Métodos para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales y No Lineales -Método de Gauss, Gauss-Jordan y Gauss Seidel -Método de Newton Raphson -Método Descomposición L.U. -Método de Cholesky

1. Jordan Rojas Alarcón
Práctica de Métodos Numéricos

2. UniversidadNacionaldeTrujillo
1
Práctica de Métodos Numéricos
1. Una empresa tiene tres minas con menas de composición:
Níquel(%) Cobre(%) Hierro(%)
Mina A 6 2 3
Mina B 2 4 6
Mina C 1 8 2
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de
cobre y 16 de hierro? Resolver Usando el método de Gauss Seidel con una tolerancia de 0.001.
x: toneladas de la mina A
y: toneladas de la mina B
z: toneladas de la mina C
6%𝑥 + 2%𝑦 + 1%𝑧 = 7
2%𝑥 + 4%𝑦 + 8%𝑧 = 18
3%𝑥 + 6%𝑦 + 2%𝑧 = 16
6
100
𝑥 +
2
100
𝑦 +
1
100
𝑧 = 7
2
100
𝑥 +
4
100
𝑦 +
8
100
𝑧 = 18
3
100
𝑥 +
6
100
𝑦 +
2
100
𝑧 = 16
6𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 700
2𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 = 1800
3𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 = 1600
Debemos ordenar el sistema de tal manera que sea diagonalmente dominante:
6𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 700….(i) |6| > |2| + |1| (𝑉)
3𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 = 1600….(ii) |6| > |3| + |2| (𝑉)
2𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 = 1800….(iii) |8| > |2| + |4| (𝑉)
Despejamos x de (i), y de (ii) y z de (iii):
𝑥 =
700 − 2𝑦 − 𝑧
6
𝑦 =
1600 − 3𝑥 − 2𝑧
6
𝑧 =
1800 − 2𝑥 − 4𝑦
8

3. UniversidadNacionaldeTrujillo
2
n x y z error
0 0 0 0 -----
1 116.6667 208.3333 91.6667 255.76682
2 31.9444 220.1389 106.9444 86.89440
3 25.4630 218.2870 109.4907 7.20573
4 25.6559 217.3418 109.9151 1.05392
5 25.9002 217.0782 109.9859 0.36634
6 25.9763 217.0166 109.9976 0.09862
7 25.9949 217.0034 109.9996 0.02288
8 25.9989 217.0007 109.9999 0.00490
9 25.9998 217.0001 110.0000 0.00100
RESPUESTA: Debe utilizar 25.9998 toneladas de la mina A, 217.0001
toneladas de la mina B y 110.0000 toneladas de la mina C.
2. El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin impuestos).
El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo
en cuenta que los refrescos deben pagar un impuesto del 6%, por la cerveza del 12% y por el
vino de 30%, lo que hace la factura total con impuestos sea de 592.4 €. Calcular la cantidad
invertida en cada tipo de bebida. Resolver usando el método de Gauss.
x: valor refresco
y: valor cerveza
z: valor vino
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 500
𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − 60
6%𝑥 + 12%𝑦 + 30%𝑧 = (592.4 − 500)
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 500
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 60
6𝑥 + 12𝑦 + 30𝑧 = 9240
Armamos la matriz:
[
1 1 1
1 1 −1
6 12 30
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
500
60
9240
]
[
1 1 1
1 1 −1
6 12 30
|
500
60
9240
] → [
1 1 1
0 0 −2
0 6 24
|
500
−440
6240
] → [
1 1 1
0 0 −2
0 6 24
|
500
−440
6240
] → [
1 1 1
0 6 24
0 0 −2
|
500
6240
−440
]
 −2𝑧 = −440
𝑧 = 220
 6𝑦 + 24𝑧 = 6240
6𝑦 + 24(220) = 6240
6𝑦 = 960
𝑦 = 160

