El documento explica los conceptos básicos de la suma de números enteros positivos y negativos utilizando rectas numéricas. Explica que al sumar dos positivos el resultado es positivo, al sumar un positivo y un negativo se restan y el signo depende del mayor valor absoluto, y al sumar dos negativos el resultado es negativo. Incluye ejemplos y actividades para practicar.

1. 133
PROBLEMAS ADITIVOS
• Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.
SUMADE NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS
PROBLEMA: Suma los números positivos: 2 + 3.
Para comprender mejor la suma de números enteros positivos y negativos lo hacemos
representando las operaciones en una recta numérica.
Se empieza del 0 y a partir de allí se toma la distancia 2 hacia la derecha, porque el 2 es
positivo. Enseguida, a partir del 2 se toma la distancia 3 también hacia la derecha.
2 + 3 = 5 Distancia 2 más distancia 3 igual a 5.
CONCLUSIÓN: Al sumar dos números positivos, el resultado siempre será un número
positivo, porque las dos distancias que se toman se mueven hacia la derecha en la recta.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Utiliza las siguientes rectas numéricas para representar y resolver las siguientes
sumas de números enteros.
3 + 4 = ____
5 + 6 = ____
2 + 8 = ____
6 + 9 = ____
7 + 6 = ____
(+3) + (+5) = ____
2 + 3 + 5 = ____
+3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
BLOQUE 5

2. 134
2.- Observa las siguientes rectas numéricas, escribe la operación que está indicada en
cada una y también su resultado.
__ + __ = ___
__ + __ = ___
__ + __ = ___
__ + __ = ___
__ + __ = ___
__ + __ = ___
__ + __ = ___
3.- Resuelve las siguientes sumas. Piensa cómo se ubican los sumandos en una recta.
6 + 4 = ____ 4 + 3 = ____ 5 + 3 = ____ (8) + (1) = ____
7 + 9 = ____ 7 + 12 = ____ 5 + 33 = ____ (6) + (2) = ____
4 + 20 = ____ 25 + 7 = ____ 16 + 8 = ____ (50) + (30) = ____
75 + 28 = _____ 49 + 92 = _____ 36 + 47 = _____ (+12) + (24) = _____
4.- Escribe el término que falta en las siguientes operaciones.
5 + ___ = 9 7 + ___ = 12 12 + ___ = 20 (6) + ___ = 12
___ + 8 = 15 ___ + 4 = 16 ___ + 9 = 18 ___ + 7 = 15
___ + ___ = 13 ___ + ___ = 9 ___ + 0 = 125 ___ + 35 = 179
5.- Resuelve el siguiente problema.
PROBLEMA: Ismael tiene 53 años y su papá tiene 19 años más que él. ¿Cuál es la edad
de su papá? _______________
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

3. 135
SUMADE NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
PROBLEMA: La temperatura en San Juanito durante la mañana fue de 0°C. Después
aumentó 3°C y luego bajó 7°C. ¿Cuál es la nueva temperatura?
Se suman dos números. Uno positivo y otro negativo: 3 + (-7). Esto es lo mismo que: 3 – 7
Se empieza del 0 y a partir de allí, se toma la distancia 3 hacia la derecha porque el 3 es
positivo.
Enseguida, a partir del 3 se toma la distancia -7 pero hacia la izquierda porque el -7 es un
número negativo.
3 – 7 = -4 Distancia 3 hacia la derecha del cero + distancia 7 hacia la izquierda = -4
CONCLUSIÓN: Para sumar un número positivo con otro negativo, se encuentra la
diferencia entre los dos números y al resultado se le pone el signo del número de mayor
valor absoluto.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Utiliza las siguientes rectas numéricas para representar y resolver las siguientes
sumas de números enteros.
4 + (- 6) = ____
3 - 10 = ____
4 - 11 = ____
6 - 9 = ____
8 - 15 = ____
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-7
3
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4. 136
2.- Analiza las siguientes rectas numéricas y escribe la operación que está indicada y su
resultado.
5 - 12 = -7
____________
____________
____________
____________
3.- Resuelve las siguientes sumas. Piensa cómo se ubican los sumandos en una recta
numérica.
4 + (-6) = -2 3 + (-10) = ____ 2 + (-5) = ____ 3 + (-7) = ____
6 – 8 = ____ 5 – 12 = ____ 5 – 8 = ____ 0 – 19 = ____
1 – 4 = ____ 56 – 80 = ____ 3 – 5 = ____ 4 – 9 = ____
8 – 11 = ____ 13 – 1 5 = ____ 8 – 9 = ____ 7 – 12 = ____
2 – 6 = ____ 25 – 39 = ____ 17 – 23 = ____ 61 – 98 = ____
4.- Resuelve los siguientes problemas.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.- Un día la temperatura de invierno en
Chihuahua, a las cuatro de la mañana
estuvo a 0°C. Durante el día subió 13°C y
bajó 15°C.
¿Cuál fue la nueva temperatura? _______
2.- Una persona recorre 50 metros a
la derecha del punto P y luego se
regresa 75 metros en la misma
dirección. ¿A qué distancia quedó del
punto P? _____________

