Presentamos cuatro casos de Fracciones Parciales con ejemplos de cada uno.

1. Fracciones parciales
Px 
Una función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del
Q x 
divisor Qx   0 de la misma, de tal modo que el divisor puede presentar términos
que permitan factorizarlo atendiendo a :
a) Factores lineales distintos.
b) Factores lineales repetidos o iguales.
c) Factores cuadráticos distintos.
d) Factores cuadráticos repetidos.
Cada caso de los indicados permite formar una fracción racional equivalente a la
dada del modo siguiente:
a) Factores lineales distintos.
Px  Px 
=
Q x  a1 x  b1 a 2 x  b2 a 3 x  b3  a n x  bn 
...
O sea que: Qx = a1 x  b1 a 2 x  b2 a3 x  b3  a n x  bn 
. ...
Vamos a formar varias fracciones, una para cada factor distinto de Qx . El numerador
de la fracción tendrá una constante a determinar: A,B,C,…,N
Px  A B C N
    ...  I
Q x  a1 x  b1 a 2 x  b2 a 3 x  b3 a n x  bn
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo
Qx = a1 x  b1 a 2 x  b2 a3 x  b3  a n x  bn  formamos una expresión sin
. ...
denominadores:
Px   Aa 2 x  b2 a3 x  b3  a n x  bn  Ba1 x  b1 a 3 x  b3  a n x  bn 
... ...
 C a1 x  b1 a 2 x  b2  a n x  bn  …+ N a1 x  b1 a 2 x  b2 a3 x  b3   n 1x  bn1 
... . ... a
En éste caso, determinamos A, B, C,…, N mediante igualdad de polinomios,
previa multiplicación de los binomios indicados. Podemos utilizar la parte derecha
A B C N
de la función racional I :    ...  como
a1 x  b1 a 2 x  b2 a3 x  b3 a n x  bn
Px 
equivalente de la dada .
Q x 
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
1

2. b) Factores lineales repetidos.
Px  Px 
=
Q x  ax  b ax  b ax  b  ax  b 
...
Qx   ax  b ax  b ax  b  ax  b   ax  b 
n
Es decir: ...
Formamos varias fracciones, una para cada factor de Qx . El numerador de la
fracción tendrá una constante a determinar: A,B,C,…,N
Px  A B C N
    ...  I
Q x  ax  b (ax  b) 2
(ax  b) 3
(ax  b) n
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo Qx   ax  b 
n
formamos una expresión sin denominadores:
n 1 n  2  n 3 
P x   Aax  b   B ax  b   C ax  b   ...  N
En la expresión anterior, determinamos A,B, C,…, N mediante igualdad de
polinomios, previo desarrollo de los binomios. Ahora podemos utilizar la parte
Px 
derecha de la función racional I como equivalente de la dada .
Q x 
c) Factores cuadráticos distintos.
Px  Px 
=
Q x   1 x  b1 x  c1  2 x  b2 x c 2  3 x 2  b3 x  c3   n x 2  bn x  c n 
a 2
a 2
a ... a
Ahora: Qx    1 x 2  b1 x  c1  2 x 2  b2 x  c 2  3 x 2  b3 x  c3   n x 2  bn x  c n 
a a a ... a
Formamos varias fracciones, una para cada factor de Qx . El numerador de la
fracción tendrá dos constantes a determinar: A,B,C,…,N, M
Px  Ax  B Cx  D Ex  F Nx  M
=    ... 
Q x   1 x  b1 x  c1   2 x  b2 x c 2   3 x  b3 x  c3 
a 2
a 2
a 2
a n x  bn x  cn 
2
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
2

3. Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo
Qx =  1 x 2  b1 x  c1  2 x 2  b2 x  c 2  3 x 2  b3 x  c3   n x 2  bn x  c n  formamos
a a a ... a
una expresión sin denominadores:
P x   Ax  B  2 x 2  b2 x  c 2  3 x 2  b3 x  c3   n x 2  bn x  c n 
a a ... a
Cx  D a1 x 2  b1 x  c1  3 x 2  b3 x  c3  a n x 2  bn x  cn 
a ...
Ex  F  1 x  b1 x  c1  2 x  b2 x  c2   n x 2  bn x  cn  …+
a 2
a 2
... a
Nx  M  1 x 2  b1 x  c1  2 x 2  b2 x  c2   ( n1) x 2  b( n 1) x  cn 1 
a a ... a
Encontramos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previa
multiplicación de los factores planteados en P(x) . Ahora podemos utilizar la parte
Px 
derecha de la función racional I como equivalente de la dada .
Q x 
d) Factores cuadráticos repetidos.
Px  Px 
= 
Q x    bx  c   bx  c  2  bx  c   2  bx  c 
ax 2
ax 2
ax ... ax
   