4. UniversidadNacionaldeTrujillo
3
 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 500
𝑥 + 160 + 220 = 500
𝑥 = 120
RESPUESTA: En el refresco se gastó 120 €, en la cerveza se gastó 160
€ y en el vino se gastó 220 €.
3. Se tienen tres lingotes de compuestos del siguiente modo:
 El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.
 El segundo de 30 g de oreo, 40 g de plata y 50 g de cobre.
 El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.
Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un
nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.
x: peso 1° lingote
y: peso 2° lingote
z: peso 3° lingote
Para el 1° lingote:
 Ley del oro:
20
90
=
2
9
 Ley de la plata:
30
90
=
1
3
 Ley del cobre:
40
90
=
4
9
Para el 2° lingote:
 Ley del oro:
30
120
=
1
4
 Ley de la plata:
40
120
=
1
3
 Ley del cobre:
50
120
=
5
12
Para el 3° lingote:
 Ley del oro:
40
180
=
2
9
 Ley de la plata:
50
180
=
5
18
 Ley del cobre:
90
180
=
1
2
Ecuación para el oro:
2
9
𝑥 +
1
4
𝑦 +
2
9
𝑧 = 34 8𝑥 + 9𝑦 + 8𝑧 = 1224
Ecuación para la plata:
1
3
𝑥 +
1
3
𝑦 +
5
18
𝑧 = 46 6𝑥 + 6𝑦 + 5𝑧 = 828
Ecuación para el cobre:
4
9
𝑥 +
5
12
𝑦 +
1
2
𝑧 = 67 16𝑥 + 15𝑦 + 18𝑧 = 2412
Armamos la matriz:
[
8 9 8
6 6 5
16 15 18
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
1224
828
2412
]
[
8 9 8
6 6 5
16 15 18
|
1224
828
2412
] → [
8 9 8
0 − 3
4⁄ −1
0 −3 2
|
1224
−90
−36
] → [
8 9 8
0 − 3
4⁄ −1
0 0 6
|
1224
−90
324
]

5. UniversidadNacionaldeTrujillo
4
 6𝑧 = 324
𝑧 = 54
 −
3
4
𝑦 − 𝑧 = −90
3
4
𝑦 − 54 = −90
3
4
𝑦 = −36
𝑦 = 48
 8𝑥 + 9𝑦 + 8𝑧 = 1224
8𝑥 + 9(48) + 8(54) = 1224
8𝑥 = 360
𝑥 = 45
RESPUESTA: Debe tomarse 45 g del primer lingote, 48 g del segundo
lingote y 54 g del tercer lingote.
4. Un obrero ha trabajado durante 30 días para dos patrones ganando 207000 ptas. El primero le
pagaba 6500 ptas. Diarias y el segundo 8000 ptas. ¿Cuántos días trabajó para cada patrón?
Resolver por Descomposición LU.
x: días trabajados para el 1° patrón
y: días trabajados para el 2° patrón
𝑥 + 𝑦 = 30
6500𝑥 + 8000𝑦 = 207000
Dividiendo la segunda ecuación entre 100, el sistema queda así:
𝑥 + 𝑦 = 30
6.5𝑥 + 8𝑦 = 207
𝐴 = [
1 1
6.5 8
] 𝐵 = [
30
207
]
Como 𝐴 = 𝐿. 𝑈:
𝐿 = [
1 0
𝑙21 1
] 𝑈 = [
𝑢11 𝑢12
0 𝑢22
]
[
1 1
6.5 8
] = [
1 0
𝑙21 1
] [
𝑢11 𝑢12
0 𝑢22
]
[
1 1
6.5 8
] = [
𝑢11 𝑢12
𝑙21. 𝑢11 𝑙21. 𝑢12 + 𝑢22
]
Entonces:
 𝑢11 = 1
 𝑢12 = 1
 𝑙21. 𝑢11 = 6.5
𝑙21(1) = 6.5
𝑙21 = 6.5

