Separata iii integración numerica terry

Mg Victor Terry Calderon Página 1
SEPARATA III
INTEGRACIÓN NUMERICA

LA REGLA DE SIMPSON
La regla de Simpson se utiliza para la integración de funciones, determinando el área bajo
la curva, asimismo se emplea para integrar valores de datos experimentales provenientes de
laboratorio, gabinete o unidad de producción.
La ecuación fundamental de Simpson
  


b
a
o yyy
x
dxxf 21.4
3
)(
Para 5 puntos
   43221 .4
3
.4
3
)( yyy
x
yyy
x
dxxf
b
a
o 




yo
y1
y2
x
x

Luego
  


b
a
o yyyyy
x
dxxf 4321 .4.2.4
3
)(
Para 7 puntos
     65443221 .4
3
.4
3
.4
3
)( yyy
x
yyy
x
yyy
x
dxxf
b
a
o 






  


b
a
o yyyyyyy
x
dxxf 654321 .4.2.4.2.4
3
)(
Para n puntos (ecuación general)
  

 
b
a
nno yyyyyyyyy
x
dxxf 1654321 .4........4.2.4.2.4
3
)(
CASO I. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES, UTILIZANDO LA ECUACIÓN BASE
DE SIMPSON
Integrar la siguiente función.  
7
2
2
).3,65,4( dxxx
Empleando la ecuación base
Calculo del valor de incremento
bandasden
xx
x
inicialfinal
.0


5,2
2
27


x

)3,65,4( 3
xx 
Construcción de la tabla para la integración
x )3,65,4( 3
xx 
2 21,1
4,5 53,1
7 97,6
Aplicar la regla de Simpson
   
7
2
3
6,971,5341,21
3
5,2
)3,65,4( dxxx = 275,9166
Comprobando analíticamente
  
7
2
7
2
323
333,05,35,4)3,65,4( xxxdxxx =275,197
Utilizando mayores bandas o puntos se puede lograr una mejor aproximación del valor de
la integral
Por ejemplo integrar para 11 puntos la función del ejemplo anterior, 10 bandas.
5,0
10
27


x
Tabla de la función a integrar
X )3,65,4( 3
xx 
2 21,1
2,5 26,5
3 32,4
3,5 38,8
4 45,7
4,5 53,1
5 61
5,5 69,4
6 78,3
6,5 87,7
7 97,6

Aplicando la ecuación general se obtiene
       
7
2
6,977,874............8,3824,3245,26
3
5,0
).( dxxf = 275,197
CASO II. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ENTRE LIMITES DIFERENTES
Por ejemplo considerando la función anterior integrar entre los siguientes limites:
 
5,5
3,1
2
).3,65,4( dxxx
Para tal fin debe construirse la curva integral y determinar su ecuación por análisis de
regresión, de la forma siguiente:
Usando para un 5,0x
X )3,65,4( 3
xx 
 214
3
yyy
x
A oi 


 iA
2 21,1
2,5 26,5
3 32,4 26,5833333 26,5833333
3,5 38,8
4 45,7 38,8833333 65,4666667
4,5 53,1
5 61 53,1833333 118,65
5,5 69,4
6 78,3 69,4833333 188,133333
6,5 87,7
7 97,6 87,7833333 275,916667
Organizar la tabla x ,  iA , de la forma siguiente:
X  iA
3 26,5833333
4 65,4666667

5 118,65
6 188,133333
7 275,916667
Grafica de la curva integral
y = 8,15x2 - 19,367x + 11,733
R2 = 1
0
50
100
150
200
250
300
0 2 4 6 8
x
Grafica de la
curva integral