5. 137
PROPIEDAD CONMUTATIVADE LASUMA
PROBLEMA: La temperatura en Santa Bárbara durante la mañana fue de 0°C. Después
bajó 7°C y luego subió 3°C. ¿Cuál es la nueva temperatura?
Sumamos dos números. Uno negativo y otro positivo: -7 + (3).
Esto es lo mismo que: –7 + 3
–7 + 3 = - 4 Distancia 7 hacia la izquierda del cero + distancia 3 hacia la derecha = -4
Se pueden cambiar el orden de los sumandos de una suma y el resultado es el mismo.
3 – 7 = -4 Es lo mismo que -7 + 3 = - 4
CONCLUSIÓN: Para sumar un número negativo con otro positivo, se encuentra la
diferencia entre los dos números y al resultado se le pone el signo del número de mayor
valor absoluto.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Utiliza las siguientes rectas numéricas para representar y resolver las siguientes
operaciones de números enteros.
- 6 + 4 = ____
- 6 + 1 = ____
- 9 + 3 = ____
- 7 + 5 = ____
- 8 + 2 = ____
-7
+3
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6. 138
2.- Observa las siguientes rectas numéricas, escribe la operación que está indicada y su
resultado en cada una de ellas.
- 9 + 5 = - 4
____________
____________
____________
____________
3.- Resuelve las siguientes sumas. Mentalmente analiza cómo se ubican los sumandos en
una recta numérica.
- 6 + 4 = ____ -10 + 3 = ____ -5 + 2 = ____ -7 + 12 = ____
– 8 + 6 = ____ – 12 + 5 = ____ – 48 + 25 = ____ – 19 + 0 = ____
– 34 + 17 = ____ – 80 + 56 = ____ – 5 + 7 = ____ – 9 + 14 = ____
– 11 + 8 = ____ – 1 5 + 13 = ____ – 9 + 18 = ____ – 12 + 17 = ____
– 6 + 2 = ____ – 9 + 5 = ____ – 13 + 17 = ____ – 98 + 104 = ____
4.- Resuelve los siguientes problemas.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.- Un día la temperatura de invierno en
Chihuahua, a las cuatro de la mañana
estuvo a 0°C. Durante el día bajó 13°C y
subió 8°C.
¿Cuál fue la nueva temperatura? _______
2.- Una persona recorre 75 metros a
la izquierda del punto O y luego se
regresa 50 metros en la misma
dirección. ¿A qué distancia quedó del
punto O? _____________

7. 139
SUMADE DOS NÚMEROS NEGATIVOS
PROBLEMA: La temperatura fue de 0°C. Después bajó 7°C y luego bajó 3°C.
¿Cuál es la nueva temperatura?
Se suman dos números negativos: -7 + (-3). Esto es lo mismo que: –7 – 3
Se empieza a representar en la recta a partir del cero. 7 hacia la izquierda y 3 también
hacia la izquierda.
–7 - 3 = -10 Distancia 7 hacia la izquierda del cero + distancia 3 hacia la izquierda = -10
Se pueden cambiar el orden de los sumandos de una suma y el resultado es el mismo.
- 3 + (-7) = -10 Es lo mismo que -7 - 3 = -10
CONCLUSIÓN: Para sumar dos números negativos, se suman los dos números y al
resultado se le pone el mismo signo negativo, porque al sumar dos números negativos, en
la recta se mueven los dos hacia la izquierda del cero.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Utiliza las siguientes rectas numéricas para representar y resolver las siguientes
operaciones de números enteros negativos.
- 6 - 4 = ____
- 5 - 1 = ____
- 9 - 3 = ____
- 7 - 5 = ____
- 8 - 9 = ____
-7
-3
-20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

8. 140
2.- Analiza las siguientes rectas numéricas, escribe la operación que está indicada y su
resultado en cada una de ellas.
_______ = ____
_______ = ____
_______ = ____
_______ = ____
_______ = ____
3.- Resuelve las siguientes sumas. Piensa cómo se ubican los sumandos en una recta
numérica.
- 6 - 4 = ____ -10 - 3 = ____ - 5 - 2 = ____ -7 - 3 = ____
– 8 - 6 = ____ – 12 - 5 = ____ – 48 - 25 = ____ – 19 - 0 = ____
– 34 - 17 = ____ – 80 - 56 = ____ – 5 - 3 = ____ – 9 - 4 = ____
– 11 - 8 = ____ – 1 5 - 13 = ____ – 9 - 8 = ____ – 12 - 7 = ____
– 6 - 2 = ____ – 9 - 5 = ____ – 13 - 7 = ____ – 98 - 92 = ____
4.- Resuelve los siguientes problemas.
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
1.- Un buzo se encontraba sumergido
a - 25 metros bajo el nivel del mar,
pero luego se sumergió -48 metros
más. ¿A qué profundidad se
encuentra el buzo? ______________
2.- Una persona sale de su casa y
recorre -75 metros hacia el oeste
para llegar a la escuela, y enseguida
avanza otros -150 para llegar a la
tienda. ¿A qué distancia se
encuentra de su casa? ___________

