1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas
(UNEFA)
Núcleo Anzoátegui Sede San Tome
Cátedra Calculo Numérico
Facilitador
Valdez Ángel
Bachiller (es)
Martínez Johana C.I 24846.994
Rodriguez Carmen C.I
09-06-2013

3. 1. Solución de Ecuaciones Diferenciales.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más
funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las
que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: Aquellas que contienen derivadas respecto a una
sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: Aquellas que contienen derivadas respecto a dos o
más variables.
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a
una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales
son:
es una ecuación diferencial ordinaria, donde
la variable independiente
respecto a
representa una función no especificada de
, es decir,
,
es la derivada de
con
.
La expresión
es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución
de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una
función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un
método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como,
por ejemplo, la transformada de Laplace).
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función
incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la
convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
Solución general: Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes.

4. Solución general
Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una
constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente
infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación
lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que
resulta de hacer el término no dependiente de
ni de sus derivadas igual a 0) más una
solución particular de la ecuación completa.
Solución particular: Si fijando cualquier punto
por donde debe pasar
necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo
tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución
particular de la ecuación en el punto
, que recibe el nombre de condición
inicial.
Solución particular
Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un
valor específico.
Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene
particularizando la solución general.
Solución singular
Solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.
Resolución de algunas ecuaciones
Ecuación diferencial de primer orden
Ecuación diferencial lineal
Ecuación diferencial exacta
Ecuación de Jacobi

5. Ecuación de Clairaut y también se llaman ecuaciones de estado diferencial que como las
ecuaciones lineales de dos variables, éstas son tangentes
2. Problema de Valor Inicial.
En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación
diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen
a los problemas de valor inicial o de frontera.
Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de
orden
y de
condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus
primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Es decir
Es decir
Ejemplo
Una partícula
tiempo
se mueve a lo largo del eje
está dada por
en cualquier tiempo
de manera tal que su aceleración en cualquier
. Encuentre la posición
de la partícula
, suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en
está viajando a una velocidad de
y
.
Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada la
aceleración. De donde el problema de valor inicial sería

6. Integrando con respecto a
y usando la condición
cualquier tiempo
obtenemos
podemos hallar que
, con lo cual la velocidad en
sería
Integrando de nuevo
y usando la condición
podemos determinar que
y obtener la posición de la
partícula en cualquier tiempo
En la siguiente figura se muestra la gráfica de la posición de la partícula versus tiempo.
Figura 7

7. Ejemplo
Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en el punto
está dada por
. ¿ Hallar el miembro de esta familia que pasa por el punto
?
El problema de valor inicial asociado es
Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e integrar
Y usando la condición inicial
obtenemos que
, con lo cual la curva buscada
es
Figura 8
3. Método de Aproximación Sucesiva de Picard.
El método de aproximaciones sucesivas de Picard por Charles Émile Picard, matemático
francés que lo desarrolló es un método iterativo para obtener una solución a una ecuación
diferencial.

8. Para un problema de Cauchy con la ecuación diferencial
contorno
y condición de
donde se puede asegurar la existencia y unicidad de solución para un
dominio
es posible construir una solución de forma
iterativa según la expresión:
Donde
La
se puede elegir arbitrariamente. Lo habitual es elegir
convergencia
de
esta
serie
donde
de
funciones
es
.
demostrable
en
el
intervalo
con
El error del paso enésimo es acotable mediante la desigualdad
Dónde
. Con ello es posible programar el algoritmo para que itere
hasta una resolución dada.
4. Metodo Euler
En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es
un procedimiento de integración numérica para resolverecuaciones diferenciales ordinarias a partir
de un valor inicial dado.
El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del
siguiente tipo:
Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un
punto dado y safisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación

9. diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la
curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.
La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de comienzo(al
cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede computar
la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva.
Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A1 y
suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento
aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el
punto A1. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3... En
general esta curva que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original,
además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al
avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos es
finito(aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute
más abajo).
Consiste en dividir los intervalos que va de
de
manera
que
se
obtiene
puntos:
a
en
un
subintervalos de ancho
conjunto
discreto
del intervalo de interés
; o sea:
de
. Para cualquiera de
estos puntos se cumple que:
.
La condición inicial
, representa el punto
por donde pasa
la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará
como
.
Ya teniendo el punto
por lo tanto:
se puede evaluar la primera derivada de
en ese punto;

10. Grafica A.
Con
esta
información
pendiente
se
una
recta,
. Esta recta aproxima
recta como reemplazo de
correspondiente a
Se resuelve para
traza
que
pasa
en una vecindad de
por
y
de
. Tómese la
y localícese en ella (la recta) el valor de
. Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:
:
Es evidente que la ordenada
calculada de esta manera no es igual a
existe un pequeño error. Sin embargo, el valor
el punto
aquella
sirve para que se aproxime
, pues
en
y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión
de aproximaciones siguiente:

11. Ejemplo
Calculamos el valor de
tomando en cuenta que el
valor de divisiones es de
;
por lo tanto quedaria así:
Antes de aplicar el método, veamos un esquema de cómo trabajaría el método en
este caso concreto:
Los valores iniciales de
,
y
vienen dados por:
.