Ejemplo: Calcular el área de un circulo cuyo radio es R =3 m, empleando el cálculo
numerico.
El área del elemento es:
Por geometría analítica
Reemplazando
Integrar a 20 bandas 15,0
20
03


x
0
y
x
d
x
y
dx
y
222
yxR 
)( 22
xRy 

3
0
.dxy
  
3
0
22
dxxR

X 2
9( x AI Ai 2Ai
0 2
0.898 0.898 1.796
0.15 2.996
0.30 2.985
0.45 2.966
0.889 1.787 3.5740.60 2.939
0.75 2.095
0.871 2.658 5.3160.90 2.862
1.05 2.810
0.842 3.500 71.20 2.750
1.35 2.679
0.803 4.303 8.6061.50 2.598
1.65 2.505
0.751 5.054 10.1081.80 2.4
1.95 2.280
0.683 5.737 11.7472.10 2.142
2.25 1.984
0.594 6.331 12.6612.40
2.55 1.580
0.471 6.802 13.6042.70 1.308
2.85 0.937
0.253 7.055 14,1103.00 0
El área del cuadrante es : A = 7,055 m2
La figura esta compuesta por 4 cuadrantes por lo tanto el área total (At) será:
At= 7,005 x 4 =28,22 m2
El área del circulo por geometría es :
    22
27,289. mRAt  
Cubicar el cilindro con R = 3,00 m y L = 9,00 m
Considerar 1 galón = 3,875 litros
Calculo de la equivalente del volumen en galones y la altura (x) del cilindro colocado en
forma horizontal

x 2Ai
 
875,3
1000.LA
gal 
0
1.796
0.15
0.30 4171,35
0.45
3.5740.60 8300,90
0.75
5.3160.90 12346,84
1.05
71.20 16258,06
1.35
8.6061.50 19988,13
1.65
10.1081.80 23476,65
1.95
11.7472.10 26649,29
2.25
12.6612.40 29408,52
2.55
13.6042.70 31596,39
2.85
14,1103.00 32771,61
Análisis de regresión para encontrar una correspondencia entre la altura (x) y los galones, la
ecuación que se determino fue:
)(1015,3 02924,15
mGxx 
 (R=0,9976)

G Gal) x (m)
30000 2,4497277
28000 2,27188313
26000 2,09520943
24000 1,91978818
22000 1,74571398
20000 1,57309779
18000 1,40207175
16000 1,23279602
14000 1,065469
12000 0,90034332
10000 0,73775227
8000 0,57815736
6000 0,42224351
4000 0,27114456
2000 0,12716152
3 m

CASO III. CUANDO NO EXISTE FUNCIÓN, TENIENDO SOLO DATOS
EXPERIMENTALES
Una empresa de alimentos vierte al desague un caudal (Q) de efluente de acuerdo al
siguiente registro se pide determinar el volumen vertido por día
Tiempo (t)
h
Caudal vertido(Q)
m3
/h
4 25
6 32
8 15
10 29
12 32
14 14
16 18
18 16
20 18
22 26
24 42
Aplicar la regla de Simpson
Tiempo (t)
h
Caudal
vertido(Q)
m3
/h
 214
3
yyy
x
A oi 


 iA
4 25
6 32
8 15 112 112
10 29
12 32 108,666667 220,666667
14 14
16 18 70,6666667 291,333333
18 16
20 18 66,6666667 358
22 26
24 42 109,333333 467,333333
El volumen vertido de efluente al desague es V = 467,33 m3
La gráfica de la curva integral

Tiempo (t)
h  iA
3 112,0
5 220,666667
7 291,333333
9 358,0
11 467,333333
V = 42,4(t) - 6,9333
R2 = 0,991
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0 5 10 15
Volumen(V)m3
Tiempo (t) h
Grafica de la curva integral

La concentración del efluente expresado en mg/l se muestra en la siguiente tabla:
Tiempo (t)
h
Caudal vertido(Q)
m3/h
Concentración ( C )
mg/l
4 25 12350
6 32 15000
8 15 14890
10 29 9875
12 32 10298
14 14 14555
16 18 12880
18 16 13587
20 18 15280
22 26 16800
24 42 12798
Determinar la masa que se envia al desague y la concentración promedio (C )
Solución:
t
(h)
Q
m3
/h
Q
l/h
C
mg/l
m
kg/h
Ai
 iA
4 25 25000 1235 30,88
6 32 32000 1500 48,00
8 15 15000 1489 22,34 163,473333 163,473333
10 29 29000 987,5 28,64
12 32 32000 1029,8 32,95 113,225733 276,699067
14 14 14000 1455,5 20,38
16 18 18000 1288 23,18 91,7637333 368,4628
18 16 16000 1358,7 21,74
20 18 18000 1528 27,50 91,7632 460,226
22 26 26000 1680 43,68
24 42 42000 1279,8 53,75 170,6504 630,8764
La masa que se envía al desagüe es 630,87 kg
La concentración promedio del efluente vertido :1,35 kg /m3

