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Lección 1 2006
- 1. EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOSEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Autor: Dr. Roberto Estrada Cingualbres Centro de Estudios CAD/CAM Universidad de Holguín, Cuba
- 2. Solo hay un bien, el conocimiento; solo hay un mal la ignorancia. Sócrates Objetivos del cursoObjetivos del curso: •Conozcan las potencialidades del Método de los Elementos Finitos. •Conozcan la fundamentación físico-matemática del método. • Se instruyan en el trabajo con el paquete profesional de análisis por Elementos Finitos Cosmos/Works 2006.
- 3. Bibliografía:Bibliografía: •Análisis por Elementos Finitos (FEA). CosmosWorks 2006. R.E Cingualbres, 2006. •Cosmos Works 2006, Tutorial Básico •Cosmos Works 2006, Online User’s Guide. •Shigley, J.E y Michke, C.R., Diseño Mecánico Ingenieril, Mc GRAN-Hill, 1989. •Beer, F. P y Russell Johston, E., Mecánica de los Materiales, Mc Graw-Hill, 1981. •Sistemas CAD/CAM/CAE, Serie: Mundo electrónico, Editorial Marcombo, 1986. •Feodosiev, Resistencia de Materiales, edit. Pueblo y Educación. •El Método de los Elementos Finitos, O.C. Zienkiewicz. GRAN-Hill, 1994
- 4. Conf.1: Introducción. Métodos de cálculo y simulación en CAD. El Método de los Elementos Finitos. Aplicaciones. Objetivos: •Conocer los principales métodos de cálculo y simulación. •Por qué surge el MEF •Qué es el análisis por elementos finitos •Algunas Aplicaciones del MEF
- 6. Algunos métodos usados en el análisis: Soluciones análíticas Solución de ecuaciones diferenciales exactas. Solución de aproximación por series. Energético (Rayleigh – Ritz). Soluciones numéricas Diferencias finitas Elementos de contorno. Elementos finitos.
- 8. Soluciones numéricas •Las soluciones numéricas de las ecuaciones de gobernabilidad son aproximadas mediante la división de todo el dominio (el Sistema) en pequeñas piezas (subdominios). •En cada pieza, la ecuación o la solución son aproximadas. •La combinación de la solución simple para todas las piezas pequeñas del dominio (subdominios), provee de una solución aproximada del problema.
- 9. Método de las Diferencias Finitas Por ejemplo: La ecuación de gobernabilidad de un problema térmico es reemplazada por la ecuación lineal xT ∂∂ / ( ) ( )( )[ ]xxTxT ∆−+ /1
- 14. ¿ Por qué surge el Método de los Elementos Finitos?
- 15. •Que se pudiera extender a otras disciplinas ingenieriles como los análisis térmicos, de flujos de fluidos, electromagnetismo y análisis dinámico.
- 16. • Optimización del diseño
- 17. •Los grados de libertad (g.d.l): (Ux , Uy , Uz, θx, θy, θz). •El número de g.d.l por nodo. Ejemplo: -El elemento BEAM tiene 6 g.d.l por nodo -El PLANE 2D tiene 2 g.d.l por nodo. -El elemento SOLID, tiene 3 g.d.l por nodo. •Las condiciones de borde definen los apoyos y las condiciones de cargas aplicadas a la estructura. •Los elementos finitos deben deformarse bajo cargas tales que no existan espacios o superposición entre los elementos Terminología:
- 18. Cuadro histórico. • Los egipcios empleaban métodos de discretización para determinar el volumen de las pirámides. • Arquímedes (287-212 a.C.) empleaba el mismo método para calcular el volumen de todo tipo de sólidos o la superficie de áreas. • El matemático chino Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polígono regular de 3072 lados para calcular longitudes de circunferencias con lo que conseguía una aproximación al número Pi de 3.1416.
- 19. • Courant (1943) propuso la división del dominio en triángulos. •Análisis matricial de estructuras. Las aproximaciones con elementos en formas de vigas en las estructuras aeroespaciales y civiles comenzaron a ser usadas en los 1950. • Método directo de los desplazamientos. Se utiliza el elemento finito triangular, publicado en 1956. •El uso del método inició su explotación en 1960 en diferentes campos ingenieriles con el surgimiento de potentes computadoras, aunque ya el término elemento finito había aparecido en 1956. •Los avances logrados en la computación en la década de los 80, permitió el uso de potentes software en los ordenadores personales.