12. Teniendo dichos valores podemos comenzar con el método. Se harán
aproximaciones de hasta trece decimales. La función seno se evaluará
en grados.
Por
lo
que
el
es:
resultado
;
obtenido
posteriormente
procederemos a encontrar el valor relativo entre el valor exacto de la
ecuación que es
.
Finalmente se calcula el error relativo:
Análisis de error para el método de euler
Gráfica B.
La solución de las Ecuaciones diferenciales por medio de métodos numéricos involucra varios tipos
de errores:

13. Error del Método (Error de Truncamiento Local y Global): Este se debe a que, cómo la
aproximación de una curva mediante una línea recta no es exacta, se comete un error propio
1
del método. En este caso, el error es de primer orden - O(h ) -
Local: Es la diferencia que se produce entre el valor real de la función y el aproximado
mediante la recta tangente -en lugar de moverse por la curva- suponiendo que el punto desde
el que partimos -donde se cruzan la curva real y la recta que la aproxima- no tiene error
alguno.
Propagado: Acumulación de errores por las aproximaciones producidas durante los pasos
previos acumuladas. Es decir, ya no se supone que el punto del cual partimos -donde se
cruzan la curva real y la recta que la aproxima- no tenía error sino que asumimos que dicho
error existe y que se propaga de paso en paso. Dicha propagación es, en el peor de los casos,
lineal.
La suma de los dos es el error global.
Redondeo/Truncamiento: Resultado del número límite de cifras significativas que puede
retener una computadora. Ya que el número de dígitos utilizados para hacer los cálculos es
finito y los números representados puede que no lo sean (es decir, números con infinita
cantidad de dígitos). Al limitar los números con infinita cantidad de dígitos -mediante
truncamiento o redondeo- a números con finita cantidad de dígitos estamos cometiendo un
error extra.
Como se muestra en la Gráfica B, básicamente el método se encarga de aproximar la
curva
por medio de una serie de segmentos en recta.
Debido a que la aproximación de una curva por medio de una línea recta no es exacta, se comete
un error derivado del método. A este error se le conoce como error de truncamiento. Este error se
puede disminuir reduciendo el valor de
, pero se obtendrá un mayor número de cálculos y, por
consiguiente, un error de redondeo mucho más alto.
5. Metodo de Taylor

14. Aplicar el método de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales, que como se verá es la misma
solución que proporciona la solución en series de potencias (o de coeficientes indeterminados).
Esto es, si la solución en series de potencias arroja la solución en una formula cerrada, se tendrá
entonces que la solución dada por los polinomios de Taylor también entregará dicha so-lución en
forma cerrada.
Por lo tanto, en el caso de solución en puntos ordinarios, debería de enseñarse el método
de desarrollo de
Taylor,
pues
viene
a
ser
mucho
más
cómodo
para
un
estudiante
de ecuaciones diferenciales, pues cuando se trabaja con solución mediante series de potencias, el
acomodo de los índices de la sumatoria siempre es un poco confuso para ellos. Sin embargo
ambos métodos son en esencia los mismos.
Veamos en que consiste cada método.
Ya que no hay funciones elementales para calcular la integral anterior, por lo tanto no se podría
escribir la solución en forma cerrada y por consiguiente tendríamos que conformarnos con alguna
aproximación numérica.

15. Apliquemos inicialmente el método de Taylor.
Reemplazando (1.4) y (1.5) en (1.1), encontramos

16. Según el autor, debe ser obvio que es más fácil obtener valores adicionales de los coeficientes de
la serie utilizando el método de los coeficientes indetermina-dos, que utilizando el método de las
series de Taylor. En consecuencia, dice el autor, usualmente se empleará el método de los
coeficientes indeterminados, descartando entonces el método de las series de Taylor.
Pero si seguimos trabajando un poco en el ejemplo anterior, por el método de series de Taylor,
tenemos

17. Se observa la siguiente ley de formación:
Nuevamente se obtiene la solución encontrada por series de potencias:

18. En conclusión, el ejemplo para mostrar que el método de la series de Taylor no produce la
misma calidad de las soluciones, no es válido. Es más, el autor dice que el método de Taylor se
adapta fácilmente a problemas de valor inicial, lo cual, como veremos más adelante, el método
funciona si lo que se quiere resolver es una ecuación diferencial sin condiciones iniciales, con la
misma calidad de las soluciones que el método de las series de potencias.
6. Metodo de Runge-Kutta
En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos
iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica deecuaciones diferenciales. Este conjunto
de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C.
Runge y M. W. Kutta.
Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos)
para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente,
del problema de valor inicial.
Sea
una ecuación diferencial ordinaria, con
abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea
donde
es un conjunto

19. Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:
,
donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento
puntos
y
. Los coeficientes
entre los sucesivos
son términos de aproximación intermedios, evaluados
en ƒ de manera local
con
coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de
la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o
implícitos dependiendo de las constantes
del esquema. Si esta matriz es triangular
inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir,
para
, los esquemas son explícitos.
Ejemplo
Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en
y otra en
.
ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es:
Para estimar ƒ(t,y) en
se usa un esquema Euler
Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación
de manera que se obtiene la expresión:
Los
son:
coeficientes
propios
de
este
esquema

20. Variantes
Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales
como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos
Runge-Kutta-Fehlberg).
Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos RungeKutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de
paso.
Metodo de Runge-Kutta
El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos
iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones
diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los
matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.
Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es
referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».
Definiendo un problema de valor inicial como:
Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:
Donde
Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño
del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de
pendientes, donde
es la pendiente al principio del intervalo,
medio del intervalo, usando
de Euler.
es la pendiente en el punto
para determinar el valor de y en el punto
es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando
usando el método
para determinar el

21. valor de y;
es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por
.
Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:
Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error
por paso es del orden de
, mientras que el error total acumulado tiene el orden
Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de
los métodos computaciones.
.
, razón por la cual es usado en