6. UniversidadNacionaldeTrujillo
5
 𝑙21. 𝑢12 + 𝑢22 = 8
(6.5)(1) + 𝑢22 = 8
𝑢22 = 1.5
Por lo tanto, 𝐿 y 𝑈 quedarían así:
𝐿 = [
1 0
6.5 1
] 𝑈 = [
1 1
0 1.5
]
Hallamos 𝑌 de 𝐿. 𝑌 = 𝐵:
[
1 0
6.5 1
] [
𝑦1
𝑦2
] = [
30
207
]
 𝑦1 = 30
 6.5𝑦1 + 𝑦2 = 207
6.5(30) + 𝑦2 = 207
𝑦2 = 12
𝑌 = [
30
12
]
Hallamos 𝑋 de 𝑈. 𝑋 = 𝑌:
[
1 1
0 1.5
] [
𝑥1
𝑥2
] = [
30
12
]
 1.5𝑥2 = 12
𝑥2 = 8
 𝑥1 + 𝑥2 = 30
8 + 𝑦2 = 30
𝑥1 = 22
𝑋 = [
22
8
]
→ 𝑥
→ 𝑦
RESPUESTA: El obrero trabajó 22 días para el primer patrón y 8 días
para el segundo.
5. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana 500 ptas. diarias
menos que el segundo; pero ha trabajado durante 30 jornadas mientras que el segundo solo
24. Si el primero ha ganado 33000 ptas. más que el segundo. Calcule el salario diario de cada
obrero. Por método de Gauss-Jordan.
x: salario diario del 1° obrero
y: salario diario del 2° obrero
𝑥 − 𝑦 = −500
30𝑥 − 24𝑦 = 33000
Armamos la matriz:
[
1 −1
30 −24
] [
𝑥
𝑦] = [
−500
33000
]
[
1 −1
30 −24
|
500
3300
] → [
1 −1
0 6
|
500
48000
]

7. UniversidadNacionaldeTrujillo
6
 6𝑦 = 48000
𝑦 = 8000
 𝑥 − 𝑦 = −500
𝑥 − 8000 = −500
𝑥 = 75000
RESPUESTA: El primero obrero tiene un salario de 75000 ptas.;
mientras que el segundo, de 8000 ptas.
6. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm y la hipotenusa mide 26cm. ¿Cuántas son las
longitudes de los catetos? Por método de Newton Raphson con 2 iteraciones.
𝐴⊿ =
𝑥𝑦
2
= 120 𝑥2
+ 𝑦2
= ℎ2
𝑥𝑦 = 240 𝑥2
+ 𝑦2
= 262
= 676
𝑓1(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 240 𝑓2(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
+ 𝑦2
− 676
Para el método de Newton Raphson, sabemos que:
[
𝜕𝑓1
𝜕𝑥
𝜕𝑓1
𝜕𝑦
𝜕𝑓2
𝜕𝑥
𝜕𝑓2
𝜕𝑦 ]|(𝑥 𝑜,𝑦 𝑜)⏟
𝐽
Jacobiano del sistema
[
𝑥 − 𝑥 𝑜
𝑦 − 𝑦0
]
⏟
𝛿
vector corrector
= [
−𝑓1(𝑥 𝑜, 𝑦𝑜)
−𝑓2(𝑥 𝑜, 𝑦𝑜)
]
⏟
𝑁𝐹
vector negativo de funciones
𝐽. 𝛿 = 𝑁𝐹
𝑥 − 𝑥0 = 𝛿1 → 𝑥 = 𝑥0 + 𝛿1
𝑦 − 𝑦0 = 𝛿2 → 𝑦 = 𝑦0 + 𝛿2
Entonces:
[
𝜕𝑓1
𝜕𝑥
𝜕𝑓1
𝜕𝑦
𝜕𝑓2
𝜕𝑥
𝜕𝑓2
𝜕𝑦 ]|(𝑥 𝑜,𝑦 𝑜)
[
𝛿1
𝛿2
] = [
−𝑓1(𝑥 𝑜, 𝑦𝑜)
−𝑓2(𝑥 𝑜, 𝑦𝑜)
]
Tomamos como puntos iniciales (8, 21).
Ahora hallamos 𝐽 y 𝑁𝐹 del sistema:
𝐽 = [
𝑦 𝑥
2𝑥 2𝑦]
|(𝑥 𝑜,𝑦 𝑜)
𝑁𝐹 = [
−(𝑥𝑦 − 240)
−(𝑥2
+ 𝑦2
− 676)
]
𝑦
y
ℎ
h𝑥