- 20. FORMULACION DIRECTA DEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
- 21. ¿Cómo realizar la discretización de un elemento o estructura? • La discretización responde, por parte del ingeniero, a una intuición. • Se fija tal grado de discretización de la estructura y se hace una hipótesis de aproximación del estado de corrimiento de todos sus puntos en forma polinómica tomando como incógnitas los corrimientos correspondiente.
- 22. Consideremos un elemento triangular con solo dos grados de libertad por nodos. Incógnitas:u ,, v
- 23. Función de interpolación de los corrimientos en los puntos interiores del elemento finito Teorema: El estado de corrimiento verdadero {φ(x, y)} de cada punto interior del elemento finito nos es desconocido, pero se puede sentar la hipótesis de que una expresión aproximada {φ (x, y)} del mismo puede ser obtenida en forma polinómica, cuyos coeficientes o parámetros (también denominados coordonadas generalizadas) sean en número igual al de grados de libertad nodal total, característicos de cada elemento finito Método de las coordenadas generalizadas
- 24. Función de los corrimientos { } (1.1) 654 321 ++ ++ = = yaxaa yaxaa v u φ Matricialmente { } [ ] { }AP yx1000 000yx1 6 5 4 3 2 1 •= • = = a a a a a a v u φ
- 25. ui= a1 + a2.xi + a3.yi vi= a4 + a5.xi + a6.yi uj= a1 + a2.xj + a3.yj (1.2) vj= a4 + a5.xj + a6.yj ul= a1 + a2.xl + a3.yl vl= a4 + a5.xl + a6.yl
- 26. { } [ ]{ } { } [ ] { }e l l j j i i l j i e C C a a a a a a v u v u v u φ φ φ φ φ 1 6 5 4 3 2 1 ll ll jj jj ii ii A (1.3)A yx1000 000yx1 yx1000 000yx1 yx1000 000yx1 − = = • = = =
- 27. { } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ][ ] { } [ ] { }eelji e NNNN C φφ φφ ⋅=⋅= =⋅⋅=⋅= − I,I,I PAP 1
- 28. Desarrollando (1.3) los valores de u y v en función de los corrimientos nodales se obtiene: lljjii llll jjjjiiii uNuNuN uycxba uycxbauycxba A u ⋅+⋅+⋅= = +++ ++++++ = )( )()( 2 1 lljjii llll jjjjiiii vNvNvN vycxba vycxbavycxba A v ⋅+⋅+⋅= = +++ ++++++ = )( )()( 2 1
- 30. Método de las Funciones de Interpolación Las funciones de interpolación N deben ser elegidas de tal manera que se verifique (1.3), por ej. Para el nodo i Ni (xi,yi)=1 Ni (xj , yj)=0 Nl (xl , yl)=0
- 31. Expresión del estado de deformación en función de los corrimientos nodales Según la teoría de la Elasticidad { } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] { }ee BNLL φφφε ⋅=⋅⋅=⋅= { } [ ] [ ]{ }φ γ ε ε L v u L v u xy y x xy y x ε xy y x = ⋅= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = , ,0 0, vu v u Así, para nuestro caso particular
- 32. Sustituyendo { } [ ] { } [ ]LoperadorelaplicandoyN eφφ ⋅= { } { } [ ] [ ] [ ][ ] { } [ ] { }eeie lji lji l l j j i i iiiiii lji BB ccc bbb A v u v u v u xyxyxy yyy x N x N x N ε φφφ ⋅=⋅=⋅ = −− −− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = lj lji lji iji B,B, bbb c0c0c0 000 2 1 NNNNNN N 0 N 0 N 0 000
- 33. Expresión del Estado Tensional en función de los corrimientos nodales { } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] { } (1.5)SBDD eee φφεσ ⋅=⋅⋅=⋅= { } [ ] { } { }[ ] { } (1.6)00 σεεσ ++⋅= D Para el Estado Deformacional Plano { } [ ] { }ε γ ε ε µ µ µµ µµ τ σ σ σ ⋅= ⋅ − − − −+ = = D 2 21 00 010 01 )21)(1( E xy y x xy y x Para el Estado Deformacional Plano { } [ ] { }ε γ ε ε µ µ µ τ σ σ σ ⋅= ⋅ − − = = D 2 1 00 010 01 1 E xy y x 2 xy y x
