1. Ecuaciones simultaneas de 2°
(investigación)
Nombre:
Nurit Itzel Sánchez Barriga
Grado y grupo: 3°C
Turno: Matutino
Materia: Matemáticas
Maestro: Luis Miguel Villarreal Matías
Escuela: Secundaria Técnica 118
Ciclo Escolar: 2011-2012
Fecha de entrega: 22 de Noviembre

2. Ejemplos con pasos__________________1-7
Conclusión__________________________8
Fuente______________________________

3. EJEMPLO1
En la papelería de Chucho un señor le compró 3 gomas y 2 lápices, por ellos pagó
9.50 pesos. Si la suma de lo que cuesta una goma y un lápiz es 4 pesos. ¿Cuánto
vale cada goma y cada lápiz?
Chucho, para resolver este problema, piensa así:
Necesito encontrar dos números que sumados me den 4 pesos, que es lo que
cuestan una goma y un lápiz.
a+b =4 ----- (1)
a = precio de cada goma
b = precio de cada lápiz
Como en esta ecuación se tienen dos incógnitas, "a" y "b", no puede ser resuelta
con una sola ecuación, por lo que se necesita otra diferente que también incluya
las dos incógnitas.
Chucho dice que si sabe que vendió 3 gomas (a) y 2 lápices (b) y que por ellas le
pagaron 9.50 pesos, puede plantear otra ecuación que incluya las gomas y los
lápices diferente a la anterior, esta sería:
3a+2b =9.50 ----- (2)
Estas dos ecuaciones son diferentes, pero ambas se refieren a las mismas
incógnitas, por lo que se llaman ecuaciones simultáneas.
Es la suma del costo de una goma y un
a+b =4 ----- (1)
lápiz.
Es lo que cobró Chucho por la venta de
3a+2b =9.5 -- (2)
tres gomas y dos lápices.
Chucho dice que para conocer el valor de las dos incógnitas es necesario seguir
los siguientes pasos.
Paso 1
Se selecciona la ecuación de menor tamaño o con menos complicación para
despejar a una de las dos incógnitas. De ella se despeja la incógnita que sea más
fácil de dejar sola.

4. En este caso, la ecuación más sencilla y sin complicaciones para despejar es la
(1).
a+b =4 ----- (1)
Paso 2
De la ecuación seleccionada, se despeja una de las dos incógnitas.
a+b =4
Para dejar sola a la "a", se resta "b" en los dos términos:
a+b-b=4-b
Como +b - b = 0, la ecuación queda así:
a=4-b
Paso 3
Ahora, esta ecuación se sustituye en la otra ecuación simultánea.
Se debe sustituir a = 4 - b en:
3a + 2b = 9.50 ------------ (2)
Esto implica que en donde se encuentre "a" en la segunda ecuación se debe
poner "3 - b".
3 (4 - b) + 2b = 9.50
Paso 4
Se realizan las operaciones necesarias para simplificar al máximo las ecuaciones.
3 (4 - b) + 2b = 9.50
12 - 3b + 2b = 9.50
12 - b = 9.50
Paso 5

5. La ecuación que resultó es una ecuación con una sola incógnita (b), por lo que
se puede obtener el valor de esa incógnita al despejarla.
12 - b = 9.50
Para despejar "b", se resta en ambos
términos doce:
12 - 12 - b = 9.50 - 12
Al realizar las operaciones se tiene:
0 - b = - 2.50
Para obtener el valor positivo de "b", se pueden multiplicar ambos términos por - 1
y la ecuación no se altera.
- b = - 2.50
Multiplicado por - 1 se tiene:
(- b) (- 1) = (- 2.50) (- 1)
b = 2.50
Con lo anterior se ha logrado conocer el valor de "b", o sea, lo que cuesta un
lápiz.
Paso 6
Al conocer el valor de una de las dos incógnitas se podrá sustituir su valor en
cualquiera de las dos ecuaciones originales y con ello obtener una ecuación con
una sola incógnita, observe:
Si b = 2.5, sustituya el valor de "b" en la ecuación (a + b = 4) y se tiene lo siguiente:
a + (b) = 4
a + (2.5) = 4-------------- (nueva ecuación)
Para despejar a la incógnita "a", se resta 2.5 en los dos términos:
a + 2.5 - 2.5 = 4 - 2.5

6. Se realizan las operaciones y queda que a = 1.50
Con lo que se sabe que las gomas valen un peso con cincuenta centavos.
Con lo anterior Chucho sabe que cada lápiz vale dos cincuenta y cada goma
uno cincuenta.
Para comprobar que esto es verdad, sustituye los valores obtenidos (a = 1.50, b =
2.50) en las dos ecuaciones planteadas.
Ecuaciones originales:
a + b = 4 ---------- (1)
3a + 2b = 9.50 ------- (2)
Sustituyendo a = 1 y b = 2 en la
ecuación (1) se tiene que:
a+b=4
(1.50) + (2.50)=4
4=4
Sustituyendo a = 1.5 y b = 2.5 en la
ecuación (2) se tiene que:
3a + 2b = 9.50
3(1.50)+2(2.50)=9.50
4.50 + 5 = 9.50
9.50 = 9.50
Como la igualdad se cumple en las dos ecuaciones, los resultados obtenidos
están bien calculados.
Con la solución de este tipo de ecuaciones, Chucho conoció el valor de dos
incógnitas (el costo de un lápiz y el de una goma) por medio de dos ecuaciones.
Si Chucho no hubiera conocido cómo se resuelven las ecuaciones simultáneas,
habría tardado más tiempo en resolver su problema, porque habría tenido que
descubrir los números por tanteos, o sea, adivinando qué números sumados dan 4
y luego esos mismos números deben ser uno multiplicado por 3 y otro por 2. Los
productos obtenidos se deben sumar y dar 9.50.
Esto es más complicado que utilizar las ecuaciones simultáneas, como lo hizo
Chucho.

7. Ejemplo2
La tía María repartió entre sus tres sobrinos 9 monedas que sumadas daban 60 pesos. Ella
recuerda que estas monedas eran de 5 pesos y de 10 pesos, pero no sabe cuántas tenía de 5
pesos y cuántas de 10 pesos. ¿Podría usted ayudar a la tía María a saber cuántas tenía de
cada una?
Para resolver este problema, la tía María plantea una ecuación como sigue:
9 monedas, de las que "x" son de 10 pesos y "y" de 5 pesos, esto se puede plantear así:
x + y = 9 monedas
Es una ecuación con dos incógnitas, por lo que se requiere otra ecuación diferente que
también relacione a las dos incógnitas. Por ello plantea lo siguiente:
"x" monedas de 10 pesos y "y" monedas de 5 pesos si se suman dan 60 pesos, por lo que se
puede plantear la siguiente ecuación:
Ahora la tía María ya tiene dos ecuaciones con dos incógnitas, por lo que podrá resolverlas
de la siguiente manera:
x + y = 9 ---------------- (1)
10x + 5y = 60 ---------- (2)
Paso 1

8. Despeja de una de las dos ecuaciones a una de las incógnitas (se recomienda que sea la más
sencilla).
x+y=9
Para dejar sola la "x", se resta "y" a los dos términos:
x+y-y=9-y
x=9-y
Paso 2
Sustituye el valor de la "x" por (9 - y) en la ecuación (2).
10x + 5y = 60 --------- (2)
10 (9 - y) + 5y = 60
Se resuelven todas las operaciones para simplificar la ecuación.
90 - 10y + 5y = 60
90 - 5y = 60
Paso 3
Se despeja a la "y" y se obtiene su valor.
Se resta 90 en los dos términos:
90 - 90 - 5y = 60 - 90
- 5y = - 30
Se dividen los dos términos entre -5 para
despejar la "y".
y=
y=6
Por lo que la tía María ahora sabe que tenía 6 monedas "y", o sea, de 5 pesos.

9. Paso 4
Sustituye el valor de "y" (el que obtuvo) en cualquiera de las dos ecuaciones originales. Por
ejemplo:
x+y=9
x+6=9
Despeja la incógnita que falta conocer. Para ello resta 6 en los dos términos:
x+6-6=9-6
x=3
Con lo anterior, la tía María ya sabe que contaba con 3 monedas "x", o sea, de 10 pesos.
Para comprobar que sus ecuaciones y cuentas fueron correctas, sustituye los valores
obtenidos (x = 3, y = 6) en las ecuaciones originales.
x + y = 9 ----------- (1)
10x + 5y = 60 ------ (2)
Sustituyendo en la ecuación (1):
x+y=9
3+6=9
9=9
Sustituyendo en la ecuación (2):
10x + 5y = 60
10 (3) + 5 (6)= 60
30 + 30 = 60
60 = 60
Como se cumple la igualdad en ambas ecuaciones, los valores son correctos.

10. CONCLUCION
Las ecuaciones simultáneas de 2° no son
complicadas si se les tiene practica
constante y si se sigue paso a paso
como en los dichos ejemplos.
Podemos ver que aplican en diferentes
situaciones y que se tornan en diferente
forma. Hay que ser pacientes y avilés
igual que en otras situaciones de este
tipo y saber cómo manejarlas.

11. http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro
/nycu6/nycu6t1.ht
http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20101016124
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