9. 141
RESTADE NÚMEROS CON SIGNO
PROBLEMA: La temperatura durante la mañana fue de 13°C y durante la noche fue de
5°C. ¿Cuál fue la diferencia de las dos temperaturas?
Para encontrar la diferencia se restan las dos cantidades: 13 – 5 = 8
PROBLEMA: La temperatura durante la mañana fue de 13°C y durante la noche fue de
5°C pero bajo cero, es decir -5°. ¿Cuál fue la diferencia de las dos temperaturas?
Vemos que la temperatura primero bajó desde 13° hasta 0° y luego desde 0° hasta -5°
La diferencia de las temperaturas fue de 18°, es decir, que la distancia entre 13 y -5 es 18.
Por lo tanto: 13 – (-5) = 13 + 5 = 18
CONCLUSIÓN: Si a un número entero le restamos un número negativo, es lo mismo que
sumarle el mismo número entero. Siempre que haya un signo menos antes del paréntesis,
la operación que está dentro del paréntesis se cambia por su operación contraria.
13 – (-5) = 13 + 5 25 – (-12) = 25 + 12 37 – (+20) = 37 - 20
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Completa lo siguiente como en el EJEMPLO.
6 – (- 5) = 6 + 5 7 – (- 4) = ___________ 8 – (- 8) = ___________
0 – (-16) = __________ 3 – (- 4) = ___________ 4.7 – (- 6.3) = ________
1.9 – (- 5.7) = _________ 1.3 – (-1.6) = ___________
3
5
− (−
2
5
) =
18 – (- 65) = __________ -8 – (- 8) = ___________ -3 – (- 3) = ___________
$100 – (- $65) = _________ 15 – (- 8) = ___________ 100 – (- 23) = ________
2.- Resuelve las siguientes restas. EJEMPLO:
6 – (- 5) = 6 + 5 = 11 8 – (- 5) = ______________
9 – (- 9) = ______________ 0 – (-16) = ______________
30 – (- 40) = ______________ 4.7 – (- 6.3) = ______________
1.9 – (- 5.7) = ______________
3
5
− (−
2
4
) =

10. 142
+ +
- -
- -
+ +
+ +
3.- El signo menos antes de un paréntesis es tan importante que hace que cambien por su
signo contrario todos los signos más y menos que están dentro del paréntesis.
Enseguida se presenta el dibujo de una casa en la que un signo menos va a entrar a ella
para cambiar por su signo contrario todos los signos que se encuentran adentro. Haz tú lo
que le corresponde hacer al signo.
-
−( ) =
4.- Resuelve las siguientes restas. Primero quita los paréntesis.
(5) – (- 4) = ___________________ 8 – (- 10) = __________________
10 – (- 5) = ___________________ 7 – (- 8) = ___________________
(+4) – (- 2) = __________________ 12 – (+8) = __________________
(+12) – (+12) = ________________ 1 – (- 5) = ___________________
25 – (- 18) = __________________ 9 – (- 11) = __________________
5.- Resuelve las siguientes restas. Primero quita los paréntesis.
(+4) – (+3) = _________________ (- 4) – (- 8) = ________________
(-9) – (- 10) = _________________ (- 12) – (+8) = _______________
(+15) – (+15) = ________________ (- 1) – (- 6) – (+3) = _____________________
-3 – (- 10) = __________________ (- 7) – (+6) – (- 9) = _____________________
-3 – (- 3) = ___________________ (+8) – (- 5) – (- 10) = ____________________
6.- Resuelve el siguiente PROBLEMA.
Un día de invierno, en Denver Colorado, USA., el termómetro marca -7°C.
En ese mismo momento la temperatura en Chihuahua es de 12°C. Si queremos
conocer la diferencia entre la temperatura de las dos ciudades, ¿cuál es el
procedimiento correcto para conocer la respuesta? …………………………………… (____)
a) 12 – 7 = 5
b) 12 – (- 7) = 12 + 7 = 19
c) -12 + 7 = -5
d) -12 + 7 = -5

11. 143
PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
• Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades
muy grandes o muy pequeñas.
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Cuando resolvemos problemas en los que intervienen cantidades muy grandes o muy
pequeñas, utilizamos la notación científica.
Para ello, los científicos utilizan las potencias de números 10.
105 104 103 102 101 100 10−1 10−2 10−3 10−4
100000 10000 1000 100 10 1 0.1 0.01 0.001 0.0001
PROBLEMA: Escribe en notación científica la siguiente cantidad que es muy grande.
343 000 000 000. = 3.43 x 100 000 000 000 = 3.43 x 10¹¹ Notación científica
Potencia positiva.
Siempre se deja una cifra entera.
Contamos 11 cifras del punto decimal hacia la izquierda y colocamos el punto a las 11
cifras hacia ese lado. Por eso 3.43 se multiplica por 10 a la potencia 11.
PROBLEMA: Escribe en notación científica la siguiente cantidad pequeña.
0.000 000 000 07 9 = 7.9 x 0.000 000 000 01
= 7.9 x 10ˉ¹¹ Notación científica. Potencia negativa.
Siempre se deja una cifra entera.
Recorremos el punto decimal 11 cifras hacia la derecha. Por eso 7.9 se multiplica por 10 a
la potencia –11.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Mi papá me ofreció que si obtengo el 10°(décimo) lugar en calificaciones me regala 10º
pesos = 1, pero si obtengo el 9°(noveno lugar) me regala 10¹ = 10 pesos; si obtengo el 8°
lugar serán 10² = 100 pesos; y así sucesivamente.
¿Qué cantidad me corresponderá por obtener el 1° lugar?___________________
LUGAR POTENCIA CANTIDAD
DÉCIMO 10º 1
NOVENO 10¹ 10
OCTAVO 10² 100
SÉPTIMO
SEXTO
QUINTO
CUARTO
TERCERO
SEGUNDO
PRIMERO
Uno
Diez
Cien

