Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales

INTEGRANTES:
• BARAHONA VASQUEZ PIER ANTHONY
DOCENTE:
LIC. EVER ROJAS HUAMAN
ASIGNATURA:
MÉTODOS NUMÉRICOS.
CICLO: TRABAJO DE SUBSANANCION
MÉTODOS
NUMÉRICOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA – INGENIERIA CIVIL
MÉTODOS
NUMÉRICOS

3
(7)
Deducción gráfica del
método de Euler.

MÉTODO DE EULER
MODIFICADO
5
En el método de Euler se tomó como válida, para todo el primer subintervalo, la derivada encontrada en
un extremo de éste. Para obtener una exactitud razonable se utiliza un intervalo muy pequeño, a cambio
de un error de redondeo mayor (ya que se realizarán más cálculos).
El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un valor promedio de la derivada
tomada en los dos extremos del intervalo, en lugar de la derivada tomada en un solo extremo.
Este método consta de dos pasos básicos:

6
El esquema iterativo para este método quedaría en general así:
Primero, usando el paso de predicción resulta:

FÓRMULA MEJORADA DE EULER O
FÓRMULA DE HEUN:
8

9
Valor usado como una aproximación
Valor mejorado con la fórmula de Heun
Esta fórmula se puede reescribir como se muestra en la definición:
Fórmula de Heun:
(Error de truncamiento en cada paso)

Metodo de la serie
de taylor de orden
superior

13
para obtener soluciones numéricas de las ecuaciones
diferenciales, consiste en calcular las derivadas
sucesivas de la ecuación diferencial dada, evaluando
las derivadas en el punto inicial x(0) y reemplazando
el resultado en la serie de Taylor. La principal
dificultad de este método es el cálculo recurrente de
las derivadas de orden superior.

15
Mediante la serie de
taylor: derivamos
✔ Una función con n derivadas puede ser
aproximada o expresada mediante un
polinomio mas sencillo, cuanto mas derivadas
se usen mas se aproxima la función.

16
Si tenemos la ecuación diferencial
De la cual se deduce:
De orden 4:
De orden 2:

“
Los métodos asociados con los nombres de Runge (1885), Kutta (1901), Heun (1900) y otros
para resolver el Problema de Valor Inicial (PVI), consisten en obtener un resultado que se
obtendría al utilizar un número finito de términos de una serie de Taylor de la forma:
18
INTRODUCCIÓN

MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
▪
21

▪
22

SEGUNDO ORDEN
▪
23

SEGUNDO ORDEN (HEUN)
▪
24

SEGUNDO ORDEN (RALSTON)
▪
25

SEGUNDO ORDEN (PUNTO
MEDIO)
▪
26

DE CUARTO ORDEN
▪
27

MÉTODOS DE PREDICCIÓN-
CORRECCIÓN

Métodos de
predicción-corrección
En el esquema iterativo del método de Euler modificado se utiliza la fórmula:
Para ver mejor esta similitud, recuérdese que la solución analítica de la ecuación diferencial del
PVI es:
e integrando ambos miembros con respecto a x
29

30
donde h es la altura del trapezoide

31
Al igualar las integrales , se tiene:
O bien:
A continuación se derivará un Corrector basado en el método de Simpson 1/3.
Y la correspondiente queda:

32
En general, puede obtenerse un corrector de cualquier orden utilizando la fórmula

33
MÉTODOS DE PREDICCIÓN:
Ya antes se habló de una familia de predictores obtenida a partir del mismo principio de integración que se empleó para lo métodos de Adams-
Moulton. A esta familia, que se deduce a continuación, se le llama métodos de Adams-Bashforth. En general, para obtener un predictor de cualquier
orden se utiliza la fórmula 7.40

34
EJEMPLO
Resuelva el problema de valor inicial utilizando el corrector dado por la ecuación y el método Euler
modificado como inicializador y como predictor.
Para obtener la aproximación YF a la solución de un problema de valor inicial o PVI, proporcionar la función
F(X,Y) y los
DATOS: La condición inicial XO, YO, el valor XF donde se desea conocer el valor de YF y el número N de
subintervalos por emplear. RESULTADOS: Aproximación a YF: YO.
Solución
El intervalo se divide otra vez en cinco subintervalos y se tiene

Introducción:
❖ PROBLEMAS DE VALORES INICIALES QUE NO EMPIEZAN
POR SI MISMOS.
❖ Estos métodos pueden ser definidos como aquellos para los
cuales un solo valor de la variable dependiente, dada en la
solución inicial, no es suficiente para dar inicio al procedimiento
de integración numérica.
❖ Es necesario el conocimiento de más de un punto de la

Sustituyendo los coeficientes dados por (10.3) en la (10.2) se
obtiene, para el área A de las cuatro franjas:
Expresión que será utilizada como parte de la ecuación de
predicción.
Considerando que en la ecuación (10.1), esta técnica consiste en
obtener valores apropiados de y utilizando una ecuación de
PREDICCIÓN y corrigiendo luego estos valores, por el uso iterativo
de una ecuación de CORRECCIÓN.

Ecuación de PREDICCIÓN DE MILNE :
Utiliza el área de cuatro franjas bajo una aproximación parabólica de
segundo grado.
La ecuación de CORRECCIÓN DE MILNE está dada por:
Y utiliza la regla de SIMPSON para determinar el área de dos franjas
bajo una curva y suministrar así, valores corregidos de la variable
dependiente.

Error en el Método de MILNE:
Las ecuaciones de Predicción (10.5) y de Corrección (10.6) resultan
exactas bajo condiciones muy particulares. Puede demostrarse que el
error cometido con la aplicación de las ecuaciones es del orden:
Donde
El error no puede ser calculado con exactitud, pero, puede acotarse
tomando el extremo del intervalo que hace máxima la derivada cuarta
de f

Generalización del Método de MILNE:
Los principios empleados en la deducción de las fórmulas de
Predicción (10.5) y Corrección (10.6) del método se prestan a ser
extendidas a otros. Esto hace aumentar la precisión de las fórmulas
pero, se requerirán más de cuatro puntos de la curva integral. Para el
caso particular de 6 franjas bajo la curva y`(x).
El error que se comete por paso, aplicando las expresiones (10.8) y
(10.9) es del orden:

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