Reglas básicas integral indefinidas

1. Tema No. 1
UNIDAD IV: INTEGRAL INDEFINIDA
4.1 Concepto de Anti derivada
4.2 Reglas Básicas de Integración para funciones elementales
Introducción:
En este capítulo se abordará una importantísima área de estudio del cálculo: el Cálculo integral, proceso
opuesto a la diferenciación.
Según se mencionó en Matemática I el cálculo diferencial es útil para estudiar las tasas de cambio y las
pendientes de tangentes.
Un aspecto fundamental del cálculo Integral es determinar las áreas que se encuentran entre curvas y otras
fronteras definidas.
Así mismo, si se conoce la derivada de una función, con el cálculo integral podrá obtenerse la función
original.
En esta unidad se tratarà primero de la naturaleza del cálculo integral al relacionarlo con las derivadas.
Del mismo modo que se cuenta con reglas para calcular las derivadas en el cálculo diferencial, también las
hay para obtener las integrales en el cálculo integral.
2.1 Concepto de Antiderivada
En una función f ya sabemos calcular la derivada 'f .
Puede haber ocasiones en que conozcamos la derivada 'f y queramos encontrar la función original f .
Puesto que el proceso de determinar la función original es el opuesto al de la diferenciación, se dice que f
es una antiderivada de 'f .
Así, una antiderivada de f es simplemente una función cuya derivada es 'f .
Considèrese la funciòn
2
)( xxf =
Su derivada es xxf 2)(' =
como la derivada de 2
x es x2 , 2
x es una antiderivada de x2 .
Sin embargo, no es la única antiderivada de x2 , ya que
1)( 2
+= xxf
xxf 2)(' =
5)( 2
−= xxf
xxf 2)(' =
tanto 12
+x como 52
−x también son antiderivadas de 2x.
De hecho, es claro que como la derivada de una constante es cero, también Cx +2 es una antiderivada
de x2 para cualquier constante C . Así, x2 tiene un número infinito de antiderivadas.
Lo más importante, es que todas las antiderivadas de x2 deben de ser funciones de la forma Cx +2
,
debido al siguiente hecho:
1

2. Puede afirmarse que la funciòn
Cxxf += 2
)(
Es la antiderivada de
xxf 2)(' =
2.2 Reglas Básicas de Integración
Como en el caso de la diferenciación, también se han ideado un conjunto de reglas que permite calcular las
antiderivadas.
Integración
El proceso de encontrar las antiderivadas suele recibir el nombre de integración, y la familia de funciones
obtenidas mediante ese proceso se llama integral indefinida.
La notación: ( )∫ ′ dxxf
Se emplea con frecuencia para indicar la integral indefinida de la función f.
Dos descripciones verbales del proceso indicadas por esta ecuación son:
“integrar la función f respecto de la variable x” y “encontrar la integral indefinida de f respecto de
x”.
• El símbolo ∫ es el signo de la integral.
• )x(f ′ es el integrando, o sea la función cuya integral indefinida deseamos obtener
• dx es una diferencial que indica que x es la variable de integración. Es la parte de la
notación integral que denota la variable respecto a la cual se realiza el proceso
de integración.
Entonces :
NOTA
No olvide que calcular una integral indefinida es lo mismo que obtener una antiderivada
A continuación se da una definición más formal de la integral indefinida:
DEFINICIÓN: INTEGRAL INDEFINIDA
Dado que f es una función continua:
2
Dos antiderivadas cualesquiera de una función difieren solo en una constante.

3. ( )∫ ′ dxxf ( ) CxF +=
En definición anterior, recuerde que C se denomina constante de integración.
Una vez más, C refleja la naturaleza indefinida de la obtención de la antiderivada o integral indefinida.
Reglas de la integración
A continuación se da un conjunto de reglas que permiten calcular la integral indefinida de algunas
funciones.
Regla 1: Regla de la Potencia
C
n
x
dxx
n
n
+
+
=
+
∫ 1
1
1−≠n
La regla anterior es análoga a la regla de la diferenciación basada en la potencia (en derivadas).
Nótese que esta regla no es válida cuando 1−=x , por que el denominador es 0 cuando 1−=n .
En su forma verbal, la regla establece que, si el integrando es x elevada a una potencia de valor real
(excepto 1−
x ), al exponente de x se le suma 1, se divide entre el nuevo exponente y se suma la
constante de integración (C).
Ejemplos:
1.
∫ dxx
=+
+
=
+
C
x
11
11
C
x
+
2
2
2. ∫ dzz3
=+
+
=
+
C
z
13
13
C
z
+
4
4
3. ∫
−
drr 65.0
C
r
+
+−
=
+−
165.0
165.0
C
r
+=
35.0
35.0
4. ∫
−
dxx 31
=+
+−
=
+−
C
x
131
131
=+C
x
32
32
Cx
2
3 32
+
Regla 2: Funciones Constantes
donde k es una constante
Cxkdxk +=∫
Ejemplos:
3