12. 144
2.- Procede como el ejemplo y expresa en notación científica las siguientes cantidades.
NÚMERO
MOVIMIENTO DEL
PUNTO DECIMAL
MULTIPLICACIÓN
POR
NOTACIÓN
CIENTÍFICA
4 200 Izquierda 3 10³ 4.2 x 10³
3 000
75 000
43 000 000
8 000 000
9 500 000
980 000
125 000 000
0.004 5 Derecha 3 10ˉ³ 4.5 x 10ˉ³
0. 007 5
0.000 45
0.000 03
0.000 05
0.000 000 7
0.000 000 55
3.- Expresa en notación científica las cantidades que enseguida se dan.
REFERENCIA DATO NOTACIÓN CIENTIFICA
Diámetro aproximado de la tierra 12 700 000 m
Cantidad aproximada de sangre del
cuerpo humano
5 000 000 ML³
Distancia del sol a la tierra 150 000 000 km
Velocidad de la luz 300 000 km seg
Distancia mayor posible entre el Sol
y Plutón
4 600 000 000 millas
Distancia recorrida por un automóvil 360 000 km
Número de pelos en la cabeza
(promedio aproximado)
120 000
4.- Expresa en notación científica lo siguiente.
REFERENCIA DATO NOTACIÓN
Representación de un micrón 0.000 001 m
Medida de una célula 0.000 003 m
Peso de una molécula de
oxígeno
0.000 000 000 000 000 000 000 05
gramos
Espesor de un glóbulo rojo 0.000 2 mm
Medida de un virus 0.000 000 09 m

13. 145
5.- Resuelve los siguientes problemas expresando también su resultado en notación
científica.
3.- Encuentra el volumen aproximado de la
tierra. Fórmula para encontrar el volumen de
una esfera: 𝑽 =
𝟒¶𝒓³
𝟑
Valor de ¶ = 3.14
Radio aproximado de la tierra: 6 000 km.
V = _____________________________
En notación científica: ______________
1.- En el Estadio Azteca de la Ciudad de
México, a un partido de futbol entraron un
total de 100 000 personas, las que
pagaron $150 cada una. ¿Cuánto recaudó
de dinero la empresa por la entrada de
todas las personas?__________________
En notación científica: ______________
2.- La Lotería Nacional, para un sorteo vendió
la cantidad de 90,000 boletos, los cuáles
costaron $100 cada uno. ¿Cuánto recaudó de
dinero en este sorteo?___________________
En notación científica: ______________
4.- El carro del profesor Ernesto ha recorrido
durante 15 años de uso un total de 360 000
kilómetros. ¿Cuántos metros son los que ha
recorrido?____________________________
En notación científica: ______________
5.- ¿Cuál es el resultado que se obtiene de
multiplicar: (2.5 x 10³)(3.4 x 10²)? __________
e) 8.50 x 10
f) 8.50 x 10³
g) 8.50 x 10²
h) 8.50 x 𝟏𝟎 𝟓
5.- ¿Cuál es el resultado que se obtiene de
multiplicar: (3.2 x 10³)(2.4 x 10³)? __________
a) 7.68 x 𝟏𝟎 𝟔
b) 7.68 x 10³
c) 7.68 x 10²
d) 7.68 x 10
En notación científica:________________

14. 146
PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes
métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.
POTENCIACIÓN
La potenciación es una multiplicación en donde los factores son iguales y a la que sus
partes se les llama base y exponente.
60² 60 es la base ² es el exponente, que nos indica las 2 veces que se toma
como factor la base: 60² = 60 x 60
1.5³ 1.5 es la base ³ es el exponente, que nos indica las 3 veces que se toma
como factor la base: 1.5³ = 1.5 x 1.5 x 1.5
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Completa la siguiente tabla.
POTENCIACIÓN BASE EXPONENTE FACTORES POTENCIA
10² 10 2 10 x 10 100
10³
9²
4 3
5³
2.5²
1.2 x 1.2 x 1.2
36
81
25
106
Para calcular el volumen multiplicamos:
1.5 x 1.5 x 1.5 es lo mismo que 1.5³
1.5³ = 3.375
1.5 m60 cm
PROBLEMA: Una ventana cuadrada
tiene 60 cm de base. ¿Cuánto mide su
área?
Para calcular el área multiplicamos:
60 x 60 es lo mismo que 60²
60² = 60 x 60 = 3 600
PROBLEMA: Un depósito de agua de
forma de cubo mide de base 1.5 metros.
¿Cuál es el volumen que ocupa?