Problemas propuestos
1. Integrar y determinar la curva integral 
10
x
x
dx
para 15 puntos
2. Integrar y determinar la curva integral  
3
0
3
1xx
dx
para 14 bandas
3. Integrar y determinar la curva integral   
10
2
34
3.6.7 dxxxx para 11 puntos
4. Integrar y determinar la curva integral   
4
0
6
34 dxxx para 13 puntos
5. Integrar y determinar la curva integral 
10
1
5,0
25,0
.75,2
dx
x
e x
para 12 bandas
6. Se tiene los siguientes valores que correlaciona el volumen (V) ft3
/lb y la
presión (p) psia de acuerdo a la siguiente expresión:
 dVp.
La Información se encuentra en la siguiente tabla:
V p
2 68,7
4 31,3
6 19,7
8 14,3
10 11,3
Encontrar el trabajo efectuado por el embolo.
7. La velocidad (v) de un movil es esta dado en km/h , se a determinado cada
cierto periodo de tiempo (t), en minutos, determine el espacio recorrido y
determine la curva integral la información tabulada es la siguiente
Tiempo Velocidad
1 1,0064
3 1,00343
4 1,00435
6 1,00331
8 1,00233
10 1,00149
12 1,00078

8. El consumo de vapor (m, kg/h) por hora esta registrada en la siguiente tabla:
Tiempo Consumo de
vapor
2 325
4 560
6 450
8 468
10 275
12 825
14 320
16 316
18 345
Determinar la cantidad de vapor consumida, construya la curva integral y
determine el consumo de vapor entre la 7 horas y 15 horas.
9. Cada cierto periodo de tiempo (t) un indicador de consumo de petróleo (M,
gal/min), indica el flujo másico que se consume de petróleo. Estos valores han
sido registrados en la siguiente tabla:
Tiempo (h) Flujo másico gal/h
1 45,3
2 22,2
3 55,1
4 35,4
5 40,2
6 62,3
7 55,4
8 49,1
9 47,2
10 55,0
11 45,9
Determine la cantidad de combustible consumido (galones), determine la curva
integral y cual será la cantidad de petróleo consumido entre las 6,5 horas y 9 horas.

CASO III: Cuando suceden reacciones químicas
Entrada tiempo (t) t+ t
Flujo másico (M/T) me
me + t
dt
dme
.
Salida Tiempo (t) t+ t
Flujo másico (M/T) ms
ms+ t
dt
dms
.
Acumulación tiempo (t) t+ t
Masa (M) M
M+ t
dt
dM
.
se mm
dt
dM

  dtmdtmM se
Entradas – Salidas = Acumulación
Ejemplo:
La planta de producción de lácteos vierte sus efluentes a un bioreactor donde reduce su
carga orgánica antes de ser vertido al desagüe de acuerdo a los siguientes reportes:
Tiempo
(t) h
Entrada
concentración g/min
Salida
concentración
g/min
1 35,21 9,13
2 42,50 8,25
3 33,12 7,12
4 31,31 6,97
5 41,12 8,45
6 30,13 8,93
7 33,45 6,41
8 45,12 6,21
9 40,13 7,13
10 29,92 7,98
11 38,54 6,45

