Lecciones 05 Esc. Sabática. Fe contra todo pronóstico.
Tema 1 matrices apuntes
1. 1
MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
1
TEMA 1: MATRICES
BLOQUE: ÁLGEBRA LINEAL
Los números bien colocados
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INTRODUCCIÓN
Tema 1: Matrices
Clasificación de los equipos en un determinado
momento de la liga.
Aparecen: los puntos del equipo, los partidos
jugados, cuántos se han ganado, empatado o perdido
y, por último, los goles a favor y en contra.
Esa tabla puede considerarse como un conjunto de
números ordenados según la fila donde estén
(equivalente al lugar del equipo en la clasificación) y
la columna correspondiente (según lo que represente
dicha columna).
Así, por ejemplo, el número 25, que solo aparece una
vez, corresponde al equipo que ocupa la posición 13
y representa los goles que ha marcado.
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INTRODUCCIÓN
Los seis consejeros (A, B, C, D, E, F) de una empresa deben elegir un presidente de entre
ellos mismos. Cada uno opina sobre los demás y sobre sí mismo del siguiente modo:
Si cree que es idóneo, pone 1
Si cree que no es idóneo, pone -1
Si no tiene opinión definida, pone 0
010001F
011111E
010101D
001110C
010101B
111111A
FEDCBA
−−
−−
−−
−
−−−−−
Tema 1: Matrices
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DEFINICIONES(1)
MATRIZ: Disposición ordenada de números por filas y columnas
−
−
−
05,04953
21752
50421
Esta matriz tiene 3 filas y 5 columnas, decimos que su dimensión es 3 x 5
4
3
2
01
5
1
0
2
0
01
52
Matriz fila de dimensión 1 x 4
Matriz columna de
dimensión 5 x 1
Matriz cuadrada de orden 2
Tema 1: Matrices
También se utiliza la palabra
orden (para indicar la dimensión)
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Las matrices suelen representarse por letras mayúsculas y a los números que
la forman se les llama elementos de la matriz.
Un elemento se suele representar por la letra minúscula equivalente al nombre
de la matriz y por dos subíndices, el primero representa la fila y el segundo la
columna.
Tema 1: Matrices
DEFINICIONES(1)
−
−
−−
=
0152
216
3105
114
A
3a23 −=
4a11 =
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Tema 1: Matrices
DEFINICIONES(1)
En un gran hipermercado, con jornada continua, tienen tres turnos de trabajo.
En la siguiente matriz se han recogido la cantidad de personas que trabajan en
los cuatro departamentos de la empresa: los encargados de las cajas
registradoras, los que atienden al cliente y la información, los reponedores de
material y por último los empleados de oficina. A partir de ellas contesta a las
siguientes preguntas.
1) ¿Cuál es el orden de la matriz?
2) ¿Cuál es el término a32 ?
3) ¿Cuál es el término a23 ?
4) ¿Qué lugar ocupa el 0?
5) ¿Qué representa el número 3?
=
14620
0838
47515
A
Ejercicio:
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DEFINICIONES(2)
MATRICES IGUALES: Aquellas que tienen la misma dimensión y además
coinciden término a término
01
52
10
52 No son iguales porque los términos no están
situados en la misma posición
10
52
010
052 No son iguales porque no tienen
la misma dimensión
Tema 1: Matrices
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DEFINICIONES (3)
MATRIZ TRASPUESTA DE UNA MATRIZ A
Es otra matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas y las columnas por
las filas, suele representarse como At
−=
5026
3150
2417
A
−
=
532
014
251
607
At
MATRIZ SIMÉTRICA
Es aquella que coincide con su traspuesta.
=
01
12
A
=
01
12
At
Necesariamente debe ser cuadrada
Tema 1: Matrices
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OPERACIONES CON MATRICES (1)
SUMA DE MATRICES: Para que dos matrices puedan sumarse, deben tener la misma
dimensión
−
−
−
=
−
−
−
+
−
−
5654
62124
8253
0111
6532
4102
5543
01612
4151
=
−
+
− 251
374
6523
4712 No puede efectuarse la suma
porque no tienen la misma
dimensión
Tema 1: Matrices
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OPERACIONES CON MATRICES (2)
PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ: Cada término de la matriz se multiplica
por dicho número
( )
−−
−
−
=
−
−
−
86
24
102
43
12
51
·2
PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA: es un número que se
obtiene multiplicándolos término a término y sumando los resultados.