15. 147
2.- Expresa de manera exponencial o viceversa las siguientes multiplicaciones.
2² = _______________ ______ = 2 x 2 x 2 7³ = _____________
13² = ______________ ______ = 25 x 25 x 25 10³ = ____________
104 = ______________ ______ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 106 =
50² = ______________ ______ = 12 x 12 x 12 4³ = _________
a² = _______________ 10² x 10³ = __________________ 4³ x 4³ =
3.- Observa la siguiente serie de figuras y completa la tabla que se presenta enseguida.
FIGURA1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4 FIGURA 5 FIGURA 6
FIGURA
CUADRITOS
POR LADO
TOTAL DE
CUADRITOS MULTIPLICACIÓN POTENCIACIÓN
1 1 1 1 x 1 1²
2 2 4 2 x 2 2²
3
4
5
6
10
20
30
4.- Resuelve las siguientes operaciones como en el ejemplo.
13² = 13 x 13 = 169 10³ = _____________________
10² = _______________________ 20³ = _____________________
1.4² = ____________________________ (
2
4
)² =
8² = ________________ 100² = _________________
108 = _______________________________ 107 = _________________________
29 = _______________________________ 105 = __________________________

16. 148
5.- La fórmula para encontrar el área de un círculo es ¶ r².
Encuentra el área de diferentes círculos que tienen de radio 2, 3, 4, 5 y 6 cm
respectivamente, considerando que ¶ es igual a 3.14. EJEMPLO:
A = ¶ r² = (3.14)(2²) = (3.14)(4) = 12.56
A = ________________________________________
A = _________________________________________
A = _________________________________________
A = _________________________________________
6.- Resuelve los siguientes problemas.
4 m 2 m
20 cm
1.- La siguiente figura representa la pared y el
vidrio de un aparador. ¿Cuál es el área de la
parte sombreada? _______________
2.- En la central de camiones hay 15 rutas de
camión y cada ruta tiene 15 camiones. Si cada
camión está transportando a 15 pasajeros,
¿cuántos pasajeros se están
transportando? ………………………..… (____)
a) 15² = 15 x 15 = 225
b) 15 x 150 = 2 250
c) 15³ = 15 x 15 x 15 = 3 375
d) 15 + 15 + 15 = 35
4.- ¿Cuál es el volumen total de los
siguientes cubos? _____________
5.- En la colonia centro hay 5 centrales
de taxis y cada central tiene 5 carros. Si
cada carro puede transportar a 5
personas, ¿cuántas personas son
transportadas cuando todos los taxis van
llenos? ___________________
3.- 24 cajas contienen 24 bolsas cada una
y cada bolsa contiene 24 paletas.
¿Cuántas paletas contienen en total
las 24 cajas? …………___________________
6.- Si una hectárea es un cuadrado que
mide 100 metros por lado. ¿Cuántos
metros cuadrados tiene una hectárea?
_________________
18 cm

17. 149
RAÍZ CUADRADA
La radicación o raíz es una operación inversa a la potenciación. La raíz cuadrada es lo
inverso de elevar al cuadrado:
4 = 2 Porque 2 x 2 = 4 169 = 13 Porque 13 x 13 = 169
PROBLEMA: Un terreno de forma cuadrada mide 625 m² de área. ¿Cuánto mide por
lado?
Para encontrar la raíz cuadrada de un número podemos seguir el siguiente procedimiento:
625
6, 2 5
6, 25 2
-4
2
6, 25 2
-4 4
2 25
6, 25 2 5
-4 4 5
2 25
-2 25
0
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números y demuestra en cada caso que
es lo contrario de elevar al cuadrado.
64 = _____ Porque 8 x 8 = 64 36 = ____ Porque _______________
49 = _____ Porque ______________ 16 = ____ Porque _______________
144 = _____ Porque ______________ 361 = ____ Porque _______________
25 = _____ Porque ______________ 196 = ____ Porque _______________
2.- Encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números.
576 729 1024 2025 441
1.- Separamos el número en cifras de dos en dos, empezando de
la derecha hacia la izquierda.
2.- Encontramos a la cifra de la izquierda su raíz cuadrada más
próxima. 6 = 2
3.- Elevamos 2 al cuadrado y el resultado se lo restamos a 6.
2² = 2 x 2 = 4 6 – 4 = 2
4.- Bajamos con el 2 las siguientes dos cifras que son el 25 y
escribimos el doble del número que llevamos en el resultado.
5.- Encontramos un número que multiplicado por el mismo y por el
4, se aproxime lo más posible al 225. En este caso es el 5, porque
5 x 45 = 225 que restado a 225 es igual a 0.
625 = 25 Porque 25 x 25 = 625

