Practica#5 MOMENTO DE INERCIA

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS 449957115745-1333504445 Practica # 5 4217035923925253365588645MOMENTO DE INERCIA Nombre de los integrantes del grupo: 65151012065Katherine Barcia Quimí Walter Espinoza Joselyn Díaz 4493260233680Fecha de elaboración: Martes, 21 de diciembre del 2010 Fecha de entrega: Martes, 28 de diciembre del 2010 Correo electrónico: klbarcia@espol.edu.ec Resumen 22479001341120Esta práctica realizada en el laboratorio de física de la Escuela Superior Politécnica del Litoral, se basó en el estudio del momento de inercia. En este informe se detallara, de manera concreta, todo lo relacionado a la toma de datos, cálculos, resultados, análisis y conclusión del mismo. Esta práctica nos ayudara a verificar que entre más cerca se encuentre un punto del eje de rotación, el momento de inercia que posea será mayor que en los otros puntos. Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando más rápido si los contrae. Esta práctica la realizamos colocando un eje de torsión con una varilla de acoplamiento con masas puntuales y luego con un disco para eje de torsión. Giramos una varilla y el disco, en su momento, 180° a favor de las manecillas del reloj, de un eje de referencia. Medimos el tiempo cuando el objeto regresa a pus posición en el primer giro. Cambiamos las distancia r, para medir la variación de tiempo y con cada r medimos la fuerza con el dinamómetro. Objetivos Verificar los momentos de inercia de masas puntuales y de un disco. Comprobar el Teorema de ejes paralelos o de Steiner. Teoría El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes: donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados. 99695878840La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C inmediata: donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa. El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo. Procedimiento experimental Procedimiento para la determinación de la constante K del resorte Si se aplica un torque =Fr al eje del resorte, donde F es la fuerza y r es el brazo del momento, el torque recuperador = -K θ del resorte equilibra el torque externo aplicado. K=Frθ Aplicando esta ecuación se establece el valor de K fijando un ángulo determinado (en este caso será π rad) y midiendo diferentes valores de F y r que equilibran la varilla en ese ángulo θ. Momento de inercia de masas puntuales. Ajuste las masas a diferentes distancias r del eje de oscilación. Seleccione un ángulo de oscilación. Para cada distancia mida el correspondiente periodo de oscilación T. Teorema de ejes paralelos o Steiner Fije el disco metálico al soporte con el tornillo de ajuste pasando el eje del resorte por el centro del disco. Mida el periodo de oscilación. Cambie la posición del disco utilizando las perforaciones a lo largo del radio del disco, midiendo la distancia d correspondiente y el periodo de oscilación para cada posición. Tablas de datos θ (rad)r (m)F (N)π51.7π100.9π150.6π200.5π250.4π300.3 Tabla 1: Datos pata la determinación de la constante K del resorte. r (m)T(s)0.052.6103.2154.1205.0256.6307.8 Tabla 2: Experimento de momento de inercia de masas puntuales. d (m)T (s)04.04.54.28.64.712.95.217.26.1 Tabla 3: Experimento de teorema de ejes paralelos CantidadObjetoMasa (g)1Disco6.882Masa Puntuales471.01Varilla126.5 Tabla 4: Datos medidos Cálculos Procedimiento para la determinación de la constante K del resorte Aplicando torque τ=Fr τ=-Kθ τ=Fr -Kθ Despejamos K: K=Frθ Reemplazando los valores determinados anteriormente: Para R = 5.0 m K=1.7(5.0)2π K=2.70 N.mrad Para R = 10.0 m K=0.9(10)2π K=2.86 N.mrad Para R = 15 m K=0.6(15)2π K=2.86 N.mrad Para R = 20 m K=0.5(20)2π K=3.18 N.mrad Para R = 25 m K=0.35(25)2π K=2.79 Para R = 30 m K=0.30(30)2π