efectiva, con radio la suma de los radios
de cada partícula.
Las colisiones de Coulomb se dan cuando interaccionan dos partículas cargadas, donde
la fuerza electrostática puede ser repulsiva o atractiva. Normalmente, interaccionan entre
sí varias cargas a la vez.

1.3.2. Colisiones inelásticas binarias

La energía cinética total se reduce al ocurrir el proceso. Esto puede ocurrir por la
excitación de un neutro o ión; por la disociación de una molécula; por la colisión ionizante
de un electrón con un neutro o ión; por la colisión de intercambio de carga entre ión y
neutro, o por la recombinación de un electrón y un ión frente a un tercer cuerpo.



1.3.3. Interacciones heterogéneas en la superficie

Ocurren entre diferentes estados de la materia. Casi siempre es el bombardeo de
partículas sobre una pared, en la que pueden arrancarse electrones o neutros. También
puede producirse recombinación o catálisis. Si aumenta el número de partículas en la
superficie se pueden inducir reacciones químicas o la deposición de películas delgadas.

1.3.4. Regímenes colisionales del plasma

El modelo de Lorentz supone que las únicas interacciones son electrón-neutro, donde
el gas de fondo absorbe la energía y el momento. Los iones permanecen en reposo. El
modelo de Krook parte de lo anterior y además indica que el tiempo efectivo de colisión
es independiente al momento y energía de la partícula. El modelo de Boltzmann–Vlasov
describe un plasma de alta temperatura en donde los trayectos antes de la colisión son
mayores que las dimensiones del sistema. El modelo de Fokker–Planck analiza que la
velocidad de la partícula en plasmas muy ionizados y turbulentos depende de muchas
colisiones débiles.

1.4. Características cinéticas en el modelo de esferas duras

1.4.1. Parámetros colisionales

Si tenemos un gas de partículas inmóviles en donde una partícula de prueba avanza,
interaccionará con éstas cuando los centros de cada tipo están a una distancia inferior a la
de la suma de los radios de las partículas. De esta manera se irá formando un cilindro con
un eje que realizará un movimiento browniano cada vez que exista una colisión. Si hay
una densidad n1 de partículas del gas y una densidad n2 de partículas de prueba y ambas
se mueven se puede definir el camino libre medio, que es la distancia promedio recorrida
entre colisiones:

v
¯
λ=
n1 σv

1 ∞
con σv = n −∞
σ(v)vf (v) dv



Figura 3: Una partícula de esfera dura de prueba del tipo 2 interactuando elásticamente
con las partículas de esfera dura del fondo del tipo 1. La partícula de prueba colisionará
con todos los átomos de fondo del tipo 1 que yacen en un cilindro de radio 2a en la
trayectoria de la partícula de prueba. El área de la sección eficaz del cilindro es σ durante
el proceso.

1.4.2. Flujo de partículas sobre una superficie
Se puede determinar el número de partículas de una corteza hemisférica y cierto in-
tervalo de velocidad que colisionan con una pared. Esto dependerá de la componente de
la velocidad que apunta a la pared
1 1 8kB T
Γ = n¯ = n
v
4 4 πm

1.4.3. Flujo de potencia sobre una superficie
Como las partículas poseen cierta energía calentarán la superficie, luego mediante w
y Γ conoceremos la potencia entregada
3

¯ mn 2kB T 2
P = 2kB T Γ = √
2 π m
3
La energía media es 2kB T y no 2 kB T. Esto se debe a que las partículas más energéticas
golpean a la superficie con mayor frecuencia.

1.5. Fenómenos de transporte directo
1.5.1. Transporte difusivo de partículas
El transporte de partículas se produce por la existencia de un gradiente de densidad
numérica, yendo de mayor a menor concentración. Si λ es mucho menor que la longitud



de escala de densidad característica se verificará la ley de Fick : Γ = nvd = −D n, con
D el coeficiente de difusión, independiente de la posición
1 1 1
D ≈ νc λ2 = v λ = v 2 τ
¯ ¯
3 3 3
Esto originará un transporte de partículas de tipo fickiano, que no será válido para plasmas
turbulentos.

Figura 4: La difusión fickiana hace disminuir el gradiente de la densidad. Arriba: perfil de
densidad; abajo: esquema del flujo de partículas.

1.5.2. Transporte de momento
El momento cambia por un gradiente de densidad, que da origen a una fuerza denom-
inada viscosidad, cuyo coeficiente se calcula mediante η = 1 m¯ .
3 σ
v


2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS

1.5.3. Transporte de energía
Aparece con un gradiente de temperatura, creando una conducción de calor de las
zonas de alta temperatura a las de menor. Esto depende de la conductividad térmica:
κ = 3Nv vσ .
C ¯
A

1.5.4. Transporte de carga
Se produce al existir un gradiente de potencial electrostático, creando así una corriente
eléctrica.

2. Movimiento de cargas en campos eléctricos y mag-
néticos
Los plasmas responden fuertemente a los campos impuestos, por lo que es interesante
investigar las interacciones entre partículas.

2.1. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos
Entre dos electrodos se impone una diferencia de potencial, creando un campo eléctrico
que se dirige del ánodo al cátodo: E = − V, luego la partícula se ve sometida a una fuerza
1
F = q E. La energía total de movimiento será una magnitud conservada W = 2 mv 2 + qV.

2.1.1. El electrón-voltio como unidad de energía
La unidad de energía, el julio, es demasiado grande para describir partículas individ-
uales así que se introduce el electrón-voltio, la energía para que acelere un electrón en un
potencial de un voltio 1 eV = 1,602 · 10−19 J. La energía cinética en eV es igual en valor
a la tensión requerida para acelerar la partícula desde el reposo. Es necesario considerar
el estado de la carga de la partícula.

2.1.2. Generador de Van de Graﬀ
Este aparato produce altos potenciales muy estables. Una corteza esférica hueca es
el terminal de alta tensión, situado encima de una columna aislante. Dentro de ella dos
poleas mueven una correa en la que se deposita carga que acaba en la corteza esférica,
aumentando el potencial. Esto puede servir como acelerador de partículas si se le añade
un tubo al terminal. La aceleración de los iones será causada por la gran diferencia de
potencial.



2.2. Movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos
El campo magnético se origina al ﬂuir una corriente a través de un conductor. Se
estudia con la inducción magnética B. La dirección de B apunta al polo sur y sale del
norte.

