Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak

1. ELEMENTU FINITUEN METODOAREN OINARRIAK

2. GAI ZERRENDA:
1.
Sarrera
2.
Metodoaren oinarriak
3.
Barra elementua
4.
Habe elementua
5.
Ariketak

3. 1. INTRODUCCIÓN
Diseño preliminar
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA
Desarrollo de sistemas mecánicos y procesos de fabricación
Cálculo de componente:
-
Dimensionamiento
-
Verificación del diseño
-
Selección del material
Cálculo de proceso:
-
Selección de parámetros de proceso
-
Diseño de útiles
Industrialización

4. 1. INTRODUCCIÓN: Métodos de cálculo
- Métodos analíticos:
-
Empleo de ecuaciones analíticas que representan la pieza, producto o proceso a analizar.
-
Ventajas: relativamente rápidos de resolver.
-
Inconvenientes: difícil de representar fielmente piezas, productos o fenómenos complejos (no siempre aplicables).

5. - Métodos numéricos (Método de los elementos finitos MEF)
-
Dividir un problema complejo en muchos problemas sencillos (elementos).
-
Obtención de resultados mediante métodos numéricos.
-
Ventajas: capacidad de resolver problemas muy complejos
-
Inconvenientes:
•
proceso de resolución largo y costoso.
•
necesidad del empleo de ordenadores.
1. INTRODUCCIÓN: Métodos de cálculo

6. Mecánica de sólidos: cálculos estructurales estáticos
Puesta a punto
Diseño
FEM
1. INTRODUCCIÓN: Aplicaciones

7. Mecánica de sólidos: procesos de conformado y mecanizado
vc = 300 m/min
vc = 600 m/min
1. INTRODUCCIÓN: Aplicaciones

8. Simulación flujo del aire en un F1
Mecánica de fluidos: ejemplos lineales y no lineales
Simulación de un huracán
1. INTRODUCCIÓN: Aplicaciones

9. Termodinámica:
Simulación de la transferencia de calor en una turbina
Simulación del patrón de temperaturas de un tubo y el molde
1. INTRODUCCIÓN: Aplicaciones

10. •
Elemento finito (EF): porción del volumen bajo análisis, de geometría sencilla, en la cual es sencillo resolver las ecuaciones de comportamiento.
•Nodos: puntos de referencia en los que se van a calcular los desplazamientos (grados de libertad). Por lo general se encuentran en los límites del elemento (vértices, aristas, centroide,…).
•Funciones de interpolación: permiten determinar los desplazamientos de cualquier punto mediante la interpolación de los desplazamientos nodales.
Elemento finito
Nodos
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO Definiciones

11. u v w θx θy θz
6 Grado de Libertad (GDL) por nodo en 3D.
X
Y
Z
u
v
w
θx
θy
θz
u: Desplazamiento en X v: Desplazamiento en Y w: Desplazamiento en Z θx : Rotación respecto de X θy : Rotación respecto de Y θz : Rotación respecto de Z
 =
Problema real
División del problema en sub-problemas de solución conocida.
DISCRETIZAR
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO Grados de libertad

12. •
Por geometría: - Unidimensionales - Bidimensionales - Tridimensionales
•
Según el orden de interpolación: - Lineales - Parabólicos - …
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO Clasificación de los elementos finitos

13. Lineales
Parabólicos
Unidimensionales:
una dimensión prima frente al resto
Bidimensionales:
una dimensión es despreciable frente al resto
Tridimensionales: geometrías complejas
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO Clasificación de los elementos finitos

14. Atendiendo a la GEOMETRÍA:
•
Menos nodos, más imprecisos.
•
Se adaptan mejor a geometrías complejas
•
Más nodos, más precisos.
•
Mayor tiempo de cálculo.
•
Dificultad de adaptar a geometrías complejas
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO Clasificación de los elementos finitos

15. v1
v2
v1
v3
v2
Interpolación lineal
Interpolación parabólica
v(x) = m x + b
v(x) = a x2 + b x + c
x
x
Según el orden de interpolación:
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO Clasificación de los elementos finitos
Elementos lineales vs. parabólicos:
•
Ventaja: los elementos parabólicos dan un resultado más exacto porque aproximan mejor la solución.
•
Inconveniente: mayor número de nodos, cálculo más costoso.
Si se utilizan elementos lineales se debe discretizar con muchos elementos las zonas donde haya cambios de tensión.

