Unidad i-Ecuaciones

Universidad Marcelino Champagnat
CURSO
MATEMÁTICA II:
Unidad I ECUACIONES
2018

Mg. RGP/Matemática II /Unidad 1/ 2018 1 de 38
CONTENIDOS
1. Ecuaciones
1.1.Ecuación lineal en una variable.
1.1.1. Definición, forma
1.1.2. Solución – Conjunto solución
1.1.3. Resolución de una ecuación aplicando propiedades de la
igualdad.
1.1.4. Clases: compatibles e incompatibles
1.1.5. Resolución de problemas aplicando ecuaciones cuadráticas.
1.2.Sistema de ecuaciones lineales en dos variables
1.2.1. Conjunto solución
1.2.2. Resolución de un sistema de ecuaciones
1.2.2.1. Por reducción
1.2.2.2. Por sustitución
1.2.2.3. Por igualación
1.2.3. Resolución de problemas aplicando ecuaciones cuadráticas.
1.3.Ecuación cuadrática
1.3.1. Ecuación cuadrática en una variable:
1.3.1.1. Forma
1.3.1.2. Resolución de ecuaciones cuadráticas aplicando el
teorema fundamental del álgebra.
1.3.1.3. Resolución de problemas aplicando ecuaciones
cuadráticas.

Ecuación lineal con una variable
Una ecuación lineal con una variable es una igualdad condicional.
Por ejemplo, la siguiente igualdad:
7 11 25x  
Es una ecuación lineal de variable x.
Definición:
Una ecuación lineal en una variable es una igualdad condicional,
que una vez simplificada, es de la forma:
0
segundoprimer
miembromiembro
ax b 
Dónde: a y b son números racionales.
“x” es la variable (incógnita)
Una ecuación lineal en una variable también se denomina
ecuación de primer grado, porque el exponente de la variable es 1.
Solución – Conjunto solución (C.S)
Es el valor que toma la variable para que la igualdad sea
verdadera.
Para el ejemplo dado 2x  es la solución de la ecuación, pues al
reemplazar la variable por 2 la ecuación verifica, tal y como se
muestra a continuación:
25
7( ) 11 25 verdadero2   
Note que no cualquier valor puede verificar la igualdad, por
ejemplo si reemplazamos x por 3 la igualdad no se verifica tal y
como se muestra
32
7( ) 11 25 falso3   
Luego afirmamos que 3x  no es solución de la ecuación dada.
Conjunto solución
Si en una ecuación, al reemplazar la variable por un valor racional,
se cumple la igualdad, entonces dicho valor es una solución de la
ecuación, que es un elemento del conjunto solución  .C S .
Así, el conjunto solución de la ecuación es:
 . 2C S 

Resolución aplicando propiedades de la igualdad.
0a  , 0b  0a  , 0b  0a  , 0b  0a  , 0b 
0ax b 
Por la monotonía de la
adición, sumando a ambos
miembros –b:
Por monotonía de la
multiplicación,
multiplicando ambos
miembros por
1
a
:
   
 
1 1
1
ax b
b
a a
b
x x
a a
   
  
 
 
 


  
Luego
b
CS
a
 
  
 
0 0ax  
Por elemento neutro
de la adición:
0ax 
Por monotonía de la
multiplicación,
multiplicando ambos
miembros por
1
a
:
   
  0
1 1
0
1
0
ax
x
a
x
a
   
  

 
  


Luego  0CS 
0 0 0
0 0 0
0 0
x  
 

Así se cumple la
igualdad para cualquier
valor de la variable “x”.
Luego:
 /CS x x 
CS 
0 0
0 0
0
x b
b
b
 
 

Generándose una
contradicción con
la condición dada
0b  . Así la
igualdad no se
cumple para valor
alguno de la
variable “x”, es
decir la ecuación
no admite raíces.
Luego
CS  
Clases
A este tipo de ecuación que tiene una sola solución se
le llama compatible determinada
A este tipo de ecuación
que tiene infinitas
soluciones se le llama
compatible
indeterminada.
A este tipo de
ecuación que no
admite raíces se le
llama
incompatible.
Ejemplos:
Determina el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
Ecuación Procedimiento y propiedad
   2 3 3 2 6 7x x x     
Eliminar los signos de agrupación, realizando
las operaciones indicadas propiedad
distributiva.
2 6 3 2 6 7x x x     
Reducción de términos semejantes en cada
miembro de la ecuación
8 6 7x x    
Por monotonía de la adición, se suma a
ambos miembros (+ 8 + 6x)
76 68 6 88x xx x      
5 15x 
Por monotonía de la multiplicación, se
multiplica ambos miembros por
1
5
 