2.2.1. Dinámica magnética de partículas

Una carga sometida a B posee la ecuación de movimiento F = q(v × B). No se
produce ningún cambio en la energía cinética de la carga al ser perpendiculares entre sí
F , v y B, sólo cambia la dirección de movimiento. El equilibrio entre la fuerza centrífuga
y magnética nos dará el radio de giro R = mv , por lo que la trayectoria será circular, con
qB
una girofrecuencia ω = qB .
m

2.2.2. Trayectoria de partículas en campos magnéticos

Si la carga está sometida a un B que apunta hacia fuera se moverá circularmente. Si
es positiva girará al igual que un reloj y si es negativa en contra del reloj. Si actúa un
gradiente hacia arriba la carga se desplazará hacia un lado (dependiendo de su signo), ya
que el radio de giro es menor cuando B aumenta.

Figura 5: La convención de signos para el movimiento de cargas positivas y negativas en
una inducción magnética que apunta hacia fuera del plano del diagrama. A la derecha se
muestra el movimiento de las cargas positivas y negativas en un gradiente magnético.

2.2.3. Separación electromagnética de isótopos

También es llamado Calutrón. Una fuente produce iones que serán acelerados por una
diferencia de potencial. Llegarán a una ranura con igual energía cinética (con diferente m
y v para cada isótopo) tras la cual se impone un B que les hará girar. Tras medio ciclo
llegarán a un detector que debido a la diferencia de masas entre isótopos colisionarán en
puntos diferentes por su radio de giro distinto. La distancia entre los puntos de llegada



será
2 2m1 VA m2 ∆m 2VA
d= −1 ≈
B0 e m1 B0 em1
aproximación válida si m2 = m1 + ∆m.

Figura 6: Dibujo esquemático del separador electromagnético de isótopos Calutrón. Los
iones son acelerados a una energía de VA electrón-voltios y se les permite realizar la mitad
de una órbita en una cámara evacuada en la cual la inducción magnética posee un valor
B0 .

2.3. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y
magnéticos estacionarios
Si la carga está sometida a ambos campos la fuerza sobre ella vendrá dada por la
ecuación de Lorentz : F = q[E + (v × B)].

2.3.1. Dinámica de partículas de campos cruzados
Si la carga se somete a un B sobre el eje z junto con un E sobre el eje y, dos de las
ecuaciones de movimiento estarán acopladas, por consiguiente

Eq
x= (ωt − sen ωt)
mω 2
Eq
y= (1 − cos ωt)
mω 2
z =vz0 t



En el plano xy se describirá una cicloide que se desplaza.

E E
Las velocidades del plano xy serán vy = B
sen ωt junto con vx = B
(1 − cos ωt).

Figura 7: El movimiento de una carga positiva en unos campos eléctrico y magnético
cruzados, dando una velocidad de deriva promedio de E/B.

2.3.2. Velocidad de deriva en campos cruzados

El valor medio de vy es cero, pero no el de vx , que presenta entonces una velocidad
E
de deriva: vx = vd = B que apunta en la dirección de E × B. Si E||B la partícula será
acelerada mientras se mueve circularmente. Si E posee una componente paralela a B
y otra perpendicular existirá un movimiento cíclico en el plano xy más un movimiento
acelerado en el eje z.



Figura 8: El movimiento de cargas positivas y negativas en campos eléctrico y magnético
de manera separada, y en campos cruzados eléctrico y magnético. La inducción magnética
apunta hacia fuera del plano del diagrama. El campo eléctrico apunta verticalmente hacia
arriba.

2.3.3. Calentamiento magnetoeléctrico

Con un B se pueden confinar los plasmas y con un E se mejora el confinamiento
aplicado al plasma confinará a los iones cuya velocidad de deriva es vd = E⊥ . Esta ve-
B
E2
locidad aumenta la energía de los constituyentes del plasma: W = 2 mvd = 1 m B⊥ . Este
1 2
2 2

confinamiento puede hacer turbulento al plasma.

2.3.4. El flujímetro electromagnético

Mide la velocidad de fluido conductores en regiones con B constante. El plasma pasa
entre dos placas separadas d conectadas en un circuito con voltímetro. Normal a las placas
y al plasma existe un B. Así pues al pasar el plasma entre las placas creará en E que
Vp
evitará el haz se curve, por lo que vx = dB . Este medio de producción de una tensión de
denomina efecto Hall.

2.3.5. Espectrógrafo de masas de Bainbridge

Una fuente produce iones que entran en una zona con E y B1 cruzados. Sólo aquellas
partículas con una v determinada atravesarán la zona del selector entrando en el analizador
con un B0 que les hará girar medio ciclo. Variando entonces E detectaremos cargas con
masa diferente: m = ZeB0 B1 L, donde L es el diámetro del medio ciclo.
2E



Figura 9: Un dibujo esquemático del espectrógrafo de masas de Bainbridge. Hay una
fuente de iones energéticos en la parte inferior izquierda.

2.4. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y
magnéticos lentamente variantes
La inercia de las partículas cargadas es suficientemente pequeña y pueden responder
libremente a las fuerzas ejercidas por los campos.

2.4.1. Calentamiento resonante por radio frecuencia
Los electrones dentro de un B realizarán círculos. Si en el plano de giro se aplica un
Ex = E0 sen ωt cuya frecuencia es idéntica a la de giro se dará una resonancia, siempre y
cuando la fase angular θ = ωt permita el aumento de energía. Cuando el electrón apunte
en la dirección y el campo eléctrico será nulo (θ = 0, π) y cuando esté en la dirección x
el campo será máximo (θ = π , 2 π) apuntando en el sentido opuesto a la velocidad del
2
3

electrón, por consiguiente sumando más energía a la partícula.
Al ir calentando al plasma el radio de giro aumentará ∆R = πmE0 y para alcanzar una
qB 2
1 1
B 2
energía determinada el número de vueltas necesarias serán N = πE0 m W⊥ − W⊥0 .
2 2

El tiempo empleado en conseguir esto debe ser mayor que el tiempo de confinamiento o
el de colisión.

