1. UNIDAD No. 2
Métodos de integración
Integración por sustitución
trigonométrica

2. INTEGRACIÓN MEDIANTE
SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA

Cuando un integrando contiene
potencias enteras de x y potencias
enteras de alguna de las expresiones:
a
2
x
2
, a
2
x
2
2
a
o bien x
es posible que se puedan evaluar por
medio de una sustitución
trigonométrica.
2

3. CASO 1 Integrandos que
contienen a 2 x 2

En este caso utilizaremos la siguiente
representación:
A partir de ella, definimos
a
a2
x
x2
x
aSen( )

4. CASO 2 Integrandos que
contienen a2 x2

En este caso utilizaremos la siguiente
representación:
a
2
x
A partir de ella, definimos
2
x
a
x
aTan( )

5. CASO 3 Integrandos que
contienen x2 a2

En este caso utilizaremos la siguiente
representación:
A partir de ella, definimos
x
x
a
2
a
2
x
aSec( )

6. PROCESO DE INTEGRACIÓN
MEDIANTE SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA

Para resolver una integral mediante
el método de sustitución
trigonométrica hay que seguir el
siguiente proceso:
1.
Proponer la sustitución adecuada.
Reemplazar los términos en la integral a partir de la
sustitución propuesta.
Resolver la integral equivalente obtenida al
reemplazar los términos a partir de la sustitución
propuesta.
Expresar la solución de la integral equivalente en
términos de la sustitución original.
2.
3.
4.

7. EJEMPLO:
dx

Resolver:
x 16
x2
Seguiremos paso a paso con el proceso
indicado.
Como el radical tiene la forma a 2 x 2
con a = 4, tenemos una integral del CASO
2 y:
1. El cambio indicado es: x 4Tan( )
Con ello, tenemos la siguiente
representación gráfica:

8. SOLUCIÓN:
16 x 2
x
4Tan( )
dx 4Sec2 d
16 x 2
x
16 16Tan2
16(1 Tan2 )
16Sec 2
4
2. Reemplazando los términos en la
integral propuesta tenemos:
dx
4Sec2 d
4Tan 4Sec
x 16 x 2
4Sec

9. SOLUCIÓN…
Simplificando:
dx
4Sec2 d
4Tan 4Sec
x 16 x 2
dx
x 16 x 2
1 Sec d
4 Tan
dx
x 16 x 2
dx
x 16 x 2
1
1 / Cos
d
4 Sen / Cos
1
1
d
4 Sen
1
Csc d
4
Esta última representa la integral equivalente.

10. SOLUCIÓN…
3.
Enseguida procedemos a resolver la integral
equivalente. Como:
Cscudu ln Cscu Cotu c
Entonces:
dx
x 16
4.
x2
1
Csc d
4
1
ln Csc
4
Cot
c
Expresando lo anterior en función de los términos
originales, tenemos finalmente que:
dx
x 16
x
2
1
16 x
ln
4
x
4
x
c

11. PROBLEMAS:

Resolver:
1.
x
2.
2
25 x 2
3.
5.
dx
2
x 9
dx
4
x
2
1 x dx
4.
dx
(1 x 2 )3 / 2
x2
9
x
6.
dx
x2 4
dx