 
 
1 1
5 15
5 5
x
   
   
   
Realizando las multiplicaciones indicadas.
3x 
 3CS 
Esta ecuación es compatible determinada

   2 3 3 2 4 8x x x     
Eliminar los signos de agrupación, realizando las
operaciones indicadas propiedad distributiva.
2 6 3 2 4 8x x x     
8 4 8x x    
Por monotonía de la adición, se suma a ambos
miembros (+ 8 + 4x)
84 48 4 88x xx x      
3 0x 
Por monotonía de la multiplicación, se multiplica
ambos miembros por
1
3
 
 
 
1 1
3 0
3 3
x
   
   
   
Realizando las multiplicaciones indicadas.
0x 
 0CS  Esta ecuación es compatible
determinada
   2 3 3 2 8x x x     
2 6 3 2 8x x x     
Reducción de términos semejantes en cada miembro de la
ecuación
8 8x x    
Por monotonía de la adición, se suma a ambos miembros
(+ 8 + x)
8 88 8x xx x        Reducción de términos semejantes en cada miembro de la
ecuación
0 0
Se obtiene una proposición verdadera. CS 
Esta ecuación es compatible indeterminada
   2 3 3 2 10x x x     
2 6 3 2 10x x x     
Reducción de términos semejantes en cada miembro de la
ecuación
8 10x x    
Por monotonía de la adición, se suma a ambos miembros
(+ 8 + x)
8 8 10 8x x x x         Reducción de términos semejantes en cada miembro de la
ecuación
0 2 
Se obtiene una proposición falsa. CS 
Esta ecuación es incompatible

Determinar el conjunto solución de la ecuación    
3
2,5 3 4 2 5
4
x x x    
   
3
2,5 3 4 2 5
4
x x x     Transformar los decimales a fracciones.
   
5 3
3 4 2 5
2 4
x x x    
Eliminar los signos de agrupación,
realizando las operaciones indicadas.
5 15 3
4 2 5
2 2 4
x x x    
multiplica ambos miembros por el MCM
de los denominadores que en este caso
es 4.
     
5 15 3
4 4 4 4 4 2 4 4 5
2 2 4
x x x
     
         
     
Realizando las multiplicaciones
indicadas.
10 30 16 8 3 20x x x    
Realizando en cada miembro operaciones
con polinomios de primer grado.
6 22 3 20x x   
ambos miembros – 22 – 3x
   22 3 22 36 22 3 20xx xx       
Realizando en cada miembro operaciones
con polinomios de primer grado.
9 42x  
multiplica ambos miembros por  1
9
   
1 1
9 42
9 9
x
   
       
   
Realizando las multiplicaciones
indicadas.
14
3
x 
14
3
CS
 
  
 
Determinar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones
2.    
1 1 1 3
5 6 1
30 2 3 10
x x x
 
     
 
Resolución
1 1 1 1 3
6 5 2 2 3 10
x
x x    
Multiplicando por el MCM(6,5,2,3,10) = 30
1 1 1 1 3
30 30 30 30 30 30
6 5 2 2 3 10
x
x x
           
               
           
5 6 15 15 10 9x x x    
5 6 5 6x x  
Por monotonía de la adición, se suma a ambos
miembros – 6 – 5x
0 0
0 0
x 

Luego: CS 
3. 2 1
0,5 0,16 0,5
3 12
x x
 
    
 
Resolución
1 2 1 1 1
2 3 6 2 12
x x
 
    
 
1 1 1 1 1
2 3 6 2 12
x x   
Multiplicando por el MCM(2,3,6,12) =
12
1 1 1 1 1
12 12 12 12 12
2 3 6 2 12
x x
         
            
         