2.4.2. Espejos y boquillas magnéticas
Es útil confinar plasmas mediante campos magnéticos. Para que esto sea efectivo el
movimiento de la partícula ha de ser adiabático, o sea, que el radio de giro sea mucho
menor que la longitud de escala característica del gradiente. El momento magnético será
mv⊥ 2
entonces constante y valdrá µ ≡ 2B = W⊥ . B
Un espejo magnético es una barrera magnética de simetría axial con un Bmax en el
extremo y un Bmin en la zona del plasma. Conforme la carga se acerca a Bmax los giros
serán más pequeños al disminuir v|| . En el espacio de velocidades se tiene que v⊥ = v sen θ,



aumentando al acercarse a Bmax . Si en el punto z = z0 se tiene que v|| = 0 se perderá la
partícula. Si es cero será reflejada de vuelta a Bmin . En ambos extremos se tendrá que

mv 2 sen2 θ mv 2
µ= =
2Bmin 2Bmax
con θ el ángulo del cono de escape que señala a las partículas que llegarán a Bmax con
v|| = 0 situadas entre 0 y dicho valor. Fuera del cono las cargas seguirán confinadas a
menos que las colisiones las lleven dentro del cono. La fracción de partículas atrapadas
Bmin
será FT = 1 − Bmax .
La boquilla magnética se basa en la ausencia de colisiones. Las partículas estarán en
una región de Bmax en una distribución isótropa. Si las partículas se dirigen a la región
de Bmin se tendrá que v⊥ disminuirá, dando lugar a un haz de partículas con gran v|| .

Figura 10: El movimiento de partículas cargadas positivamente en el gradiente de campo
magnético de un espejo magnético.

2.4.3. Confinamiento magnético de plasmas industriales
El confinamiento aumenta la eficiencia del potencia, la ionización del gas, reduce el
bombardeo de las paredes, mejoran la estabilidad y la uniformidad, y puede originar
haces. Para que esto suceda el plasma debe estar magnetizado, esto es, que la partícula
realiza varios giros antes de colisionar y que el radio de giro sean menor que el radio del
plasma. Magnetizando los electrones se consigue magnetizar el plasma debido a la poca
movilidad de los iones. El mejor método de confinamiento es usando el espejo magnético.
Si su configuración es coaxial evita que el plasma toque las paredes pero se perderá por
los extremos. La botella magnética usa dos bobinas que conducen la corriente en el mismo
sentido. Esto consigue confinar al plasma en ambos extremos. La geometría de arista



se caracteriza por tener las corrientes de las bobinas circulando en sentidos opuestos,
consiguiendo así el confinamiento en los extremos y entre ambas bobinas.
Estas configuraciones se pueden obtener también con imanes permanentes. El difusor
magnético es parecido al espejo, pues se encarga de disminuir v|| y el radio del plasma,
evitando que las partículas se reflejen. La boquilla magnética crea un gran haz uniforme
de partículas sin v⊥ . En la zona de Bmin la densidad de partículas disminuye: n2 ≈ n1 Rm ,
Bmin
con Rm siendo la razón de espejo Rm ≡ Bmax . La aproximación puede variar según la
aplicación que se dé (resonancia ciclotrónica, corrosión . . . ).El confinamiento magnético
multipolar por aristas consigue aislar el plasma de las paredes. El vallado coloca en la
cámara cables que conducen corriente en sentidos opuestos creando una zona de Bmax .
En los puntos de posible salida del plasma se coloca refrigeración. Si utilizamos imanes
tenemos tres configuraciones: tablero de ajedrez (axial y azimutal), arista de simetría axial
y arista longitudinal.

Figura 11: Arreglo de aristas longitudinales de imanes multipolares usados para el confi-
namiento de un plasma cilíndrico de microondas.

2.5. Movimiento relativista de partículas cargadas

Su aplicación se centra en la física de altas energías y en los aceleradores de partículas.



2.5.1. Transformaciones de Galileo

Existen dos sistemas de referencia: uno ﬁjo, el laboratorio, y otro móvil a la velocidad
constante. Las ecuaciones son entonces

x =x − vt
y =y
z =z
t =t

El sistema móvil es el primado. Estos sistemas se llaman inerciales al veriﬁcar la ley de
Newton.

2.5.2. Transformaciones de Lorentz

El principio de Einstein establece que la velocidad de la luz en el vacío es constante e
independiente del movimiento relativo uniforme de la fuente u observador.

x =γ(x − vt)
y =y
z =z
βx
t =γ t −
c

El parámetro relativista es γ ≡ √ 1 con β ≡ v . Estas ecuaciones presentan la contrac-
c
1−β 2
ción de Fitzgerald–Lorentz y la dilatación temporal.

2.5.3. Cinemática en relatividad especial

La transformación de velocidades entre los dos sistemas de referencia

x +v
˙
x=
˙
1 + βc˙
x

1 y ˙
y=
˙
γ 1 + βc˙
x

1 z ˙
z=
˙
γ 1 + βc˙
x



2.5.4. Transformación de Lorentz de campos eléctrico y magnético

E|| =E||
E⊥ =γ(E⊥ + v × B)
D|| =D||
v×B
D⊥ =γ D⊥ +
c2
B|| =B||
v×E
B⊥ =γ B⊥ −
c2
H|| =H||
H⊥ =γ(H⊥ − v × D)
Estas ecuaciones predicen el efecto Doppler relativista que puede ser longitudinal (cor-
rimiento al azul cuando el emisor de frecuencia se acerca al observador y corrimiento al
rojo cuando se aleja) y transversal (corrimiento al rojo).

2.5.5. Dinámica en relatividad especial
La ley de Newton se escribe como F = dp = dt (γm0 v), por consiguiente p = γm0 v.
dt
d

Estas ecuaciones reﬂejan un aumento de la masa en reposo al ir aumentando la velocidad.

2.5.6. Energía de una partícula en relatividad especial
La energía total de una partícula cargada en el sistema laboratorio es U = γm0 c2 , por
lo que la energía cinética es expresará como W = (γ − 1)mc2 al ser la energía en reposo
U0 = m0 c2 . La relación relativista energía-momento es
(γm0 c2 )2 = (m0 c2 )2 + p2 c2 .

2.6. Teoría de diodos planares
Con su estudio comprenderemos la generación de haces y sus condiciones límite.

2.6.1. Características del diodo planar
Las cargas son emitidas por un electrodo y son aceleradas en la separación d a partir de
una velocidad nula gracias a una caida de potencial V0 . Si no existen fuentes ni sumideros
la densidad de corriente es una constante: J = ne eve .