- 34. Matriz tensión del elemento triángulo de deformación constante [ ] [ ] [ ]BDSe ⋅= { } −−−−−− −−− −−− −+ = = ⋅ − − − −+ = lljjii lljjii lljjii lljjii lji lji e b 2 )21( c 2 )21( b 2 )21( c 2 )21( b 2 )21( c 2 )21( c)1(bc)1(bc)1(b cb)1(cb)1(cb)1( A)21)(1(2 E bcbcbc c0c0c0 0b0b0b A2 1 2 21 00 010 01 )21)(1( E S µµµµµµ µµµµµµ µµµµµµ µµ µ µ µµ µµ
- 35. FUERZAS NODALES ESTATICAS EQUIVALENTES
- 36. { } { } { } { } { } { }dvdvF TT e T e σεφφ ∗∗∗ ∫=∫− p { } { } [ ] { }[ ] { } [ ] { }[ ] { }dvdvF T e T e σφφφ ∗∗∗ ⋅∫+⋅∫= e T e BpN { } [ ] { } [ ] { }dvdvF T e σBpN T ∫+∫= { } [ ] { } [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] { } { } [ ] { } { } { } { } { } { } { }00 00 ee e e p e ee p e T e T e T e FFFF FFFdv dvdvdvdvF σε σε φσ εφφ +++= =++⋅+=∫+ +⋅∫+⋅∫+⋅∫+∫= ee0 T 0 T KB DBDBBDBpN obtenemos { } [ ] { } { }[ ] { }00 σεεσ ++⋅= D
- 37. Matriz de rigidez elemental [ ] [ ] [ ] [ ]dv T BDBKe ⋅∫= { } { } = = = = = = =→ == == == == == == = 616 515 414 313 212 111 e e l6 l5 j4 j3 i2 i1 e KF KF KF KF KF KF F 0v 0u 0v 0u 0v 1u φ φ φ φ φ φ φ ====== 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK )()()()()()( 000001 654321 φφφφφφ )( 11 =φ )( 05 =φ )( 03 =φ )( 04 =φ )( 02 =φ )( 06 =φ
- 38. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]jiij j T iij KK dvBDBK = ⋅∫= [ ]e nj21 K 0001 = ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== nnnjn2n1 iniji2i1 2n2j2221 1n1j1211 K.....K.....KK K.....K.....KK K.....K.....KK K.....K.....KK )(.....).(.....)()( φφφφ )( 11 =φ )( 0i =φ )( 02 =φ )( 0n =φ Fig.Fuerzas nodales elásticas equivalentes
- 39. Matriz de rigidez axial del elemento barra
- 40. ( ) ( ) [ ] [ ] { }AP a a x1xaau 2 1 21xx ⋅= ⋅=+==φ { } [ ] { }AC a a l0 01 u u 2 1 2 1 e ⋅= ⋅ = =φ u(x)=a1+a2.x u(x=0)=u1= a1 u(x=l)=u2= a1+a2.l [ ] = − l 1 l 1 - 01 C 1 { } [ ] { } ⋅ == − 2 1 e 1 u u l 1 l 1 - 01 CA φ
- 41. ( ){ } ( ){ } [ ] [ ] { }e 2 1 2 1 xx N u u l x , l x 1 u u l 1 l 1 - 01 x1u φφ ⋅= ⋅ −= ⋅ ⋅== l x N l x 1N 2 1 = −= [ ] [ ]2 2 1 1 B l 1 dx dN B l 1 dx dN == =−=
- 42. { } { } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] { } [ ] + ⋅−⋅=⋅= = ⋅= ⋅⋅= ⋅⋅ =⋅ = = laa a 1,1 l 1 B u u B,B u u NL u u N dx d u dx d dx du 21 1 e 2 1 21 2 1 2 1 φ ε Recuérdese que u1=a1 u2=a1+l a2 [ ] [ ] l 1 B l 1 B 21 −=−= [ ] v 1 1- dx).A(xd l 1 B T = =
- 43. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = ⋅ =⋅−⋅⋅⋅ − ⋅=⋅∫= ∫ 11- 1-1 l EA x 11- 1-1 l EA Adx1,1 l 1 E 1 1 l 1 vdBDBK 2 l 0 T e [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] l EA vdBDBK l EA vdBDBK l EA vd2BDBK l EA vdBDBK 2 T 222 1 T 221 T 112 1 T 111 =⋅∫= −=⋅∫= −=⋅∫= =⋅∫= { } [ ] [ ] { } [ ] { } [ ] [ ] [ ]1,1 l 1 ES u u 1,1 l 1 ESBD e 2 1 eee −⋅⋅= ⋅−⋅⋅=⋅=⋅⋅= φφσ
- 44. Matriz rigidez del elemento triángulo de deformación constante, para el caso de deformación plana [ ] + ++ +++ ++++ +++++ ++++++ −+⋅ ⋅ = 2 l 2 i ll 2 i 2 l ljljjllj 2 j 2 j ljjlljljjj 2 j 2 j liliillijijiijji 2 i 2 i iiljilijiijjijiii 2 i 2 i βbαa bβ)a(αβaαb bβbaαabβabαβbαa bβabμaaβabαbbβ)a(μβaαb bβbaαabβabμabβbaαabβabμaβbαa bβabμaaβabαbbβabμaaβabαbbβ)a(μβaαb )21)(1(A4 tE Ke µµ
- 45. Equilibrio nodal. Matriz de rigidez global de la estructura { } [ ] { } 0KP EGEGEG =⋅+ φ 0 KK KK P P s l sssl lsll s l = ⋅ + φ φ { } [ ] { } 0KP llll =⋅+ φ { } [ ] { }E 1 EE PK ⋅= − φ { } [ ] { } 0KP llll =⋅+ φ 0FFFFFP 0FFFFFP 5 jy 4 jy 3 jy 2 jy 1 jyjy 5 jx 4 jx 3 jx 2 jx 1 jxjx =+++++− =+++++−
