1. Función gamma
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Función Gamma en el eje real.
Valor absoluto de la función gamma en el plano complejo.
En matemáticas, la función Gamma (denotada como ) es una función que extiende
el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue ideada por Adrien-
Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es positivo, entonces la integral
converge absolutamente, esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo
excepto a los enteros negativos y al cero.
Si n es un entero positivo, entonces
lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función
Gamma generaliza el factorial para cualquier valor complejo de n.
2. La función Gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo
que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.
Contenido
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1 Definición tradicional
2 Definiciones alternativas
3 Obtención de la ecuación funcional usando integración por partes
4 Propiedades
5 Función Pi
6 Relación con otras funciones
7 Valores de la función Gamma
8 Aproximaciones
9 Aplicaciones de la función gamma
o 9.1 Cálculo fraccionario
10 Véase también
11 Referencias
12 Enlaces externos
o 12.1 Sitios web
o 12.2 Lecturas adicionales
[editar] Definición tradicional
La función gamma en el plano complejo.
Si la parte real del número complejo z es positiva (Re(z) > 0), entonces la integral
converge absolutamente. Usando la integración por partes, se obtiene la siguiente
propiedad:
3. Esta ecuación funcional generaliza la relación del factorial. Se puede
evaluar analíticamente:
Combinando estas dos relaciones se obtiene que el factorial es un caso especial de la
función Gamma:
para los números naturales n.
La función Gamma es una función meromorfa de con polos simples en
y residuos .1 Estas
propiedades pueden ser usadas para extender desde su definición inicial a todo el
plano complejo (exceptuando los puntos en los cuales es singular) por continuación
analítica.
[editar] Definiciones alternativas
Las siguientes definiciones de la función Gamma mediante productos infinitos, debidas
a Euler y Weierstrass respectivamente, son válidas para todo complejo z que no sea un
entero negativo:
donde es la constante de Euler-Mascheroni.
Es sencillo mostrar que la definición de Euler satisface la ecuación funcional dada
arriba como sigue. Dado
4. También puede obtenerle la siguiente representación integral:
[editar] Obtención de la ecuación funcional usando
integración por partes
Obtener es sencillo:
Ahora obtendremos una expresión para como una función de :
Usamos integración por partes para resolver la integral
En el límite inferior se obtiene diréctamente .
En el infinito, usando la regla de L'Hôpital:
.
Por lo que se anula el primer término, , lo que nos da el siguiente resultado:
5. La parte derecha de la ecuación es exactamente , con lo que hemos obtenido
una relación de recurrencia:
.
Apliquemos la fórmula a unos pocos valores:
[editar] Propiedades
De la representación integral se obtiene:
.
Otras ecuaciones funcionales importantes de la función Gamma son la fórmula de
reflexión de Euler
y la fórmula de duplicación
La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación
Una propiedad básica y muy útil de la función Gamma , que puede obtenerse a partir de
la definición mediante productos infinitos de Euler es:
Varios límites útiles para aproximaciones asintóticas:
6. Quizá el valor más conocido de la función Gamma con argumento no negativo es
La cual puede obtenerse haciendo en la fórmula de reflexión o en la fórmula
de duplicación, usando la relación de la función Gamma con la función beta dada más
abajo con o haciendo la sustitución en la definición integral
de la función Gamma, con lo que se obtiene una integral Gaussiana. En general, para
valores impares de n se tiene:
(n impar)
donde n!! denota al doble factorial.
Las derivadas de la función Gamma vienen dadas por la función poligamma. Por
ejemplo:
A partir de la representación integral de la función Gamma, se obtiene que su derivada
n-ésima es:
La función Gamma tiene un polo de orden 1 en para todo número natural y el
cero. El residuo en cada polo es:
El teorema de Bohr-Mollerup dice que, entre todas las funciones que generalizan el
factorial de los números naturales a los reales, sólo la función Gamma es logaritmo
convexa (o log-convexa), esto es, el logaritmo natural de la función Gamma es una
función convexa.
El desarrollo en Serie de Laurent de para valores 0 < z < 1 es:
7. Donde es la función zeta de Riemann.
[editar] Función Pi
Gauss introdujo una notación alternativa de la función Gamma denominada función Pi,
que en términos de la función Gamma es:
Así, la relación de esta función Pi con el factorial es bastante más natural que en el caso
de la función Gamma:
La fórmula de la reflexión toma la siguiente forma:
Donde sinc es la función sinc normalizada, el teorema de la multiplicación se escribe
así:
A veces se encuentra la siguiente definición
donde es una función entera, definida para todo número complejo, pues no tiene
polos. La razón de ello es que la función Gamma y, por tanto, la función Pi, no tienen
ceros.