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7
1° ITERACIÓN (8, 21)
𝐽 = [
21 8
16 42
] 𝑁𝐹 = [
72
171
]
𝐽. 𝛿 = 𝑁𝐹
[
21 8
16 42
] [
𝛿1
𝛿2
] = [
72
171
]
[
21 8
16 41
|
72
171
] → [
21 8
0 754
21⁄
|
72
385
3⁄
]

754
21
𝛿2 =
385
3
𝛿2 = 3.5743 → 𝑦 = 21 + 3.5743
𝑦 = 24.5743
 21𝛿1 + 8𝛿2 = 72
21𝛿1 + 8(3.5743) = 72
21𝛿1 = 43.4056
𝛿1 = 2.0669 → 𝑥 = 8 + 2.0669
𝑥 = 10.0669
2° ITERACIÓN (10.0669, 24.5743)
𝐽 = [
24.5743 10.0669
20.1338 49.1486
] 𝑁𝐹 = [
−7.3870
−29.2387
]
𝐽. 𝛿 = 𝑁𝐹
[
24.5743 10.0669
20.1338 49.1486
] [
𝛿1
𝛿2
] = [
−7.3870
−29.2387
]
[
24.5743 10.0669
20.1338 49.1486
|
−7.3870
−29.2387
] → [
24.5743 10.0669
0 40.9008
|
−7.3870
−23.1865
]
 40.9008𝛿2 = −23.1865
𝛿2 = −0.5669 → 𝑦 = 24.5743 − 0.5669
𝑦 = 24.0074
 24.5743𝛿1 + 10.0669𝛿2 = −7.3870
24.5743𝛿1 + 10.0669(−0.5669 ) = −7.3870
21𝛿1 = −1.6801
𝛿1 = −0.0800 → 𝑥 = 10.0669 − 0.0800
𝑥 = 9.9869
RESPUESTA: Por lo tanto, a 2 iteraciones, la longitud de los catetos
sería 9.9869cm y 24.0074cm.

9. UniversidadNacionaldeTrujillo
8
7. Los lados paralelos de un trapecio miden 15cm y 36cm respectivamente, y los no 13 y 20
respectivamente. Calcule la altura del trapecio por método de Newton Raphson con 3
iteraciones.
132
= 𝑥2
+ 𝑦2
→ 𝑓1(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
+ 𝑦2
− 169
202
= 𝑥2
+ (21 − 𝑦)2
→ 𝑓2(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
+ 𝑦2
− 42𝑦 + 41
Tomamos como puntos iniciales (10, 2)
Ahora hallamos 𝐽 y 𝑁𝐹 del sistema:
𝐽 = [
2𝑥 2𝑦
2𝑥 2𝑦 − 42
]
|(𝑥 𝑜,𝑦 𝑜)
𝑁𝐹 = [
−(𝑥2
+ 𝑦2
− 169)
−(𝑥2
+ 𝑦2
− 42𝑦 + 41)
]
1° ITERACIÓN (10, 2)
𝐽 = [
20 4
20 −38
] 𝑁𝐹 = [
65
−61
]
𝐽. 𝛿 = 𝑁𝐹
[
20 4
20 −38
] [
𝛿1
𝛿2
] = [
65
−61
]
[
20 4
20 −38
|
65
−61
] → [
20 4
0 −42
|
65
−126
]
 −42𝛿2 = −126
𝛿2 = 3 → 𝑦 = 2 + 3
𝑦 = 5
 20𝛿1 + 4𝛿2 = 65
20𝛿1 + 4(3) = 65
20𝛿1 = 53
𝛿1 = 2.65 → 𝑥 = 10 + 2.65
𝑥 = 12.65
2° ITERACCIÓN (12.65, 5)
𝐽 = [
25.3 10
25.3 −32
] 𝑁𝐹 = [
−20.0225
−16.0225
]
𝐽. 𝛿 = 𝑁𝐹
[
25.3 10
25.3 −32
] [
𝛿1
𝛿2
] = [
−20.0225
−16.0225
]
[
25.3 10
25.3 −32
|
−20.0225
−16.0225
] → [
25.3 10
0 −42
|
−20.0225
4
]
15
13
h
20
15
15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
36
21 − 𝑦𝑦
h
ℎ = 𝑥 ℎ