Siendo: Qx   ax 2  bx  c ax 2  bx  c ax 2  bx  c ... ax 2  bx  c  ax 2  bx  c    n
Formamos varias fracciones, una para cada factor de Qx . El numerador de la
fracción tendrá dos constantes a determinar: A,B,C,…,N, M
Px  Ax  B Cx  D Ex  F Nx  M
=    ...  I
Q x    bx  c    bx  c    bx  c 
ax 2
ax 2 2
ax 2 3
ax  bx  c n
2
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo
   
Qx   ax 2  bx  c ax 2  bx  c ax 2  bx  c ... ax 2  bx  c  ax 2  bx  c  
n
formamos una expresión sin denominadores:

P(x) = (Ax+B) ax 2  bx  c 
n 1

 (Cx+D) ax 2  bx  c 
n 2 

 (Ex+F) ax 2  bx  c 
n 3 

+…+ (Nx+M)
Hallamos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previo desarrollo de los
factores indicados.
Utilizamos la parte derecha de la función racional I como equivalente de la expresión
Px 
dada .
Q x 
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
3

4. Ejemplos de Fracciones Parciales
Primer Caso. Factores de primer grado distintos.
Px  5x  3
Sea la función racional =
Q x  x  1x  3
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente, dependiendo del divisor
Qx   0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales
distintos x  1 y x  3.
5x  3
A partir de la fracción dada podemos construir dos fracciones cuya suma
x  1x  3
A B
sea equivalente a la fracción conocida: 
x 1 x  3
5x  3 A B
Es decir:   Multiplicando ésta ecuación por el mínimo
x  1x  3 x  1 x  3
común múltiplo x  1 x  3, tenemos: 5 x  3  Ax  3 Bx  1
Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda: 5 x  3  Ax  3 A  Bx  B
Asociando en la derecha los términos semejantes: 5 x  3  A  B x   3 A  B 
Igualando los términos semejantes:
En x: 5 x  A  B x ( I )
Términos independientes: -3 = -3 A + B ( II )
De I Dividiendo entre x la expresión: 5= A+ B (I)
-3 = -3 A + B ( II )
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I y II mediante reducción:
Multiplicando la ecuación I por 3: 15 = 3A+ 3B
-3 = -3A+ B
12
Sumando las dos ecuaciones anteriores 12 = 4B  B = 3  B=3
4
Sustituyendo B en la ecuación I: 5 = A + 3  A= 5-3= 2  A = 2
5x  3 2 3
Con los valores de A, B encontrados tenemos:  
x  1x  3 x  1 x  3
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial
conocida.
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
4

5. Segundo Caso. Factores de primer grado repetidos.
Px  6 x  7
Sea la función racional 
Qx  x  22
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor
Qx   0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales
iguales x  2x  2  .
6x  7
A partir de la fracción dada podemos construir dos fracciones cuya suma sea
x  22
A B
equivalente a la fracción conocida : 
x  2 x  22
6x  7 A B
Es decir:   Multiplicando ésta ecuación por el mínimo
x  2 x  2 x  22
2
2
común múltiplo x  2  , tenemos:
6 x  7  Ax  2  B
Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda:
6 x  7  Ax  (2 A  B)
Igualando términos semejantes:
En x : 6x=Ax Dividiendo entre x, tenemos que : A = 6
Términos independientes: 7  2 A  B  7= 2(6) +B
Despejando B: B = 7-12 = -5  B  5
Sustituyendo los valores de A y B en la fracción inicial:
6x  7 6 5
 
x  2 x  2 x  22
2
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial
conocida.
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
5