6 4 2 6 1x x   
6 2 6 1x x  
ambos miembros +2 – 6x
0 3 0 3x   
Luego: CS  

Actividad 1
Aplica procedimientos, propiedades, técnicas operativas, en el proceso de la
resolución de una ecuación lineal en una variable.
1) Al resolver cada una de las siguientes ecuaciones y relaciónelas con su
conjunto solución.
a) 5 + x = 3 ( ) 6
b) 9 – x = 2 ( ) -2
c) 5 – x = -3 ( ) 8
d) 5 – 2x = -7 ( )  1
3

e) 3x + 2 = 3 ( ) 7
2) Al resolver cada una de las siguientes ecuaciones y relaciónelas con su
conjunto solución.
a) 3 1
2 5
x
x

  ( ) -2,5
b) 1
2
3
x
x

  ( ) 17
c) 5 2
1
2 3
x x 
  ( ) 4
d)    
1 1
2 1 2 4
5 3
x x    ( ) -2,6
e)    
1 2
3 4 1
7 5
x x    ( ) 73
11
 
 
 

3) Determina el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.
a) 5(x - 3) + 2(x + 1) = 3(x - 7) b) x(x – 5) + 2(x – 1) = (x + 1) 2
c) 3x + {5 – x + (8 + x)} = 2x + 6 d) 7 – { x + [4 – (3x + 1)]} = x + 4
e) 4 + {9 – [x – (2x + 3) + 7] - 1} = 10 f) (x + 2) 2
+ 3(x - 1)(x + 1) = 4x(x - 2)

4) El conjunto solución de la ecuación
x 3 1
x
2 4 4
   , es:
a) {1} b){ 0} c){ -1} d){4} e){7}
5) El conjunto solución de la ecuación x 3 x 1
2
5 3
 
  , es:
a) {3} b){2} c) {4} d) {8} e) {-4}

6) El conjunto solución de la ecuación 5x 16 x 8 x 1
6 12 3
  
   , es:
a)  
 
 
3
7
b)  
 
 
4
5
c)  
 
 
2
5
d) -1 e) 4
7) El conjunto solución de la ecuación    
2 5 x 3 2
x x 4 x 2
5 3 3 3
 
     
 
, es:
a) {2} b) {-1} c) {5} d) {4} e) {7}

Actividad 2
1) Codifica enunciados.
Así, si “x” es un número racional, completa:
Enunciado verbal
Expresión
matemática
La suma de un número con 8.
El exceso de un número sobre 10
Un número aumentado en 2/3.
Un número aumentado en sus 2/3.
Un número disminuido en 10 unidades.
Un tercio menos de un número
El doble de un número, disminuido en 5
La tercera parte de, un número aumentado en 9
El cuádruple de un número.
El 25% de un número
Dos veces más que un número
Un número dividido entre 6
El doble de, un número disminuido en 5
El doble de un número, disminuido en 5
La tercera parte de un número, aumentado en 9

Actividad 3
Resolución de situaciones problemáticas haciendo uso de ecuaciones lineales
con una variable.
1. Las instrucciones para un trabajo en madera especifican que se requiere tres
piezas de dicho material. La más larga de ellas debe tener el doble de longitud
que la de tamaño medio y la más corta debe ser 10 cm más corta que la
mediana. Lidia María posee una pieza de 70 cm que la quiere utilizar. ¿De
qué longitud debe ser cada pieza?
2. Daniel y Arturo coleccionan estampitas. Actualmente Daniel tiene 360
estampitas y Arturo tiene 80. Si cada año cada uno compra 6 estampitas,
¿dentro de cuántos años Daniel tendrá el triple de estampitas de Arturo?

3. El gerente del restaurante “Cat”, gastó un total de $ 7400,00 al adquirir 200
juegos de platos. Si el diseño básico cuesta $ 25,00 por juego y el diseño de
lujo cuesta $ 45,00 por juego, ¿cuánto gastó en total por los juegos de platos
del diseño de lujo?
4. Una empresa de pantalones en liquidación, posee 2500 unidades de
pantalones en su almacén. La empresa decide vender cierta cantidad de
unidades a $ 20 y el resto lo liquida a $15, con lo que completa el dinero para
poder cumplir con todas sus obligaciones que son de $ 40 000, ¿cuántas
unidades se liquidaron?