K=2.86 N.mrad Momento de inercia de masas puntuales. Ahora encontraremos r2 y T2 para a su vez encontrar IT: Para r = 0.5 r2 =r x r r2 =2.5 x 10-3m2 T2=T x T T2=6.74 s2 IT= KT24π2 IT= 2.81x 10-2(6.76)4π2 IT= 0.48 X 10-2 Para r = 10 r2 =r x r r2 =10.0 x 10-3m2 T2=T x T T2=10.24 s2 IT= KT24π2 IT= 2.81x 10-2(10.24)4π2 IT= 0.72 X 10-2 Para r = 15 r2 =r x r r2 =22.5 x 10-3m2 T2=T x T T2=16.81 s2 IT= KT24π2 IT= 2.81x 10-2(16.81)4π2 IT= 1.19 X 10-2 Para r = 20 r2 =r x r r2 =40.0 x 10-3m2 T2=T x T T2=25.00 s2 IT= KT24π2 IT= 2.81x 10-2(25.00)4π2 IT= 1.77 X 10-2 Para r = 25 r2 =r x r r2 =62.5 x 10-3m2 T2=T x T T2=43.56 s2 IT= KT24π2 IT= 2.81x 10-2(43.56)4π2 IT= 3.10 X 10-2 Para r = 30 r2 =r x r r2 =9.00 x 10-3m2 T2=T x T T2=60.84 s2 IT= KT24π2 IT= 2.81x 10-2(43.56)4π2 IT= 4.33 X 10-2 Con la grafica._ Relacionando con la ecuación de la pendiente y=mx+b IT=IV+2Mr2 Para hallar la pendiente de la grafica 2 buscamos 2 puntos de la recta de mejor ajuste y con sus puntos en “x” y “y” calculamos. 2M=r2f-r2oITf-ITo Por medio de la grafica 2M=473.1 g Su error: δ2M=12x10-220.10.22+17x10-30.13.1(3)(12x10-2)x0.222 δ2M=0.7 ∴2M=473.1 g±0.7 Calculamos el valor de la pendiente con la grafica adjunta, que corresponde a 2M (masa de los cilindros): I=2Mr2 2M=Ir2 2M=14 x10-2 x 0.22(20x10-3)2x3.1 2M=473.1 g Encontramos el valor de la intersección con el eje Y y verificamos si corresponde al valor del momento de inercia de la varilla con relación a un eje que pasa por el centro de la misma. Y=b+mx IT =IV+2Mr2 Despejamos IV: IV=IT -2Mr2 IV=4.33x 10-2-2(236.55)90x10-3 2 IV=0.11 Comparamos él % de error entre el valor experimental y el valor teórico %error = |471-473.1|471×100%=0.45 % Podemos observar que existe este error por los instrumentos que utilizamos, como por ejemplo como no tenemos un sistema de referencia fijo, nuestro ojo puede fallar en su medida y obtenemos un error en el momento de calcular los datos. Esto a su vez se puede producir en el dinamómetro. Por este tipo de manipulaciones podemos obtener diferentes valores, y por lo tanto, errores en el momento de graficar nuestra pendiente. Teorema de ejes paralelos o Steiner Ahora encontraremos d2 y T2 para a su vez encontrar IT: Para d = 0 d2 =d x d d2 =0 m2 T2=T x T T2=16 s2 Idisco= KT24π2 Idisco= 2.81x 10-2(6.76)4π2 Idisco= 1.13 X 10-2 Para d = 4.5 d2 =d x d r2 =2.025 x 10-3m2 T2=T x T T2=17.64 s2 Idisco= KT24π2 Idisco= 2.81x 10-2(10.24)4π2 Idisco= 1.25 X 10-2 Para d = 8.6 d2 =d x d d2 =7.396 x 10-3m2 T2=T x T T2=22.09 s2 Idisco= KT24π2 Idisco= 2.81x 10-2(16.81)4π2 Idisco= 1.57 X 10-2 Para d = 12.9 d2 =d x d d2 =16.64 x 10-3m2 T2=T x T T2=27.04 s2 Idisco= KT24π2 Idisco= 2.81x 10-2(27.04)4π2 Idisco= 1.92 X 10-2 Para d = 17.2 d2 =r x r d2 =29.58 x 10-3m2 T2=T x T T2=37.21 s2 Idisco= KT24π2 Idisco= 2.81x 10-2(37.21)4π2 Idisco= 2.64 X 10-2 Obtenemos la ecuación y según mi grafica: y=mx+b Idisco=Md2+I0 Mi intersección con el eje y de mi grafica I0= Idisco-Md2 I0=1.13 x 10-2 Para obtener mi valor de la pendiente (M) la debemos despejar de la misma formula M=Idisco-I0d2 M=5.19 g Determinamos (M±δM) usando el valor de la pendiente ∆M=±ΔIdisco+ΔI0-2Δd ∆M=±0.04 Las dimensiones del disco y su masa son: ∴M=5.19±0.04 Comparando el % de error entre el valor experimental y el teórico: Podemos observar que existe este error por los instrumentos que utilizamos, como por ejemplo como no tenemos un sistema de referencia fijo, nuestro ojo puede fallar en su medida y obtenemos un error en el momento de calcular los datos. Esto a su vez se puede producir en el dinamómetro. Por este tipo de manipulaciones podemos obtener diferentes valores, y por lo tanto, errores en el momento de graficar nuestra pendiente. %error = |6.88-5.19|6.88×100%=24.56 % Tabla de Resultados θ (rad)r (m)F (N)K=FrθKπ51.72.702.81xx10-2π100.92.86π150.62.86π200.53.18π250.42.79π300.32.86 Tabla 4: Resultados para la determinación de la constante K del resorte. r (m)r2 (m2)T(s)T2(s2)IT= KT24π20.052.5x10-32.66.760.48 X 10-21010.0 x10-33.210.240.72 X 10-21522.5 x10-34.116.811.19 X 10-22040.0x10-35.025.001.77 X 10-22562.5 x10-36.643.563.10 X 10-23090.0 x10-37.860.844.33 X 10-2 Tabla 5: Experimento de momento de inercia de masas puntuales. d (m)d2 (m2)T (s)T2(s2)Idisco= KT24π2004.016.001.13 X 10-24.52.025 x10-34.217.641.25 X 10-28.67.396 x10-34.722.091.57 X 10-212.916.641 x10-35.227.041.92 X 10-217.229.58 x10-36.137.212.64 X 10-2 Tabla 6: Experimento de teorema de ejes paralelos Análisis de resultado Ya finalizando este reporte, procedemos a la interpretación de los datos. Los datos obtenidos por las mediciones directas no cumplieron mucho nuestras expectativas ya que aunque siendo bien cautelosos en el momento de tomar los datos, como el punto de referencia, tuvimos pequeños inconvenientes. A esto se deben nuestros errores. Un primer error, como ya mencionado anteriormente fue nuestro sistema de referencia, ya que como este no era fijo, tuvimos ciertos problemas de medición. Otro pudo haber sido el tiempo, talvés mi compañero no oprimió el botón a su debido tiempo. Estos errores son llamados los errores sistemáticos. Por ellos, podemos recalcar ciertas razones por las cuales nuestras graficas It2vs R2 y I disco vs d2 no fueron tan precisas. Conclusión La práctica de hoy se la realizo con el objetivo de verificar los momentos de inercia de masa puntuales y de un disco. Y a su vez, comprobar el teorema de ejes paralelos o de Steiner el cual indica que: “El momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes”: Donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados. Bibliografía Guía de Laboratorio de Física A Biblioteca de Consulta Microsoft® Encarta® 2005. © 1993-2004 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. http://books.google.com/books?id=9MFLer5mAtMC&pg=PA255&lpg=PA255&dq=teorema+de+los+ejes+paralelos&source=bl&ots=oMAOAvriyb&sig=np-SWCZnNDvMLy5gWDxMqGwMryY&hl=es&ei=qJ0dTaDcAsGblgeDg6TJDA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6&sqi=2&ved=0CEIQ6AEwBQ#v=onepage&q=teorema%20de%20los%20ejes%20paralelos&f=false Diagrama V de GOWIN ¿Siempre y para todo cuerpo se cumple este principio?¿Cuál es la variable dependiente?4973955379793547936154822825Determinación de la constante K del resorteSi se aplica un torque =Fr al eje del resorte, donde F es la fuerza y r es el brazo del momento, el torque recuperador = -K θ del resorte equilibra el torque externo aplicado. K=FrθAplicando esta ecuación se establece el valor de K fijando un ángulo determinado (en este caso será π rad) y midiendo diferentes valores de F y r que equilibran la varilla en ese ángulo θ.Momento de inercia de masas puntuales.Ajuste las masas a diferentes distancias r del eje de oscilación.Seleccione un ángulo de oscilación.Para cada distancia mida el correspondiente periodo de oscilación T.Teorema de ejes paralelos o SteinerFije el disco metálico al soporte con el tornillo de ajuste pasando el eje del resorte por el centro del disco.Mida el periodo de oscilación.Cambie la posición del disco utilizando las perforaciones a lo largo del radio del disco, midiendo la distancia d correspondiente y el periodo de oscilación para cada posición.Tabla de resultados32061154032885El momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes”IT= KT24π2El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:39062942828412REGISTRO:Teorema de ejes paralelos o Steiner, momento de inercia“El momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes”ACONTECIMIENTOSPRINCIPIO:

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