Universidad Arturo Michelena
Análisis Matemático I.
Material de apoyo Unidad I (tomado de Internet)
Prof. Juan Aguirre


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Donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18
Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efec...
a 2 + ab + 2 =(a + )
                                         2
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Otros ejemplos de factorizac...
x2 − 6x + 8              x2 − 9
x 2 + x − 72             x 4 − 16
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 Los conjuntos se representan gráficamente por una curva simple cerrada.

 Los elementos que pertenecen al conjunto se r...
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Unidad i uam (analisis i)

  1. 1. Universidad Arturo Michelena Análisis Matemático I. Material de apoyo Unidad I (tomado de Internet) Prof. Juan Aguirre 1. Binomio de Suma al Cuadrado ) Diferencia de Cubos ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2) 2. Binomio Diferencia al Cuadrado ) Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac 3. Diferencia de Cuadrados = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac) ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 Producto de dos binomios que tienen un 4. Binomio Suma al Cubo término común ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab = a3 + b3 + 3 ab (a + b) 7. Diferencia de dos Cubos 5. Binomio Diferencia al Cubo a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2) ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3 6. Suma de dos Cubos a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2) FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Para factorizar polinomios hay varios métodos: 1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice: a.( x + y ) = a.x + a. y a. x + . y Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y a decir que a. x + . y = .( x + ) a a y Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden 36 x 2 − x 3 + x factorizar la expresión 12 18 , será 36 x 2 − x 3 + x = x (6 x − x 2 + ) 12 18 6 2 3
  2. 2. Donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18 Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda. 4 a 2 b + ab + ab 2 Otro ejemplo: Factorizar 2 6 4a 2 b + ab + ab 2 = ab( 2a + + b) 2 6 2 1 3 ¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto 4a 2 b + ab + ab 2 = ab( 2a + b) 2 6 2 3 y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da 2ab ( 2a + b) = a 2 b + ab 2 3 4 6 4 a 2 b + ab + ab 2 pero no 2 6 como me tendría que haber dado. 2 ab( 2 a + + b ) = ab.2 a + ab.1 + ab.3b = a 2 b + ab + ab 2 1 3 2 2 2 4 2 6 Sin embargo si efectúo Otros ejemplos: 3 x 2 − x + x 4 = x (x − + x 2 ) 6 9 3 2 3 4 2  2  2x 3 − x + 2 x = 2 x x 2 − x +1 3  3  2. Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia. Se basa en la siguiente fórmula (a +b )(a −b ) =a 2 − 2 b a 2 −b 2 Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice escribo a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) Otros ejemplos de factorización por este método: 4 x 2 − = 2 x + )(2 x − ) 1 ( 1 1 x4 −16 = x 2 − )(x 2 + ) ( 4 4 a 2 4b 2  a 2b  a 2b  − = −  +  4 9 2 3  2 3  3. Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio Se basa en las siguientes fórmulas (a + )2 b =a 2 + ab + 2 2 b (a − )2 b =a 2 − ab + 2 2 b y a 2 + ab + 2 Así si nos dicen que factoricemos: 2 b , basta aplicar la fórmula anterior y escribir que
  3. 3. a 2 + ab + 2 =(a + ) 2 2 b b Otros ejemplos de factorización por este método: 4 x 2 + + x =(2 x + ) 2 9 12 3 x2 − x + 10 25 =( x − ) 2 5 2 1 1  + 2x + 4x 2 =  + 2x  4 2  4. Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo ax 2 +bx +c , siendo a, b y c números − b ± b 2 − 4ac x= 2 +bx + = 2a Se iguala el trinomio a cero ax x 0 , se resuelve la ecuación , y si tiene x1 x2 ax 2 +bx + = (x − 1 )( x − 2 c a x x ) dos soluciones distintas, y se aplica la siguiente fórmula: 2x 2 + x − Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio 5 3 2x 2 + x − = Igualamos a cero 5 3 0 − 5 ± 25 + 24 −5 ± 7 x= = 4 4 Resolvemos la ecuación , y separando las dos soluciones 2 1 − 12 x1 = = x2 = = −3 4 2 4 , , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2  1 2 x 2 + 5 x − 3 = 2 x − ( x + 3)  2 5. Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero. ax 4 + 3 + 2 +dx + Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado bx cx e tiene cuatro raíces enteras, x1 x2 x3 x4 , , y se factoriza así: ax 4 + 3 + 2 + bx cx dx + = (x − 1 )(x − 2 e a x x )(x − 3 )(x − 4 ) x x Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini x4 − x3 − 2 + x − Ejemplo: Factorizar 4 x 16 12 . Factorizar
  4. 4. x2 − 6x + 8 x2 − 9 x 2 + x − 72 x 4 − 16 x4 − 9x2 ax + ay x5 − 8x 2 6x 2 + 6 2x + 8 81 − x 2 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones cuadráticas: 1 5 2 6 3 7 4 8 Definición de un conjunto El criterio que permite decidir si un elemento pertenece o no al conjunto debe ser enunciado en forma clara, de modo que la selección de los elementos no dependa de opiniones subjetivas (conjunto de personas altas, bajas, etc.):  Un conjunto está definido por extensión cuando se enumeran, uno a uno, todos los elementos que pertenecen al conjunto.  Un conjunto está definido por comprensión cuando se da una propiedad que caracteriza a los elementos que pertenecen al conjunto, y sólo a éstos. El conjunto A está formado por los elementos x tal que x es un color primario. Diagramas de Venn
  5. 5.  Los conjuntos se representan gráficamente por una curva simple cerrada.  Los elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva.  Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva.  Ningún elemento puede representarse sobre la curva.

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