ds

2. Integración por partes y
Sustitución
Trigonométrica
Módulo 11
Cálculo 1
2022-2
Videoconferencia 12

3. Temario
Método de Integración por partes.
Método de sustitución trigonométrica

4. Motivación
Epidemia del cólera en el Perú
Cuando la epidemia del cólera llegó al Perú,
la razón de llegada de casos nuevos a cierto
hospital está dada por 𝑁′ 𝑡 = 5𝑡𝑒−0.1𝑡 ,
donde t está medido en días, t = 0 es el
inicio de la epidemia. ¿Cuántos casos ha
tratado en total el hospital cuando t =5 y
cuando t=10? https://elperuano.pe/noticia/96172-el-peru-en-los-tiempos-del-colera-la-epidemia-que-se-
ensano-con-los-pobres-cronica

5. LOGRO DE APRENDIZAJE
Fuente: https://encrypted-
tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQLPnNDq9Ss_L15FlzMXa6IJPzSqY6OZHBAhyhc8svTxlGwrJVHPI8lfJd
C6Z-n7_JEr1Q&usqp=CAU
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve
ejercicios y/o problemas aplicados a la
Ingeniería calculando integrales indefinidas
por los métodos de integración por partes y
de sustitución trigonométrica, de manera
eficiente y consistente.

6. 1. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES.
           
           
   
' '
' '
' , '
d
u x v x u x v x u x v x
dx
u x v x v x u x dx u x v x dx
du u x dx dv v x dx
udv u v vdu
  
 
 
  
 
  
 
 
Fórmula de integración por partes
Se puede decir que la integración es una operación
inversa a la derivación, entonces de la derivada del
producto, se puede deducir la fórmula de la integración
por partes.

7. Para resolver una integral por el método de integración por partes primero se comienza
por identificar a qué función se debe derivar y a que función se debe integrar, para ello
se puede recurrir a la técnica memorística:
INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS
LOGARÍTMICAS
ALGEBRAICAS
TRIGONOMÉTRICAS
EXPONENCIALES
𝑥 − 3 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Ejemplo:
Se deriva la letra
que queda a la
izquierda y se
integra la que
queda a la derecha
Dado que en I LA T E, L está
a la izquierda de A, entonces:
𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥 se
debe derivar
𝑑𝑣 = 3𝑥 + 5 𝑑𝑥
se debe integrar

8. Ejemplo 1. Calcular
Solución:
 
2
ln
x x dx

 
2
ln
x x dx

 
1
ln
u x du dx
x
  
3
2
3
x
dv x dx v
  
 
 
 
 
3 3
2
3 3
2
ln 1
ln
3 3
ln
ln
3 9
x x x
x x dx dx
x
x x x
x x dx C
 
   
 
  
 

Deriva
Integra
D
E
R
I
V
A
I
N
T
E
G
R
A

9. 2 1
( )cos( )
2
M x x x dx
 

   
2
2 4 2 1 cos 16
2 2 2
x x x
M x x sen x sen C
     
     
     
I L E
2
x x
 1
cos
2
x
 
 
 
DERIVA INTEGRA
A T
MÉTODO TABULAR
Es un método simplificado de la integración por partes, es útil cuando el proceso de
integración por partes debe hacerse de manera reiterada.
Ejemplo 3: Calcular
2
Deriva Integra
( )
1
( ) 2 1 2
2
1
( ) 2 4cos
2
1
0 8
2
1
cos( )
2
x
x sen x
x
sen x
x x

 
   
 
 
   
 



  
 
El método consiste en multiplicar las derivadas
e integrales (según lo que señalan las flecha),
anteponiendo al producto el signo (+) o (-) de
manera alternada

11.   5
cos x
M x e dx
 

   
 
 
5
5
5
I L A T E
Derivada Integrales
cos
( )
5
( ) cos
25
x
x
x
x e
e
sen x
e
x

 
 
Ejemplo 5: Calcular
Solución:

12. 2. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
El método de sustitución trigonométrica se utiliza cuando el integrando presenta cualquiera de
los siguientes radicandos en su composición.
2 2 2 2 2 2
, ,
a x a x x a
  
Pasos para la sustitución trigonométrica:
1. Identificar el tipo de raíz que se tiene.
2. Se reemplaza la variable 𝑥 y el 𝑑𝑥, en términos de la nueva variable 𝜃.
3. Se resuelve la integral trigonométrica.
4. Se reemplaza la variable original, es decir, en términos de 𝑥, en la solución obtenida de la
parte 3, para ello siempre es recomendable elaborar un triángulo rectángulo.

13. CASO 1. RAÍZ 2 2
a x

𝑎
𝑥
𝑎2 − 𝑥2
𝜃
   
   
2 2
cos
Identidad trigonométrica usada:
sen +cos 1
x asen dx a d
  
 
  

Ejemplo 1. Calcular
2
2
6
x
dx
x x


2 2 2
2 2 2
6 ( 6 ) 9 ( 3)
x x x
dx dx dx
x x x x x
 
    
  
Solución:
3
𝑥 − 3
6𝑥 − 𝑥2
𝜃
   
 
3
3 3
3
3cos
x
sen sen x
d dx
 
 

   


15.    
 
2
2
2
(3 3) 3cos
3cos
9 ( 3)
sen d
x
dx
x
  



 


 
 
2 1 cos 2
2
sen




 
 
2
2
2
2
1 cos(2 )
9 18 9
2
9 ( 3)
27 9
( (2 ) 18
2 2
27 9
cos 18cos
2 2
6
x
sen d
dx
x
cos sen d
sen C
x
dx
x x

 
  
   
  
 
  
 
 
 
 
 
 
  
 
 
   







17. CASO 2. RAÍZ
2 2
a x

𝑎
𝑥
𝑎2 + 𝑥2
𝜃
 
 
   
2
2 2
tan
sec
Identidad trigonométrica usada:
1+tan sec
x a
dx a d
x x

 



Ejemplo 2. Calcular
 
2
2
1
2 1
dt
t 

1
2𝑡
1 + 2𝑡
2
𝜃
   
2
tan 2 sec 2
t d dt
  
  
Solución:

20. 𝑎
𝑥
𝑥2 − 𝑎2
𝜃
CASO 3. RAÍZ
2 2
x a

 
   
sec
sec tan
x a
dx a d

  


Ejemplo 3. Calcular
 
3/2
2
3
2
dx
x x


1
𝑥 − 1
𝑥 − 1 2 − 1
𝜃
     
sec 1 sec tan
x d dx
   
   
   
 
3/2 3/2
2 2
3 3
2 1 1
dx dx
x x x

  
 
Solución:

22. Solución a la motivación

23. Solución a la motivación

24. Conclusiones
Fuente: https://respuestas.tips/wp-content/uploads/2018/12/5-7.jpg
.
udv u v vdu
 
 
2 2 2 2 2 2
, ,
a x a x x a
  
1. Dadas las funciones derivables 𝑢, 𝑣; el método de integración por partes
presenta la siguiente estructura:
2. El método de sustitución trigonométrica, consiste en transformar el
integrando a través de funciones trigonométricas y convertirla en una expresión
más simple de integrar. EL método funciona cuando se presentan cualquiera de
las siguientes raíces:
.

25. Bibliografía
1. Leithold, L. (1994). El Cálculo. Mexico: Oxford University Press.
2. Purcell, V. R. (2007). Cálculo. México: Prentice Hall INC.
3. Ron Larson, B. E. (2010). Cálculo 1 de una variable. México: McGRAW-
HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
4. Stwart, J. (2012). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (Vol.
Séptima Edición). Mexico DF: Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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27. GRACIAS