Este documento presenta una serie de problemas relacionados con vectores. Propone calcular sumas, diferencias y productos de vectores, así como determinar ángulos entre ellos, proyecciones de vectores y valores escalares. Los problemas involucran conceptos como coordenadas de vectores, producto escalar, proyecciones, ángulos entre vectores y sistemas de referencia. Se piden determinar expresiones analíticas y numéricas para describir las características geométricas de diversas situaciones planteadas.

1. PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE VECTORES
 
1. Qué condiciones deben cumplir A, B para que se cumpla cada una de las
siguientes proposiciones en forma independiente?
a)
b)
c)

μA

μA

μA

μB

μB

μA
0

2μB
0
SOLUCIÓN:


2. El producto escalar de A y B toma los siguientes valores.
 
a) A B
 
b) A B
AB
1 2 AB


En cada caso indique las características del vector proyección de A sobre B .
SOLUCIÓN:
3. En el paralelepípedo ABCDEFG indicado en la figura determinar:
a) PQ Y ST en función de sus componentes.
b) El ángulo formado por PQ y SE.
SOLUCIÓN:
a)
PQ
PQ
PQ
OQ OP
 

3 i 0 j 0k
 

0 i 4 j 4k
 

3 i 4 j 4k
ST
ST
ST
OQ OP
 

 

0 i 4 j 2k 6 i 4 j 2k
 

6 i 0 j 0k

2. b)
SE
SE
SE
θ
OE OP
 

 

0 i 0 j 4k 6 i 4 j 2k
 

6 i 4 j 2k
cos 1
PQ SE
PQ SE
θ
cos 1
θ
cos 1
θ
  
0 i 4 j 4k
  
6 i 4 j 2k
79,11
42
42
62
42
22
8
5,66 7,48






 
 

4. Determinar la suma de A, B y C en donde A 5 i 10 j 7 k; B 9 i 4 j 2 k

y C es un vector en el plano XY que forma un ángulo de 45° con la dirección
positiva del eje de las X y se aleja del origen, su magnitud es 12.
SOLUCIÓN:
CX
12 cos 45
8,5
C Y 12 cos 45 8,5




C 8,5 i 8,5 j 0 k

R

R

R
  
A B C

 
  
5 i 10 j 7 k 9 i 4 j 2 k

 
22,5 i 2,5 j 9 k

 
8,5 i 8,5 j 0 k





5. Encontrar el valor de 2 A 3 B A 4 B , conociendo que A


que el vector A es perpendicular al vector B .
SUGERENCIA: Escoger un sistema de referencia adecuado.
SOLUCIÓN:

A

B



0 i 4 j 0k
 

3 i 0 j 0k

4 u, B
3u y

3. 
R

R

R

R

R




2 A 3B A 4 B
  
  
  
  
2 0 i 4 j 0k 3 3 i 0 j 0k
0 i 4 j 0k 4 3 i 0 j 0k
  
  
  
  
0 i 8 j 0k 9 i 0 j 0k
0 i 4 j 0 k 12 i 0 j 0 k
  
  
9 i 8 j 0 k 12 i 4 j 0 k
76


  
6. Sabiendo que A es 10 i 5 j 3 k y B tiene una longitud de 10m, la proyección

BY
5 m el ángulo director α 60 . Y que el vector C se inicia en el punto

0, 4, 5 y finaliza en el punto 2, 2, 1 . Encontrar un vector D que satisfaga a:
 
 
A B 1 2C D
0
SOLUCIÓN:

A

B

C
 

10 i 5 j 3 k
 

5 i 5 j 7,07 k



2 i 2 j 4k
 
 
A B 1 2C D 0
  
 
 1   
10 i 5 j 3 k 5 i 5 j 7,07 k
2 i 2 j 4k
2
 

   
15 i 0 j 4,07 k
i j 2k D 0
 
 
14 i j 6,07 k D 0
 


D
14 i j 6,07 k
8.
A partir de la figura determinar:

a) El vector R 2 NP 3IB 4CF
b) El vector proyección de MI sobre AD
c) El ángulo entre NJ y GA

D
0

4. d) Un vector perpendicular a GC y GP
P: Punto medio de AD
SOLUCIÓN:
a)
NP
OP ON
 

5 i 3 j 4k
 

5 i 6 j 4k
 

0 i 9 j 0k
IB OB OI
  
IB 10 i 0 j 8 k
 

IB 5 i 6 j 4 k
 

5 i 6 j 4k
NP
NP
CF
OF OC
  
 

0 i 6 j 8 k 10 i 0 j 0 k
  
10 i 6 j 8 k
CF
CF

R

R

R

R
2 NP

25i

10 i

65 i
3IB 4CF
 
  
  