Las muestras han sido tomadas directamente de un sensor
a. Determine la masa que ingrese al bioreactor
b. Determine la masa que sale del bioreactor
c. Determine la masa que ha sido reducida
d. Determine el porcentaje de bioconversión
Cálculo de la masa que ingresa al bioreactor
Tiempo (t)
hora
Entrada
g/min
Entrada
g/h Ai Ai
1 35,21 2112,6
2 42,5 2550
3 33,12 1987,2 4766,6 4766,6
4 31,31 1878,6
5 41,12 2467,2 3989,6 8756,2
6 30,13 1807,8
7 33,45 2007 3901,8 12658
8 45,12 2707,2
9 40,13 2407,8 5081,2 17739,2
10 29,92 1795,2
11 38,54 2312,4 3967 21706,2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 5 10 15
Concentracióng/min
tiempo (t) min
Entrada
Salida

Calculo de masa que sale del bioreactor
Tiempo(t)
hora
Entrada
g/min
Entrada
g/h Ai Ai
1 9,13 547,8
2 8,25 495
3 7,12 427,2 985 985
4 6,97 418,2
5 8,45 507 869 1854
6 8,93 535,8
7 6,41 384,6 1011,6 2865,6
8 6,21 372,6
9 7,13 427,8 767,6 3633,2
10 7,98 478,8
11 6,45 387 910 4543,2
a. Masa al ingreso: 21 706,2 g
b. Masa a la salida: 4 543,2 g
c. Masa reducida: 21 706,2 –4 543,2 = 17 163 g
d. Bioconversión (%B)
100
2,21706
17163
% xB 
% B = 79,06

Problemas propuestos
1. En una operación de biodegradación de un efluente orgánico se contabilizo el
caudal (Q) litros /hora, saliendo del bioreactor, conociendo que la carga orgánica
inicial fue de 6001 mg /l.
Tiempo
hora
Caudal (Q)
litro/h
Concentración
mg/l
1 4500 500
3 6500 561
5 4350 450
7 5321 325
9 4698 585
11 5331 625
13 4610 351
Determinar el volumen (V) en m3
, vertido al desagüe, la masa y concentración del
agente orgánico que se vierte al desagüe y él % de bioconversión
2. Un efluente orgánico conteniendo residuales de azúcar es tratado en un bioreactor,
contabilizando los siguientes datos:
Tiempo (h) Caudal
m3/s
Concentración
entrada
g/l
Concentración
salida
g/l
1 0,210 18 5
2 0,230 15 3,5
3 0,240 12 4,2
4 0,200 15 2,1
5 0,198 17 4,1
6 0,177 19 6,2
7 0,236 15 3,4
8 0,224 32 8,1
9 0,180 16 8,9
a. Determinar el volumen del efluente tratado
b. Cantidad de azúcar que ingresa y sale del bioreactor
c. Material que sé biodegrado
d. % de bioconversión
e. Concentración promedio del efluente que se vierte al desagüe
f. Determinar la cantidad de etanol formado en la bioconversión
2526126 COOHHCOHC 

3. Se tiene la siguiente información de salida de un efluente de una planta procesadora
de alimentos, hacia un desagüe publico. La medida del caudal se efectúa cada hora,
determinando el contenido de sólidos solubles orgánico mediante sensores.
Tiempo
hora
Caudal (Q)
m3
/min
Concentración
mg/l
1 0,04 200
2 0,25 220
3 0,36 150
4 0,41 75
5 0,31 270
6 0,21 221
7 0,39 79
8 0,75 85
9 0,31 0,31
10 0,32 0,32
11 0,25 0,25
Determine el volumen del efluente que vierte al desagüe, la carga orgánica, y la
concentración promedio del mismo.
4. En un bioreactor se trata un efluente determinándose el flujo másico del agente
contaminante, obteniéndose los siguientes resultados:
Tiempo
hora
Flujo másico
entrada
kg/h
Flujo másico
salida
kg/h
1 45,6 18,3
2 32,5 10,9
3 55,3 12,3
4 53,8 8,25
5 45,9 9,13
6 62,4 8,53
7 44,8 7,23
8 46,8 10,90
9 49,6 11,3
Determinar la carga a la entrada y la salida del bioreactor, la carga orgánica se biodegrada
Determinar la cantidad de material de entrada y salida
La cantidad de material biodegradado y su porcentaje de material biodegradado

.

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