Presentacion de integrales

1. República bolivariana de Venezuela
Instituto universitario de tecnología “Antonio José de sucre”.
Extensión Puerto la cruz -Edo. Anzoátegui.
Escuela Electricidad de mantenimiento.
INTEGRALES INDEFINIDAS POR CAMBIO DE
VARIABLE
Profesora: Ranielina Rondón Nombre: Tec. Richard I. Granda. L
MATEMATICA II Electricidad mantenimiento cód. 70.
C.I: 10505749
Puerto la cruz. 30 de mayo 2016.

2. METODOS DE INTEGRACION
Son varias las técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales
de una clase muy amplia de funciones.
Todas las técnicas tienen como objetivo reducir la integral buscada a una integral
ya conocida o inmediata.
INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE.
Nos proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el
resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.
Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio
de variable: x = g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:
Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos
identificar en el integrando a una función u y a u' (su derivada).

3. INTEGRACIÓN POR PARTES.
Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden
expresarse como un producto de una función por la derivada de otra.
Sean u y v dos funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son
integrables, entonces:
u=f(x), v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx:
Integración de funciones racionales:
Vamos a integrar funciones racionales (cociente de polinomios), que siguen la
forma:
a) Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x).
En este caso se divide P(x) entre Q(x), pasando la integral a:
Se reduce a calcular la integral de un polinomio c(x) y la integral de una función
racional en la cual el numerador tiene grado menor que el denominador (está
última integral es la que nos queda por calcular)

4. A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones
racionales (en las que el polinomio del numerador tiene grado menor que el
denominador) como una suma de fracciones parciales, fáciles de integrar
b) Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).
Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado del
numerador es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo
denominador es de la forma (ax + b)n ó (ax2 + bx + c)
b.1) Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas:
La factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos:
Q(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-an), hacemos la siguiente descomposición:
Con A1,...An constantes reales.
Ejemplo
b.2) Q(x) tiene todas sus raíces reales, pero puede haber repetidas:
La factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamente
distintos, es decir:

5. Q(x) = (x-a1)m1(x-a2)m2(x-a3)m3…(x-an)
De nuevo como en el caso anterior la integración de las fracciones parciales es
sencilla y se reduce a calcular integrales de la
las cuales, para n > 1, se resuelven por un sencillo cambio de variable
Ejemplo
b.3) Q(x) tiene raíces complejas distintas:
Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la
forma:
ax2 + bx + c con b2 - 4ac <
a cada uno de estos factores le corresponde una fracción parcial de la forma:
donde A y B son constantes reales.
Ejemplo
b.4) Q(x) tiene raíces complejas repetidas:
Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la
forma:
(ax2 + bx + c)n con b2 - 4ac < 0
a cada uno de estos factores le corresponden n fracciones parciales de la forma:

6. con Ak, Bk constantes reales (k=1, ..n)
Funciones racionales de funciones trigonométricas.
Si el integrando es una función racional de senos y cosenos de la forma R(senx,
cosx), entonces la integral se reduce a la integral de una función racional de "t"
mediante un cambio de variable.
1) Función racional de senx y cosx, impar en sex x, es decir R(-senx, cosx) = -
R(senx, cosx). Se aplica el cambio siguiente:
cos x = t
2) Función racional de senx y cosx, impar en cos x, es decir R(senx, -cosx) = -
R(senx, cosx). Se aplica el cambio siguiente:
sen x = t
3) Función racional par en senx y cosx, es decir R(-senx, -cosx) = R(senx, cosx).
Se aplica el cambio siguiente:
4) En cualquier caso, cambio general. Se aplica el cambio siguiente:

7. Ejemplo
b) Integrales que contienen funciones trigonométricas.
Veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones
trigonométricas, que posteriormente se utilizarán en el método de
sustitución trigonométrica
1) Potencias de senos y cosenos.
Para resolver este tipo de integrales, consideramos dos casos:
o Si n es impar, es decir, n = 2k+1, factorizamos el integrando, por
ejemplo:
sennx dx = sen2k+1x dx = (sen2x)k senx dx
Utilizamos la identidad sen2x+cos2x=1 y tomamos el siguiente cambio de
variable:
- En caso de potencias del seno: u=cosx
- En caso de potencias del coseno: u=senx
Ejemplo
o Si n es par, es decir, n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo:
sennx = sen2kx = (sen2x)k

8. cosnx = cos2kx = (cos2x)k
y utilizamos las identidades trigonométricas:
sen2x = [1-cos(2x)] / 2
cos2x = [1+cos(2x)] / 2
Ejemplo
2) Productos de potencias de senos y cosenos.
o Si m y n son pares, utilizaremos las identidades:
sen2x = (1-cos2x) / 2 y cos2x = (1+cos2x) / 2
o Si m ó n es impar, utilizaremos la identidad:
sen2x+cos2x=1
3) Productos de potencias de tangentes y secantes.
o Si n es par, utilizamos la identidad:
sec2x = 1 + tan2x
o Si m es impar, utilizamos la identidad:
tan2x = sec2x - 1

9. o Si n es impar y m par, utilizamos algún otro método, como por
ejemplo, integración por partes.
c) Sustitución trigonométrica.
Este método nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas
cuyas integrales son funciones trigonométricas.
1) Si en el integrando aparece un radical de la forma:
tomamos el cambio de variable:
x = a sen θ, con a > 0 ;
θ = arcsenx
Ejemplo
2) Si en el integrando aparece un radical de la forma:
Tomamos el cambio de variable siguiente:
x = a tan θ, con a > 0
θ = arctanx
Ejemplo
3) Si en el integrando aparece un radical de la forma:

10. Tomamos el cambio de variable siguiente:
x = a sec θ, con a > 0
θ = arcsec(x/a) si x>a
θ = 2p-arcsec(x/a) si x<-a
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES:
a) donde R es una función racional.
Se reduce a la integral de una función racional mediante el cambio x = tk,
donde "k" es el mínimo común múltiplo de los denominadores (n, ...,s).
Ejemplo
b) donde R es una función racional.
Se reduce a la integral de una función racional mediante el cambio , donde "μ" es
el mínimo común múltiplo de los denominadores (n, q, ...,v).

11. Ejemplo
c) donde R es una función racional
c.1) Si a > 0, el cambio a realizar es
c.2) Si c > 0, el cambio a realizar es
c.3) Si a < 0 y c < 0, el cambio a realizar es
, con ax2 + bx + c = a(x-α)(x-β)
Anexo Problemas resueltos