Supremo, ínfimo, desigualdades

1. P-UNI
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FIP-U Universidad Nacional de Ingenier´ıa
Facultad de Ingenier´ıa de Petr´oleo, Gas Natural
y Petroqu´ımica
Ciclo 2015-II
Pr´actica Calificada №1 de C´alculo I
(PM-111)
Profesor : Alvaro Naupay Gusukuma.
Fecha : 15 de Septiembre de 2015
1. Demostrar que x, y ∈ R se cumple que (4 ptos.)
|x| − |y| ≤ |x − y|
SOLUCI´ON :
Recordemos la desigualdad triangular
|a + b| ≤ |a| + |b| (D.T.)
Luego, haciendo a = y y b = x − y en (D.T.) tenemos
|x + (x − y)| ≤ |y| + |x − y|
|x| ≤ |y| + |x − y|
con lo que tenemos
|x| − |y| ≤ |x − y| (∗)
Por otra parte, haciendo a = x y b = y − x en (D.T.) tenemos
|x + (y − x)| ≤ |x| + |y − x|
|y| ≤ |x| + |y − x|
Pero observemos que |y − x| = | − (y − x)| = |x − y|, de lo cual tendriamos
|y| ≤ |x| + |x − y|
−|x − y| ≤ |x| − |y| (∗∗)
Finalmente de (∗) y (∗∗) tenemos que
−|x − y| ≤ |x| + |y| ≤ |x − y|
es decir
|x| − |y| ≤ |x − y|
2. Demostrar por inducci´on que
(1 + x)n
≥ 1 + nx +
n(n − 1)
2
x2
si x ≥ 0. (4 ptos.)

2. P-UNI
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FIP-USOLUCI´ON :
La idea es usar la la desigualdad de Bernoulli
i) Para n = 1 se cumple.
ii) Suponemos que se cumple para n = k ∈ N
(1 + x)k
≥ 1 + kx +
k(k − 1)
2
x2
iii) Por demostrar que se cumple para n = k + 1 utilizando (II).
(1 + x)k+1
≥ (1 + x)k
(1 + x)
≥ 1 + kx +
k(k − 1)
2
x2
(1 + x)
≥ 1 + kx +
k(k − 1)
2
x2
+ x + kx2
+
k(k − 1)
2
x3
≥ 1 + (k + 1)x +
(k + 1)k
2
x2
+
k(k − 1)
2
x3
como x ≥ 0 entonces x3
≥ 0 con lo que tenemos finalmente
(1 + x)k+1
≥ 1 + (k + 1)x +
(k + 1)k
2
x2
3. Sean A, B ⊂ R conjuntos acotados y c ∈ R+
constante. Si tambi´en son acotados los conjuntos
A+B = {x+y : x ∈ A e y ∈ B} y c·A = {c·x : x ∈ A}. Demuestre los siguientes items (4 ptos.)
a) sup(A + B) = sup A + sup B.
SOLUCI´ON :
i) Tenemos que x ≤ sup A, ∀x ∈ A e y ≤ sup B, ∀y ∈ B, sumando tenemos
x + y ≤ sup A + sup B, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B
esto muestra que sup A + sup B es una cota superior para el conjunto A + B, luego por
definici´on de supremo tenemos que
sup(A + B) ≤ sup A + sup B (∗)
ii) Veamos que se cumple tambi´en sup A + sup B ≤ sup(A + B).
Tenemos que ∀x ∈ A e ∀y ∈ B se cumple que x + y ≤ sup(A + B).
Fijando y ∈ B (fijo pero arbitrario) y ∀x ∈ A tenemos que
x ≤ sup(A + B) − y
luego por definici´on de supremo en A tenemos que
sup A ≤ sup(A + B) − y .
Luego de esto tenemos que ∀y ∈ B, sup A ≤ sup(A + B) − y es decir
y ≤ sup(A + B) − sup A