5. Un cine ha proyectado una determinada película solo tres días: lunes, martes y
miércoles de la semana pasada. Se sabe que el número de espectadores se
incrementó el martes en un 12% respecto al lunes; que el miércoles el número
de espectadores disminuyó un 12% respecto al martes y que el lunes hubo 36
espectadores más que el miércoles. ¿Cuántos espectadores vieron la película
el día miércoles?
6. Tres amigos deciden compartir un taxi. Cuando están a punto de subir al taxi,
se unen al grupo dos amigos más, por lo que cada uno termina pagando 2
soles menos de lo que iba a pagar inicialmente. ¿Cuánto les cobró el taxista?

7. Entre 10 primos deciden pagar, en partes iguales, una deuda que se originó
por un sobregiro de la tarjeta de crédito por parte de su abuelo, pero resulta
que 4 de ellos solo pueden pagar la tercera parte de lo que les corresponde,
obligando, de esta manera, a que cada uno de los demás añadiese a su cuota
inicial $ 20,40. ¿Cuál es el monto total de la deuda?
8. Un granjero tiene dos tipos de pienso (comida para animales) A y B, los
precios son de 40 soles y 60 soles el Kg respectivamente. ¿Cuántos kg de
pienso hay que poner de cada clase para obtener 60 kg de pienso de 50
soles el kg?
Problemas de Mezclas
Sustancia Cantidades Precio Total
A
B
Total

9. Un mecánico tiene dos clases de aceite, la primera de 6 soles el litro y la
segunda a 7,20 soles el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase
para obtener 60 litros de la mezcla a 7 soles el litro?
10. Tengo un vino A que cuesta 10 dólares, si mezclo 20 litros vino A con
40 litros del vino B y obtengo una mezcla de 6 dólares el litro, ¿cuál es
el costo del litro del vino B?

Ecuación lineal en dos variables (Ecuación de la recta)
Ecuación lineal en dos variables
Una ecuación de la forma ax by c , donde a, b y c son
números reales tale 0 0a ,b que se llama ecuación lineal
con dos variables
El conjunto solución de dicha ecuación se denota como:
2
CS x,y / ax by c
La representación del conjunto solución en el plano es una recta.
Sistema de coordenadas. Plano Cartesiano.
Notación de un par ordenado:
2
x,y
Ejemplos
Así, el par ordenado de la forma:
a) 3 2, IC b) 3 2, IIC c) 3 2, IIIC
d) 3 2, IVC e) 0x, X f) 0,y Y

Actividad 4
1. Determina las coordenadas que le corresponde a cada punto del plano:
2. El punto A es de coordenadas (1, 4) y el punto B es de coordenadas (-3, -2).
(a) Ubica las coordenadas de los
puntos A y B en la siguiente
cuadrícula, luego traza la recta
L1 que pasa por los puntos A y
B.
(b) Calcule la pendiente de la recta
AB
(c) Determina la ecuación de la recta AB.

(d) Traza la recta L2 por los puntos (1, 4) y (5,5). Calcula la pendiente de
la recta L2 ¿Cómo son las rectas L1 y L2?
(e) Traza la recta L3 por los puntos (3, 2) y (1,-1). Calcula la pendiente de
(f) Traza la recta L4 por los puntos (3, 2) y (0,4). Calcula la pendiente de
3. En la figura se muestra la gráfica de la recta que pasa por los puntos A y B.
(a) Determina la ecuación de la recta
que pasa por los puntos A y B.

(b)Determina la ecuación de la recta paralela a la recta AB que pasa por el
punto C.
(c) Determina los interceptos con los ejes coordenados de la recta paralela a la
recta AB que pasa por el punto C.
(d)Determina la ecuación de la recta perpendicular a la recta AB que pasa por
el punto C.
(e) Determina los interceptos con los ejes coordenados de la recta
perpendicular a la recta AB que pasa por el punto C.