10. UniversidadNacionaldeTrujillo
9
 −42𝛿2 = 4
𝛿2 = −0.0952 → 𝑦 = 5 − 0.0952
𝑦 = 4.9048
 25.3𝛿1 + 10𝛿2 = −20.0225
25.3𝛿1 + 10(−0.0952) = −20.0225
25.3𝛿1 = −19.0705
𝛿1 = −0.7538 → 𝑥 = 12.65 − 0.7538
𝑥 = 11.8962
2° ITERACCIÓN (11.8962, 4.9048)
𝐽 = [
23.7924 9.8096
23.7924 −32.1904
] 𝑁𝐹 = [
3.4234
−0.5750
]
𝐽. 𝛿 = 𝑁𝐹
[
23.7924 9.8096
23.7924 −32.1904
] [
𝛿1
𝛿2
] = [
3.4234
−0.5750
]
[
23.7924 9.8096
23.7924 −32.1904
|
3.4234
−0.5750
] → [
23.7924 9.8096
0 −42
|
3.4234
−3.9984
]
 −42𝛿2 = −3.9984
𝛿2 = 0.0952 → 𝑦 = 4.9048 + 0.0952
𝑦 = 5
 23.7924𝛿1 + 9.8096𝛿2 = 3.4234
23.7924𝛿1 + 9.8096(0.0952) = 3.4234
23.7924𝛿1 = 2.4895
𝛿1 = 0.1046 → 𝑥 = 11.8962 + 0.1046
𝑥 = 12.0008 = ℎ
RESPUESTA: Por lo tanto, a 3 iteraciones, la longitud de la altura
del trapecio es 12.0008cm.
8. La tabla presenta la temperatura de ebullición de la acetona (𝐶3 𝐻6 𝑂) a diferentes presiones.
Puntos 0 1 2 3
T(°C) 56.5 113.0 181.0 214.5
P(atm) 1 5 20 40
Si 𝑇 = 𝐹(𝑃) por un polinomio de tercer grado 𝑃𝑛(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎3 𝑥3
, encontrar
la temperatura de ebullición de la acetona a 3 atm por método de Gauss-Jordan.
Primero debemos hallar la ecuación y para eso necesitamos las contantes 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 𝑦 𝑎3.
Poniendo el polinomio en términos de la presión:
𝑇(𝑃) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑃 + 𝑎2 𝑃2
+ 𝑎3 𝑃3
Reemplazando 𝑇 y 𝑃:
𝑎0 + 𝑎1(1) + 𝑎2(1)2
+ 𝑎3(1)3
= 56.5
𝑎0 + 𝑎1(5) + 𝑎2(5)2
+ 𝑎3(5)3
= 113.0
𝑎0 + 𝑎1(20) + 𝑎2(20)2
+ 𝑎3(20)3
= 181.0