2.6.2. Operación en el límite de vacío

En este caso J es muy pequeña para afectar el campo eléctrico. Partiendo de la ecuación
de Poisson llegamos a que
x
V (x) = V0 .
d

2.6.3. Flujo de corriente limitada por la distribución espacial de carga

El cátodo emite electrones hasta que la distribución espacial de carga aumenta hasta
el punto en el que el campo eléctrico es cero en x = 0. En este punto no pueden ﬂuir
más electrones del cátodo. Partiendo de la ecuación de Poisson y suponiendo que v0 ≈ 0
3
4ε0 2e [V (x)] 2
llegamos a que J = 9 m x2
. Analizando el ánodo, x = d, obtenemos la condición
de Child
3
4ε0 2e V02
Jc =
9 m d2

2.6.4. Diodos planares limitados por la distribución espacial de carga
4ε0 3
Si deﬁnimos el factor de Child como χ ≡ 9
2e
m
= 2,334 · 10−6 A/V 2 se tiene que
3
4
V2 x
Jc = χ d02
por lo que el potencial valdrá V (x) = V0 d
3
. Recurriendo a la ecuación de
Poisson determinamos la densidad de partículas
2
4ε0 V0 d 3
ne (x) =
9ed2 x

4ε0 V0
Se tiene que en x = 0 ⇒ ne → ∞ al suponer que v0 ≈ 0; en x = d ⇒ nA = 9ed2
. Se
2m
puede determinar el tiempo de tránsito en el límite del vacío t0 = d eV0
y en el límite de
distribución espacial de carga tsc = 3 d
2
2m
eV0
.

2.7. Diodo planar relativista
El ánodo se construye con rendijas y el potencial se aplica de manera pulsada.

2.7.1. Características del diodo relativista

Utilizaremos la formulación covariante de la ecuación de Poisson. Asumiremos que
E(x = 0) = 0 y v0 = 0.



2.7.2. Flujo de corriente limitado por la distribución espacial de carga
Si utilizamos unidades adimensionales podemos obtener la ley de Child:
V
Potencial: Φ ≡ V0

x
Distancia: ξ ≡ d

eV0
Energía: ε ≡ m0 c2

J
Densidad de corriente: J ≡ Jc

2.7.3. Ley de Child relativista
La ecuación de Poisson adimensional queda de la siguiente forma
√
d2 Φ 4 2ε 1 + εΦ
Φ = 2 = J
dξ 9 (1 + εΦ)2 − 1

que puede resolverse con funciones elípticas jacobianas:

9 ε 2
J = g (1, ε)
8 2
√
ne (x)
La densidad numérica electrónica es N ≡ nA
= J √2(1+εΦ) y el tiempo de tránsito
Φ(2+εΦ)
1
tr 2+ε
T ≡ tsc
= 2J
4
.

2.8. Teoría de diodos cilíndricos
Analiza los tubos electrónicos industriales de alta potencia en el límite de la distribu-
ción espacial de carga.

2.8.1. Características del diodo cilíndrico
El cátodo posee un radio rc que está dentro del ánodo de radio r = a y se aplica un
potencial V0 entre ellos. Junto a ciertas condiciones de contorno se obtiene la ecuación de
Poisson.

2.8.2. Operación en el límite del vacío
r
ln V0
El potencial se escribe como V = V0 ln rac , mientras que el campo eléctrico E(r) = r ln ra .
rc c


3 CARACTERÍSTICAS DEL PLASMA

2.8.3. Flujo de corriente cilíndrica limitada por la distribución espacial de
carga

Los cálculos se realizan a partir de la corriente por unidad de longitud. Al obtener la
ecuación de Poisson vemos que es una diferencial no lineal de segundo orden sin soluciones
exactas analíticas (conocidas). Para resolverlo recurrimos a parámetros adimensionales:
3
ρ ≡ ln rrc , β 2 ≡ 8πε0 2e Vr2 . Con esto se llega a una ecuación diferencial que sólo depende
9J m
de ρ y β y puede resolverse numéricamente.

2.8.4. Operación de diodos cilíndricos

El valor de JA se obtiene a partir de ρA = ln rac cuyo valor en el cálculo numérico nos
permite conocer βA . Sustituyendo éste en JA ya sabemos el valor en el ánodo. Luego, la
variación radial del potencial será

4
2
r 3 β 3
V (r) = V0
a βA

3. Características del plasma

Estudiaremos cómo afectan los campos eléctricos y magnéticos al plasma desde un
punto de vista macroscópico.

3.1. Propiedades másicas del plasma

Consideremos un bloque de plasma de sección A y longitud L sometido a una tensión
externa y con una resistencia interna R.



3.1.1. Resistividad y conductividad eléctrica

Figura 12: Movimiento de iones y electrones en un tubo de descarga eléctrica DC a baja
presión.

I
La densidad de corriente se define como J = A . La resistividad másica depende del
material que forma el bloque, no de su geometría y vale

A
ρ=R
L
1
De manera inmediata se conoce la conductividad eléctrica: σ = ρ . Al aplicar la tensión
las cargas de signos opuestos se moverán hacia uno de los electrodos colisionando con
el gas neutro de fondo y alcanzando pues velocidades de deriva estacionarias, cuyo valor
será menor para los iones. Según esto la densidad de corriente se puede expresar como
J = eΓ = envd , expresión que puede ser comparada con la ley de Ohm de un plasma no
magnetizado: J = σ E.
Si el plasma es lorentziano, a partir de la ecuación de movimiento se define el tiempo
de colisión, el tiempo promediado entre dos colisiones que hacen perder al electrón su vde
promedio en la dirección x. La velocidad en este intervalo se da por

1 eE
vx (t) = vde + t , con 0 ≤ t ≤ tc
2 me
2
e ne
Con este tratamiento se llega a que σ = mνce . Si existen colisiones de electrones con
partículas cargadas ha de definirse la conductividad Spitzer, que es inversamente propor-
cional al logaritmo de Coulomb:
3
12π (ε0 kB T ) 2
ln Λ = ln 1 .
Z 2 e3 ne
2



Figura 13: Velocidad de deriva idealizada del electrón en un tubo de descarga eléctrica
sobre varios tiempos de colisión.