18. 150
3.- Encuentra la medida del lado de cada uno de los siguientes cuadrados, cuya área está
indicada en cada uno y escribe su medida en uno de sus lados.
4.- Resuelve enseguida las operaciones en las que se utiliza el exponente ² y la raíz
cuadrada. Hazlo como en el EJEMPLO:
10² - (4 x 1 x 24) = 100 – 96 = 4 = 2
Se eleva el 10 al cuadrado: 10² = 10 x 10 = 100. Se multiplica lo que está dentro del
paréntesis: 4 x 1 x 24 = 96. Enseguida se restan los dos resultados que quedaron dentro
del radical: 100 – 96 = 4. Por último se le saca raíz cuadrada al último número: √4 = 2
7² - (4 x 1 x 12) = ______________________________________________
8 ² - (4 x 5 x 3) = _______________________________________________
16² - (4 x 1 x 60) = _______________________________________________
12² - (4 x 1 x 36) = ______________________________________________
20² - (4 x 4 x 24) = _____________________________________________
11² - (4 x 1 x 24) = ______________________________________________
13² - (4 x 1 x 40) = ______________________________________________
3² - (4 x 1 x 2) = __________________________________________________
40² - (4 x 4 x 96) = _____________________________________________
81² - (4 x 9 x 126) = _____________________________________________
5.-Sin hacer la operación, encuentra el resultado de la siguiente raíz .……..……..… (____)
1 024 = _____ a) 30 b) 31 c) 32 d) 34
256 cm²196 cm²
100 cm²
3 600 cm²

19. 151
6.- Resuelve los siguientes problemas.
N
8 100 cm²
1.- La casa de Alonso tiene una ventana que
es de forma cuadrada y mide de área 8 100
cm². ¿De qué medida es cada uno de sus
lados? _____________
2.- El jardín del parque de la colonia tiene
forma cuadrada y mide 576 m² de área. Se
va a cercar con barandal. ¿De qué medida
es cada uno de sus lados? _____________
3.- La ventana cuadrada de la casa de Elena
mide 3 600 cm² de área y se le va a colocar
un cortinero. ¿Cuánto debe medir la longitud
del cortinero?........................................ (___)
a) 36 cm
b) 60 cm
c) 240 cm
d) 900 cm
4.- El terreno de una casa vista desde arriba
tiene la forma de un cuadrado, si el área del
terreno es de 676 m². ¿Cuánto mide por
lado el terreno? ________________
5.- El área de un cuadrado es de 64 cm².
¿Cuánto medirá una nueva área de este
cuadrado si cada uno de sus lados se
aumenta su medida al doble? _________
6.- Una ventana cuadrada tiene 6 400 cm²
de área. Se quiere reforzar en su base con
una tira de fierro. ¿Cuánto deberá medir de
largo la tira de fierro?.......... ……...(____)
a) 64 cm
b) 32 cm
c) 640 cm
d) 80 cm
7.- El techo de dos casas vistas desde arriba
es de forma cuadrada. Un techo mide de
área 900 m² y el otro su área es de 1600 m².
¿Cuánto mide más por lado una de las
casas? _________________
8.- Una mesa cuadrada mide de área 4900 cm².
¿Cuánto mide su perímetro? ________
JARDÍN

20. 152
PATRONES Y ECUACIONES
• Obtención de la regla general en lenguaje algebraico de una sucesión con progresión
aritmética.
SUCESIONES DE NÚMEROS. REGLAGENERAL
PROBLEMA: Deduce la regla general para encontrar cualquier número de la siguiente
sucesión numérica: 1, 3, 5, 7, 9, 11…
Una sucesión numérica, es una serie de números o un conjunto de números que se
encuentran escritos ordenadamente en base a una regla dada: 1, 3, 5, 7, 9, 11…
La sucesión numérica anterior también puede representarse con esta sucesión de figuras.
Empieza con 1 cuadrado, luego 3, enseguida 5, luego con 7…
Los términos de una sucesión numérica siempre se pueden ordenar desde el primer
término hasta el infinito.
El orden de la sucesión se representa con la letra n, por lo que n siempre valdrá 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7…
ORDEN ( n ) 1 2 3 4 5 6
TÉRMINOS 1 3 5 7 9 11
Podemos deducir una regla general para encontrar cualquier término de la sucesión:
Buscamos la diferencia de derecha a izquierda que hay entre los términos de la sucesión.
1, 3, 5, 7, 9, 11
2 2 2 2 2 11 – 9 = 2 9 – 7 = 2 7 – 5 = 2 5 – 3 = 2 3 – 1 = 2
Como el 2 no cambia, este número formará parte de la regla general de la sucesión.
Si multiplicamos 2 por lo que vale “n” y al resultado le restamos 1, vemos que se puede
encontrar cualquier término de la sucesión.
Por lo tanto la regla general de la sucesión numérica es: 2n – 1
Primer número de la sucesión: 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1
Segundo número de la sucesión: 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3
Tercer número de la sucesión: 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5
Cuarto número de la sucesión: 2(4) – 1 = 8 – 1 = 7
Quinto número de la sucesión: 2(5) – 1 = 10 – 1 = 9
¿Cuál será el término que se encuentre en el lugar número 10 de la sucesión?
2n – 1 = 2 (10) – 1 = 20 – 1 = 19

21. 153
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Continúa correctamente con cada una de las siguientes sucesiones numéricas.
1 4 7 10 19
1 5 9 13 17
3 6 9 12 15 18
5 10 15 20
200 207 214 221
2.- Continúa correctamente con la siguiente sucesión de figuras.
POSICIÓN U ORDEN DE LAS FIGURAS
1 2 3 4 5
¿Cuántas flechas forman cada una de las figuras 1, 2 y 3? _____ , _____ y _____.
¿Cuántas flechas se necesitan para construir la figura 4? ______. ¿Y la 5? _______
La sucesión numérica es 4, 7, 10, ____, _____, _____, _____, …
¿Estás de acuerdo en que para encontrar cualquier término de esta sucesión numérica, la
regla general es 3n + 1? __________
Si es así, ¿cuáles serán los números que se encuentran en los siguientes lugares?
Lugar 6 : ________ Lugar 10: _________ Lugar 15: ________

