El documento describe las matemáticas detrás del cubo de Rubik. Explica que hay 43 quintillones de posiciones posibles y que el número óptimo de movimientos para resolverlo se desconoce, aunque se cree que es el diámetro del grafo de Cayley del grupo del cubo. También define conceptos matemáticos como ciclos y grafos de Cayley para modelar las permutaciones y orientaciones posibles.

1. laberintos e infinitos
¿Matem´ticas al cubo? O ¿Cubo a las matem´ticas?
a a
Edgar S´nchez Esquivel
a
Estudiante de Matem´ticas Aplicadas y Actuar´ del ITAM
a ıa
El cubo de Rubik fue creado en 1974 por el Ingeniero
Ern¨ Rubik, quien originalmente buscaba construir un
o
modelo que permitiera a sus alumnos de arquitectura
comprender la geometr´ en 3 dimensiones; sin embargo
ıa
nunca imagin´ que ese “modelo” revolucionar´ la vida de
o ıa
muchas personas.
El Cubo de Rubik es un rompecabezas de movimiento
secuencial; cada una de sus 6 caras est´ cubierta por 9
a
calcoman´ de un color de los 6 tradicionales (blanco,
ıas
amarillo, azul, verde, anaranjado y rojo). Un mecanismo
interno le permite al jugador mover cada una de las caras
de forma independiente, provocando que se mezclen los
colores. Se considera que el cubo ha sido resuelto si cada
una de las caras forma un color s´lido.
o
Adentr´ndose al misterio
a
El cubo de Rubik posee 8 piezas-v´rtice y 12 piezas-arista, lo cual posibilita una infinidad de
e
posiciones diferentes.
Dado que las piezas centrales del cubo no se mueven, el n´mero de configuraciones posibles
u
se calcula simplemente multiplicando el n´mero de arreglos generados por las piezas-v´rtice
u e
por el generado por las piezas-arista.
Tenemos 8 piezas-v´rtice, as´ que el n´mero de arreglos
e ı u
posibles es 8!. Por otro lado, cada pieza-v´rtice cuenta
e
con 3 posibles orientaciones, lo que sugiere que debemos
multiplicar el n´mero anterior por 38 ; sin embargo cuan-
u
do estamos a punto de resolver el cubo, el n´mero de
u
movimientos disminuye, por lo que debemos ajustar el
c´lculo. Una vez que una de las dos piezas-v´rtice restantes
a e
para resolver el cubo ha sido acomodada, la otra pieza
s´lo puede tener una orientaci´n de forma autom´tica, por
o o a
tanto necesitamos dividir por tres.
Por otro lado, contamos con 12 piezas-arista, esto implica un n´mero de arreglos posibles de
u
12!; sin embargo, a diferencia de las pieza-v´rtice, es imposible intercambiar solamente dos
e
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2. Aterrizando ideas
piezas-arista, por tanto una vez que una de las tres piezas-arista restantes para resolver el
cubo es colocada en su lugar, las dos restantes s´lo pueden tener un arreglo, es decir, necesi-
o
tamos dividir por dos.
Continuando con el c´lculo; cada una de las piezas-arista tiene dos posibles orientaciones,
a
por esto debemos multiplicar por 212 ; pero nuevamente es necesario ajustar este n´mero, ya
u
que cuando acomodamos una de tres piezas-arista faltantes, solo una de las dos restantes
puede ser reorientada y la otra tendr´ una orientaci´n fija en relaci´n a la anterior; entonces
a o o
necesitamos dividir por dos.
Resumiendo, el n´mero total de arreglos posibles es:
u
(8!)(38 ) 12
3 ( 12! )( 22 ) = 43, 252, 003, 274, 489, 856, 000
2
= 227 314 53 72 11
¿Cu´nto cabe en un cubo de 5.73 cm3 ?
a
Resulta impresionante que un “cubito” pueda contener tantas matem´ticas. A continuaci´n
a o
se presenta una peque˜a “salpicada”.
n
Algunas definiciones
−Ciclo
Sea σ : X → X un ciclo, y sea S = {s0 , s1 , ..., sk−1 } un conjunto dado.
Definimos σ(si ) = σ(si+1 ) para 0 ≤ i ≤ k que se puede representar por el siguiente diagra-
ma : s0 → s1 → s2 → ... → sk−1 → sk = s0 y en una notaci´n m´s compacta tenemos:
o a
σ = (s0 , s1 , ..., sk−1 )
−Grafo de Cayley
Sea G un grupo, S un conjunto generador de G. El grafo de Cayley Γ = Γ(G, S) es un grafo
dirigido coloreado construido como sigue:
A cada elemento g ∈ G se le asigna un v´rtice.
e
A cada elemento s ∈ S se le asigna un color cs .
Para cualesquiera g ∈ G, s ∈ S, los v´rtices correspondientes a los elementos g y s se
e
unen por una arista dirigida del color cs .