3.1.2. Movilidad
e σ
La velocidad de deriva promedio se expresará como vd = mνc E = ene E = µE, en
donde µ es la movilidad :
e
µ≡
mνc
Ésta relaciona vd con E y no varía si la presión de fondo es constante. La movilidad para
electrones es mayor que para iones.

3.1.3. Calentamiento óhmico de plasmas
La energía de los electrones se adquiere del campo eléctrico impuesto y se disipa
mediante colisiones inelásticas y elásticas, la segunda por un proceso óhmico. La densidad
de potencia es:
me νce e2 ne 2
pc = 2 J 2 = E
e ne me νce
expresión válida si el plasma es de Lorentz.

3.1.4. Frecuencia de transferencia de energía
En los plasmas, σ y ρ dependen de la posición, mientras que el sentido práctico de
estas magnitudes está en su valor constante. Acudiendo a la densidad de potencia del
plasma p = Ue ν∗ , con Ue = 1 ε0 E 2 la energía electrostática por unidad de volumen y
2
2ω 2 2
ν∗ ≡ νec = ε0 meneec = 2σ la frecuencia de transferencia de energía, que es la frecuencia
pe 2e
ν ε0
con la cual la densidad de energía suministrada por la fuente es transferida al plasma.

3.1.5. Ley de Ohm y fuerzas volumétricas en plasmas magnetizados
La densidad de corriente viene expresada por la ley de Ohm J = σ[E + (v × B)], luego
la fuerza volumétrica actuando sobre un plasma será F = J × B.



3.2. Cuasi-neutralidad del plasma

Los plasmas muestran una fuerte tendencia a ser eléctricamente neutros, así que las
densidades de carga de iones y electrones serán aproximadamente idénticas. Luego la
separación de las cargas estará provocada por campos eléctricos externos o la energía
térmica interna.
Si tenemos una pequeña región esférica en el plasma con exceso de carga negativa se
creará un potencial en su superficie, por lo que para que un electrón se acerque a la esfera
deberá tener una energía como mínimo igual a Ue = eV, suministrada por su temperatura
cinética finita. Por tanto la salida relativa de la neutralidad será

δn 3T (eV)ε0
= , con δn = ne − Zni n0
n0 2er2 n0

Los plasmas de interés industrial presentan que δn ≈ 0, luego Zni ≈ ne , verificando así
la cuasi-neutralidad.

3.3. Ecuación electrostática de Boltzmann (barométrica)

Un plasma en equilibrio cinético se acomoda en un pozo de potencial electrostático,
con mayor densidad de partículas en las regiones de menor energía y cayendo este número
exponencialmente para las regiones de mayor energía. Si la pared que lo rodea está a
un potencial V0 y en el borde del plasma escogeremos un elemento infinitesimal de éste
podemos ver que permanecerá en equilibrio, ya que posee una fuerza que empuja hacia
arriba (debida a la presión cinética del plasma) de igual valor que la fuerza que empuja
hacia abajo (debida a la presión cinética de los electrones cercanos a la pared y a la
repulsión electrostática). Todo esto da que

V0 −V
p = p0 e T (eV)

Los electrones más energéticos podrán llegar a la pared, aumentando su carga negativa y
creando así una fuerza repulsiva que aleja al plasma de la manera indicada por la ecuación.



Figura 14: Vaina entre un plasma y una pared aislante. Las fuerzas volumétricas sobre
las partículas cargadas en el elemento infinitesimal son la suma de las fuerzas del campo
eléctrico y de la presión cinética de partículas por arriba y por debajo del elemento
infinitesimal.

3.4. Vainas electrostáticas simples del plasma
Un electrodo o pared en contacto con un plasma afectará a sus inmediaciones, orig-
inando una vaina superficial que apantallará al plasma de los campos aplicados (si el
plasma no es turbulento y el campo no es interno). Consideremos la ecuación de Poisson
unidimensional de un plasma con sus iones simplemente cargados fijos:
d2 V e
2
≈ (ni − ne )
dZ ε0
Al ser el plasma cuasi-neutro, n0 ≈ ni , y a partir de la ecuación de Boltzmann (con
− eV
V0 = 0) ne = n0 e kB T podemos sustituir en la ecuación de Poisson y hacer un desarrollo
en serie en z = 0 para conocer así la solución:
± λz
V = V0 e D

con λD = kB e e2ε0 siendo la distancia de apantallamiento de Debye. El potencial muestra
n
Te

que la vaina es exponencial. Para plasmas inactivos λD es pequeña configurando ella
misma la vaina que apantalla al plasma del exterior. Para plasmas magnéticos con gran
radio de giro o turbulentos la vaina es mayor.

3.5. Frecuencia del plasma
Si el plasma se forma entre dos placas plano-paralelas los iones irán al cátodo y los
electrones al ánodo provocando con el tiempo un estado estacionario. Si se desconecta
la batería los electrones serán atraidos por los iones fijos creando así un movimiento
oscilatorio sobre ellos que se amortiguará mediante colisiones. Analizando en la región del



ánodo un diferencial de volumen de electrones conoceremos la densidad de carga superficial
y de ahí el campo eléctrico superficial. Este campo de polarización es igual y opuesto al
aplicado. Considerando todo esto y escribiendo la ecuación de movimiento vemos que su
solución es un movimiento armónico simple de frecuencia

ne2
ωpe =
mε0

es la frecuencia electrónica del plasma con la que oscilan los electrones alrededor de los
iones fijos. Se puede definir análogamente una frecuencia iónica del plasma.
Podemos analizar ahora la propagación de radiación electromagnética en un plasma.
La fuente emite radiación de frecuencia ω sobre un bloque de plasma de ωpe . Si ω < ωpe , los
electrones tienen tiempo de responder al campo eléctrico impuesto y consumen su energía
evitando que la onda penetre demasiado en el plasma. En este caso los electrones de las
capas más superficiales actuarán como dipolos, volviendo a radiar a la onda incidente y
provocando su reflexión. En cambio, si ω > ωpe , los electrones poseen demasiada inercia
como para responder al campo impuesto. De esta manera el plasma es atravesado por la
radiación.
A partir de ω se puede definir una densidad crítica, que al compararla con la densidad
del plasma sabremos si la onda se refleja o se transmite. Para calentar un plasma con
campos magnéticos ha de darse que ωce ≥ ωpe para que así la radiación penetre en todo
el plasma.