- 46. Cambio de ejes de coordenadas cartesianas: { } [ ] { }eee φλφ ⋅= [ ] = Δ0 0Δ eλ [ ] = 100 0cs 0s-c Δ
- 47. [ ] = 100000 0cs000 0s-c000 000100 0000cs 0000s-c eλ { } [ ] { }eee φλφ ⋅= { } { } { } { }e T e ee Te e FF φφ ⋅= Por la invariancia del trabajo en el elemento { } { } { } [ ] { }ee e ee Te e FF φλφ ⋅⋅=⋅
- 48. { } [ ] { }e ee e e FF ⋅= λ { } [ ] { }ee e e KF φ⋅= { } [ ][ ] [ ] { }e T eee e e K.F φλλ ⋅⋅= [ ] [ ][ ] [ ]T eeee K.K λλ ⋅=
- 49. Condiciones de compatibilidad o de convergencia de las funciones de aproximación de los corrimientos 1o Condición de continuidad. La función de los corrimientos aproximadosφ (x) elegida, debe ser continua dentro del elemento finito y tal que las diferencias de corrimiento, en los bordes, entre elementos adyacentes, sean pequeñas. 2o Condión de deformación constante. La función de los corrimientos aproximadosφ (x) debe ser tal que cualquier estado de deformación constante del elemento pueda ser expresado mediante una adecuada elección de corrimientos nodales del mismo. 3o Condión de deformación de cuerpo rígido. La función de los corrimientos aproximadosφ (x) debe ser elegida de forma tal que ninguna parte interior del elemento finito se deforme cuando los corrimientos nodales del mismo sean del movimiento de cuerpo rígido.
- 50. Guía para la aplicación del método. Definida, geométrica y mecánicamente, la estructura, y conocido su estado de solicitación, procederemos al análisis de la misma operando del siguiente modo: 1. Discretización de la estructura en elementos finitos. 2. Numeración de nodos, elementos finitos y grados de libertad de los nodos respecto de los ejes coordenados generales, con el correspondiente convenio de signos. Establecimiento de las matrices [N], [B], [D], y [λe] para cada elemento respecto a sus ejes de coordenadas locales. 3. Para facilitar las operaciones computacionales se establece la tabla de conectividad de los elementos entre si. 4. Determinación de la matriz de rigidez [Ke] de cada elemento referida a los ejes de coordenadas generales para su ensamblado. 5. Determinación de las matrices global [KEG] y reducida [KE] de la estructura, y Ia inversa [KE]-1 [ ] [ ][ ] [ ]T eeee K.K λλ ⋅=
- 51. 8. Determinados {φEG} y {φe} son conocidos, como consecuencia, los corrimientos nodales {φe} de cada uno de los elementos finitos y, con ello, los vectores deformación {ε}=[B]. {φe} y tensión {σ}=[D].[B]. {φe}=[Se]. {φe} pueden ser ya hallados. 9.Definición, finalmente, del estado de tensión representativo de cada elemento en los puntos específicos del mismo. 6. Deterrninación del vector de las cargas nodales equivalentes (incrermentado con las concentradas {PE} y, mediante [KE], la determinación de los corrimientos {φe} partiendo del sistema de ecuaciones, expresado en forma matricial siguiente: { } [ ] [ ]E 1 Ee PK ⋅= − φ 7. Con los corrimientos provenientes de las condiciones forzadas de ligadura de los nodos de enlace con el exterior de la estructura, y los hallados en el punto 6 anterior, (en conjunto {φEG}) determinación de las cargas de enlace o de soporte (reacciones), incluidas en {PEG} mediante Ia ecuación matricial { } [ ] { }EGφ⋅= EGEG KP
