Este documento presenta un resumen de los métodos de diferencias finitas para resolver ecuaciones en derivadas parciales, incluyendo los métodos forward, backward y Crank-Nicolson. También compara estos métodos en términos de convergencia, estabilidad y precisión, y proporciona ejemplos y ejercicios para extender el conocimiento sobre estas técnicas numéricas.

1. Métodos de Diferencias Finitas
Forward, Backward, Crank Nicolson y θ
Análisis Cuantitativo del Riesgo
Algoritmos y Modelación
David Solís

2. Métodos de Diferencias Finitas
Comparación de Métodos
Ejercicios y Extensiones
Referencias
Introducción
Retroalimentación
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3
4
5
6

3. Representación de la solución de PDEs
x1
t1
),( 11 txT
T=3.5
T=5.2
Diferentes curvas
son usadas para
diferentes valores de
una de las variables
independientes
Una gráfica en 3
dimensiones de la
función T(x, t)
Los ejes representan las
variables independientes.
Los valores de la función
se muestran en los
puntos de la malla.

4. Ecuación del Calor
Temperatura en x
con t=0
Temperatura en x
con t=h
Temperatura
2
2
),(),(
x
txT
t
txT
∂
∂
=
∂
∂ x
T(x, t) representa la
temperatura a tiempo t
en el punto x de la
barra de metal
Diferentes curvas para
cada valor de t

5. Métodos de Diferencias Finitas
‣ Dividir el intervalo x en sub
intervalos cada uno de
longitud h
‣ Dividir el intervalo t en sub
intervalos cada uno de
longitud k
‣ Se usa una malla de puntos
para la solución de
diferencias finitas
‣ Tij representa T(xi, tj)
t
x

6. Convergencia y Estabilidad
‣ Convergencia
‣ Significa que la solución obtenida por el método de las diferencias
finitas se aproxima a la verdadera solución cada vez que Δt y Δx
se hacen más pequeñas.
‣ Estabilidad
‣ Un algoritmo es estable si los errores en cada etapa no se
magnifican a medida que el cómputo avanza
‣ Consistencia
‣ Una ecuación en diferencias tiene consistencia cuando solamente
aproxima la ecuación diferencial que representa (Esquema de
Dufort-Frankel no es consistente)

7. Métodos de Diferencias Finitas
Comparación de Métodos
Ejercicios y Extensiones
Referencias
Introducción
Retroalimentación
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5
6

8. Método Forward
L a s o l u c i ó n e s
c o n o c i d a p a r a
estos nodos
El cálculo de u es
explicito para este
nodo

9. Método Backward
L a s o l u c i ó n e s
c o n o c i d a p a r a
estos nodos
Requiere calcular
simultáneamente u
en todos los nodos
en la línea k+1 de la
malla

10. Método Backward - Algoritmo
‣ Inicio
‣ Especificar 𝛼, L, tmax, BC, IC
‣ Especificar parámetros de la malla nx y nt
‣ Main
‣ Calcular los coeficientes ai, bi, ci y di de la ecuación (7).
‣ Realizar la factorización LU
‣ Asignar los valores ui con la condición inicial
‣ Para cada paso en el tiempo:
‣ Actualizar di con los valores anteriores de ui,k
‣ Actualizar u con la solución del sistema

11. Crank Nicolson
L a s o l u c i ó n e s
c o n o c i d a p a r a
estos nodos
Requiere calcular
simultáneamente u
en todos los nodos
en la línea k+1 de la
malla

12. Métodos de Diferencias Finitas
Comparación de Métodos
Ejercicios y Extensiones
Referencias
Introducción
Retroalimentación
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13. Comparación de Métodos - Moléculas
+ =
Forward
Backward
Crank Nicolson

14. Comparación de Métodos - Convergencia
Reducción de Δx y Δt dentro de los límites de
estabilidad del método Forward

15. Comparación de Métodos - Convergencia
Reducción de Δt manteniendo Δx constante
(nx = 1024)

16. Métodos de Diferencias Finitas
Comparación de Métodos
Ejercicios y Extensiones
Referencias
Introducción
Retroalimentación
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17. Ejercicios y Extensiones
‣ Implementar el método θ
‣ En los métodos examinados la malla es uniforme.
¿Existe algún beneficio en tener una malla no
uniforme? Ayuda: Los errores de truncamiento
dependen de la malla y de la derivadas de la variable
‣ ¿Qué método iterativo es apropiado para resolver
sistemas de ecuaciones tridiagonales? Ayuda:
Investiga el método SOR
‣ Compara el método de diferencias finitas con
elemento finito y volumen finito
‣ Explica el método de funciones de base radial en la
solución de PDEs

18. Métodos de Diferencias Finitas
Comparación de Métodos
Ejercicios y Extensiones
Referencias
Introducción
Retroalimentación
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19. Referencias
Otras fuentes
‣ Crank, J., & Nicolson, P. (1947, January). A practical method for
numerical evaluation of solutions of partial differential equations of
the heat-conduction type. In Mathematical Proceedings of the
Cambridge Philosophical Society (Vol. 43, No. 01, pp. 50-67).
Cambridge University Press.
Libros

20. Métodos de Diferencias Finitas
Comparación de Métodos
Ejercicios y Extensiones
Referencias
Introducción
Retroalimentación
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21. Retroalimentación - Discusión