Figura 15: Radiación electromagnética de una fuente con frecuencia ω = ω0 incidente sobre
un bloque de plasma con densidad numérica ne y frecuencia electrónica del plasma ωpe .
La radiación incidente sera reflejada o transmitida a través de este bloque, dependiendo
de la relación de la frecuencia incidente con respecto a la frecuencia electrónica del plasma
en el bloque.



3.6. La ecuación de Saha
En algunos plasmas industriales que operan a presiones atmosféricas se trabaja con el
equilibrio termodinámico, por lo que la temperatura de electrones, iones y neutros será
idéntica. Además, si el plasma está completamente ionizado la relación entre las densidades
numéricas de las especies viene dada por
3
ne ni (2πme kB T ) 2 2gi − keET
i
= 3
e B
n0 h g0

Se tiene que h es la constante de Planck; Ei es el potencial de ionización de los átomos;
gi es el peso estadístico del estado fundamental del ión y g0 es el peso estadístico del
estado fundamental del átomo neutro. Muchos plasmas son cuasi-neutros por lo que es
ne
útil definir la fracción de ionización: F ≡ n0 .

3.7. Transporte difusivo en plasmas
Al ser los plasmas industriales muy calientes es necesario confinarlos efectivamente con
entrada razonable de potencia.

3.7.1. Ley de Fick de la difusión
Si el camino libre medio de las partículas λ es menor que la longitud de escala carac-
terística del gradiente se puede aplicar la ley

Γ = nvd = −D n

3.7.2. Tiempo de confinamiento de plasmas dominados por difusión
Un plasma cilíndrico sin difusión axial ni fuentes ni sumideros, poseerá una difusión
fickiana, por consiguiente tendremos que

∂n(r, t)
·Γ=
∂t
Aplicando separación de variables vemos que la parte temporal obedece una ley exponen-
cial, mientras que la parte radial es una ecuación de Bessel. Combinando resultados:

2,405r t
n(r, t) = n0 J0 e− τ
a

J0 es la función de Bessel de orden cero, a el radio del plasma y τ el tiempo de confi-
a2
namiento. Entonces τ = τp = D(2,405)2 .



3.7.3. Coeficiente de difusión en un plasma no magnetizado
La difusión es provocada por las colisiones binarias de las cargas con el gas neutro.
El transporte difusivo es una trayectoria aleatoria con tamaño de paso igual a λ. Si la
frecuencia de colisión es νc y la distancia entre colisiones ∆x se tendrá que D ≈ νc (∆x)2 .

3.7.4. Difusión clásica en un plasma magnetizado
Hasta ahora hemos visto la difusión ordinaria. En cuanto a la clásica se tiene un
trayecto aleatorio, con tamaño de paso igual al radio de giro. Representa la tasa más
lenta a la que las partículas pueden ser transportadas a través de un campo magnético
hacia zonas de menor concentración en la ausencia de campos eléctricos. Si la partícula
realiza un giro por colisión se tiene que

1 v2
¯ m2 v 2
¯
D⊥ ≈ ν(∆x)2 ≈ Rg = 2 = 2 2
τ ωc τ eB τ

Si se aplica el modelo de Krook la difusión es un tensor que depende de la matriz de
transporte: D = D0 T . La difusión entonces posee componente perpendicular, paralela
y Hall. Estos coeficientes se pueden analizar en el límite colisional y acolisional. En el
segundo límite y bajo fuertes campos magnéticos los electrones poseen mayor difusión.
Por este motivo
me kB Te
Dcl ≈ 2 2
e B τc

3.7.5. Movilidad en un plasma magnetizado
La movilidad no es un proceso difusivo, sino que es un movimiento impuesto por los
campos aplicados. El flujo de movilidad es Γmov = nvmov = nµ · E, con µ = µ0 T = qτ T
m
siendo un tensor. Así pues, el flujo total vendrá dado por

Γ = nµ0 T · E − D0 T · n

Esto indica que los campos aplicados pueden contrarrestar a la difusión.

3.7.6. Relación de Einstein
Si comparamos la movilidad y el coeficiente de difusión mediante el tiempo de colisión,
podemos obtener una relación entre ambos (ayudados por la expresión de la velocidad
térmica media):
m¯2
v 8kB T
D= µ= µ
3q 3πq



3.7.7. Coeficiente de difusión de Bohm

Este coeficiente derivado empíricamente describe la difusión radial del plasma en cier-
tos arcos eléctricos:
1 kB T
DB =
16 eB

3.7.8. Difusión ambipolar

Si el plasma está rodeado por una pared los electrones, al tener una movilidad mayor,
llegarán a ella aumentando en la superficie la carga negativa. Llegará un momento en
que esta carga empiece a atraer a los iones y cuando ambos flujos se igualen se alcanzará
el estado estacionario. Este proceso es la difusión ambipolar. En una geometría unidi-
mensional simple los flujos de electrones e iones normales a la superficie serán iguales. Si
admitimos la cuasi-neutralidad del plasma se puede obtener el campo eléctrico ambipolar:
E = Di −Dee nn , por lo tanto el coeficiente:
µi +µ

Di µe + De µi De µi Te
Da ≡ ≈ Di 1 + = Di 1 +
µe + µe Di µe Ti
µe µi Rel.Einstein

3.8. Frecuencia electrónica de colisión
Las propiedades de transporte están determinadas por las colisiones electrón-neutro.
También afecta a la disipación de potencia, a la transferencia de energía y a todos los
coeficientes de transporte (D, µ, η, κ, σ).

3.8.1. Clasificación de gases

Existen gases cuya νc es independiente de la energía, normalmente sólo se da en un
rango de temperaturas cinéticas; gases nobles, que no sufren reacciones plasmo-químicas
o disociación; aire que no tiene buena reproducibilidad pero posee buena disociación y
reacciones plasmo-químicas, y otros gases, en los que se dan reacciones e influye mucho
la interacción plasma-superficie.

3.8.2. Datos tabulados

Hay que tener en cuenta que los antiguos experimentos pudieron ser contaminados por
vapor de mercurio. Otro fenómeno importante es el efecto Ramsauer, en que a bajas Te
la sección eficaz de colisión para ciertos gases cae abruptamente a consecuencia de efectos
mecano-cuánticos.



