La derivada parcial de una función de varias variables es la derivada de la función tratando a una de las variables como constante. Se definen las derivadas parciales primeras y segundas. La matriz jacobiana contiene las derivadas parciales primeras y es importante para determinar si una función es continua diferenciable. Las derivadas parciales segundas se obtienen derivando las derivadas parciales primeras.

1. DERIVADAS PARCIALES
DEMETRIO CCESA RAYME

2. DERIVADAS PARCIALES
Dada
La derivada parcial de f respecto de x es
la derivada de f como función de una sola variable x,
dejando y constante.
La derivada parcial de f respecto de y es
la derivada de f como función de una sola variable y,
dejando x constante.

3. Notaciones para las Derivadas Parciales:
EJEMPLO:

4. INTERPRETACIÓN
GRÁFICA:
Recta verde de
pendiente
Recta rosada de
pendiente

5. PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES:
Se definen las tres derivadas parciales
ó
derivadas respecto de x, y ó z respectivamente
dejando las otras dos variables constantes.
PARA FUNCIONES DE q VARIABLES:

6. OBSERVACIÓN IMPORTANTE:
Para funciones f(x) de una sola variable real:
Existe derivada f ’ IMPLICA que f es continua
Para funciones f(x_1, x_2, …, x_q) de más de dos
variables reales:
Existen las derivadas parciales NO IMPLICA
que f sea continua.
Existen funciones de varias variables:
• continuas que no tienen derivadas parciales.
• que tienen derivadas parciales y no son continuas.
• que no son continuas ni tienen derivadas parciales.
• que son continuas y tienen derivadas parciales.

7. MATRIZ JACOBIANA.
J f (a) es la matriz con s filas y q columnas, tal que
en la fila i, columna j, tiene el término
(a)

8. EJEMPLO. Hallar la matriz Jacobiana en el punto a = (1,1,1) de
la función f siguiente:
Ojo JF(1,1,1)

9. EJEMPLO. Hallar la matriz Jacobiana en el punto (1,2) de

10. DERIVADAS PARCIALES SEGUNDAS: Se obtiene derivando
parcialmente respecto a una variable x_i (dejando las demás
fijas) y a lo que se obtiene derivándolo parcialmente respecto
a otra o la misma variable x_j (dejando las demás fijas).
Derivadas “iteradas”

11. EJEMPLO: Calcular las derivadas parciales primeras
y segundas de f. Verificar que las derivadas iteradas son
iguales entre sí.

12. DEFINICIÓN:
si existen derivadas parciales primeras y son todas
continuas.
DEFINICIÓN:
si existen derivadas parciales primeras y segundas y son
todas continuas.
DEFINICIÓN:
si existen derivadas parciales hasta orden r y son todas
continuas.

13. EJEMPLO:
Encontrar si existe una función f(x,y) tal que: