1) Las propiedades de las potencias incluyen la multiplicación y división de potencias de la misma base, donde se suman o restan los exponentes respectivamente. 2) Al elevar una potencia a otra, el exponente resultante es el producto de los exponentes originales. 3) Elevar una potencia a un exponente negativo invierte la base y eleva al exponente absoluto.

1. Propiedades de lasPotencias Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

2. Multiplicación de potencias de igual base Se conserva la base y se suman los exponentes.

3. Producto de potencias de la misma base Los factores del producto Ejemplos: 4 2 · 4 5 · 4 3 Puede hacerse de dos modos: El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base, y de exponente la suma de los exponentes de los factores. 2. En forma de potencia, la expresión: (a) 9 · (–3) 3 · (–3) son potencias que tienen la misma base. Modo 1º Directamente, multiplicando: = 16 · 1024 · 64 = 1048576 Modo 2º Escribiendo cada potencia como producto y agrupar después: 4 2 · 4 5 · 4 3 = (4 ·4) · (4 · 4 · 4 · 4 · 4) · (4 ·4 ·4) = 4 2 · 4 5 · 4 3 4 2+5+3 = 4 10 Luego, 4 2 · 4 5 · 4 3 = 4 2+5+3 1 . (–2) 4 · (–2) · (–2) 2 = (–2) 4+1+2 = (–2) 7 = –128, utilizando la propiedad vista. Es un producto de potencias de la misma base 2, 5 y 3 factores – 2 = ( –2) 1 o 6 1 = 6 También es igual a: 16 · (–2) · 4 = –128, haciendo los productos de las potencias. = (–3) 2 · (–3) 3 · (–3) = (–3) 6 Igualmente: (b) 16 · (–2) 3 = (–2) 4 · (–2) 3 = (–2) 7

4. División de potencias de igual base Se conserva la base y se restan los exponentes.

5. Cociente de potencias de la misma base El dividendo y el divisor de Ejercicio: 6 5 : 6 3 Puede hacerse de dos modos: El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia con la misma base, y con exponente la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor. son potencias de la misma base Modo 1º Calculando las potencias y dividiendo: Modo 2º Desarrollando las potencias y simplificando: 6 5 : 6 3 (a) 2 7 : 2 4 = 2 7–4 = 2 3 Es un cociente de potencias de la misma base 6 5 : 6 3 = 6 5–3 Caso: El cociente 5 4 : 5 4 = 1 Pero si aplicamos la propiedad 5 4 : 5 4 = 5 4–4 = 5 0 Se admite que: 5 0 = 1; (–7) 0 = 1 Escribe en forma de potencia: (a) 2 7 : 2 4 (b) (–5) 6 : (–5) 3 (b) (–5) 6 : (–5) 3 = (–5) 6-3 = (–5) 3

6. Multiplicación de potencias de igual exponente Se conserva el exponente y se multiplican las bases.

7. División de potencias de igual exponente Se conserva el exponente y se dividen las bases.

8. Elevar una potencia a otra Se conserva el exponente y se multiplican las bases.

9. Potencia de una potencia La expresión (5 2 ) 4 es una potencia cuya base es otra potencia. Ejercicios Puede hacerse de dos modos: La potencia de una potencia es igual a otra potencia con la misma base, y de exponente el producto de exponentes. Modo 1º Directamente, haciendo la potencia de la potencia: Modo 2º Escribiendo como producto de potencias y agrupar después: (5 2 ) 4 = 5 2 ·5 2 · 5 2 · 5 2 = 5 2+2+2+2 = 5 2 · 4 = 5 8 (5 2 ) 4 = 5 2 · 4 1 . Calcula: [(–2) 4 ] 2 Se llama potencia de una potencia (5 2 ) 4 = (25) 4 = 390625 [(–2) 4 ] 2 = (–2) 4·2 = (–2) 8 = 64 2 . Calcula: [(3 5 ) 4 ] 2 [(3 5 ) 4 ] 2 = 3 5·4·2 = 3 40 3 40 es un número enorme: tiene 20 cifras. 3 . Calcula: {[(–1) 3 ] 9 } 7 {[(–1) 3 ] 9 } 7 = (–1) 3·9·7 = (–1) 189 = –1

10. Elevar una potencia a un número negativo Se invierte la base y se eleva al inverso aditivo del exponente.