3.9. Descarga eléctrica a baja presión
3.9.1. Geometría clásica

Es un tubo de vidrio evacuado con electrodos circulares en los extremos conectados con
una fuente de potencia DC de alta tensión. Ajustando un lastre de resistencia (reóstato)
se barre la curva tensión-corriente, que es altamente no lineal.

3.9.2. Característica tensión-corriente

Podemos distinguir tres zonas: la primera es la llamada descarga oscura, que se puede
subdividir en ionización de fondo, régimen de saturación, régimen de Townsend, descargas
corona y ruptura eléctrica. La segunda zona es la descarga glow, que se subdivide en
descarga normal y descarga anormal. La tercera zona es la descarga arco subdividida en
transición glow a arco, arco no térmico y arco térmico.

Figura 16: Característica tensión-corriente de un tubo de descarga eléctrica DC a baja
presión.

3.10. Fuentes de potencia para plasma
Se pueden utilizar fuentes de corriente continua, alterna o radio frecuencia. Los re-
actores de plasma DC ó AC poseen la fuente conectada directamente al reactor dando
gran fiabilidad al proceso. La fuente RF necesita componentes adicionales y este coste
debe justificarse por algunas ventajas que debe presentar. La potencia RF se transfiere
por corrientes de desplazamiento, posee mayor estabilidad de operación, altas Te y gran
eficiencia eléctrica.


4 DESCARGAS ELECTRÓNICAS OSCURAS EN GASES

3.10.1. Regímenes de frecuencia de fuentes de potencia

El rango de aplicación está entre 1 kHz y 3GHz y la mayoría de aplicaciones impor-
tantes en la industria están por encima de los 200 W.

3.10.2. Disponibilidad de fuentes de potencia

Los niveles de potencia de interés están entre 200 W y 50 kW. Si combinamos las apli-
caciones en industria y comunicación se trabaja en las frecuencias VLF, LF y microondas.

3.10.3. Tecnología de la fuente de potencia

En las fuentes RF hay que tener en cuenta que el plasma es una carga variable, por lo
que se necesita una red de compatibilidad de impedancia. Si las impedancias de carga y
fuente son resistivas el máximo de potencia entregada a la carga se dará cuando RS = RL y
V02
el valor será PL = 4RL , que es el 25 % del valor de una fuente ideal. Si se usan impedancias
complejas el valor puede aumentar.

3.10.4. Coste relativo de la entrada de potencia

La potencia RF es de 5 a 10 veces más cara, por watio, que la potencia DC ó AC. Por
esto las ventajas han de ser justiﬁcadas.

3.10.5. Imposiciones operacionales

Las comisiones reservan ciertas frecuencias para uso industrial de alta potencia. Se
deben tener en cuenta ciertas cuestiones de seguridad: los arcos RF son bastante grandes;
es necesario el apantallamiento RF de alta tensión; la producción de armónicos y los
cambios de frecuencia no deben producir interferencias, y la exposición ocupacional debe
estar por debajo de 1 mW/cm2 .

4. Descargas electrónicas oscuras en gases
Vamos a examinar los regímenes de operación de la descarga eléctrica DC. Se empezará
por la descarga oscura que debe su nombre a que no emite suﬁciente luz (excepto en las
coronas muy energéticas) para que el ojo la capte.



Figura 17: Regiones del régimen de descarga oscura.

4.1. Ionización de fondo
La radiación de fondo, constituida por rayos cósmicos, materiales radiactivos en los
alrededores y otras fuentes, es capaz de ionizar los átomos neutros que constituyen un
gas. Si el gas está sometido a un campo eléctrico, los electrones e iones creados migrarán
hacia los correspondientes electrodos, originando una débil corriente.

4.2. Régimen de saturación
Si la tensión entre electrodos se aumenta, todos los iones y electrones creados entre los
electrodos serán colectados dando un valor constante a la corriente mientras se aumenta
la tensión. Si S es la intensidad de la fuente con la que se crean las cargas, A es la sección
transversal y d es la longitud se tiene que IS = AdeS.

4.3. Descarga Townsend
Debemos considerar que el campo eléctrico E es constante. Se pueden originar elec-
trones a partir del efecto fotoeléctrico o por procesos de emisión secundaria en el cátodo,
con un ﬂujo Γe0 . La fuente volumétrica de ionización viene por Se = ne n0 σv ne que
representa la ionización del gas de fondo por electrones acelerados.

4.3.1. Crecimiento de la corriente
El crecimiento será de tipo exponencial. Un par electrón-ión se crea por la radiación
de fondo y son acelerados por el E. Si el electrón adquiere suﬁciente energía puede ionizar
a otros átomos antes de llegar al ánodo. Los electrones generados repetirán el proceso.
Este proceso físico se denomina avalancha.



4.3.2. Primer coeficiente de ionización de Townsend

Es el número de colisiones ionizantes hechas por promedio por un electrón al recorrer
1
en metro a través del campo eléctrico. Se tiene que α ≈ λi con λi el camino libre medio
de ionización, y si tenemos que los electrones de iniciación sólo se originan en el cátodo y
que no existen pérdidas se puede llegar a que

Ie = A Je0 eαx
eΓe0

Si existe una fuente volumétrica significativa será necesario que la introduzcamos en nue-
stros cálculos, por lo que
JS αd
Je = e −1
αd
Ahora debemos calcular analíticamente a α, relacionándolo con la probabilidad de que
un electrón viaje una distancia axial mayor que la distancia ionizante xi (la distancia
necesaria para ganar la energía de ionización). El valor de α dependerá de la atenuación
del haz de electrones primario y del número de λi por metro, luego

1 ne (x) 1 − xi
α= = e λi = Ape−Apxi
λi ne0 λi

Trabajaremos con el potencial de ionización efectivo V ∗ en vez del real Vi , ya que el
primero considera la posibilidad de colisiones elásticas e inelásticas en el trayecto anterior
a la colisión, por lo que C ≡ AV ∗ y se llegará a que

C
α −E E
= Ae p = f
p p

con A y C constantes experimentales.

