Modelos clásicos de localización óptima

1. Modelos de Localización
Óptima
Curso 12026:
Optimización y Simulación de Sistemas Territoriales
Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Geográfica
Marcos Medina Tapia
2011

2. 1. Problema de Cobertura
2. Problema de Centro
3. Problema de Mediana
4. Problema de Costos Fijos
1
Contenidos
Tabla de Contenidos
Modelos de Localización Óptima

3. 1. Problema de Localización
de Plantas
2
Contenidos
Problemas de Costos Fijos

4. Problema de Localización de Plantas
• Se busca la localización de un conjunto de plantas entre un
conjunto dado de posibles localizaciones (sitios candidatos),
teniendo en cuenta las necesidades de los consumidores y
optimizando algún criterio económico. Normalmente, la
construcción de una planta origina un costo importante que no
depende del nivel de producción de esa planta.
• Este problema tiene aplicación en campos diversos. Por ejemplo,
pueden construirse industria en diversos lugares para maximizar
el beneficio económico teniendo en cuenta los costos de
producción y de transporte, localización de rellenos sanitarios y
estaciones de transferencia, etc.

5. Elementos del problema
• Por tanto, los elementos fundamentales de este
problema son:
• 1. Datos
– I: conjunto {1, . . . , n} de n consumidores
– J: conjunto {1, . . . , m} de m lugares donde las plantas pueden
ser construidas
– fj : costo fijo de construcción de la planta localizada en j para j є
J
– cij : beneficio unitario por venta, al consumidor i, de bienes
producidos en la planta j. Normalmente, los costes cij dependen
de los costes de producción en la planta j, la demanda y precio
de venta al consumidor i, y el coste de transporte desde la
planta j al consumidor i.
– uj : la capacidad productiva de la planta localizada en j
– bi: la demanda el consumidor i

6. • 2. Variables. Las variables de este problema son
las siguientes:
– yj : variable binaria que permite modelar la
“construcción” de una planta productiva en la
localización j. Esto es:
yj = 1 si se construye la planta productiva j,
0 en otro caso
– xij : cantidad de producto enviada desde la planta j
al consumidor i.

7. • 3. Restricciones. Las restricciones de este
problema son las siguientes. Ha de
satisfacerse la demanda de cada consumidor:
• Dado que al consumidor i no se le puede
suministrar desde j a no ser que se haya
construido una central en j, son necesarias las
siguientes restricciones:

8. • Estas desigualdades lineales establecen que el
consumidor i se puede suministrar desde j sólo
si la planta se construye en j; dado que yj = 0
implica que xij = 0, i y yj = 1, da lugar a la
restricción , que implica que la
producción de la planta j no puede exceder su
capacidad máxima.
• Además, las restricciones sobre las variables son

9. • 4. Función a optimizar. En la denominada
formulación estricta del problema de
localización de plantas de tamaño cualquiera, se
maximiza

10. 1. Concepto de Cobertura
2. Cobertura Total
3. Cobertura Máxima
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Contenidos
Problemas de Cobertura

11. Concepto de Cobertura
• Ejemplos de Problemas de Cobertura
– Localizar un colegio de modo que ningún alumno
camine más de la distancia máxima.
– Localizar una pizzería de modo de garantizar a sus
clientes un tiempo de servicio menor al tiempo
máximo.
– Otros: Ambulancias, Bomberos, Comisarías,
Supermercados, etc.
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12. Modelos de localización por Cobertura
Total
• Proviene del inglés, Location Set Covering Problem (LSCP)
o simplemente Set covering.
• Busca satisfacer área de servicio, a partir del argumento de
cubrir todas las demandas, define localizaciones (lo que no
hace en forma explícita el problema P-median). El principio
es encontrar el mínimo número de servidores de manera
de cubrir la demanda.
• El problema plantea encontrar el número mínimo de
nuevos servidores (y sus localizaciones) que se necesitan
para cubrir toda la demanda cubierta por al menos un
servidor.