3. P-UNI
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FIP-Uaplicando la definici´on de supremo en B tenemos que
sup B ≤ sup(A + B) − sup A
es decir
sup A + sup B ≤ sup(A + B) . (∗∗)
Finalmente de (∗) y (∗∗) tenemos que
sup A + sup B = sup(A + B)
b) sup(c · A) = c · sup A.
SOLUCI´ON :
Si c < 0 la igualdad no cumple.
Tenemos que c ∈ R+
I) Tenemos que x ≤ sup A, ∀x ∈ A, entonces
cx ≤ c sup A, ∀x ∈ A
esto muestra que c sup A es una cota superior del conjunto cA, luego por definici´on de
supremo tenemos que
sup(cA) ≤ c sup A . (∗)
II) Veamos ahora que tambi´en se cumple c sup A ≤ sup(cA).
Tenemos que ∀x ∈ A, cx ≤ sup(cA), es decir
x ≤
1
c
sup(cA)
luego aplicando la definici´on de supremo tenemos sup A ≤
1
c
sup(cA) es decir
c sup A ≤ sup(cA) . (∗∗)
Finalmente de (∗) y (∗∗) tenemos que
sup(c · A) = c · sup A .
4. Se dice que una funci´on f : X → R es acotada superiormente cuando su imagen
f(X) = {f(x) : x ∈ X} es un conjunto acotado superiormente. Entonces posee
sup f = sup{f(x) : x ∈ X}. Demuestre los siguientes items (elegir s´olo 2) (4 ptos.)
a) Si f, g : X → R son acotados superiormente entonces sup(f + g) ≤ sup f + sup g.
SOLUCI´ON :
Tenemos que ∀x ∈ X se cumple g(x) ≤ sup g y f(x) ≤ sup f, luego sumando estas dos
desigualdades tenemos que
f(x) + g(x) ≤ sup f + sup g
es decir
(f + g)(x) ≤ sup f + sup g

4. P-UNI
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FIP-Uluego por definici´on de supremo tenemos que
sup(f + g) ≤ sup f + sup g .
b) Si f : X → R es acotada y c ∈ R+
una constante entonces sup(c · f) = c sup f.
SOLUCI´ON :
Tenemos que c ∈ R+
.
i) Tenemos que f(x) ≤ sup f, luego cf(x) ≤ c sup f, entonces por definici´on de supremos
tenemos que
sup(cf) ≤ c sup f . (∗)
ii) Por otra parte cf(x) ≤ sup cf, luego f(x) ≤
1
c
sup(cf), entonces por definici´on de
supremo tenemos que sup f ≤
1
c
sup(cf) es decir
c sup f ≤ sup(cf) . (∗∗)
Finalmente de (∗) y (∗∗) podemos concluir que
sup(cf) = c sup f .
c) Si f, g : X → R+
son acotados entonces sup(f2
) = (sup f)2
e ´ınf(f2
) = (´ınf f)2
.
SOLUCI´ON :
Veamos primero que sup(f2
) = (sup f)2
.
i) Veamos que se cumple sup(f2
) ≤ (sup f)2
. Tenemos por definici´on de supremo que
0 < f(x) ≤ sup f, ∀x ∈ X, luego elevando al cuadrado, 0 < f2
(x) ≤ (sup f)2
, entonces
por definici´on de supremo, sup(f2
) ≤ (sup f)2
.
ii) Veamos que tambi´en se cumple que (sup f)2
≤ sup(f2
). Teniendo en cuenta que
f2
(x) > 0, ∀x ∈ X, entonces dado cualquier c ∈ R tal que 0 < c ≤ sup f2
, luego por
definici´on de supremo existe x ∈ X talque c < f2
(x) ≤ sup f2
,
√
c < f(x) ≤ sup f2,
aplicando la definici´on de supremo tenemos que
√
c < f(x) ≤ sup f ≤ sup f2, luego
elevando al cuadrado tenemos que (sup f)2
≤ sup(f2
).
Finalmente de I) y II) podemos concluir que
sup(f2
) = (sup f)2
En la demostraci´on para el ´ınfimo el razonamiento es an´alogo.
5. Sean A, B ⊂ R acotados y diferentes de vac´ıo, adem´as A ⊂ B, demostrar que (4 ptos.)
´ınf B ≤ ´ınf A

5. P-UNI
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FIP-USOLUCI´ON :
Tenemos que ´ınf B ≤ x, ∀x ∈ B, en particular esto se cumple tambi´en para todos los elementos
de A ya que A ⊂ B.
Luego tenemos que ´ınf B ≤ x, ∀x ∈ A, esto quiere decir que el ´ınf B es una cota inferior para el
conjunto A, entonces por definici´on de ´ınfimo tenemos que ´ınf B ≤ ´ınf A, como se quer´ıa.