Ejercicos mef fuerza axial

IntroducciónalaaplicacióndelMétododeElementosFinitosJCB©2020
GUÍA DIDÁCTICA DE CIV 313
Introducción a la aplicación del Método de Elementos Finitos JCB ©2020
U.A.T.F. Ingeniería Civil Ing. Juan Carlos Barrios C.
1
Ejemplo 1. – Resolver la siguiente estructura sometida a fuerzas axiales. Asumir EA = Constante.
La discretización del modelo será:
Cálculo de las rigideces, fuerzas equivalentes y fuerzas nodales para cada elemento.
Elemento 1
𝑘(1)
= (
𝐸𝐴
2
)
(1)
[
1 −1
−1 1
] 〈𝐹𝑒〉(1)
=
0.7 ∗ 2
2
{
1
1
} {𝑓}(1)
= {
𝑓1
(1)
𝑓2
(1)
}
Elemento 2
𝑘(2)
= (
𝐸𝐴
2
)
(2)
[
1 −1
−1 1
] 〈𝐹𝑒〉(2)
=
0.7 ∗ 2
2
{
1
1
} {𝑓}(2)
= {
𝑓1
(2)
𝑓2
(2)
}
Elemento 3
𝑘(3)
= (
𝐸𝐴
2.7
)
(3)
[
1 −1
−1 1
] 〈𝐹𝑒〉(3)
=
0.7 ∗ 2.7
2
{
1
1
} {𝑓}(3)
= {
𝑓1
(3)
𝑓2
(3)
}
Elemento 4
𝑘(4)
= (
𝐸𝐴
1.6
)
(4)
[
1 −1
−1 1
] 〈𝐹𝑒〉(4)
=
0.7 ∗ 1.6
2
{
1
1
} {𝑓}(4)
= {
𝑓1
(4)
𝑓2
(4)
}
Tomando en cuenta la condición de equilibrio, tenemos:
Nudo 1: 𝑓1
(1)
= 𝑅
Nudo 2: 𝑓2
(1)
+ 𝑓1
(2)
= 1.20
Nudo 3: 𝑓2
(2)
+ 𝑓1
(3)
= 1.50
Nudo 4: 𝑓2
(3)
+ 𝑓1
(4)
= 1.00
Nudo 5: 𝑓2
(4)
= 2.40

2
Por lo que la ecuación será: [𝐾]{𝑎} − {𝐹𝑒} = {𝑓}
𝐸𝐴
[
0.5000 −0.500 0.000
−0.500 1.000 −0.500
0.000 −0.500 0.8704
0.000 0.000
0.000 0.000
0.3704 0.000
0.000 0.000 −0.3704
0.000 0.000 0
0.9954 −0.625
−0.625 0.625 ] {
𝑢1
𝑢2
𝑢3
𝑢4
𝑢5}
−
{
0.700
1.400
1.605
1.505
0.560}
=
{
𝑅
1.2
1.5
1.0
2.4}
Por las condiciones de borde, tenemos restringido el nudo 1, es decir: u1 =0
Esto hace que se elimine la fila y columna 1, obteniéndose un sistema reducido, el cual al
resolverse obtenemos:
{
𝑢2
𝑢3
𝑢4
𝑢5
}
1
𝐸𝐴
{
22.4200
39.6400
54.3955
59.1315
}
Estos resultados podrán permitir dibujar el estado deformado de la estructura, bajo el sistema
de cargas.
Las deformaciones unitarias, se calcular para cada elemento finito, con la siguiente relación:
[𝜀] = [𝐵]{𝑎} Donde: {𝐵} = [
−1
𝐿
1
𝐿
]
Entonces:
Elemento 1
[𝜀] = [−
1
2
1
2
]
1
𝐸𝐴
{
0
22.42
} =
11.21
𝐸𝐴
Elemento 2
[𝜀] = [−
1
2
1
2
]
1
𝐸𝐴
{
22.42
39.64
} =
8.61
𝐸𝐴
Elemento 3
[𝜀] = [−
1
2.7
1
2.7
]
1
𝐸𝐴
{
39.64
54.3955
} =
5.465
𝐸𝐴
Elemento 4
[𝜀] = [−
1
1.6
1
1.6
]
1
𝐸𝐴
{
54.3955
59.1315
} =
2.96
𝐸𝐴
El tensor de los esfuerzos, se calcula según la expresión siguiente:
[𝜎] = [𝐸][𝜀]
Por tanto, los resultados serán:
Elemento 1
𝜎 =
11.21
𝐴
Elemento 2
𝜎 =
8.61
𝐴