11. UniversidadNacionaldeTrujillo
10
𝑎0 + 𝑎1(40) + 𝑎2(40)2
+ 𝑎3(40)3
= 214.5
Resolviendo:
𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 56.5
𝑎0 + 5𝑎1 + 25𝑎2 + 125𝑎3 = 113.0
𝑎0 + 20𝑎1 + 400𝑎2 + 8000𝑎3 = 181.0
𝑎0 + 40𝑎1 + 1600𝑎2 + 64000𝑎3 = 214.5
[
1 1 1 1
1 5 25 125
1 20 400 8000
1 40 1600 64000
] [
𝑎0
𝑎1
𝑎2
𝑎3
] = [
56.5
113.0
181.0
214.5
]
[
1 1 1 1
1 5 25 125
1 20 400 8000
1 40 1600 64000
|
56.5
113.0
181.0
214.5
] → [
1 1 1 1
0 4 24 124
0 19 399 7999
0 39 1599 6399
|
56.5
56.5
124.5
158
]
→ [
1 1 1 1
0 1 6 31
0 19 399 7999
0 39 1599 6399
|
56.5
14.125
124.5
158
] → [
1 1 1 1
0 1 6 31
0 0 285 7410
0 0 1365 62790
|
56.5
14.125
−143.875
−392.875
]
→ [
1 1 1 1
0 1 6 31
0 0 1 26
0 0 1365 62790
|
56.5
14.125
−0.5048
−392.875
] → [
1 1 1 1
0 1 6 31
0 0 1 26
0 0 0 27300
|
56.5
14.125
−0.5048
296.177
]
 27300𝑎3 = 296177
𝑎3 = 0.0108
 𝑎2 + 26𝑎3 = −0.5048
𝑎2 + 26(0.0108) = −0.5048
𝑎2 = −0.7856
 𝑎1 + 6𝑎2 + 31𝑎3 = 14.125
𝑎1 + 6(−0.7856) + 31(0.0108) = 14.125
𝑎1 = 18.5038
 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 56.5
𝑎0 + 18.5038 − 0.7856 + 0.0108 = 56.5
𝑎0 = 38.771
Por lo tanto, el polinomio quedaría:
𝑇(𝑃) = 38.771 + 18.5038𝑃 − 0.7856𝑃2
+ 0.0108𝑃3
Como nos pide calcular la temperatura a 3 atm.:
𝑇(3) = 38.771 + 18.5038(3) − 0.7856(3)2
+ 0.0108(3)3
𝑇(3) = 87.5036
RESPUESTA: La temperatura de ebullición de la acetona a 3 atm. sería
de 87.5036°C.

12. UniversidadNacionaldeTrujillo
11
9. Resolver el siguiente sistema:
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = −9
4𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = −7
6𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 = 1
Usando el método de Gauss.
Armamos la matriz:
[
2 1 3
4 2 5
6 5 1
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
−9
−7
1
]
[
2 1 3
4 2 5
6 5 1
|
−9
−7
1
] → [
2 1 3
0 0 −1
0 2 −8
|
−9
11
28
] → [
2 1 3
0 2 −8
0 0 −1
|
−9
28
11
]
 −𝑧 = 11
𝑧 = −11
 2𝑦 − 8𝑧 = 28
2𝑦 − 8(−11) = 28
2𝑦 = −60
𝑦 = −30
 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = −9
2𝑥 − 30 + 3(−11) = −9
2𝑥 = 54
𝑥 = 27
RESPUESTA: El valor de x es 27; el de y, -30; y el de z, -11.
10. Resolver el siguiente sistema por el método de Descomposición LU.
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4
𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5
𝐴 = [
1 2 −1
1 −4 1
2 1 −2
] 𝐵 = [
4
2
5
]
Como 𝐴 = 𝐿. 𝑈:
𝐿 = [
1 0 0
𝑙21 1 0
𝑙31 𝑙32 1
] 𝑈 = [
𝑢11 𝑢12 𝑢13
0 𝑢22 𝑢23
0 0 𝑢33
]
[
1 2 −1
1 −4 1
2 1 −2
] = [
1 0 0
𝑙21 1 0
𝑙31 𝑙32 1
] [
𝑢11 𝑢12 𝑢13
0 𝑢22 𝑢23
0 0 𝑢33
]
[
1 2 −1
1 −4 1
2 1 −2
] = [
𝑢11 𝑢12 𝑢13
𝑙21. 𝑢11 𝑙21. 𝑢12 + 𝑢22 𝑙21. 𝑢13 + 𝑢23
𝑙31. 𝑢11 𝑙31. 𝑢12 + 𝑙32. 𝑢22 𝑙31. 𝑢13 + 𝑙32. 𝑢23 + 𝑢33
]