22. 154
3.- Continúa correctamente con la siguiente sucesión de figuras.
POSICIÓN U ORDEN DE LAS FIGURAS
1 2 3 4 5
¿Cuántos cuadrados forman cada una de las tres primeras figuras? _____ , _____ y ___.
¿Cuántas cuadrados se necesitan para construir la figura 4? _________
¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la figura 5? _________
La sucesión numérica es: 3, 5, 7, ____, ____, ____, ____, ____, ____, _____...
La diferencia de derecha a izquierda entre un número y otro es ____. 21 – 19 = ____
¿Estás de acuerdo en que para encontrar cualquier término de esta sucesión numérica, la
forma general es 2n + 1? __________
Si es así ¿cuáles serían los números que se encuentran en los siguientes lugares?
Lugar 6: ________ Lugar 20: _________
Lugar 30: _______ Lugar 50: _________
4.- Enseguida se presentan varias sucesiones numéricas para que las completes con los
términos que faltan. Escribe también la diferencia entre los términos.
POSICIÓN
1
POSICIÓN
2
POSICIÓN
3
POSICIÓN
4
POSICIÓN
5
POSICIÓN
6
POSICIÓN
7
2 4 10
6 14 22
1 4 7 10
1 3 5 7
4 8 12 16
10 20 30
4 12 20
DIFERENCIA

23. 155
5.- Compara primero los términos sucesivos de cada sucesión numérica para encontrar la
diferencia entre ellos, enseguida encuentra la regla general de la sucesión y por último
encuentra el término que se pide aplicando la regla general.
a)
POSICIÓN(n) 1 2 3 4 5 6
SUCESIÓN 2 4 6 8 10 12
DIFERENCIAS:
¿Estás de acuerdo en que la regla general es 2n? ________
¿Cuál será el término de la sucesión que ocupa el lugar 27? _________
b)
POSICIÓN(n) 1 2 3 4 5 6
SUCESIÓN 3 6 9 12 15 18
DIFERENCIAS:
¿Estás de acuerdo en que la regla general es 3n? ________
¿Cuál será el término de la sucesión que ocupa el lugar 12? _________
c)
POSICIÓN(n) 1 2 3 4 5 6
SUCESIÓN 4 12 20 28 36 44
DIFERENCIAS:
¿Estás de acuerdo en que la regla general es 8n - 4? ________
¿Cuál será el término de la sucesión que ocupa el lugar 20? _________
d)
POSICIÓN(n) 1 2 3 4 5 6
SUCESIÓN 11 14 17 20 23 26
DIFERENCIAS:
¿Cuál es la regla general de esta sucesión numérica? ________
¿Cuál será el término de la sucesión que ocupa el lugar 20? _________

24. 156
15.- Con cada una de las siguientes reglas dadas construye una sucesión numérica que
esté formada por los primeros 7 términos, es decir, donde n sea igual a 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.
REGLA SUCESIÓN NUMÉRICA
6n _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____.
10n _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____.
6n + 3 _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____.
8n + 5 _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____.
10n + 10 _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____.
10n – 4 _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____.
16.- Resuelve los siguientes problemas.
1.- En una ciudad están numeradas todas las casas de las calles en la forma sucesiva
que se muestra enseguida.
1 5 9 13 17 21 25 29
La Presidencia Municipal mandó reponer el número de la casa que se encuentra en el
lugar número 90 de la calle, ya que este se había perdido.
¿Cuál es la regla general de la sucesión? ______________
¿Cuál es el número que se repuso? ___________
2.- Una compañía va a contratar el número de empleados en forma sucesiva. La primera
semana contratará 2 empleados, la segunda 5, la tercera 8, la cuarta 11, la quinta 14, y
así sucesivamente.
¿Cuál es la regla general de la sucesión? ______________
¿Cuántos empleados contratarán en la semana número 40? _______
3.- En una ciudad se van a formar grupos ecológicos con sus habitantes con un total de
personas por cantidades sucesivas. El primer grupo estará formado por 8 personas, el
segundo por 15, el tercero por 22, el cuarto por 29, el quinto por 36, y así sucesivamente.
¿Cuál es la regla general de la sucesión? ______________
¿De cuántas personas estará integrado el grupo número 50? __________
4.- En un concurso de Geografía por contestar bien una primer pregunta un equipo gana 4
pesos, por la segunda pregunta gana 9 pesos, por la tercera pregunta gana 14 pesos, por
la cuarta pregunta gana 19 pesos y así sucesivamente.
¿Cuál es la regla general de la sucesión? ______________
¿Cuánto ganará un equipo por contestar bien 45 preguntas? ______________