4. 1.
∫ dx5
Cx += 5
2.
∫− dy2
Cy +−= 2
3.
∫ dx
2
3
Cx +=
2
3
4. ∫ dz2
CZ += 2
5.
∫ dx0
Cx += )0( C=
Regla 3: Constante por una Función
donde k es una constante =∫ dxxfk )( ∫ dxxfk )(
En su forma verbal, esta regla establece que la integral indefinida de una constante k por una
funciòn f se determina multiplicando la constante por la integral indefinida de f
Ejemplos:
1. ∫ dxx7
Aplicando la Regla 3:
∫= dxx7
Calculando la integral indefinida del integrando “ x “, aplicando la Regla de la potencia (Regla #1),
=+








+
+
C
11
x
7
11
C
x
+
2
7 2
Otra forma, Es integrar directamente:
=∫ dxx7 C
x
+
2
7 2
4

5. 2. wd
w
∫ 5
2
Reescribiendo el Integrando:
∫ dww
2
5
1
Aplicando la Regla 3:
=+
+
=
+
C
w
125
1 12
=+ C
w
35
1 3
C
w
+
15
3
3.
∫ dx
x
9
2 41
=+
+
=
+
C
x
1419
2 141
=+C
x
459
2 45
C
5
x4
*
9
2 45
+ C
45
x8 45
+=
Es útil recordar que si se ha realizado el càlculo de una integral indefinida que conduce al resultado
( )∫ ′ dxxf ( ) CxF += , entonces se puede verificar el càlculo mediante la derivación de ( ) CxF + :
Si ( ) CxF +′ = )x(f ′ entonces la integración o ( )∫ ′ dxxf ( ) CxF += es correcta
Pero si ( ) CxF +′ ≠ )x(f ′ se ha cometido un error.
Esta relación entre derivación y antiderivaciòn permite establecer estas reglas de integración
“ invirtiendo” las reglas de derivación análogas.
(Ejercicios sin manipulaciòn Algebraica)
Calcule la Integral Indefinida Aplicando, segun sea el caso:
Regla 1: Regla de la Potencia,
Regla 2: Regla de la Funciòn constante y
Regla 3: Regla de una constante por una función:
1. ∫ dxx12 7. ∫ dx
7
5
13. .30.0∫ dpp
2. ∫ dyy5
8. ∫ dz3 14. ∫
− dxx 25.020
3. ∫
− dww 51
9.
∫ dy5Ln
15.
∫ dxx 3/29
4. ∫
−
dxx 45.0
10. ∫ dxe
16.
∫ dr
5
r 3
5. .1∫ dx 11. ∫ dxx6 17. ( )∫ dxx 4/
6. ∫− du75 12.
∫− dyy32
18. ∫ dw
w
7
2 53
5

6. La integral es inmediata, si podemos calcularla sin usar ninguna transformación.
A veces para aplicar las Reglas básicas de integración, es necesario efectuar primero operaciones
algebraicas en el integrando, como se muestra a continuación.
RECORDATORIO DE ALGEBRA
1.
n
n
x
x
−
=
1
2. nmn m
xx =
Uso de manipulaciones algebraicas para encontrar una integral indefinida.
Ejemplos:
1. ∫ dy
y
5
3
Reescribiendo: (manipulando Algebraicamente)
∫
−
dyy5 3
Integrando: (Regla de la potencia)
=+
+−
=
+−
C
13
y5 13
C
2
y5 2
+
−
−
C
2
y5 2
+−=
−
C
y2
5
2
+−=
2. ∫ dz
Z 6
5
2
Reescribiendo: (manipulando Algebraicamente)
∫
−
dzZ 6
5
2
Integrando: (Regla de una constante por una función)
=+
+−
=
+−
C
Z
165
2 16
C
Z
+
−
−
5
*
5
2 5
C
Z
+
−
=
−
25
2 5 C
25
Z2 5
+−=
−
C
Z25
2
5
+−=
3. .∫ duu
Reescribiendo: (Manipulando Algebraicamente)
∫ duu 21
Integrando:
6

7. C
121
u 121
+
+
=
+
C
23
u 23
+= Cu
3
2 23
+=
Reescribiendo: Cu += 3
3
2
Puede expresarse también como:
C
3
u2 3
+=
4. ∫ dh
h4
3
7 2
Reescribiendo:
∫= dh
h4
3
72
∫
−
= dh
4
h3 72
∫
−
= dhh
4
3 72
Integrando:
C
172
h
4
3 172
+
+−
=
+−
C
75
h
4
3 75
+=
Ch
5
7
*
4
3 75
+= Ch
20
21 7 5
+=
Ò C
20
h21
7 5
+=
Ejercicios con Manipulación Algebraica)
Primero manipule algebraicamente la función y luego calcule la integral, aplicando las reglas
estudiadas, según sea el caso:
1.
.
3
2∫ dt
t
2.
∫ dz
z
1
5
3. ∫ 9x
dx
4. ∫ dy
y 5/11
1
5. dw
w
∫ 36
5
6. ∫ drr
7. ∫ dxx
3
6
8. .
1
∫ dt
t
9. dqq∫ 520
10. ∫ dx
x
8 34
1
7