- 52. Asumimos que el movimiento ocurre solo en la dirección de x Ejemplo2: Modelo con dos muelles Para discretizar este modelo, tomaremos cada muelle como un elemento (numerado en el cuadro azul claro), los extremos de cada muelle serán los nodos ( en los círculos verde claro). Los desplazamientos de los tres nodos son: U1, U2 y U3, que son las incógnitas de este problema. Por cuanto tenemos una sola variable, para cada uno de los nodos (el desplazamiento en X, Ui), cada nodo tendrá un grado de libertad El sistema tendrá por tanto tres grados de libertad
- 53. Considerando un solo muelle en un instante Si los nodos i y j se desplazaran, las fuerzas en los nodos producirian la tracción o la compresión del muelle (tomaremos el convenio de que el signo positivo es hacia la derecha) )-(kkk )-(kkk- aaa aaa jijija ijjiia uuuuf uuuuf =−= =+= Que escrita en forma matricial
- 54. − = j i ja ia u u f f k-k kk aa aa Esta es la formulación matricial para un solo elemento { } [ ]{ }uKf = Para cada elemento quedará − = 2 1 11 11 21 11 k-k kk u u f f Para el muelle 1 − = 3 2 22 22 32 22 k-k kk u u f f Para el muelle 2
- 55. Planteamos la ecuación de equilibrio de fuerzas en los nodos, teniendo en cuenta además las fuerzas externas en los nodos Fi. 0 0 0 323 22212 111 =+ =++ =+ fF ffF fF Combinando las ecuaciones matriciales de los dos muelles con la ecuación de equilibrio, obtenemos 3222 322221112 21111 uKuKF uKuKuKuKF uKuKF −=− +−−=− +−=− Que escrita en forma matricial
- 56. [ ]{ } { }RuK = Pueden observarse las matrices de rigidez individual en la matriz de rigidez global
- 57. • La matriz de rigidez es simétrica respecto a la diagonal. • Como el sistema está fijo en el nodo 1, entonces U1=0. • La fuerza externa en el nodo 2 es igual a cero, quedando la ecuación de la sigiente forma: ( ) = −+ Fu uKKK 0 KK- 3 2 22 221 Para resolver esta ecuación debemos determinar [ K ]-1 , o utilizar el método de Gauss, determinado finalmente los desplazamientos en los nodos 2 y 3.
- 58. Ejemplo 3:Análisis de una armadura La armadura está sometida a las siguientes condiciones: • La barra 2-4 está expuesta a una variación de temperatura ∆T. • R1 y R2 son las fuerzas externas. • δ1 y δ2 son los desplazamientos globales desconocidos •Las barras articuladas tienen un área A de sección transversal. •Las fuerzas nodales las denotaremos como Pij y las deformaciones de las barras como ∆ij
- 59. Planteamos las ecuaciones de equilibrio en X y Y.
- 60. La ecuación que relaciona las fuerzas y las tensiones para este caso es: P=A.σ (1) Las ecuaciones de compatibilidad para los desplaxzmientos son: )()( (2) )()( 2134 224 2114 θδθδ δ θδθδ CosSen CosSen +−=∆ =∆ +=∆ La ecuación de compatibilidad entre las deformaciones y los desplazamientos y de las tensiones –deformaciones incluida la expansión térmica serán respectivamente: ε = ∆/L y ε=σ/Ε+α∆T (3)
- 61. Combinando las ecuaciones (1), y (3) para las tres barras y recordando que solo la barra 2-4 está sometida a un gradiente de temperatura (∆T1-4= ∆T3-4=0); obtenemos Combinado ahora con la ecuación (2), obtenemos
- 62. Ahora nuestra meta es formular un grupo de ecuaciones en la cual los desplazamientos en las barras sean una función de las fuerzas externas, para lo cual sustituiremos la ecuación anterior en las ecuaciones de equilibrio iniciales; obteniendo Que escrito en forma matricial [ ]{ } { }RuK =