α E
4.3.3. Medición de p
y p

Si el campo eléctrico es constante y la ionización se produce con avalancha se puede
realizar una representación semilogarítmica del aumento de la corriente al aumentar la
separación entre electrodos. La pendiente de la línea recta dará E . Para grandes separa-
p
ciones la línea deja de ser recta. La producción de electrones secundarios en la superficie
del cátodo hará aumentar la corriente. La ligadura de electrones hace decrecer a la corri-
ente al irlos eliminando de la avalancha.



Figura 18: Configuración de placas paralelas en el régimen de descarga oscura.

4.3.4. Punto de Stoletow

Si el campo eléctrico entre placas permanece constante, hay un valor de presión en la
descarga Townsend donde la corriente es un máximo. El valor de p para el aire se indicó de
E
manera experimental como pmax = 37200 . Este punto se puede encontrar diferenciando α
respecto a p mientras se mantiene fijo d. Si utilizamos su dependencia funcional, f E , p
encontramos que el punto de Stoletow se puede encontrar gráficamente al representar
α
p
↔ E : donde la tangente de la curva intersecte al origen, siendo así máxima la corriente.
p
En cambio, si recurrimos a la expresión analítica pmax = E = 36500 , para el aire.
C
E

En la representación gráfica se ve que el punto de Stoletow se da cuando E = C,
p
sabiendo de manera inmediata el valor de α . Si E → ∞ ⇒ α → A. Además, existe un
p p p
punto de inflexión en E = C . Un parámetro importante es el coste energético de generar
p 2
un par ión-electrón en el gas: η = cotg θ = E max que será mínimo en el punto de
α
Stoletow.



Figura 19: La expresión teórica para el primer coeﬁciente de ionización de Townsend,
representada contra el valor normalizado E/p con los mayores rasgos de la curva indicados.

4.4. Descargas corona

Es la llamada descarga unipolar que ocurre en regiones de alto campo eléctrico situado
en bordes abruptos, valores que llegan a la ruptura eléctrica. Esta descarga puede llegar a
ser visible. Fenómenos relacionados son la descarga eléctrica silenciosa (que es inaudible)
y la de cepillo (donde el campo eléctrico no es uniforme y se crean rayos).

4.4.1. Fenomenología de la corona

Hay un ﬁno cable de radio a, rodeado por un cilindro de radio b puesto a tierra. La
iniciación se dará cerca del cable, creando una corona luminosa. La corona es un fenómeno
de baja corriente y continuo, de pocos órdenes de magnitud. El campo eléctrico de ruptura
es EB = 3000 + 1,35 (kV/m). Cuando el campo local que rodea a un punto alcanza el valor
d
de EB aparece la corona. Si al cable se aplica un V0 muy alto alcanzará el valor de ruptura
en un punto. Esta distancia se denomina radio activo y en el volumen que crea se darán
reacciones químicas. Fuera del radio activo el potencial seguirá disminuyendo hasta un
valor mínimo.
A altas presiones el oxígeno captará rápidamente a los electrones, por lo que la cor-
riente se llevará mediante iones positivos y negativos. En el segundo caso la corona será
intermitente (en forma de racimos) y pulsada, mientras que en el primer caso la corona
será una luminiscencia cilíndrica y continua.



Figura 20: Fenomenología de la corona generada por un cable ﬁno de radio a localizado
en el eje de un cilindro puesto a tierra de radio b.

4.4.2. Aplicaciones de la corona

Las coronas se aplican en la industria para el tratamiento de superﬁcies, junto con
aplicaciones antiestáticas. Otra tendencia es su uso en la química del plasma.

4.4.3. Efectos detrimentales de la corona

Poseen pérdidas de la línea de potencia y pueden producir reacciones químicas que
ataquen a los electrodos. A altas tensiones pueden producir rayos X e interferencias. Otro
aspecto negativo es el ruido audible que pueden producir.

4.5. Fuentes de coronas
4.5.1. Corona de un punto abrupto

Consideremos una punta esférica de radio r = a a potencial V0 situada en el centro
de una cavidad esférica de radio r = b y potencial V = 0. Ambos serán conductores,
pudiéndose originar una corona hasta el radio r = r0 . Si trabajamos en el caso de ρ(r) ≈ 0
tendremos que

abV0
E(r) =
r2 (b − a)
a(b − r)
V (r) =V0
r(b − a)



Para el caso de corrientes coronales significativas se puede llegar a que

2 a 4 Ic a 3
E(r) = ES − 1−
r 6πµi ε0 r r
2
d dV Ic
r2 + r2 =0
dr dr 2πµi ε0
con ES el campo en el punto y la segunda ecuación de carácter no lineal sin soluciones
compactas.

4.5.2. Corona de un cable o borde fino
Tenemos un cable de radio a dentro de un cilindro de radio b y ambos a distancia L.
La corona llegará a r = r0 . Este tratamiento es idéntico si analizamos un borde abrupto.
Para una densidad de carga iónica despreciable
V0
E(r) = b
r ln a
ln rb
V (r) =V0 a
ln b
En el caso de una densidad significativa
V0 Dr2
E(r) ≈ b
1−
r ln a 2B
D(r 2 −b2 ) b
2B
+ ln r
V (r) =V0 D(a2 −b2 ) b
2B
+ ln a
El primer miembro de la primera ecuación es la contribución del vacío y el segundo
miembro es la corrección de la distribución espacial de la corona. Se tiene que B ≡
Ic a2 Ic
a2 ES + 2πLµi ε0 y D ≡ 2πLµi ε0
2 2
ES .

4.5.3. Configuraciones generadoras de coronas
Cerca de un cable fino o punto abrupto, el potencial, el campo y el radio se relacionan
V0
mediante ES = aF , con F siendo el factor de forma. Para un punto abrupto de radio a
separado d de un plano a tierra se tiene que F1 ≡ 1− a . Para dos cables de radio a separados
d
S−2a S S2
una distancia S : F2 ≡ S+2a
+ ln 2a
+ (2a)2
−1 ≈ ln S si S
a
a. Para un cable
b
coaxial de radios a y b se conoce que F3 ≡ ln . Para un
cable de radio a distanciado b de
a
4b
dos placas planas a tierra F4 ≡ ln πa . Para un conjunto de cables de radio a distanciados
4b n cosh( 1 kπd)+1
entre sí d y a distancia b de dos placas a tierra F5 ≡ ln πa + k=1 cosh( 1 kπd)−1 ,
2
con δ ≡ d .
b
2


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