[editar] Relación con otras funciones
En la representación integral de la función Gamma, tanto el límite superior como
el inferior de la integración están fijados. La función gamma incompleta superior
e inferior se obtienen modificando los límites de integración
superior o inferior respectivamente.
8. La función Gamma está relacionada con la función beta por la siguiente fórmula
La derivada logarítmica de la función Gamma es la función digamma .
Las derivadas de mayor orden son las funciones poligamma .
El análogo de la función Gamma sobre un cuerpo finito o un anillo finito son las
sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
La función gamma inversa es la inversa de la función gamma, que es una
función entera.
La función Gamma aparece en la definición integral de la función zeta de
Riemann :
Fórmula válida sólo si . También aparece en la ecuación funcional de
:
[editar] Valores de la función Gamma
Artículo principal: Valores de la función Gamma
9. [editar] Aproximaciones
La función Gamma se puede calcular numéricamente con precisión arbitrariamente
pequeña usando la fórmula de Stirling o la aproximación de Lanczos.
Para argumentos que sean múltiplos enteros de 1/24, la función Gamma puede ser
evaluada rápidamente usando iteraciones de medias aritmético geométricas (véase
Valores de la función Gamma).
Debido a que tanto la función Gamma como el factorial crecen muy rápidamente para
argumentos moderadamente grandes, muchos programas de computación incluyen
funciones que devuelven el logaritmo de la función Gamma. Este crece más lentamente,
y en cálculos combinatorios es muy útil, pues se pasa de multiplicar y dividir grandes
valores a sumar o restar sus logaritmos.
[editar] Aplicaciones de la función gamma
[editar] Cálculo fraccionario
Artículo principal: Cálculo fraccional.
La n-ésima derivada de (donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente
manera:
como entonces donde n
puede ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante
límites.
10. De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de , de e inclusive
de una constante :
Factorial
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0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5.040
8 40.320
9 362.880
10 3.628.800
15 1.307.674.368.000
20 2.432.902.008.176.640.000
25 15.511.210.043.330.985.984.000.000
50 30.414.093.201.713.378.043 × 1045
70 1,19785717... × 10100
450 1,73336873... × 101.000
3.249 6,41233768... × 1010.000
25.206 1,205703438... × 10100.000
100.000 2,8242294079... × 10456.573
Para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto
de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n. Es decir
11. La multiplicación anterior se puede simbolizar también como
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente
en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental, el factorial de n
representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos. Este hecho ha
sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos indios. La
notación actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.
La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales
manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas,
particularmente del análisis matemático
Contenido
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1 Cero factorial
2 Aplicaciones
3 Productos similares
o 3.1 Primorial
o 3.2 Doble factorial
4 Implementación en lenguajes de programación
5 Véase también
6 Enlaces externos
[editar] Cero factorial
La definición davui indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible
extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en
especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números
enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números
enteros negativos.
Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo
con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como
0!=1.
Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como
sigue:
12. Para cada número entero positivo n mayor que 1, es posible determinar el valor
del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:
,
válida para todo número mayor o igual que 1.
Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque
4!= ,
y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que
3!= .
El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que
Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n'=1 tendríamos que 0!
corresponde a
Aunque el argumento puede resultar convincente, es importante tener en cuenta que no
es más que un argumento informal y que la razón real por la cual se toma la convención
de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de producto vacío usada en
muchas otras ramas de las matemáticas.
[editar] Aplicaciones
Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a
través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a +
b)n:
donde representa un coeficiente binomial:
13. Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las
probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del
desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales
con la función gamma, de gran importancia en la teoría de números.
Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado
por la fórmula de Stirling:
La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar
n! más rápidamente cuando mayor sea n.
El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la función gamma de
manera que
[editar] Productos similares
[editar] Primorial
El primorial (sucesión A002110 en OEIS) se define de forma similar al factorial, pero
sólo se toma el producto de los números primos menores o iguales que n.
[editar] Doble factorial
Se define el doble factorial de n como:
Por ejemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 y 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La sucesión de dobles
factoriales (sucesión A006882 en OEIS) para empieza así:
1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...
La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números
negativos:
14. Y esta es la sucesión de dobles factoriales para :
El doble factorial de un número negativo par no está definido.1233
Algunas identidades de los dobles factoriales:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
[editar] Implementación en lenguajes de programación
La función factorial es fácilmente implementable en distintos lenguajes de
programación. Se pueden elegir dos métodos, el iterativa, es decir, realiza un bucle en el
que se multiplica una variable temporal por cada número natural entre 1 y n, o el
recursivo, por el cual la función factorial se llama a sí misma con un argumento cada
vez menor hasta llegar al caso base 0!=1.