Presentación de nivel medio sobre Polinomios y Funciones Asociadas de Legendre

1. ESCUELA DE FÍSICA, UNAHFunciones Asociadas de Legendre Asignatura: Mecánica Cúantica II Autores: Leslie Martinez Juan Calderón Karol Castro Jonnathan López Fecha: 08 de marzo de 2011

2. POLINOMIOS DE LEGENDRE Ecuación diferencial ordinaria de Legendre: Esta ecuación tienesoluciones en forma de series de potencias de la forma: Ahorasustituimos la función (2) en (1) (y sus derivadas) y hacemos:

3. POLINOMIOS DE LEGENDRE Escribamos el primer término como la suma de dos series para obtener: Hagamos ahora para obtener la mismapotencia : Para y obtenemos:

4. POLINOMIOS DE LEGENDRE ..y, en general cuando : De aquí se obtiene: Al insertar estos valores en (2) obtenemos dos solucionesindependientes, una par y unaimpar: Fórmula de Recurrencia

5. POLINOMIOS DE LEGENDRE Recordemos que si el parametro es un entero no negativoentoncesesto es cierto: Si es par se reduce a un polinomio de grado Si es impar se cumple lo mismo para Estos polinomios multiplicados por una constante se les llama Polinomios de Legendre Por comodidad se elige como referencia el coeficiente que acompaña al término de mayor exponente. Se le da este valor específico por razones de normalización.

6. POLINOMIOS DE LEGENDRE …y así sucesivamente. En general cuando A esta solución resultante de la ecuación(1) se le llama Polinomio de Legendre de grado y se denota por Por ejemplo, las primeras cuatro funciones son:

7. Dada la ecuación de Shrödinger y la gran variedad de problemas que requieren el uso de coordenadas esféricas Es necesario resolver la ecuación de Shrödinger independiente del tiempo. Siguiendo con la separación de variables. Al hacer la separación de variables Relación con la mecánica cuántica

8. Resolvemos sin problemas la parte azimutal y notamos que la parte radial depende mucho del potencial aplicado, así que su solución debe ser particular para cada uno. En general, el término al cual estamos obligados a resolver es el término angular principal theta, cuya ecuación diferencial queda. Esta ecuación no es más que una expresión angular de la ecuación (diferencial) asociada de Legendre. Relación con la mecánica cuántica

9. POLINOMIOS DE LEGENDRE Gráficos de los primeros cinco polinomios de Legendre en Wolfram Alpha:

10. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE La ecuación asociada de Legendre expresada en coordenadas esféricas:

11. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE El objetivo es resolver esta ecuación, comencemos haciendo de modo que:

12. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE …

13. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE La ecuacion resulta: Simplificando un poco: Finalmente hagamos : Y finalmente hemos obtenido la famosa ecuación diferencial asociada de Legendre.

14. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE Cuando esta se reduce a la conocida la EDO de Legendre (1), la cual acabamos de resolver: Ahora intentaremos resolver esta ecuación más general, basándonos en la anterior, relativamente más sencilla: Tratando de simplificar un poco las cosas, hacemos el cambio de variable …de aquí:

15. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE O bien podemos expresarlo de la siguiente manera:

16. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE Sustituyendo estas derivadas en la ecuación (3) y eliminando los términos comunes obtenemos: Simplificando un poco:

17. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE La expresión anterior (4) se vémucho mas sencilla que (3) incluso se parece bastante a (1) tanto que se puede pensar que hay una relación directa entre ellas. Buscamos una relación entre estas ecuaciones comenzamos derivando (1) varias veces, quizá y haciendoexplícito el hecho de que la solución de (1) son los polinomios de Legendre Con la ayuda de la fórmula de Leibniz para diferenciar m veces los productos de funciones.

18. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE Si … Pero ya que … que hace de esta un caso especial de (4) Lo mismo sucede para m=2 , 3 , 4,… Para genérico…..

19. La ecuación anterior es una prueba de que: Es solución de (4). Ahora recordamos que inicialmente queríamos la solución de (3) para la cual hicimos el cambio de variable: Entonces la solución general es realmente: Para la cual ha valido la pena introducir una nueva notación. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

20. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE También podemos escribir esta ecuación en coordenadas esféricas, sustituyendo (o bien cualquier otro argumento, porsupuesto). Así, la ecuación anterior queda: …y ya que , notamos que siempre un polinomio en multiplicado por si es impar.

21. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE Regresando a la Mecanica Cuántica, obtenemos así lassolucionespara la parte angular de la ecuación de Schrodinger;en forma general: …donde es la constante de normalización. Veamos ahora estos polinomios y funciones en de forma gráfica…

22. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE Por ejemplo, al calcular obtenemos:

23. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE Al realizarlasgráficaspara los polinomios de Legendre peroahora con argumento obtenemos:

24. BIBLIOGRAFÍA Arfken, G. B., & Weber, H. J. (2001). Mathematical Methods for Physicists 5th Ed. San Diego, CA: Harcourt. Kreyszig, E. (2006). Advanced Engineering Mathematics 6th Ed. Columbus, Ohio: Wiley. Griffiths, D. (1995). Introduction to Quantum Mechanics. New Jersey: Prentice Hall. Weisstein, Eric W. "Legendre Differential Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LegendreDifferentialEquation.html Wolfram. (n.d.). Legendre Polynomial. Retrieved March 08, 2011, from Wolfram Mathworld: http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html