IMPORTANTE: Tienen que tener dimensiones 1 x n (la fila); n x 1 (la columna)
( ) =
−
0
2
3
1
·4125 =+++− 0·44·13·2)1(·5 50465 =+++−
Tema 1: Matrices
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OPERACIONES CON MATRICES (3)
PRODUCTO DE MATRICES: Para que puedan multiplicarse es necesario que el número de
columnas de la primera coincida con el número de filas de las segunda.
En tal caso, el producto es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada
vector fila de la primera matriz con cada vector columna de la segunda
=
−
50
27
61
·
427
532
−++++
−++++
)5(·42·26·70·47·21·7
)5(·52·36·20·57·31·2
−
=
2621
723
Tema 1: Matrices
Hemos multiplicado la Fila 1 por la Columna 1 (vectorialmente) y el
resultado lo ponemos en el lugar a11(primera fila, primera columna)
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OPERACIONES CON MATRICES (3)
Ahora repetimos lo mismo con las demás filas y columnas. Así operamos con la
Fila 1 y la columna 2 y el resultado lo escribimos en la posición a12
=
−
50
27
61
·
427
532
−++++
−++++
)5(·42·26·70·47·21·7
)5(·52·36·20·57·31·2
−
=
2621
723
Tema 1: Matrices
Lo mismo con la Fila 2 y la Columna 1 y lo escribimos en a2
=
−
50
27
61
·
427
532
−++++
−++++
)5(·42·26·70·47·21·7
)5(·52·36·20·57·31·2
−
=
2621
723
7. 7
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OPERACIONES CON MATRICES (3)
Por último realizamos lo mismo con la Fila 2 y la Columna 2
=
−
50
27
61
·
427
532
−++++
−++++
)5(·42·26·70·47·21·7
)5(·52·36·20·57·31·2
−
=
2621
723
Tema 1: Matrices
Ya tenemos el resultado final
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OPERACIONES CON MATRICES (4)
CONSIDEREMOS LAS SIGUIENTES MATRICES
380120
1210545
8157430
MANTCARNEPAN
γγγγ
ββββ
αααα
18163,1615
145,131313
80,171,156,145,1
MANT.
CARNE
PAN
2008200720062005
MATRIZ B: Precios, en euros, del pan,
de la carne y de la mantequilla en 2005,
2006, 2007 y 2008
MATRIZ A: Consumos anuales de tres
familias α, β, γ de pan, carne y
mantequilla
¿QUÉ REPRESENTA LA MATRIZ A · B?
=B·A
00,139020,133310,127600,1259
00,393995,378250,356925,3535
00,311680,298220,284250,2784
2008200720062005
γγγγ
ββββ
αααα
Tema 1: Matrices
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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES
Tema 1: Matrices
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MATRICES CUADRADAS
• MATRIZ UNIDAD: Es aquella matriz cuadrada que está formada por “1” en la
diagonal principal y por “0” en todas las demás posiciones. Se representa por In
Por ejemplo:
=
100
110
001
I3
−
=
830
172
453
A
También se le llama
matriz identidad porque
verifica la siguiente
propiedad:
AA·II·A 33 ==
Para cualquier matriz A de orden 3
Tema 1: Matrices
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MATRICES CUADRADAS
• MATRIZ INVERSA: Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz inversa de A y se
representa como A-1 a aquella matriz que verifique la siguiente propiedad:
n
11
IA·AA·A == −−
−−
−
−−
=
352
301
111
A
Por ejemplo:
=−
135
259
3815
A 1
IMPORTANTE:
No todas la matrices cuadradas tienen
inversa
Tema 1: Matrices
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PROBLEMAS RESUELTOSProblema Resuelto 1
SOLUCIÓN:
x=2
y=-1
z=5
t=6
Tema 1: Matrices