25. 157
MEDIDA
• Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de
problemas.
PERÍMETRO DEL CÍRCULO
El perímetro de un círculo es lo mismo que su circunferencia. El centro, el radio y el
diámetro de un círculo son los mismos que los de la circunferencia, porque la
circunferencia es el perímetro del círculo. Al encontrar el perímetro de un círculo, lo que
hacemos es encontrar la medida de la circunferencia:
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Completa la siguiente tabla para encontrar el perímetro de los siguientes objetos
circulares.
OBJETO RADIO DIÁMETRO PERÍMETRO
Telescopio 4 cm
Rueda 27 cm
Fuente 2.5 m
Antena 1.60 m
Base
de botella
3.5 cm
2.- Resuelve los siguientes problemas.
PROBLEMA: Rosa, para desfilar el
20 de noviembre necesita adornar
con listón el perímetro de dos
círculos que miden 15 cm de radio
cada uno. ¿Cuánto listón deberá
comprar?
C = ¶ x d
¶ = 3.14
d = 15 x 2 = 30
C = 3.14 x 30
C = 94.2 cm
Total de listón = 94.2 x 2 = 188.4 cm = 1.88 m
1.- La rueda de un carro mide 52 cm
de diámetro.
¿Cuál es su perímetro?____________
2.- Las ruedas del carro del Profesor
Ricardo miden 60 cm de diámetro cada
una. Para ir de Chihuahua a Aldama, cada
rueda da 14300 vueltas aproximadamente.
¿Qué distancia es la que recorre?... (____)
a) 26 000 metros.
b) 26.941 kilómetros.
c) 188.4 cm.
d) 13.460 kilómetros.

26. 158
ÁREA DEL CÍRCULO
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Encuentra el área de cada uno de los siguientes círculos. Utiliza el área ¶ r²
PROBLEMA: El profesor de matemáticas
construyó en su casa un jardín circular de
5 metros de radio.
¿Cuál es el área del jardín? ___________
20 u
6 u
4 u
r = 8 cm d = 80 cm
PROBLEMA: La siguiente figura
representa la carátula de un reloj
de pared. Encuentra lo que mide
el área de la parte sombreada.

27. 159
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.
PROPORCIONES DIRECTAS
PROBLEMA: Determina si en el siguiente problema existe proporción directa.
5 kilos del frijol cuestan $60, 10 kilos costarán $120.
Aumenta la cantidad de frijol y aumenta también el precio, por lo tanto es una proporción
directa. En una tabla lo podemos representar así:
KILOS PRECIO
5 $60
10 $120
PROPORCIONES INVERSAS
PROBLEMA: Determina si en el siguiente problema existe proporción directa o inversa.
5 obreros tardan 8 horas en hacer un trabajo.
10 obreros tardarán 4 horas en hacer el mismo trabajo.
Las proporciones inversas son aquellas que al aumentar una cantidad, la otra cantidad
por el contrario disminuye, o aquellas que cuando una cantidad disminuye, la otra
cantidad aumenta. EJEMPLO:
NÚMERO DE OBREROS 5 10
NÚMERO DE HORAS 8 4
Observa que aumenta la cantidad de obreros y disminuye el tiempo que tardan en hacer
el trabajo.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Escribe en el cuadro si la variación de que se trata es directa o inversa.
Una llave proporciona 10 litros de agua cada 20 segundos y 30 litros en 60 segundos.
Al dar 5 pagos de la deuda de un carro debo $90 000 y al completar 8 pagos debo
$84 000.
Si saco 18 aciertos en una prueba tengo de calificación 6, pero si saco 27 mi calificación
es de 9.
Descubrimos que en las proporciones directas los cocientes
son constantes.
60
5
= 12
120
10
= 12 Cociente constante: k = 12
Descubrimos que en las proporciones inversas los
productos son constantes.
8 x 5 = 40 4 x 10 = 40 Producto constante: 40

28. 160
2.- La siguiente tabla representa el tiempo que tardan varios obreros en realizar un mismo
trabajo. Completa la tabla.
NÚMERO DE
OBREROS
2 4 8 16
NÚMERO DE
HORAS
20 10
Completa los siguientes factores de la tabla en donde el producto constante es 40:
20 x 2 = _____ 10 x 4 = _____ ____ x 8 = 40 _____ x 16 = 40
¿Qué es lo que pasa al aumentar el número de obreros? __________________________
¿Es una proporción inversa? _____ ¿Por qué? __________________________________
________________________________________________________________________
Observa que como el producto constante es 40, entonces para encontrar lo que tardan 8
obreros, buscamos un número que multiplicado por 8 nos de 40, y lo podemos hacer
dividiendo 40 ÷ 8 = 5
¿40 ÷ 16? _____
3.- La siguiente tabla representa el tiempo que tardan varios obreros en realizar un mismo
trabajo. Completa la tabla.
NÚMERO DE
OBREROS
5 10 25 40
NÚMERO DE
HORAS
20
Completa los siguientes factores de la tabla en donde el producto constante es 100:
20 x 5 = _____ 10 x _____ = _____ ____ x 25 = _____ _____ x 40 = 100
¿Qué es lo que pasa al aumentar el número de obreros? __________________________
¿Es una proporción inversa? _____ ¿Por qué? __________________________________
________________________________________________________________________
Observa que como el producto constante es 100, entonces para encontrar lo que tardan
10 obreros, buscamos un número que multiplicado por 10 nos de 100, y lo podemos hacer
dividiendo 100 ÷ 10 = 10
100 ÷ 25 = ______ 100 ÷ 40 = ______