El objetivo de este grafo es decodificar la estructura de un grupo discreto, y utiliza por lo
general un grupo finito de generadores del grupo en cuesti´n.
o
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3. laberintos e infinitos
Una traducci´n al lenguaje matem´tico
o a
El cubo de Rubik cuenta con 6 caras, cada una con 9 casillas, sumando da un total de 54
casillas, que etiquetaremos como sigue:
Donde las letras u, l, d, f, r, b hacen referencia a cada una de las caras del cubo (u=up, l=left,
d=down, f=front, r=right, b=back).
Entonces los generadores de los movimientos en sentido de las manecillas del reloj son (en
notaci´n de ciclos):
o
F = (17 19 24 22)(18 21 23 20)(6 25 43 16)(7 28 42 13)(8 30 41 11)
B = (33 35 40 38)(34 37 39 36)(3 9 46 32)(2 12 47 29)(1 14 48 27)
L = (9 11 16 14)(10 13 15 12)(1 17 41 40)(4 20 44 37)(6 22 46 35)
R = (25 27 32 30)(26 29 31 28)(3 38 43 19)(5 36 45 21)(8 33 48 24)
U = (1 3 8 6)(2 5 7 4)(9 33 25 17)(10 34 26 18)(11 35 27 19)
D = (41 43 48 46)(42 45 47 44)(14 22 30 38)(15 23 31 39)(16 24 32 40)
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4. Aterrizando ideas
El grupo del Cubo de Rubik
Por la estructura del rompecabezas, el cubo de Rubik
define un grupo de permutaciones. Dado el esquema
anterior tomaremos como fijas las casillas centrales
de cada cara, es decir aquellas que etiquetamos con
letras. Las operaciones consisten en la rotaci´n de
o
cualquiera de las 6 caras, permutando as´ las 48 casillas
ı
restantes. Por tanto el grupo del cubo C se define como
el subgrupo del grupo sim´trico S48 generado por las 6
e
diferentes rotaciones de las caras.
Sean dos subgrupos Cp y Co ; con Cp el grupo de las permutaciones y Co el de las orientaciones
de las mismas.
Dado que Co es un subgrupo normal del grupo C, la intersecci´n de Cp y Co es la identidad,
o
y su producto es C; de aqu´ se sigue que C es el producto semi-directo de los dos subgrupos
ı
dados.
Dada la estructura del cubo de Rubik es claro que Co = Z7 x Z11
2 3
Por otro lado, Cp no es tan simple en su estructura, por lo cual definimos los grupos A8 y A12
de permutaciones pares de las piezas-v´rtice y piezas-arista respectivamente. Complementan-
e
do estos grupos, tomemos aquel que intercambie dos piezas-v´rtice y dos piezas-arista.
e
Entonces tenemos que Cp = (A8 x A12 ) Z2
Por lo tanto C = (Z7 x Z11 ) ((A8 x A12 ) Z2 ) Cardinalidades de algunos subgrupos de C.
2 3
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5. laberintos e infinitos
Aunque no parezca, dos subgrupos con la misma cardinalidad son iguales, salvo en los casos:
{(U ), (U 2, D2)}, {(U, R2, L2), (U 2, R, L2)},
{(U, R2, L2, F ), (U 2, R, L, F )}, {(U, R2, L2, F ), (U 2, R, L, F )}
¿Y la soluci´n ´ptima?
o o
En internet hay una gran cantidad de recursos para resolver el cubo de Rubik, sin embar-
go dan soluciones a secas, que deja abierta la pregunta ¿cu´l es la soluci´n ´ptima? No se
a o o
pretende dar una soluci´n ´ptima o un m´todo para alcanzarla, pero trataremos de mostrar
o o e
algunas aproximaciones a la respuesta.
Cabe mencionar que cuando hablamos de la longitud de una soluci´n consideramos el n´mero
o u
de movimientos, tanto de las caras como de los giros del cubo, pensando en movimientos en
cualquier direcci´n con una magnitud de 90◦ .
o
No se sabe a´n el n´mero m´
u u ınimo de movimientos para resolver el cubo, sin embargo se sabe
que es el di´metro del grafo de Cayley del grupo del cubo de Rubik. Al algoritmo correspon-
a
´
diente se le conoce como el Algoritmo de Dios, pues todo indica que solo El lo sabe...
Pero no todo el paisaje es negro. Se ha logrado acotar mediante
argumentos de conteo el n´mero de movimientos para ciertas
u
configuraciones; dicha cota se sit´a en 18 movimientos. Una
u
prueba simple de este hecho es contar primero el n´mero total de
u
configuraciones, posteriormente contar el n´mero de aquellas que
u
se pueden alcanzar usando a lo m´s 17 movimientos. Y resulta
a
que este ultimo n´mero es menor. Sin embargo esta prueba no es
´ u
muy buena pues no exhibe una posici´n que necesite tal n´mero
o u
de movimientos.
El camino es largo...
Las matem´ticas involucradas en el cubo de Rubik son inmensas; claramente podemos ver
a
que ese “cubito” no es un juguete. A´n hay muchas preguntas abiertas sobre este curioso
u
rompecabezas y la extensa teor´ de grupos, lo unico que falta es el esp´
ıa ´ ıritu aventurero de los
matem´ticos j´venes que quieran desenmara˜ar tantos misterios ocultos.
a o n
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