13. UniversidadNacionaldeTrujillo
12
Entonces:
 𝑢11 = 1
 𝑢12 = 2
 𝑢13 = −1
 𝑙21. 𝑢11 = 1
𝑙21(1) = 1
𝑙21 = 1
 𝑙21. 𝑢12 + 𝑢22 = −4
(1)(2) + 𝑢22 = 4
𝑢22 = −6
 𝑙21. 𝑢13 + 𝑢23 = 1
(1)(−1) + 𝑢23 = 1
𝑢23 = 2
 𝑙31. 𝑢11 = 2
𝑙31(1) = 2
𝑙31 = 2
 𝑙31. 𝑢12 + 𝑙32. 𝑢22 = 1
(2)(2) + 𝑙32(−6) = 1
𝑙32 =
1
2
 𝑙31. 𝑢13 + 𝑙32. 𝑢23 + 𝑢33 = −2
(2)(−1) + (
1
2
) (2) + 𝑢33 = −2
𝑢33 = −1
Por lo tanto, 𝐿 y 𝑈 quedarían así:
𝐿 = [
1 0 0
1 1 0
2 1
2⁄ 1
] 𝑈 = [
1 2 −1
0 −6 2
0 0 −1
]
Hallamos 𝑌 de 𝐿. 𝑌 = 𝐵:
[
1 0 0
1 1 0
2 1
2⁄ 1
] [
𝑦1
𝑦2
𝑦3
] = [
4
2
5
]
 𝑦1 = 4
 𝑦1 + 𝑦2 = 2
4 + 𝑦2 = 2
𝑦2 = −2
 2𝑦1 +
1
2
𝑦2 + 𝑦3 = 5
2(4) +
1
2
(−2) + 𝑦3 = 5
𝑦3 = −2

14. UniversidadNacionaldeTrujillo
13
𝑌 = [
4
−2
−2
]
Hallamos 𝑋 de 𝑈. 𝑋 = 𝑌:
[
1 2 −1
0 −6 2
0 0 −1
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
4
−2
−2
]
 −𝑥3 = −2
𝑥3 = 2
 −6𝑥2 + 2𝑥3 = −2
−6𝑥2 + 2(2) = −2
𝑥2 = 1
 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 4
𝑥1 + 2(1) − 2 = 4
𝑥1 = 4
𝑋 = [
4
1
2
]
→ 𝑥
→ 𝑦
→ 𝑧
RESPUESTA: El valor de x es 4; el de y, 1; y el de z, 2.
11. Si al problema anterior, el lado derecho B= [2 4 10]T
¿Cuál sería la nueva solución?
Como ya hemos hallado los valores de 𝐿 y 𝑈:
𝐿 = [
1 0 0
1 1 0
2 1
2⁄ 1
] 𝑈 = [
1 2 −1
0 −6 2
0 0 −1
]
Hallamos 𝑌 de 𝐿. 𝑌 = 𝐵:
[
1 0 0
1 1 0
2 1
2⁄ 1
] [
𝑦1
𝑦2
𝑦3
] = [
2
4
10
]
 𝑦1 = 2
 𝑦1 + 𝑦2 = 4
2 + 𝑦2 = 4
𝑦2 = 2
 2𝑦1 +
1
2
𝑦2 + 𝑦3 = 10
2(2) +
1
2
(2) + 𝑦3 = 10
𝑦3 = 5
𝑌 = [
2
2
5
]
Hallamos 𝑋 de 𝑈. 𝑋 = 𝑌:

15. UniversidadNacionaldeTrujillo
14
[
1 2 −1
0 −6 2
0 0 −1
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
2
2
5
]
 −𝑥3 = 5
𝑥3 = −5
 −6𝑥2 + 2𝑥3 = 2
−6𝑥2 + 2(−5) = 2
𝑥2 = −2
 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 2
𝑥1 + 2(−2) + 5 = 2
𝑥1 = 1
𝑋 = [
1
−2
−5
]
→ 𝑥
→ 𝑦
→ 𝑧
RESPUESTA: El valor de x es 1; el de y, -2; y el de z, -5.
12. Resuelva por Cholesky:
𝐴 = [
4 −1 0
−1 4 −1
0 −1 4
] 𝐵 = [
2
6
2
]
Para poder emplear este método, se debe comprobar que 𝐴 es positiva definida, es decir,
si es simétrica y los determinantes son todos positivos:
 Notamos que 𝐴 sí es simétrica.
 Ahora comprobaremos si es positiva definida:
|4| = 𝟒 > 𝟎
|
4 −1
−1 4
| = 𝟏𝟓 > 𝟎
|
4 −1 0
−1 4 −1
0 −1 4
| = 𝟓𝟔 > 𝟎
Por lo tanto, 𝐴 es positiva definida.
Hallamos 𝐿 de 𝐴 = 𝐿. 𝐿 𝑇
:
[
4 −1 0
−1 4 −1
0 −1 4
] = [
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
] [
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙33
]
[
4 −1 0
−1 4 −1
0 −1 4
] = [
𝑙11
2
𝑙11. 𝑙21 𝑙11. 𝑙31
𝑙21. 𝑙11 𝑙21
2
+ 𝑙22
2
𝑙21. 𝑙31 + 𝑙22. 𝑙32
𝑙31. 𝑙11 𝑙31. 𝑙21 + 𝑙32. 𝑙22 𝑙31
2
+ 𝑙32
2
+ 𝑙33
2
]
 𝑙11
2
= 4
𝑙11 = 2
 𝑙11. 𝑙21 = −1
2. 𝑙21 = −1

16. UniversidadNacionaldeTrujillo
15
𝑙21 = −
1
2
 𝑙11. 𝑙31 = 0
𝑙31 = 0
 𝑙21
2
+ 𝑙22
2
= 4
(−
1
2
)
2
+ 𝑙22
2
= 4
𝑙22 = √
15
4
 𝑙21. 𝑙31 + 𝑙22. 𝑙32 = −1
−
1
2
. 0 + √
15
4
. 𝑙32 = −1
𝑙32 = −√
4
15
 𝑙31
2
+ 𝑙32
2
+ 𝑙33
2
= 4
02
+ (−√
4
15
)
2
+ 𝑙33
2
= 4
𝑙33 = 2√
14
15
𝐿 =
[
2 0 0
−
1
2
√
15
4
0
0 −√
4
15
2√
14
15]
Ahora, hallamos 𝑌 de 𝐿. 𝑌 = 𝐵:
[
2 0 0
−
1
2
√
15
4
0
0 −√
4
15
2√
14
15]
[
𝑦1
𝑦2
𝑦3
] = [
2
6
2
]
 2𝑦1 = 2
𝑦1 = 1
 −
1
2
𝑦1 + √
15
4
𝑦2 = 6
−
1
2
(1) + √
15
4
𝑦2 = 6
𝑦2 =
13
√15

17. UniversidadNacionaldeTrujillo
16
 −√
4
15
𝑦2 + 2√
14
15
𝑦3 = 2
−√
4
15
(
13
√15
) + 2√
14
15
𝑦3 = 2
𝑦3 =
28
15
√
15
14
𝑌 =
[
1
13
√15
28
15
√
15
14]
Ahora, hallamos 𝑋 de 𝐿 𝑇
. 𝑋 = 𝑌:
[
2 −
1
2
0
0 √
15
4
−√
4
15
0 0 2√
14
15]
[
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] =
[
1
13
√15
28
15
√
15
14]
 2√
14
15
𝑥3 =
28
15
√
15
14
𝑥3 = 1
 √
15
4
𝑥2 − √
4
15
𝑥3 =
13
√15
𝑥2 = 2
 2𝑥1 −
1
2
𝑥2 = 1
𝑥1 = 1
𝑋 = [
1
2
1
]
→ 𝑥
→ 𝑦
→ 𝑧
RESPUESTA: El valor de x es 1; el de y, 2; y el de z, 1.