1. Ver. 30/01/2015, Pag. # 1
Econometría II
Análisis de series temporales (I): Procesos estacionarios
Miguel Jerez y Sonia Sotoca
Universidad Complutense de Madrid
Marzo 2010

2. Ver. 30/01/2015, Pag. # 2
• Introducción
• Conceptos básicos
• Procesos elementales
• Identificación
• Anexo: Estudio de los procesos más
comunes
Índice:

3. Ver. 30/01/2015, Pag. # 3
Introducción (I)
El análisis de series temporales es distinto de la Econometría
estudiada anteriormente
Hay tres diferencias principales:
1) No consideramos, de momento, variables exógenas
2) Se trata de construir un modelo sencillo que aproveche la inercia de
los datos pasados para predecir los valores futuros de la serie
3) Los datos están ordenados, desde el pasado hasta el futuro
¿Por qué es tan importante el orden de los datos?

4. Ver. 30/01/2015, Pag. # 4
Introducción (II)
Relación entre edad y estatura de
un conjunto de individuos:
• Los datos no se distribuyen en el
tiempo (es una “sección cruzada” o
“corte transversal”)
• No hay un orden natural de la
muestra
• No es razonable suponer que la
estatura de un individuo depende de
la estatura (o la edad) del individuo
anterior (¿cuál es?)
• La dirección de causalidad es
natural, pero arbitraria
Relación entre ventas y publicidad
de una empresa:
• El orden natural de los datos es el
cronológico
• Es razonable que las ventas de hoy
dependan de las ventas de ayer
• Es razonable que las ventas de hoy
dependan de la publicidad de hoy y
de la de ayer
• La mala noticia es que las
relaciones son más complejas, la
buena es que hay un fundamento
objetivo para la causalidad: X causa
a Y si el pasado de X ayuda a
predecir (o está correlado con) Y
El que los datos de una serie temporal estén ordenados determina
qué relaciones son posibles y cuáles no:

5. Ver. 30/01/2015, Pag. # 5
Introducción (III): Dos series de datos reales
0
100
200
300
400
500
600
700
1950 1952 1954 1956 1958 1960
Pasajeros de líneas aéreas, total mensual
Milesdepersonas
Rendimientos diarios del índice NIKKEI
de la Bolsa de Tokio. Estos datos:
• fluctúan establemente en torno a una
media nula,
• muestran períodos de alta y baja
volatilidad
Número de pasajeros de líneas aéreas.
Esta serie mensual muestra:
• un perfil creciente (tendencia),
• fluctuaciones estacionales y
• una variabilidad que crece a medida que
aumenta el nivel de la serie.
-15
-10
-5
0
5
10
15
1986 1988 1990 1992 1994 1996
Rendimientos (logx100) del índice NIKKEI
Puntoslogx100
Los primeros y segundos momentos (media y varianza) de distintas series temporales
pueden comportarse de formas muy diferentes
Las series temporales de naturaleza similar (p. ej., financieras) a menudo presentan
rasgos comunes que son de gran utilidad para analizarlas

6. Ver. 30/01/2015, Pag. # 6
Conceptos básicos (I): Definiciones
Serie temporal, es un conjunto de observaciones o medidas realizadas
secuencialmente en intervalos predeterminados y de igual, o aproximadamente
igual, duración
Proceso estocástico es un conjunto de variables aleatorias asociadas a
distintos instantes de tiempo
• La relación entre una serie temporal y el proceso estocástico que la genera es
la misma que hay entre una muestra y la variable aleatoria de la que procede
• Las características peculiares de una serie temporal (frente a una muestra) y de
un proceso estocástico (frente a una variable aleatoria) son:
– las series temporales y los procesos estocásticos están referidos a instantes de tiempo
concretos, y
– los datos están ordenados desde el pasado hasta el presente
• El objetivo del análisis de series temporales es inferir la forma del proceso
estocástico a partir de las series temporales que genera

