Teoría

1. Métodos Numéricos
Ing. Msc. Limber Heredia Guardia
Santa Cruz - Bolivia
Universidad Autónoma Gabriel René Moreno
Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología

2. TEORIA DE ERRORES
• PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
• IMPORTANCIA DE LOS METODOS
NUMERICOS
• CONCEPTOS BASICOS SOBRE ERRORES
• SOFTWARE DE COMPUTO NUMERICO
• METODOS ITERATIVOS

3. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
Modelo matemático: Es una formulación o una ecuación que expresa las
características, esenciales de un sistema físico o proceso en términos matemáticos.
vd = F(vi, p , f )
Donde :
vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema.
vi = variables independientes como tiempo o espacio a través de las cuales el
comportamiento del sistema será determinado.
p = parámetros, son reflejos de las propiedades o la composición del sistema.
f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema.
TEORIA DE ERRORES

4. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
De la segunda Ley de Newton:
F = ma ; reordenando tenemos que: ( 1 )
Características de este modelo matemático.
1.- Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.
2.- Representa una simplificación de la realidad.
3.- Conduce a resultados predecibles.
Otros modelos matemáticos de fenómenos físicos pueden ser mucho más
complejos.
TEORIA DE ERRORES
m
F
a =

5. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
TEORIA DE ERRORES
De nuevo si usamos la segunda Ley de Newton para determinar la velocidad final o
terminal de un cuerpo, tenemos un expresión de aceleración como la razón de
cambio de la velocidad con respecto al tiempo:
 ( 2 )
Para un cuerpo que cae, la fuerza total es:
F = FD + Fu  ( 3 )
FD = La atracción hacia abajo debido a la fuerza de la gravedad.
Fu = Fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire,
m
F
dt
dv
=

6. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
TEORIA DE ERRORES
En donde:
FD = mg  ( 4 )
m=masa
g=gravedad (9.81 m/s)
Fu = -cv  ( 5 )
c = coeficiente de resistencia o arrastre(kg/s)
v = velocidad del cuerpo(m/s)
Como la fuerza total, es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas
hacia arriba, tenemos que si combinamos las ecuaciones 3, 4 y 5 en 2 resulta:
m
F
dt
dv
=

7. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
TEORIA DE ERRORES
 ( 6 )
 ( 7 )
Esta ecuación es un modelo matemático que relaciona la aceleración de un cuerpo
que cae con las fuerzas que actúan sobre él. Se trata de una ecuación diferencial.
Si las ecuaciones son más complejas, se requiere de técnicas avanzadas para
obtener una solución analítica exacta o aproximada.
m
cvmg
dt
dv −
=
v
m
c
g
dt
dv
−=

8. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
TEORIA DE ERRORES
Si el objeto está en reposo, v = 0 y t = 0 , y usando las teorías de cálculo,
obtenemos:
( 8 )
Que es la solución analítica o exacta,
v(t) = variable dependiente
t = es la variable independiente
c, m = parámetros
g = función de la fuerza





 −= 





−
e
c
gm
)t(v t
m
c
1

9. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
TEORIA DE ERRORES
Ejemplo del uso de la ley de Newton:
Un paracaidista, con una masa de 68.1 kgs salta de un globo aerostático fijo. Con la
ayuda de la ecuación ( 8 ), calcule la velocidad antes de abrir el paracaídas,
coeficiente de resistencia = 12.5 kg/seg.
Solución Analítica:
Datos:
m = 68.1
c = 12.5
g = 9.8 m/s2
( )e11
t)1835.0(t
m
c
39.53e
c
gm
)t(v
−





−
−=




 −=

10. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
TEORIA DE ERRORES
Ejemplo del uso de la ley de Newton
Solución Analítica:
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10
v,m/s
t,s
Series1
t,s v, m/s
0 0
2 16.42
4 27.76
6 35.63
8 41.05
10 44.87
12 47.48
∝ 53.39

11. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
TEORIA DE ERRORES
Ejemplo del uso de la ley de Newton.
Solución Numérica:
Cuando los modelos matemáticos no pueden resolverse con exactitud, se requiere
de una solución numérica que se aproxima a la solución exacta. Para ello hacemos
uso de los métodos numéricos. Aquí tenemos que formular el problema matemático
para que se pueda resolver mediante operaciones aritméticas.
Para la segunda Ley de Newton, al aproximar a la razón del cambio de la velocidad
con respecto al tiempo, tenemos:
dv = ∆v = v ( ti+1 ) – v ( ti )  ( 9 )
dt ∆t ti+1 – ti

12. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
TEORIA DE ERRORES
Ejemplo del uso de la ley de Newton .
Solución Numérica:
Donde:
v ( ti ) = es la velocidad en el tiempo inicial ti
v ( ti+1 ) = es la velocidad después de un tiempo mas tarde: ti+1

13. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
TEORIA DE ERRORES
sustituyendo la ec. ( 9 ) en la ec. ( 7 ):
Reordenando:
 ( 10 )
A cualquier tiempo
Nuevo valor = viejo valor + pendiente x tamaño del paso.
( ) ( ) ( )tv
m
c
g
tt
tvtv
i
ii
ii
−=
−
−
+
+
1
1
( ) ( ) ( ) ( )tttiv
m
c
gtivtv iii −






−+= ++ 11

14. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
TEORIA DE ERRORES
Datos:
m = 68.1 kg
c = 12.5 kg/s
g = 9.8 m/s
; t1 = 2 seg, v1=?
= 19.6 m/s
; t1 = 2 seg, v1=?
= 32 m/s
( ) ( ) ( ) ( )tttiv
m
c
gtiv1tv i1ii −






−+=+ +
( )tt
m
c
g 01001 vvv −






−+=
( )02)0(
1.68
5.12
8.90v1
−






−+=
( )tt
m
c
g 12112 vvv −






−+=
( ) ( )246.19
1.68
5.12
8.96.19v2
−






−+=

15. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
TEORIA DE ERRORES
Sustituyendo:
= 39.85 m/s
Entonces V3= 39.85 m/s
Haciendo lo mismo para V4, V5, V6
V4=44.82 m/s
V5= 48.01 m/s
V6= 49.05 m/s
( )tvvv 23223 t
m
c
g −






−+=
( )4632
1.68
5.12
8.932v3
−






−+=

16. PROBLEMAS MATEMATICOS Y SUS
SOLUCIONES
TEORIA DE ERRORES
t,s SN SA
0 0 0
2 19.6 16.42
4 32 27.76
6 39.85 35.63
8 44.82 41.05
10 48.01 44.87
12 49.05 47.48
α 53.39 53.39
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12 a
V,m/s
t,s
Comparativo entre solución numérica
y solución analítica
Solución Numérica Solución Analítica

17. IMPORTANCIA DE LOS METODOS
NUMERICOS
TEORIA DE ERRORES
Métodos numéricos: Son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones
aritméticas.
Objetivos del análisis numérico:
•Diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de
problemas expresados matemáticamente.
•Encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las
operaciones más simples de la aritmética. (secuencia de operaciones algebraicas y
lógicas).

18. IMPORTANCIA DE LOS METODOS
NUMERICOS
TEORIA DE ERRORES
Procedimientos matemáticos donde se aplican los métodos numéricos:
•Cálculo de derivadas
•Integrales
•Ecuaciones diferenciales
•Operaciones con matrices
•Interpolaciones
•Ajuste de curvas
•Polinomios

19. IMPORTANCIA DE LOS METODOS
NUMERICOS
TEORIA DE ERRORES
Áreas donde se aplican los métodos numéricos:
•Ingeniería Química,
•Ingeniería Civil,
•Ingeniería Electromecánica,
•Ingeniería en Industrias Alimentarias,
•Ingeniería Mecatrónica,
•Cualquier ingeniería en general.

20. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
ERRORES
TEORIA DE ERRORES
Error.- Es la discrepancia que existe entre la magnitud “verdadera” y la magnitud
obtenida.
Exactitud: Se refiere a que tan cercano está el valor medido o calculado con el
valor verdadero.
Precisión: Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o
calculado con respecto a los otros.

21. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
ERRORES
TEORIA DE ERRORES

22. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
ERRORES
TEORIA DE ERRORES
Cifras significativas.- Es el conjunto de dígitos confiables o necesarios que
representan el valor de una magnitud independientemente de las unidades de
medidas utilizadas.
Tipos de cifras significativas:
•Confiables.- Por que dependen del instrumento de medición empleado.
•Necesarias.- Por que depende de leyes, reglamentos, normas o costumbres.
Ejemplos de la medición de objetos por diferentes instrumentos de medición
y/o personas y discrepancias obtenidas:
La longitud de un pizarrón, donde cada medición fue realizada por 4 distintas
personas donde:

23. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
ERRORES
TEORIA DE ERRORES
1.- 3.0 m
2.- 3.0 m
3.- 3.0 m
4.- 3.0 m
La longitud de la libreta :
1.- 28 cm (flexómetro) 3.- 28 cm (cinta métrica)
2.- 27.5 cm (regla)
La longitud de un lápiz:
1.-Regla: 14.3 cm 3.-Tornillo: 14.327 cm
2.-Vernier: 14.32 cm

24. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
ERRORES
TEORIA DE ERRORES
La velocidad de un automóvil:
Digital: 89.5 km/h
Carátula: 90 km/h
¿Cuántas cifras significativas (que tan preciso debe ser) son necesarias?
1.- El total de cifras significativas es independiente de la posición del punto
decimal.
Ejemplo:
Al medir una mujer se registró que su estatura es de 1.67 m = 16. 7 dm = 167 cm,
(teniéndose 3 cifras significativas).

25. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
ERRORES
TEORIA DE ERRORES
2.- Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas.
Ejemplo:
Un balero tiene un diámetro de 26 mm = 0.026 m = 0.000026 km (2 cifras
significativas).
3.- Los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán significativos:
Ejemplo:
40072 (5 c.s.)
3.001 (4 c.s.)
0.000203 (3. c.s.)

26. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
ERRORES
TEORIA DE ERRORES
TIPOS DE ERRORES.
Error absoluto.- Es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor
aproximado:
Error Relativo.- Es el cociente del error absoluto respecto al valor verdadero:
Error Relativo Porcentual:
VVE avA
−=
v
VV
v
E
E
v
av
v
A
R
−
==
%100*
V
E
E
V
A
RP
=

27. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
ERRORES
TEORIA DE ERRORES
Ejemplo:
Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache. La
longitud del puente obtenida es de 9999 cm y la del remache es de 9 cm.
Si los valores verdaderos son 10,000 y 10 cm, respectivamente, calcule:
el error absoluto
el error relativo %
Sol. Para cada caso:
Valores Verdaderos Valores Aproximados
Puente 10,000 cm 9999 cm
Remache 10 cm 9 cm

28. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
ERRORES
TEORIA DE ERRORES
Para el puente:
EA = 10000 – 9999
EA = 1 cm
Para el remache:
EA = 10-9
EA = 1 cm
%01.0100*
10000
1
ERP
==
%10100*
10
1
ERP
==

29. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
ERRORES
TEORIA DE ERRORES
Error por Redondeo: Es aquel que resulta de representar aproximadamente una
cantidad exacta aumentando o disminuyendo artificialmente el valor de una
magnitud.
Criterio de redondeo: Si tenemos un conjunto de cifras donde “c” es el conjunto de
números enteros y “d” es el conjunto de decimales, tenemos que:
c1c2c3 . d1 d2 d3 .....di+1.....dn ( i < n )
di + 1 >= 5 di = di +1
di + 1 < 5 di = di

30. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
ERRORES
TEORIA DE ERRORES
Ejemplo: Redondear a 6 cifras significativas y obtener en cada caso el Error por
Redondeo.
75.664749175.6647
75.664759175.6648
75.664789175.6648
0000491.06647.756647491.75E dondeoRe
=−=
0000409.06648.756647591.75E dondeoRe
=−=
0000109.06648.756647891.75E dondeoRe
=−=

31. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
ERRORES
TEORIA DE ERRORES
Error de truncamiento: Son aquellos que resultan al usar una aproximación en
lugar de un procedimiento matemático.
Ejemplo: Redondear a 6 cifras significativas y obtener en cada caso el Error de
truncamiento.
75.664749175.6647
75.664759175.6647
75.664789175.6647
0000491.06647.756647491.75E dondeoRe
=−=
0000591.06647.756647591.75E dondeoRe
=−=
0000891.06647.756647891.75E dondeoRe
=−=

32. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
ERRORES
TEORIA DE ERRORES
Error numérico total: Es el resultado de sumar los errores de truncamiento y
redondeo.
Para minimizar los errores de redondeo debe incrementarse el número de cifras
significativas.
El error de truncamiento puede reducirse por un tamaño de paso más pequeño.

33. SOFTWARE DE COMPUTO NUMERICO
TEORIA DE ERRORES
Muchas situaciones prácticas de la vida real, concernientes al campo de la
ingeniería involucran problemas de cómputo que requieren ser resueltos
empleando ciertos métodos y técnicas matemáticas (raíces de polinomios y
funciones, solución de derivadas e integrales complicadas, sistemas de
ecuaciones, graficas de funciones, interpolación, etc.), las cuales si se llegan a
realizar manualmente llegan a consumir tiempo resultando muy tediosas. Inclusive
si seguimos este camino podemos llegar a equivocarnos debido a la iteratividad y
complejidad de los métodos.

34. SOFTWARE DE COMPUTO NUMERICO
TEORIA DE ERRORES
Para evitar este tipo de incidentes nos podemos auxiliar de software de computo
numérico como:
•MathCad
•MatLab
•Maple
•Derive
•Visual Basic 6,0.
Los programas anteriormente mencionados resuelven operaciones como las ya
comentadas mediante el uso de comandos entregando al usuario los resultados
esperados sobre la resolución de ciertas operaciones.