6 j 4 k 3 5 i 6 j 4 k 4 10 i 6 j 8 k
 






12 j 8 k 15 i 18 j 12 k
40 i 24 j 32 k


54 j 12 k
b)
MI
MI
MI
AD
AD
AD
MI AD
MI AD
MI AD
MI AD
MI AD
OI OM
 

5 i 6 j 4k
 

5 i 3 j 0k
OD OA
 

10 i 6 j 0 k
  
10 i 6 j 8 k
 

0 i 9 j 4k
  
0 i 0 j 8k
MI AD 
μ AD
AD
  
  
5 i 3 j 0 k 10 i 6 j 8 k
10 2
  
10 i 6 j 8 k
62 82
10 2



50 18
0,70 i 0,42 j 0,56 k
14,14



2,26 0,70 i 0,42 j 0,57 k



1,6 i 0,95 j 1,28k
62
82

5. c)
NJ
NJ
NJ
GA
GA
GA
θ
OJ ON
  
5 i 6 j 0k
  
5 i 3 j 0k
  
0 i 9 j 0k
OA OG
  
0 i 0 j 8k
  
0 i 6 j 8k
  
0 i 6 j 0k
cos 1
NJ GA
NJ GA
θ
cos
θ
cos 1
θ
  
5 i 3 j 0k
  
0 i 6 j 8k
72,02
1
52
32
62
82
18
5,83 10
d)
GC
GC
GC
GP
GP
GP
OC OG
 

10 i 0 j 0 k
 

10 i 6 j 0 k
OP OG
 

5 i 3 j 4k
 

5 i 3 j 4k
GC GP

i
10
5
GC GP
GC GP
 

0 i 6 j 0k
 

0 i 6 j 0k
 
j k
6 0
3 4



24 i 40 j
30 30 k

 
24 i 40 j 0 k




9. Dados A 3 i 7 j y B
Encuentre:


2 j 3k

6.  

a) El vector R
A B


b) El vector perpendicular a A y B


c) El ángulo entre A y R
SOLUCIÓN:
a)
 
A B
 
 
3i 7 j
2 j 3k
  
3 i 9 j 3k

R

R

R
b)
 
A B

i
3
0

j
7
2

k
0
3
 
A B
 

21 i 9 j 6 k
c)
θ
cos
1
θ
cos
1
θ
cos 1

A

A

R

R
 
3i 7 j
32
  
3 i 9 j 3k
72
32
92
32
9 63
7,61 9,95
θ 161,96
  

  
10. Determine la suma de A, B, C, donde A 3 i j ; B contenido en el plano XZ,
en la dirección N 20 O se aleja del origen su longitud es 3m. Los ángulos

directores de C son β 15 y γ 105 , su módulo es 10m.
SOLUCIÓN:
11. Una pelota es lanzada en línea recta desde el origen 0 a un punto P 10, 15, 0 m .
Hallar:
a) Los cosenos directores.
b) Un vector en la dirección de OP cuya longitud sea 3m.
c) Las proyecciones XY, YZ, XZ de OP

7. SOLUCIÓN:
12. Un carro parte de P 0, 50, 60 km con respecto a la pista, en dirección S 60 E y
llega a una distancia de 75km, luego cambia de rumbo y corre 100km siguiendo



5 i 12 k
una dirección y sentido que coincide con el unitario de: R
a) Encuentre la posición final del carro con respecto a la pista.
b) El vector unitario de la posición final
SOLUCIÓN:
13. En la figura determinar:
AB
CB
AE
DE
CD OC OD
OA 80 u
BE
100 u
a) El ángulo formado por AC y EC
b) El vector proyección de OC sobre CD
SOLUCIÓN:
14. Encontrar el ángulo formado por la velocidad y la aceleración en el instante en
que la rapidez es 30m/s en la dirección N 30 O y un ángulo de elevación de



45°, la aceleración es de 5 m s 2 en dirección 0,6 i c j 0,4 k
SOLUCIÓN:
15.

8. En la figura determinar:
a) La posición geográfica de L con respecto a Q
b) La proyección de OQ sobre QL

c) El unitario de V LN 2PQ
SOLUCIÓN:
16. Dos cubos de 12 y 20 cm de lado, están colocados como indica la figura.
Encontrar:
a) AJ NB
b) El ángulo formado por JM y GF
c) La proyección de HK sobre GF
SOLUCIÓN:
a)

9. AJ
AJ
AJ
OJ OA

 
 

12 i 20 j 0 k 0 i 0 j 20 k



12 i 20 j 20 k
NB OB ON
 


 
NB 20 i 0 j 20 k 0 i 32 j 0 k



NB 20 i 32 j 20 k

R

R

R
AJ NB



12 i 20 j 20 k

 
32 i 12 j 0 k



20 i 32 j 20 k
b)
JM OM OJ




 
JM 0 i 32 j 12 k 12 i 20 j 0 k



JM
12 i 12 j 12 k
GF OF OG
  

 
GF 20 i 0 j 0 k 0 i 20 j 0 k

 
GF 20 i 20 j 0 k
θ
cos 1
θ
cos 1
θ
JM GF
JM GF



12 i 12 j 12 k
cos 1
122 122 122

 
20 i 20 j 0 k
202
240 240
20,78 28,28
θ 144,76
c)
HK
HK
HK
OK OH

 
12 i 32 j 0 k



12 i 12 j 12 k



0 i 20 j 12 k
202

10. GF OF OG
  

 
GF 20 i 0 j 0 k 0 i 20 j 0 k

 
GF 20 i 20 j 0 k
HK GF
HK GF
HK GF 
μ GF
GF



12 i 12 j 12 k
202

 
20 i 20 j 0 k

 
20 i 20 j 0 k
202
202 202
HK GF
 





2 i 3 j 6k y B
2 i 4 j 4 k . Determinar el


vector proyección del vector A sobre la recta de acción del vector B .