16. [M]{δ} + [C]{δ}+[K]{δ} ={Fext}
.
..
[M]: Matriz de masa
[C]: Matriz de amortiguamiento
[K]: Matriz de rigidez
{δ}: Vector desplazamiento
{δ}: Vector velocidad
.
{δ}: Vector aceleración
..
{Fext}: Vector de fuerzas externas
En el campo estático:
Aceleración = 0 Velocidad = 0
[K]{δ} ={Fext}
[M]{δ} + [C]{δ}+[K]{δ} ={Fext}
.
..
Ecuación general del movimiento:
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO Ecuación diferencial del movimiento

17. Se utilizan para determinar los desplazamientos de cualquier punto mediante la interpolación de los desplazamientos nodales.
 1* 12ee,,...,nnNNNN    
Ni representa la contribución del desplazamiento del gdl i en el desplazamiento de cualquier punto del elemento.
= vector de desplazamientos de cualquier punto del elemento e. = desplazamientos nodales del elemento e. = matriz de funciones de interpolación
e * e  N
= funciones de interpolación del gdl i. = desplazamiento del gdl i.
i iN
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO Funciones de interpolación [N]
n = número de gdl

18. El coeficiente de rigidez Kij representa la fuerza a aplicar en el gdl i para obtener un desplazamiento unitario en el gdl j manteniendo nulos el desplazamiento en el resto de gdl.
111122111122... ... nnnnnnnnKKKfKKKf     ** eeefK
[K]e = matriz de rigidez del elemento
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO Matriz de rigidez [K]

19. 19
Once, the nodal displacement vector of the studied system is solved the stress/strain condition at any point can be obtained.
           . . ] N,....,N,N [=}{ n1n21e δδδ 000000000xxyyzzxyyxyzzxzyzxuvw            
Determination of the elongation at the selected point
Strain vector determination
**NB
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO Cálculo de deformaciones

20. 20
The relation between the strain and the stress in the linear elastic domain is given by the generalised Hooke’s law:
   111xxyzyyzxzzxyEEE          212121xyxyxyyzyzyzzxzxzxGEGEGE            
Generalized Hooke’s law:
 LAMÉ's_law: 21EG   
 For isotropic materials
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Cálculo de tensiones

21. 21
The relation between the strain and the stress in the linear elastic domain is given by the generalized Hooke’s law:
    100010001000120000021211200000212000002xxyyzzxyxyyzyzzxE            zx  D
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO Cálculo de tensiones

22. 22
Relation between nodal forces an nodal displacements: Based on CAPLEYRON theory, the external work of the nodal forces is represented: The internal deformation energy caused by the nodal displacements:
{}[]{}**δKf= **12Twf  1d2Tuv   ** * NBDDB    
As:
TT**1d2vuBDBv
Being 
wu **12TwK TT****11 22TvKBDBdv   TdvKBDBv
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Cálculo de la matriz de rigidez

23. 23
Transformation matrix
[]       = zyxzyxzyxcccbbbaaaT
From local coordinate system of the element
To global coordinate system
**T**fK**fK TTT****fTfTKTKT**fTf T**fTfTKTKT
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Determinación de la matriz de rigidez en coordenadas globales

24. 24
In a real problem different type of external loads can be found:
-
Punctual forces
-
Moments
-
Distributed loads
f*
f
=
For FEM modelling all external load should be applied in the element nodes
-
Punctual forces
-
Moments
-
Distributed loads


NECESITY TO OBTAIN AN EQUIVALENT SYSTEM BASED IN NODAL LOADS
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Determinación de las fuerzas nodales equivalentes

25. 25
T11d2swfs
The external work due to all the external load applied to the system is given by
By using the interpolation functions: Thus the work of the equivalent system can be written as:
TTTT** 111dd22sswNfsNfs T** 212wf 12wwTTT***11d22sNfsf T*dsfNfs
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Determinación de las fuerzas nodales equivalentes

26. Cálculo de desplazamientos
Cálculo de deformaciones
Cálculo de tensiones
Criterio de rigidez
Criterio de resistencia
Ley de Hooke generalizada
{}[]{}εσD= admδδ≤ adm
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO Cálculo estático lineal. Proceso de cálculo
*B
Cálculo de desplazamientos nodales y reacciones * eeN
[K]{δ} ={Fext}

27. 1. PRE-PROCESADO

Preparar la geometría del modelo.