7. Ver. 30/01/2015, Pag. # 7
Conceptos básicos (II): Hipótesis simplificatorias
• En ciencias sociales suele ser imposible obtener varias muestras de una serie
temporal, por lo que es necesario realizar una serie de supuestos
simplificatorios.
• Los supuestos más comunes son:
– Linealidad: El valor que toma hoy la serie (o el proceso) depende linealmente
de: a) sus valores pasados y b) los valores presentes y pasados de otras
series.
– Estacionariedad (débil): La media y varianza incondicional de una serie (o
proceso) son constantes, las autocovarianzas entre dos valores sólo
dependen de la distancia temporal que los separa. Formalmente:
– Normalidad: El proceso estocástico generador sigue un modelo normal de
distribución de probabilidad (proceso “gaussiano”).
,
, : ( )
[( ) ]
[( )( )]
t t z
t t t z
t t t k t k t k k
t k E z
E z
E z z
m m
m s s
m m g g- -
" = =
- = =
- - = =
2 2 2

8. Ver. 30/01/2015, Pag. # 8
Un proceso de ruido blanco representa una variable que:
• oscila en torno a una media constante,
• con una volatilidad constante y
• cuyo pasado no contiene información útil para predecir valores futuros.
Podemos representar esta variable como con:
Procesos elementales (I): Ruido blanco.
t tzz am= +
[ ]( ) ( )t z tE z E am= = 0 ( )t z aE z s g s= = =
2 2 2
0
% ;k
k k
g
r
g
= = ³
0
0 1
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
Ruido blanco
La figura muestra el perfil de 500
observaciones simuladas del proceso
de ruido blanco:
; iid N(0,.01)t t tz a a= :

9. Ver. 30/01/2015, Pag. # 9
Un proceso autorregresivo de primer orden, AR(1), representa una variable cuyo
valor actual está relacionado con su valor anterior mediante un modelo de
regresión. Esto es:
con:
Procesos elementales (II): AR(1).
;t t tz c z af f-= + + <1 1
( )t z
c
E z m
f
= =
-1
( ) a
t zE z
s
s g
f
= = =
-
2
2 2
0 2
1
% ;k
k kr f= ³ 0
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
AR(1) phi=.5
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
100 200 300 400 500
AR(1), phi=.9
(estacionariedad)
La figura muestra el perfil de dos series generadas por un AR(1) sin constante,
con distintos valores del parámetro :

10. Ver. 30/01/2015, Pag. # 10
Un proceso de medias móviles de primer orden, MA(1), representa una variable
cuyo valor actual está correlado con su valor anterior . Esto es:
Con:
Procesos elementales (III): MA(1).
;t z t tz a am q q-= + - <1 1
( )t zE z m= ( ) ( )t z aE z s g q s= = = +
2 2 2 2
0 1% k
si k
si k
q
r q
ì -ïï =ïï= +í
ïï >ïïî
2
1
1
0 1
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
MA(1), theta=.5
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
ma(1), theta=.9
(invertibilidad)
La figura muestra el perfil de dos series generadas por un proceso MA(1) sin
constante, con distintos valores de  :

11. Ver. 30/01/2015, Pag. # 11
Procesos elementales (IV): Paseo aleatorio.
-4
-3
-2
-1
0
1
100 200 300 400 500
Paseo aleatorio sin deriva
Un paseo aleatorio representa una variable cuyos cambios son ruido blanco y,
por tanto, imprevisibles. Esto es:
t t ty c y a-+ += 1
La figura muestra el perfil de dos series generadas por paseos aleatorios con
y sin deriva. Como puede observarse, la característica fundamental de este
proceso es la falta de afinidad de las series a una media estable:
0
10
20
30
40
50
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Paseo aleatorio con deriva