17. Conociendo los vectores: A
SOLUCIÓN:

AB

AB

AB

AB
 
A B 
 μB
B
  
2 i 3 j 6k
  
2 i 4 j 4k
  
2 i 4 j 4k
22 42 42
22 42 42



4 12 24
0,33 i 0,66 j 0,66 k
6



1,76 i 3,52 j 3,52 k
18. Se tiene una cuerda fija en el punto A y se hala con una fuerza de 50N de modo
que el otro extremo está en el punto B.
Determinar:
  

a) El vector fuerza F en términos de i , j , k .

b) La proyección del vector F sobre DG

11. SOLUCIÓN:
a)

r

μr

 
4 i 10 j 3 k

μr

 
4 i 10 j 3 k
4 2 10 2 32



0,36 i 0,89 j 0,27 k




F 50 N 0,36 i 0,89 j 0,268k




F 18 i 44,5 j 13,5k
b)
 
DG G D
  
DG 4 i 0 j 0 k
  
DG 8 i 0 j 0 k

FDG

FDG

FDG

FDG
  
4 i 0 j 0k

F DG 
μ DG
DG



18 i 44,5 j 13,5 k
8
  
144
i 0 j 0k
8
  

FDG 18 i 0 j 0 k
  
8 i 0 j 0k
  
i 0 j 0k
19. Dados los puntos A 2, 1, 2 ; B 5, 1, 4 y C 7, 2, 1 . Determinar los siguientes
vectores:

D paralelo a AB y de módulo 15N.

E perpendicular al triangulo ABC y módulo 20.

F de módulo 10u y paralelo a la bisectriz del ángulo ABC .

d) G en la dirección de AC y con módulo igual al módulo de la proyección de
a)
b)
c)
AB sobre BC

 

e) Determinar " m" para que Q 5 i m j k sea perpendicular al vector AB.

f) El vector H
SOLUCIÓN:
a)
 

a i b j 5 k que sea paralelo a BC .

12. AB
AB
AB
 
B A
  
  
5 i j 4k 2 i j 2k
  
3 i 2 j 2k

μ AB

μ AB
  
3i 2 j 2k
32
22 22



0,727 i 0,485 j 0,485 k




D = 15 N 0, 73 i- 0, 49 j+ 0, 49 k




D = 10,90 i- 7, 28 j+ 7, 28 k
b)
  

BC = C- B


  
  
BC = 7 i+ 2 j+1k - 5 i- j+ 4 k


  
BC = 2 i+ 3 j- 3k
AB BC
AB BC
AB BC

μ AB

μ AB

E

E
BC
BC


j
k
2 2
3
3


6 6 i
9 4 j



0 i 13 j 13 k



0 i 13 j 13 k

i
3
2

9 4 k
13 2 13 2



0 i 0,707 j 0,707 k



20 0 i 0,707 j 0,707 k



0 i 14,14 j 14,14 k
c)
d)
 




AB • BC 
ABBC =  × m BC

BC
  
  
  
3 i- 2 j+ 2 k • 2 i+ 3 j- 3k
2 i+ 3 j- 3k


ABBC =
×
22 + 32 + 32
22 + 32 + 32





-6
ABBC =
× 0, 426 i+ 0, 639 j- 0, 639 k
4, 69





ABBC = 0,54 i+ 0,82 j- 0,82 k

13. 0,542 0,822 0,822
AB BC
AB BC
1,28
 
C A
  

AC 7 i 2 j 1 k 2 i
  
AC 5 i j k
  

5i j k
μ AC
52 1 1


μ AC 0,962 i 0,192
AC
 
j 2k


j 0,192 k




G 1,28 0,962 i 0,192 j 0,192k




G 1,23 i 0,25 j 0,25 k
e)

AB Q 0
  
  
3 i 2 j 2 k 5 i mj k
15 2 m 2 0
0
13
2
m 6,5
m

Q

 
5 i 6,5 j k
f)
BC

k
5

H

H

μ BC
  
2 i 3 j 3k
 
H μ BCz

H 0,639
5
0,639
7,82

μ BC

H

H
  
2 i 3 j 3k
2 2 32 32



0,426 i 0,639 j 0,639 k



7,82 0,426 i 0,639 j 0,639k
  
3,33 i 5 j 5 k