4. Determina y grafica en cada caso, la ecuación de la recta que satisface las
condiciones siguientes:
a) L1 , si su pendiente es 3; el
intercepto en el eje Y es
(0, 2)
b) L2 , si su pendiente es -1,5; el intercepto en el eje Y es (0, -1)
c) L3 , si su pendiente es 2,5; el intercepto en el eje Y es (0, 0)
d) L4 , si su pendiente es -1; el intercepto en el eje Y es (0, 5)

5. Determina la ecuación de las rectas que satisfacen las condiciones dadas:
a) Pasa por (7, 2); paralela a 3x – y = 8
b) Pasa por (-2, -2); paralela a - x + 2y = 10
c) Pasa por (8, 5); perpendicular a 2x – y = 7

Sistema de ecuaciones lineales en dos variables
Al conjunto de dos o más ecuaciones lineales se les llama
sistema de ecuaciones lineales, es de la forma:
Es un sistema de dos ecuaciones lineales
con 2 variables
Es un sistema de tres ecuaciones
lineales con 3 variables
Conjunto solución
El par ordenado (x, y) que satisface ambas ecuaciones es una
solución del sistema de ecuaciones, formando parte de su
conjunto solución  CS .
Ejemplo: en el sistema
2 6
5
x y
x y
 

 
el par ordenado (4; 1) es
solución del sistema, luego su conjunto solución es:   4; 1CS 
Resolución de un sistema de ecuaciones
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos
variables, se tienen los métodos gráfico y de eliminación.
Método gráfico
Para comprender este método, se considera el siguiente ejemplo:
Ejemplo
Determinar el conjunto solución del
sistema:
Resolución
Para ello estas ecuaciones se representan, mediante tabulación,
en el plano cartesiano, así:
Ecuación (I)
x 0 2
y 6 2
Ecuación (I)
x 0 2
y 2 6
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
 
 
2 6 ...
2 2 ...
x y I
x y II
  

  

De manera análoga, considere los
siguientes sistemas:
Las rectas son secantes y se
intersecan en (1;3), luego
  1; 3CS  .
Así dicho sistema es
compatible determinado,
pues admite una sola
solución.
Las rectas son coincidentes y
se intersecan en infinitos
puntos, luego
  2
; / 2 1CS x y x y    
Así dicho sistema es
compatible indeterminado,
pues admite infinitas
soluciones.
 
 
2 1...
)
2 3 ...
x y I
c
x y II
   

 
Las rectas son paralelas, es decir
no se intersecan, luego CS  .
Así dicho sistema es incompatible,
pues no admite solución.
 
 
6 3 3 ...
)
4 ...
x y I
a
x y II
  

 
 
 
2 1 ...
)
4 2 2...
x y I
b
x y II
  

  

Método de eliminación
Este método consiste en eliminar una de las variables en ambas
ecuaciones, transformándolas a una ecuación lineal en una
variable. Este método puede ser: por reducción, por sustitución y
por igualación.
a) Por reducción
Este método de eliminación consiste en
transformar el sistema en otro
equivalente, donde los coeficientes de
la variable a eliminar deben ser opuestos.
b) Por sustitución
Este método de eliminación consiste
en despejar una de las variables de
cualquiera de las ecuaciones para
reemplazarla en la otra.
 
 
4 3 11 ...
3 2 8 ...
x y I
x y II
  

 
 
 
3 2,5 12,5 ...
3 3,5 ...
x y I
x y II
  

  

c) Por igualación
Este método de eliminación
consiste en despejar la misma
variable en ambas
ecuaciones, para igualar las
expresiones obtenidas, aplicando la ley transitiva de la igualdad.
     
   
2 3 5 4 23 ...
10 3 2 8 ...
x y I
y x II
    

  

Resolución de problemas aplicando sistema de ecuaciones
Cierto día se registró en el museo Tumbas reales de Sipán la
visita de 350 personas, entre adultos y niños. Si la tarifa por
adulto es de S/. 10 y por niño es de S/. 1,50, recaudándose un
monto de S/. 2 650. ¿Cuántos adultos y niños visitaron el museo
ese día?
Resolución
 Comprendiendo el problema
Se identifican los datos y se asignan las variables:
Número de personas Valor de la entrada Recaudación
Niños x S/. 1,50 1,50x
Adultos y S/. 10 10y
Total 350 2 650
 De acuerdo a la primera condición:
el número de asistentes es 350, es decir: x + y = 350
De acuerdo a la segunda condición: la recaudación total es
2650, es decir: 1,50x+10y =2650
 