12. Ver. 30/01/2015, Pag. # 12
Para contrastar puede usarse el estadístico:
Coeficientes muestrales de asimetría y kurtosis:
La hipótesis de normalidad puede contrastarse mediante el test de Jarque-Bera:
Identificación (I): Estadística descriptiva
0
10
20
30
40
50
60
-0.25 0.00 0.25
Series: WNOISE
Sample 1 500
Observations 500
Mean 0.002643
Median 0.006559
Maximum 0.386147
Minimum -0.304903
Std. Dev. 0.102973
Skewness -0.046988
Kurtosis 3.393006
Jarque-Bera 3.401768
Probability 0.182522
: XH m =0 0
ˆ
/ˆ
x
n
x
t t
n
m
s
-= 1:
H0
ˆˆ
ˆ
n
i x
i x
X
CA
n
m
s=
æ ö- ÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø
å
3
1
1 ˆˆ
ˆ
n
i x
i x
X
CK
n
m
s=
æ ö- ÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø
å
4
1
1
ˆ ˆ( )CA CK
JB n c
æ ö- ÷ç ÷= +ç ÷ç ÷÷çè ø
2 2
2
2
3
6 24
:
H0
El histograma muestra el perfil de una
muestra del proceso:
Obsérvese que los momentos
muestrales son muy parecidos a los
poblacionales y el test de Jarque-
Bera no rechaza normalidad.
; iid N(0,.01)t t tz a a= :

13. Ver. 30/01/2015, Pag. # 13
El coeficiente muestral de autocorrelación simple de orden k ( ) se define como:
con:
Para hacer inferencia sobre la función de autocorrelación simple (FAS o ACF)
pueden usarse los siguientes resultados:
• Para muestras suficientemente grandes
• Si es cierto entonces
en donde: K es el número de retardos de la ACF
p es el número de parámetros estimados, si la serie es de residuos.
Identificación (II): Función de autocorrelación simple
: KH r r r r= = = = =0 1 2 3 0K
g
r
g
=
0
$
´
ˆ
ˆ
k
k ; , , ,ˆ
n
k t t k t t
t k
z z z z z k
n
g -
= +
= = - =å 1
1
1 2%% % K
r$
k
En la figura se muestra la función de
autocorrelación simple de una muestra del
proceso:
... como puede observarse su configuración se
parece, sin coincidir exactamente, a la FAS
teórica de un proceso MA(1)
. ; iid N(0,.01)t t t tz a a a-= - 15 :
( ) ( )
K
k K p
k
Q K n n
n k H
r c -
=
= +
-
å
2
2
1
0
1
2 $ :
. .( ) /ks e nr 1$ ;

14. Ver. 30/01/2015, Pag. # 14
Identificación (III): Función de autocorrelación parcial
Los procesos MA tienen una FAS finita. Por tanto en este caso la FAS resulta muy
útil, tanto para detectar una estructura MA como para identificar su orden.
Un instrumento con propiedades análogas para procesos AR es el coeficiente
muestral de autocorrelación parcial de orden k ( ), que se define como el k-
ésimo coeficiente de una autorregresión de orden k estimada por MCO:
al gráfico de barras de los coeficientes frente a su correspondiente retardo se
le llama función de autocorrelación parcial (abreviadamente, FAP o PACF).
f$
kk
ˆ ˆ ˆ ˆ ; , ,t k t k t kk t k ktz z z z kf f f e- - -= + + + + =1 1 2 2 1 2% % % %K K
En la figura se muestran las funciones de
autocorrelación de una muestra del proceso:
como puede observarse, la FAP identifica con
claridad la naturaleza y el orden del proceso
generador de los datos.
. ; iid N(0,.01)t t t tz z a a-= +15 :
f$
kk

15. Ver. 30/01/2015, Pag. # 15
Identificación (IV)
Ruido blanco:
AR(1):
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
Ruido blanco
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
AR(1) phi=.5
Combinando
instrumentos gráficos
y estadísticos pueden
reconocerse de forma
aproximada las pautas
de autocorrelación
características de los
distintos procesos.
En análisis de series
temporales, a este
proceso de
especificación
empírica se le llama
“identificación”
; iid N(0,.01)t t tz a a= :
. ; iid N(0,.01)t t t tz z a a-= +15 :

16. Ver. 30/01/2015, Pag. # 16
MA(1):
Paseo aleatorio:
La identificación
puede estructurarse
como una secuencia
de preguntas:
• ¿Es estacionaria la
serie?
• ¿Tiene una media
significativa?
• ¿Es finita o infinita la
ACF?
• ¿Es finita o infinita la
PACF?
-4
-3
-2
-1
0
1
100 200 300 400 500
Paseo aleatorio sin deriva
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
MA(1), theta=.5
Identificación (V)
. ; iid N(0,.01)t t t tz a a a-= - 15 :
; iid N(0,.01)t t t ty y a a-= +1 :