3
Elemento 3
𝜎 =
5.465
𝐴
Elemento 4
𝜎 =
2.96
𝐴
Ejemplo 2. – Considere la barra de la figura siguiente. Determinar los desplazamientos nodales,
los esfuerzos en los elementos y las reacciones en los soportes.
Cálculo de las matrices de rigidez de cada elemento
Elemento 1
Elemento 2

4
Elemento 3
Ensamblando la matriz de rigidez general, obtenemos:
Los vectores de fuerza y desplazamiento nodal, están dados por:
{𝐹} = {
𝑅1
300000
0
𝑅4
} {𝑎} = {
0
𝑢2
𝑢3
0
}
Las condiciones de borde, establecen que los desplazamientos en los nodos 1 y 4 son
nulos, por tanto, permite eliminar las filas y columnas 1 y 4, por lo que el sistema reducido
a resolver, proporciona los siguientes resultados:
{𝑎} = {
𝑢2
𝑢3
} =
{
81
130
9
26 }
Las reacciones podrán calcularse a partir de la siguiente relación:
𝑅1 =
−1000000
3
∗
81
130
+ 0 ∗
9
26
=
−2700000
13
𝑁
𝑅4 = 0 ∗
81
130
−
800000
3
∗
9
26
=
−1200000
13
𝑁

5
Los esfuerzos nodales están dados por:
[𝜎] = [𝐸][𝐵]{𝑎}
Elemento 1
[𝜎] =
200000
150
[−1 1] {
0
81
130
} =
10800
13
𝑁
𝑚𝑚2
Elemento 2
[𝜎] =
200000
150
[−1 1]
{
81
130
9
26 }
=
−4800
13
𝑁
𝑚𝑚2
Elemento 3
[𝜎] =
200000
300
[−1 1] {
9
26
0
} =
−3000
13
𝑁
𝑚𝑚2
Ejemplo 3. – Determinar la matriz de la siguiente estructura:
• Determinación de la geometría de la sección del elemento:
La variación de la altura de la sección es: ℎ(𝑥) = 𝑎 𝑜 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
Por tanto, para: x = 0 2ℎ = 𝑎0
x = L ℎ = 𝑎0 + 𝐿𝑎1 + 𝐿2
𝑎2
x = 2L 2ℎ = 𝑎0 + 2𝐿𝑎1 + 4𝐿2
𝑎2
resolviendo el sistema, obtenemos:

6
𝑎0 = 2ℎ
𝑎1 =
−2ℎ
𝐿
𝑎2 =
ℎ
𝐿
Por tanto:
ℎ(𝑥) = 2ℎ −
2ℎ
𝐿
𝑥 +
ℎ
𝐿2
𝑥2
• Determinación de la rigidez. – Que esta dado por la siguiente relación.
𝑘(𝑒)
= ∫ 𝐵 𝑇
𝐷𝐵𝐴𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
Donde:
𝐵 =
1
𝐿
[−1 1]
Por tanto:
𝑘(𝑒)
= ∫
1
𝐿
𝑥2
𝑥1
[
−1
1
] 𝐸 ∗
1
𝐿
[−1 1] ∗ 2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑘(𝑒)
=
2𝐸𝑏ℎ
𝐿2
[
1 −1
−1 1
] ∫ (2 −
2𝑥
𝐿
+
𝑥2
𝐿2)
𝑥2
𝑥1
𝑑𝑥 =
𝑘(𝑒)
=
2𝐸𝑏ℎ
𝐿2 [
1 −1
−1 1
]
4
3
𝐿 =
Finalmente:
𝑘(𝑒)
=
8𝐸𝑏ℎ
3𝐿
[
1 −1
−1 1
]
TALLER DE PRÁCTICA NO 1
Comprende en la resolución de un conjunto de ejercicios que deberán enviar al
siguiente correo, durante UNA semana a partir de la presente fecha 17 Marzo de 2020
en forma digital (Formato PDF) al siguiente correo
jcbarriosUATF@gmail.com
El estudiante podrá enviar su práctica, cualquier momento hasta fecha 23 Marzo de 020
hasta Hrs 14:00
Incluir como identificador el carimbo que se encuentra en el link del presente grupo.

7
Para las siguientes barrar que se muestran en las figuras P3-4 a P3-8 que se muestra,
determinar, el estado de deformación, las reacciones y tensores de deformación
unitaria y esfuerzos.
Resuelva los ejercicios 3.5 y 3.11 del libro de Tirupathi R. Chandrupatla & Belegundu,
Introducción al Método de Elementos Finitos en la Ingeniería, 2da Edición.
Potosí, 17 de Marzo de 2020

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