Definir las propiedades del material.

Aplicar las condiciones de contorno.

Discretizar el modelo. 2. CÁLCULO

Lanzar el cálculo del comportamiento global del modelo como suma de sus elementos discretos. 3. POST-PROCESADO

Analizar los resultados.
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Fases del cálculo por elementos finitos

28. 28
Truss element:
-
2 node one-dimensional element (2DOF)
-
Only allows to calculate tractive-compressive condition
Determination of the interpolation function
21, , ,, uujizyx
Nodal displacement vector
12,Tuu
2 G.D.L  1st order equation
xaaxu.)(10+= xy122u1u
L
ij)(xu
Local axis
Element nodes
Nodal displacements
1)0(uu= 2)(ulu=}laauau10201+= =}1012101uaaul  2111011ululaua+−= =}       − =   21101101uullaa 1122101,1,11uuxxuxuullll  []   = 2121, uuNNulxN−=11lxN=2
3. ELEMENTO BARRA
Definición y funciones de interpolación

29. 29
TdvKBDBv 11,12221xyuuxxuNNuull 
Stiffness matrix obtaining formula:
220221111111,dd11111lvEAlllKEvAExllllll   
3. ELEMENTO BARRA
Matriz de rigidez. Deformaciones y tensiones
  111121222211,,,xBBuuuuNNNNuuuxxxxll   xxE

30. 30
111212, , cossin000sincos0000cossin000sincosXYxyuuvuvv     
3. ELEMENTO BARRA Matriz de rigidez en coordenadas globales
Naming
sincos       ee00001010000000001010000000000000TKTKTEAKl            2222e2222EAKl         

31. 31
2v1vzxy12
Beam element:
-
2 node unidimensional element (4DOF)
-
Only allows to calculate behind loading condition
1122vv    T 112341123422ddddddddvNNNNvNNNNv xxxx     123232323221222222322322132,2,32,66,143,66,23vxxxxxxxxxvllllllllvxxxxxxxxllllllll    
Beam element interpolation function:
4. ELEMENTO VIGA
Definición y funciones de interpolación

32. 32
Beam deflection
22ddddxvyyxx    22** 22ddddxvy yNBxx  TdvKBDBv  2322232232023261246646212,6,12,6dd61226lsxllxxxxxllKExysxllllllllllxll         dbeingdvx  232232646212,6,12,6xxxxByllllllll   
4. ELEMENTO VIGA Matriz de rigidez. Deformaciones y tensiones
xxE

33. 33
Naming
sincos      323222e3232220000001261260000000000000000006462000010000010000000000126126000000000001626400zllllllllKEIllllllll         00000000000000001                2323322e22332322332333221212126641212612121261212662664zllllllKEIlllllllllllllll                       
4. ELEMENTO VIGA Matriz de rigidez en coordenadas globales

34. 34
Complete Beam element:
-
2 node one-dimensional element (6DOF)
-
Only allows to calculate behind loading condition
 111T222uvuv     1112134562345622000000dddd00dddduvNNuvNNNNuNNNNvxxxx    11232323231222222222322322100000132203206614306623uxxvlluxxxxxxxxvxullllllllvxxxxxxxxllllllll       
Complete Beam element interpolation function: 2v1vzxy12 2u1u
4. ELEMENTO VIGA
Viga completa

35. 35
Naming
sincos     2232233222222332322223323322121212.6641212612121261212662TeeEIEALLEIEAEIEAsyLLLLEIEIEILLLKTkTEIEAEIEAEIEIEALLLLLLLEIEAEIEAEIEIEAEIEALLLLLLLLLEIEILL μλμλμλλμμλμλμλμλμμλμλμλλμλμλμλλμμλ + −++ − == −−−+ −−−−−++ −22664cossinEIEIEIEILLLL μλλθμθ − = =
4. ELEMENTO VIGA
Viga completa

36. 36
Calcular las reacciones y desplazamientos nodales. Calcular la deformación y tensión del punto C.
F
L1
L2
30º
Point C
L1
L2
L3
M
30º
Point C
Point C
5. EJERCICIOS