6. Tercer Caso. Factores de segundo grado distintos.
Px  x 3  x 2  2 x  1
Sea la función racional  2
Qx  x 1 x2  2   
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor
Qx   0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo
 
grado diferentes x 2  1 x 2  2 . 
x3  x 2  2x  1
A partir de la fracción dada podemos construir dos fracciones cuya

x2 1 x2  2  
Ax  B Cx  D
suma sea equivalente a la fracción conocida :  2
x2  1 x 2
3 2
x  x  2 x  1 Ax  B Cx  D
Es decir:  2  2 Multiplicando ésta ecuación por el mínimo

x2 1 x2  2  x 1  x 2
 
común múltiplo x 2  1 x 2  2 , 
 
Tenemos: x 3  x 2  2 x  1  Ax  B  x 2  2  Cx  D  x 2  1  
Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda:
x 3  x 2  2 x  1  Ax 3  2 Ax  Bx 2  2 B  Cx 3  Cx  Dx 2  D
Factorizando a la derecha de la igualdad:
x 3  x 2  2 x  1  ( A  C ) x 3  ( B  D) x 2  ( 2 A  C ) x  ( 2 B  D)
Igualando términos semejantes:
En x 3 : x3  ( A  C)x3 Dividiendo entre x 3 , tenemos que : 1 = A + C (I)
2 2 2 2
En x : x  ( B  D) x Dividiendo entre x , tenemos que : 1 = B + D (II)
En x : 2 x  (2 A  C ) x Dividiendo entre x , tenemos que : 2 = 2A + C (III)
Términos independientes: 1  (2 B  D ) o sea que: 1= 2B + D (IV)
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I , II , III, IV :
De I: 1 = A + C multiplicando por -1  -1 = -A - C
Sumando con III: 2 = 2A + C
1= A  A=1
Sustituyendo A en I tenemos que 1 = 1 + C por tanto C=0
Seleccionando ahora las ecuaciones II y IV
1=B+D multiplicando por -1  -1 = -B - D
Sumando con IV: 1= 2B + D
0=B por tanto B=0
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
6

7. En la Ecuación II encontramos a D: 1 = B+ D  1 = 0 + D  D=1
Sustituyendo los valores de A, B, C, D en la fracción inicial:
x 3  x 2  2 x  1 (1) x  0 (0) x  1
 2  2
 
x2 1 x2  2 x 1 x 2
Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda:
x3  x2  2x  1 x 1
 2  2
 2

2
x 1 x  2 
x 1 x  2
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial
conocida.
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
7

8. Cuarto Caso. Factores de segundo grado repetidos.
Px  x 2  x  9
Sea la función racional 
Qx   2  9 
x
2
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor
Qx   0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo

grado repetidos x 2  9 x 2  9 .  
x2  x  9
A partir de la fracción dada podemos construir dos fracciones cuya suma
x 2
9 
2
Ax  B Cx  D
sea equivalente a la fracción conocida : 
x2  9 
x2  9
2

2
x  x9 Ax  B Cx  D
Es decir:  
x 2
9 
2
x2  9 x2  9
2
 
Multiplicando la ecuación anterior por el mínimo común múltiplo x 2  9  
2
tenemos:

x 2  x  9  Ax  B  x 2  9  Cx  D 
x 2  x  9  Ax 3  9 Ax  Bx 2  9 B  Cx  D
Completando el polinomio de tercer grado en la derecha y factorizando los términos
semejantes a la izquierda:
0 x 3  x 2  x  9  Ax 3  Bx 2  (9 A  C ) x  (9 B  D )
Igualando términos semejantes.
En x 3 : 0 x 3  Ax 3  A=0
2 2 2
En x : x  Bx  B =1
En x :  x  (9 A  C ) x  -1= 9 A + C  -1 = 9(0) + C  C = -1
Términos independientes: 9 = 9B + D  9 = 9(1) + D  D = 0
x2  x  9 Ax  B Cx  D
En la expresión: = 
9 x 2
2
x2  9 x2  9 
2

Sustituyendo A, B, C y D tenemos:
x2  x  9 (0) x  1 (1) x  0
= 
9 x 2

2
x2  9 
x2  9
2

Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda:
x2  x  9 1 x
= 2 
2
x 9
2

x 9 x 9 22
  
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial
conocida.
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
8