1. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Ignacio Vega Acevedo
Colaboradores :
Alfredo L´opez Ortega
Rub´en Cordero Elizalde
Departamento de F´ısica, ESFM-IPN
18 de septiembre de 2011

2. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
1 Relatividad General
Relatividad General en 2D
2 Agujeros negros
Agujeros negros en 4D
Agujeros negros en 2D
3 Modos cuasinormales
Campos sin masa
Campo de Klein-Gordon
Campo de Dirac
Potenciales Efectivos
4 Agujero negro de Witten
5 Agujero negro de Ach´ucarro Ortiz
6 Conclusiones

3. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Relatividad General
Relatividad General
Las ecuaciones de Einstein en D dimensiones
Gµν
=
8πG
c4
Tµν
, (1)
se pueden obtener de una acci´on. La m´as com´un es la acci´on de
Einstein-Hilbert
SEH =
c4
16Gπ
R |g| + LM dD
x , (2)

4. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Relatividad General
Relatividad General en 2D
Relatividad General en 2D
Como en muchas ´areas de la f´ısica, en la relatividad general son
usados modelos simplificados, usualmente conocidos como
“modelos de juguete”.
Las teor´ıas de la gravedad en dos dimensiones tienen que:
Existen soluciones tipo agujero negro a sus ecuaciones de
movimiento.
Muchos de los conceptos y detalles de la f´ısica no dependen
de la dimensi´on del espaciotiempo.

5. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Agujeros negros
Agujeros negros en 4D
Agujeros Negros
Definici´on.
En la relatividad general existen algunas soluciones que tienen
regiones en las cuales el campo gravitacional es tan intenso que la
luz no puede escapar. A esta regi´on del espaciotiempo se le conoce
como agujero negro.

6. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Agujeros negros
Agujeros negros en 4D
Schwarzschild,
ds2
= − 1 −
2M
r
dt2
+ 1 −
2M
r
−1
dr2
+ r2
dθ2
+ r2
sin2
θdφ2
.
Reissner-Nordstr¨om,
ds2
= − 1 −
2M
r
+
Q2
r2
dt2
+ 1 −
2M
r
+
Q2
r2
−1
dr2
+ r2
dθ2
+ r2
sin2
θdφ2
. (3)
Kerr,
ds2
= − 1 −
2Mr
A
dt2
+
A
B
dr2
+ Adθ2
−
4aMr sin2
θ
A
dtdφ
+
(r2
+ a2
)2
− a2
B sin2
θ
A
sin2
θdφ2
,
A ≡ r2
+ a2
cos2
θ y B ≡ r2
− 2Mr + a2
.

7. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Agujeros negros
Agujeros negros en 2D
Agujeros Negros en Dos dimesiones
La m´etrica de un agujero negro gen´erico en dos dimensiones
ds2
= f (r)dt2
−
dr2
g(r)
, (4)
donde la funciones f y g dependen ´unicamente de la variable r.
Witten,
ds2
= 1 − e−r
dt2
−
dr2
(1 − e−r )
. (5)
Ach´ucarro Ortiz (AO),
ds2
= (r2
− r2
+)dt2
−
dr2
(r2 − r2
+)
, (6)

8. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Agujeros negros
Agujeros negros en 2D
La coordenada tortuga x se define
por
x ≡
dr
√
fg
,
Asint´oticamente planos
(Horizonte, +∞) → (−∞, +∞) .
Anti-de Sitter
(Horizonte, +∞) → (−∞, 0) .
Witten
x =
dr
1 − e−r
= ln(er
−1),
si r → 0 ⇒ x(r) → −∞,
si r → +∞ ⇒ x(r) → +∞.
Ach´ucarro Ortiz
x =
dr
r2 − r2
+
=
1
2r+
ln
r − r+
r + r+
,
si r → r+ ⇒ x(r) → −∞,
si r → +∞ ⇒ x(r) → 0.

9. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Modos cuasinormales
Modos Cuasinormales
Definici´on.
Una perturbaci´on es un campo cl´asico que se propaga en el agujero negro.
Definici´on.
Los modos cuasinormales son aquellas perturbaciones que satisfacen las
siguientes condiciones de frontera:
←φ φ→
r = rh r→∞
Figura: Condiciones de frontera.
Son puramente entrantes cerca del horizonte de sucesos.
Son puramente salientes en la regi´on asint´otica.

10. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Modos cuasinormales
La dependencia temporal de las perturbaciones es de la forma
e−iωt
= e−iωR t+ωI t
, (7)
La parte imaginaria de ω debe ser negativa para que la perturbaci´on sea
estable.
Si todos los modos cuasinormales son
estables decimos que el agujero negro
es perturbativamente estable.
Si encontramos uno o mas modos
inestables entonces es necesario
realizar un an´alisis m´as completo sobre
la estabilidad de las perturbaciones en
el agujero negro. Figura: Representaci´on de
perturbaciones.

11. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Modos cuasinormales
Campos sin masa
Campos sin masa
La ecuaci´on de movimiento sin masa en el Campo de Klein-Gordon
Φ =
1
f
∂2
t −
g
f
∂r gf ∂r Φ = 0. (8)
Proponiendo la separaci´on de variables
Φ(t, x) = R(x)e−iωt
, (9)
se obtiene que la funci´on radial R satisface
d2
dx2
+ ω2
R = 0. (10)
El campo de Klein-Gordon sin masa no satisface las condiciones de
frontera que definen a los modos cuasinormales.

12. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Modos cuasinormales
Campos sin masa
Para el campo de Dirac sin masa la ecuaci´on de movimiento es
iγµ
µΨ = 0. (11)
Usando la coordenada tortuga la m´etrica d˜s2 toma la forma
ds2
= dt2
− dx2
, (12)
de modo que la ecuaci´on de Dirac en el l´ımite sin masa es
(∂t − ∂x ) Ψ2 = 0,
(∂t + ∂x ) Ψ1 = 0.
dR2
dx
+ iωR2 = 0,
dR1
dx
− iωR1 = 0.

13. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Modos cuasinormales
Campos sin masa
Resultado
En resumen, los campos de Klein-Gordon y de Dirac sin masa no
tienen frecuencias cuasinormales cuando se mueven en agujeros
negros bidimensionales asint´oticamente planos

14. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Modos cuasinormales
Potenciales Efectivos
Potenciales Efectivos
Ecuaci´on tipo Schr¨odinger
Diremos que una ecuaci´on es tipo Schr¨odinger cuando tiene la
forma:
d2R
dx2
+ ω2
R = V (x)R. (13)
Un hecho interesante es que para varios tipos de perturbaciones
propag´andose en agujeros negros sus ecuaciones de movimiento
pueden reducirse a esta forma.

15. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Modos cuasinormales
Potenciales Efectivos
En el caso de Klein-Gordon para la parte radial tenemos que
d2
dx2
+ ω2
− fm2
R = 0, V = fm2
.
Para el campo de Dirac tenemos las ecuaciones radiales acopladas
d
dx
+ iω ˜R2 = −
√
f m˜R1,
d
dx
− iω ˜R1 = −
√
f m˜R2.
Si definimos las funciones
Z± ≡ ˜R1 ± ˜R2, ⇒
d2
dx2
+ ω2
Z± = V±Z±,
donde los potenciales efectivos V± est´an dados por
V± = fm2 m
2
√
g
df
dr
.

16. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Agujero negro de Witten
Agujero Negro de Witten
Calculamos las frecuencias cuasinormales exactas del campo de
Klein-Gordon que satisfacen las condiciones de frontera:
Las ondas son puramente entrantes en el horizonte.
Las ondas son puramente salientes en el infinito.
Ahora bien proponiendo la separaci´on de variables
Φ(r, t) = R(r)e−iωt
. (14)
( + m2
+ ζR)Φ = 0, (15)
ζ es la constante de acoplamiento de la curvatura escalar,
R = e−r .

17. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Agujero negro de Witten
Se obtiene:
Frecuencias para Klein-Gordon
ω± = −i
2n + 1 ±
√
1 − 4ζ
4
−
m2
2n + 1 ±
√
1 − 4ζ
, n = 0, 1, 2, ...
(16)
Son estables cuando
2m − 1
√
1 − 4ζ
2
< n. (17)

18. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Agujero negro de Witten
Para el campo de Dirac se tiene el sistema de ecuaciones acopladas
(∂t − f ∂r ) Ψ2 = −im
√
f Ψ1,
(∂t + f ∂r ) Ψ1 = −im
√
f Ψ2. (18)
Imponemos pues las condiciones de frontera
Frecuencias de ˜Ψ2
ω+2 = −
i
2 n + 1
2
n + 1
2
2
− m2
, n = 0, 1, 2, . . .
ω−2 = −
i
2n
n2
− m2
. n = 1, 2, 3, . . .
condici´on de estabilidad n > m

19. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Agujero negro de Witten
Frecuencias de ˜Ψ1
ω+1 = −
i
2(n + 1)
(n + 1)2
− m2
, n = 0, 1, 2, . . .
ω−1 = −
i
2 n + 1
2
n + 1
2
2
− m2
.
con la condici´on de estabilidad n > m − 1
2
Son puramente imaginarias las frecuencias esto puede indicar que
no forman un conjunto completo de funciones.

20. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Agujero negro de Ach´ucarro Ortiz
Agujero Negro de Ach´ucarro Ortiz
Calcularemos exactamente las frecuencias cuasinormales del campo
de Klein-Gordon.
f
d2
dr2
+
df
dr
d
dr
− m2
+
ω2
f
R = 0. (19)
Debido a que este agujero negro es asint´oticamente anti-de Sitter
las condiciones de frontera son:
El campo es puramente entrante en el horizonte.
El campo tiende a cero en el infinito.
←φ φ=0
r = rh r→∞
Figura: Condiciones de frontera.

21. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Agujero negro de Ach´ucarro Ortiz
Encontrando que
Frecuencias para el campo de Klein-Gordon
ω1 = −ir+ 2n + 1
2 + 1
2 1 + 4m2 , n = 0, 1, 2, . . .
ω2 = −ir+ 2n + 3
2 + 1
2 1 + 4m2 . (20)
Las condiciones de estabilidad son
1
2 + 1
2 1 + 4m2 > −2n,
3
2 + 1
2 1 + 4m2 > −2n. (21)
De igual forma las frecuencias son puramente imaginarias lo que
puede indicar que no forman un conjunto completo de funciones.

22. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Conclusiones
Conclusiones
Los campos de Klein-Gordon y de Dirac sin masa no tienen
frecuencias cuasinormales cuando se mueven en agujeros
negros bidimensionales asint´oticamente planos.
Mostramos que las ecuaciones de movimiento para los campos
masivos de Dirac y Klein-Gordon pueden simplificarse a
ecuaciones de tipo Schr¨odinger.
En el agujero negro gen´erico bidimensional el potencial efectivo
para el campo de Klein-Gordon no depende de la funci´on g.
En contraste los potenciales efectivos V± para el campo de
Dirac s´ı dependen de la funci´on g.

23. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Conclusiones
Calculamos las frecuencias cuasinormales exactas en los
campos de Klein-Gordon y Dirac para el agujero negro de
Witten.
Calculamos las frecuencias cuasinormales exactas en el campo
de Klein-Gordon para el agujero negro de Ach´ucarro Ortiz.
En ambos casos las frecuencias cuasinormales son puramente
imaginarias, esto nos hace creer que los modos cuasinormales
de estos agujeros negros no forman un conjunto completo de
funciones.
Estudiamos la estabilidad cl´asica de estas perturbaciones.
Para el agujero negro de Witten encontramos que el modo
fundamental para el campo de Klein-Gordon y de Dirac es
inestable y que si la masa se incrementa otros modos pueden
ser inestables.
En el caso del agujero negro Ach´ucarro Ortiz encontramos que
los modos cuasinormales del campo de Klein-Gordon siempre
son estables.

24. Agujeros Negros en Dos Dimensiones
Conclusiones
Gracias