 
350 ...
1,50 10 2650 ...
x y I
x y II
  

 

Actividad 5
Procesar la información recibida sobre Sistemas de ecuaciones mediante
relaciones matemáticas, sus transformaciones, aplicación de propiedades y
del análisis de su solución.
1. En la boletería de un cine, una persona paga 24 soles por 5 entradas de
adulto y 2 entradas de niño. Otra persona paga 10 soles por 2 entradas de
adulto y 1 entradas de niño, entonces, el costo de la entrada de adulto es:
2. En una clase de la universidad el número de mujeres es la cuarta parte del
total. ¿Cuántos varones hay en la sección, si la diferencia entre el número
de varones y mujeres es 10

3. Un comerciante compró 2500 botellas a $ 20 el ciento, en el transporte se le
rompieron 190 botellas y después regala 5 botellas por cada 100 que vende,
entonces, a cómo vendió el ciento si en total ganó $ 116.
4. Añadiendo 3 al numerador de una fracción y restando 2 al denominador, la
fracción resultante es 6/7, pero si se resta 5 al numerador y se añade 2 al
denominador, la nueva fracción es 2/5, entonces la suma de los elementos
de la fracción es:

5. Añadiendo 3 al numerador de una fracción y restando 2 al denominador, la
fracción resultante es 9/5, pero si se resta 5 al numerador y se añade 2 al
denominador, la nueva fracción es 1/9, entonces la suma de los elementos
de la fracción es:

ECUACIONES CUADRÁTICAS
En la antigüedad, algunas culturas representaron los números mediante letras.
Los griegos usaban su alfabeto para representar los números, al igual que la
numeración romana. En realidad, el Álgebra comienza cuando los matemáticos
se empiezan a interesar por operaciones que se pueden realizar con cualquier
número más que por los mismos números, lo que los llevó a generalizar un
número cualquiera a través de una letra llamada variable. Si bien en un
principio no existían las variables, los problemas se plantearon mediante
palabras, por lo que se le llamó Álgebra Retórica, y la variable era llamada
cosa, de ahí que el Álgebra fuera conocida como “la regla de la cosa”. A partir
del siglo XII los árabes introducen el Álgebra Simbólica, la cual asigna
símbolos a la variable buscada en el problema.
Tras muchos milenios, las ecuaciones matemáticas de la forma ax + b = 0 se
resuelven actualmente por diversos métodos, incluso, mediante el uso de
computadoras. Existe software que resuelven diversos tipos de ecuaciones.
Los egipcios, babilonios y griegos hicieron contribuciones fundamentales para
la resolución de ecuaciones.
Entre ellas, las ecuaciones cuadráticas ocuparon un lugar especial. En 1930,
NEUGEBAUER descubrió
que los matemáticos de las
culturas babilonias y griegas
manejaron magistralmente
la resolución de ecuaciones,
los babilonios llegaron a
resolver problemas como el
siguiente: “El área de dos
cuadrados juntos es 1 000 y
el lado de uno de ellos es 10
unidades menos que los
2
3
del lado del otro. Calcula los lados de los dos cuadrados”
Este tipo de enunciados dan lugar a ecuaciones de la forma 2
0x px q  
cuya resolución realizada por los babilonios está dada por la siguiente fórmula.
2
, 0
2 2
p p
x q x
 
    
 