17. Ver. 30/01/2015, Pag. # 17
Combinando el análisis de la ACF y la PACF, la identificación de los procesos
estacionarios puede reducirse a decidir:
• ¿Cuál de las dos funciones es finita? para determinar la naturaleza del proceso
generador:
• ¿A partir de qué retardo muere la ACF o PACF? para determinar el orden del
proceso.
Estas técnicas requieren usar estadísticos como la media, la varianza o la
covarianza muestrales, que sólo tienen sentido si el proceso es estacionario, esto
es, si los datos tienen una media y una varianza finitas y aproximadamente
constantes.
Identificación (VI)
ACF
Finita Infinita
PACF Finita Ruido blanco AR
Infinita MA ARMA

18. Ver. 30/01/2015, Pag. # 18
;t t tz c z af f-= + + <1 1
( )t z
c
E z m
f
= =
-1
( ) a
t zE z
s
s g
f
= = =
-
2
2 2
0 2
1
%
;kk
k k
g
r f
g
= = ³
0
0
f< <0 1
f- < <1 0
A.1. Estudio de los procesos más comunes: AR(1)
ACF PACF
Los procesos AR(1) se
reconocen por una ACF
infinita y una PACF que se
anula a partir del segundo
retardo.
Si los datos tienen media,
es necesario especificar
un término constante.
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1

19. Ver. 30/01/2015, Pag. # 19
;t z t tz a am q q-= + - <1 1
( )t zE z m=
( ) ( )t z aE z s g q s= = = +
2 2 2 2
0 1%
k
k
si k
si k
q
g
r q
g
ì -ïï =ïï= = +í
ïï >ïïî
2
0
1
1
0 1
q< <0 1
q- < <1 0
ACF PACF
Los procesos MA(1) se
reconocen por una PACF
infinita y una ACF que se
anula a partir del segundo
retardo.
Si los datos tienen media,
es necesario especificar
un término constante.
A.2. Estudio de los procesos más comunes: MA(1)
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1

20. Ver. 30/01/2015, Pag. # 20
t t t tz c z z af f- -= + + +1 1 2 2
( )t z
c
E z m
f f
= =
- -1 21
;
con :
k k k kr f r f r- -= + ³1 1 2 2 1
;f f> >1 20 0; ;f f f f f+ < - < <2 1 2 1 21 1 1
;
f f
r r f
f f
= = +
- -
2
1 1
1 2 2
2 21 1
;f f< >1 20 0
ACF PACF
Los procesos AR(2) se
reconocen por una ACF
infinita y una PACF que se
anula a partir del tercer
retardo.
Si los datos tienen media, es
necesario especificar un
término constante.
A.3. Estudio de los procesos más comunes: AR(2)
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1

21. Ver. 30/01/2015, Pag. # 21
;f f< <1 20 0
;f f> <1 20 0
ACF PACF
A.4. Estudio de los procesos más comunes: AR(2)
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1

22. Ver. 30/01/2015, Pag. # 22
t z t t tz a a am q q- -= + - -1 1 2 2
( )t zE z m=
( ) ( )t z aE z s g q q s= = = + +
2 2 2 2 2
0 1 21%
( )
k
k
si k
si k
si k
q q
q q
g q
r
g q q
ì - -ïï =ïï + +ïïï -ïïï= = =í
ï + +ïïï >ïïïïïîï
1 2
2 2
1 2
2
2 2
0 1 2
1
1
1
2
1
0 2
; ;q q q q q+ < - < <2 1 2 1 21 1 1 ;q q> >1 20 0
;q q< >1 20 0
;q q< <1 20 0
;q q> <1 20 0
ACF ACF
Los procesos MA(2) se
reconocen por una PACF
infinita (no se muestra aquí)
y una ACF que se anula a
partir del tercer retardo.
Si los datos tienen media,
es necesario especificar un
término constante.
A.5. Estudio de los procesos más comunes: MA(2)
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1
Retardo
+1
-1