35. SOFTWARE DE COMPUTO NUMERICO
TEORIA DE ERRORES
Si se trata de resolver técnicas repetitivas tenemos lenguajes de programación
para la implementación de dichos algoritmos iterativos tales como:
•MatLab
•C
•C#
•Java
• etc, etc.
Asimismo en la Web se cuenta con depósitos de colecciones de programas que
incluye rutinas ya desarrolladas en C, Fortran tales como NetLib, Nag por
mencionar algunas.

36. METODOS ITERATIVOS
TEORIA DE ERRORES
Método iterativo: Es un proceso repetitivo regido por un algoritmo cuya finalidad
es llegar a la solución exacta o aproximada de un problema y se controla mediante
la medición de errores entre las iteraciones que salgan.
En la vida práctica para llegar a la solución de un problema de manera numérica
se realizan una serie de operaciones de manera repetitiva para llegar a la
solución. Durante este proceso se calcula tanto el error relativo como el error
relativo entre aproximaciones, el cual se calcula:
100*
Actual.Aprox
Ant.AproxActual.Aprox
E xlativoAproRe
−
=
%100*
V
E
E
V
A
RP
=

37. METODOS ITERATIVOS
TEORIA DE ERRORES
Cuando la tolerancia se expresa en cifras significativas de exactitud, si se cumple
que:
Donde= Tolerancia y
Existe la seguridad de que el resultado es correcto en al menos “n” cifras
significativas.
ε< sxlativoAproReE
( )%10*5.0 n2
s
−
=εεs

38. METODOS ITERATIVOS
TEORIA DE ERRORES
EJEMPLOS DE MÉTODOS ITERATIVOS Y DEL CONTROL DE LOS MISMOS
MEDIANTE ERRORES RELATIVOS Y TOLERANCIA.
Cálculo de raíces cuadradas por el método babilónico.
El algoritmo babilónico se centra en el hecho de que cada lado de un cuadrado es
la raíz cuadrada del área. Fue usado durante muchos años para calcular raíces
cuadradas a mano debido a su gran eficacia y rapidez. Para calcular una raíz,
dibuje un rectángulo cuya área sea el número al que se le busca raíz y luego
aproxime la base y la altura del rectángulo hasta formar o por lo menos aproximar
un cuadrado.
bh=x
b
h
b=hb!=h

39. METODOS ITERATIVOS
TEORIA DE ERRORES
El algoritmo babilónico aproxima un rectángulo a cuadrado.
Algoritmo Raíz(x):
Escoja dos números b y h tales que bh = x
Si vaya al paso 6, si no, vaya al paso 3
Asigne
Asigne
Vaya al paso 2
Escriba “ “

40. METODOS ITERATIVOS
TEORIA DE ERRORES
Ejemplo: Hallar la raíz cuadrada de 15534 empleando el método babilónico.
Sol. Primeramente proponemos un número que será la base de nuestro
rectángulo. Una vez hecho esto se calculan la altura, la nueva base como lo indica
el algoritmo y se calculan los errores relativo porcentual y aproximado como sigue:
It. Base Altura Nueva Base
(Aproximación)
ERP ERelativoAprox
1 60 258.9 159.45 27.9331 ------------------------
2 159.45 97.4224 128.4362 3.0495 24.1472
3 128.4362 120.9472 124.6917 0.0451 3.0030
4 124.6917 124.5793 124.6355 0 0.0451
5 124.6355 124.6354 124.6355 0 0

41. METODOS ITERATIVOS
TEORIA DE ERRORES
Cálculo de la serie de McLaurin mediante iteraciones
La función exponencial llamada expansión por serie de McLaurin, se puede
calcular mediante la ecuación:
Mientras más términos se le agreguen a la serie, la aproximación se acercará
cada vez más al valor de ex
.
Ejemplo: Estímese el valor de e 0.5
, calculando los valores del ERP y ERelativoAprox, si
el valor real o verdadero es e 0.5
= 1.648721, agréguese términos a la serie hasta
que con 3 cifras significativas.
!
...
!3!2
1
32
n
x xxxe
n
x
+++++=
ε< sxlativoAproReE

42. METODOS ITERATIVOS
TEORIA DE ERRORES
Sol: Haciendo cálculos tenemos que:
Iteración Aproximación ERP ERelativoAprox
0 1 39.3462 ---------------------
1 1.5 9.0192 33.3333
2 1.625 1.4375 7.6923
3 1.6458 0.1759 1.2638
4 1.6484 0.0182 0.1577
5 1.6487 0 0.0182