2.2 Ecuación de segundo grado
Definición, forma
Una ecuación cuadrática de variable x es de la forma:
2
0ax bx c  
Dónde:
a: coeficiente del término cuadrático
b: coeficiente del término lineal
c: término independiente
Además 0,a x 
Si 0, 0, 0a b c   la ecuación cuadrática es de la forma:
2
0ax bx 
Si 0, 0, 0a b c   la ecuación cuadrática es de la forma
2
0ax c 
Si 0, 0, 0a b c   la ecuación cuadrática es de la forma
2
0ax bx c  
Teorema fundamental del algebra::
Sean, ;m n tal que: 0 0 0m n m n     
Aplicando el teorema fundamental del algebra, se obtiene el conjunto
solución de una ecuación cuadrática.
Luego, las raíces de una ecuación cuadrática de la forma 2
0ax bx  ;
2
0ax c  y
2
0ax bx c   , se obtienen transformando el polinomio de la
forma:   2
p x ax bx  ;   2
p x ax c  y o   2
, 0p x ax bx c a    en el
producto de dos factores lineales, luego aplicando el teorema fundamental
del álgebra, se obtiene las raíces de dicha ecuación como el conjunto
solución de dicha ecuación, así:
Sea la ecuación de la forma 2
0, 0ax bx a  
Transformando el   2
p x ax bx  en el producto de dos factores,
aplicando el criterio del factor común, se obtiene;
 2
a b 0 a b 0
b
0
a
b
CS 0;
a
x
x x = x x
x x
   
    
 
   
 

Actividad 6
1) Determina el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas
de la forma: 2
0, 0ax bx a  
   
x x = x x =
x x = x x =
x x x x x - x x x
  
 
      
2 2
2 2
2 2
a) 3 2 0 b) 2 5 0
2
c) 4 0 d) 0
3
e) 3 7 4 0 f) 2 4 0
Sea la ecuación de la forma 2
0, 0ax c a  
p x ax c  en el producto de dos factores,
aplicando el criterio de la diferencia de cuadrados, se obtiene:
2
2 2
a c 0
c c
0 0
a a
c c
0
a a
c c
0 0
a a
c c
a a
c c c
CS ; ,/ 0
a a a
x
x =
x x
x x+
x x+
x x

 
       
 
  
        
  
      
      
  
      
  

de la forma 2
0, 0ax c a   :
 
x = x =
x = x x x x
  
     
2 2
2 2
a) 16 0 b) 2 5 0
c) 36 0 d) 3 7 7 28 0
3) Sea la ecuación de la forma 2
0ax bx c  
, 0p x ax bx c a    en el producto de dos
factores, aplicando el criterio del aspa simple, se obtiene:
Los factores son    0mx w qx t  
Luego aplicando el teorema fundamental del álgebra se obtiene las raíces
de la ecuación, así como su conjunto solución:
1 2
0 0mx w qx t
mx w qx t
w t
x x
m q
    
   
   
. ;
w t
C S
m q
 
    
 

de la forma 2
0ax bx c   , (aplicando el teorema fundamental del
algebra) mediante el criterio del aspa simple:
x x = x x =
x x = x x =
x x = x x
   
  
    
2 2
2 2
2 2
a) 3 2 0 b) 2 15 0
c) 2 5 12 0 d) 6 11 15
e) 10 13 3 0 f) 12 13 3 0

de la forma 2
0ax bx c   , (aplicando el teorema fundamental del
algebra):
2 2 5
)
3 3
x x
a
x x
 

 
2
2 1 2
)
3 2 1 2
x
b
x x x x
 
   

Procesa la información referida ecuaciones cuadráticas, sólidos geométricos,
a través de la matematización y el uso de estrategias heurísticas en la
resolución de situaciones problemáticas intra y extra matemáticas.
6) Determinen la longitud que debe tener x
para que la diferencia entre el área de la
región triangular y de la región
cuadrangular A sea 11 u2
.
a) Se tiene un alambre de 16 cm, se divide en dos partes de diferente
tamaño de manera tal que se forman, con cada pedazo, delimitan dos
regiones cuadrados cuyas áreas suman 10 cm2
. Determina la longitud de
cada pedazo.

b) Se compró cierto número de objetos por S/. 240; si se hubiera comprado
3 objetos más por el mismo dinero, cada objeto habría costado S/. 4
menos. ¿Cuántos objetos se compró y a qué precio?
c) Varios amigos deciden comprarse una computadora que cuesta $ 1 560.
A última hora se les unen dos más, y gracias a ello, cada uno paga $ 130
menos. Calculen el número inicial de amigos.

d) La familia Pérez logra comprar un terreno de forma rectangular de 800
m2
para encerrar a su pony favorito. Para evitar que escape deben armar
un corral con una cerca de 360 m. ¿Cuánto deberá medir cada lado del
terreno para lograr encerrarlo?

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