13. Modelos de localización por Cobertura
Total
• La formulación tradicional de este problema es
la siguiente
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

n
i
XiMin
1
s.a.
niXi
Nji
...11 
 1,0Xi
 SDijiNj  /
(1)
(2)
vecindad de la demanda j
Donde:
Z = Número de servidores en el sistema
Xi = variable de decisión que da cuenta si el servidor se localiza (1) o no (0) en i
Nj = vecindad de la demanda j, que se define como todos los posibles servidores i que
están a una distancia (Dij) menor que un límite S fijo

14. Modelos de localización por Cobertura
Total
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15. Consideraciones
• Como se aprecia, la función objetivo es minimizar el número
de servidores a instalar. La restricción (1) busca que en la
vecindad de cada demanda j exista a lo menos un servidor
instalado, es decir, que toda demanda esté servida a lo menos
por un servidor. La restricción (2) es de integralidad de la
variable de decisión.
• En este modelo se verifica lo siguiente:
– La localización si tiene una variable explícita.
– Los efectos de la localización se resuelven o agregan en el concepto de
vecindad de la demanda.
– Es explícita el concepto de áreas de influencia, a través de la vecindad.
Lo que sí, se define el área de influencia centrada en la demanda y no
en el servidor.
– El problema se orienta únicamente al fenómeno de elegir vecindades.
El fenómeno de competencia entre servidores no se resuelve, ya que
cada demanda debe tener a lo menos un servidor, pudiendo tener
más.

16. Modelos de localización por Máxima
Cobertura
• Proviene del inglés, Maximum Covering Location
Problem (MCLP)
• Propuesta por Church y ReVelle en 1974
• Maximizar la demanda atendida dentro de una
distancia o tiempo fijo, sujeto a que el presupuesto
total alcanza para un número fijo de equipamientos
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17. Formulación MCLP
• Localizar “p” instalaciones de modo de cubrir la
máxima demanda posible dentro de un radio de
distancia o un tiempo determinado.
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18. Formulación MCLP
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19. 1. Problema del p-Centro
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Contenidos
Problemas de Centro

20. Problema del Centro
• Denominado como p-Centro
• Minimizar la máxima distancia demanda–instalación dado
que se abren o localizan a lo más p instalaciones
(“MINIMAX”)
• Introduce “Equidad” o cuidado por los más lejanos
• Introduce la medición de distancias en el modelo
• Por ejemplo:
– Localizar un colegio de modo que el alumno más lejano,
camine lo menos posible.
– Localizar ambulancias de modo que el paciente más lejano
sea atendido lo antes posible.
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21. Formulación p-Centro
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22. 1. Problema del p-Median
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Contenidos
Problemas de Mediana

23. Modelos de localización p-Median
• Este es un problema que trata la problemática de
asignación de demandas a servidores. El principio es
lograr el mínimo costo en todo el sistema producto de
la asignación de demandas a servidores.
• El problema plantea encontrar la localización de P
nuevas plantas, dentro de n posibles localizaciones,
respecto de una serie de demandas a satisfacer (m
puntos de demanda).

24. Formulación p-Median
CijXijAjMin
n
i
m
j
**
1 1
 

S.A.


n
i
mjXij
1
...11
mjniXiiXij ...1,...1 
PXii
n
i
1
Donde:
Z = Costo total en el sistema producto del desplazamiento
Xij = variable de decisión que da cuenta si la demanda j se sirve (1) o no (0)
del servidor en i
Aj = Demanda total en la localización j
Cij = Costo de viaje entre la planta i y la demanda j, originalmente se utilizó
distancia
P = Número de servidores a localizar
(1)
(2)
(3)
(4) 1,0Xij

25. Formulación p-Median
• La función objetivo es minimizar el costo social asociado al
desplazamiento de la demanda por efecto de servirse en uno u
otro servidor.
• La restricción (1) asegura que cada demanda se sirva de un solo
servidor, la restricción (2) asegura que una demanda j se pueda
servir de un servidor i sólo cuando la demanda en i se sirva del
mismo (esta es una estructura alternativa para no definir una
variable de localización del tipo Yi). La restricción (3) acota el
número de servidores a los P disponibles, y la restricción (4) es
de integralidad de la variable de decisión.

26. Consideraciones
En este modelo se verifica lo siguiente:
• La localización en si no tiene una variable explícita.
• Es un modelo que considera sólo la variable "asignación" en el
sistema. Son los efectos de esta asignación los que se
minimizan.
• Sí bien no explícita áreas de influencia, nuevamente esta resulta
de la optimalidad del problema.
• El problema se orienta únicamente al fenómeno de asignación,
acotando los servidores, que en definitiva resultan ser virtuales,
ya que se determinan áreas de servicios. Nuevamente el
fenómeno de competencia se resuelve al mínimo costo, en este
caso ponderado por el total de demanda.