Pt mat 10

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Pt mat 10

  1. 1. proyectos transversales Matemáticas 10 Un programa que promueve el desarrollo de las competencias básicas para el ciudadano del siglo XXI Los Proyectos transversales: + Afianzan las competencias del área de… Con talleres que hacen énfasis en… Y proyectos de formación para el ejercicio de la ciudadanía desde los programas transversales… Más modelos de la nueva Prueba Saber en… Lenguaje Lectura crítica 3 Educación para el ejercicio de los Derechos Humanos 3 Movilidad segura (educación vial) 3 Educación económica y financiera 3 Todos los grados (1 a 11) 3 Todas las áreas (lenguaje, matemáticas, sociales y ciencias) Matemáticas Solución de problemas Sociales Ciudadanía y Valores Ciencias Educación ambiental proyectos transversales
  2. 2. Autores Jeinnson Giovanni Gamboa Sulvará Anneris del Rocío Joya Vega Marysol Ramírez Rincón Alexis Aravena Coliñir Jaime Ávila Hidalgo Loreto Alvarado Carrasco proyectos transversales Matemáticas 10
  3. 3. Proyectos transversales Matemáticas 10, para educación media, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada por el Departamento Editorial de Santillana S. A. S., bajo la dirección de Fabiola Nancy Ramírez Sarmiento. Matemáticas 10 © 2015 EDITORIAL SANTILLANA S. A. S. Carrera 11A No. 98-50 Bogotá, Colombia ISBN 978-958-24-2267-7 Obra completa ISBN 978-958-24-2286-8 Edición para el alumno ISBN 978-958-24-2287-5 Edición para el docente ISBN 978-958-24-3029-0 Libro Proyectos Transversales Este libro está elaborado de acuerdo con las normas ICONTEC NTC-4724 y NTC 4725 para textos escolares. Depósito legal en trámite. Impreso en Colombia por Quad Graphics Colombia S.A. Prohibida la reproducción total o parcial, el registro o la transmisión por cualquier medio de recuperación de información, sin permiso previo por escrito de la Editorial. Debido a la naturaleza dinámica de la Internet, las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que se hace referencia en este libro, pueden sufrir modificaciones o desaparecer. El uso de Internet debe ser supervisado por los padres de familia, tutores y docentes. Equipo editorial Diana Constanza Salgado Ramírez. Editora ejecutiva Edgar Alexander Olarte Chaparro. Editor júnior Isabel Hernández Ayala. Asesora de contenidos Autores Jeinsson Giovanni Gamboa Sulvará Magíster en enseñanza de las ciencias exactas y naturales. Universidad Nacional de Colombia. Licenciado en física. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Anneris del Rocío Joya Vega Especialista en Matemática Aplicada. Universidad Sergio Arboleda. Especialista en Educación Bilingüe. Universidad del Bosque. Magíster en docencia de la Matemática. Universidad Pedagógica Nacional. Marysol Ramírez Rincón Especialista en Matemática aplicada. Universidad Sergio Arboleda. Licenciada en Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional. Alexis Aravena Coliñir Magíster en Educación Matemática. Universidad de los Lagos. Licenciado en Matemáticas y en Educación. Universidad de Chile. Jaime Ávila Hidalgo Licenciado en Educación Matemática y Computación. Universidad de Santiago de Chile. Loreto Alvarado Carrasco Licenciada en Matemáticas. Pontificia Universidad Católica de Chile. Magíster en Didáctica de la Matemática. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Equipo gráfico y técnico Ana Catalina Schroeder Torres. Coordinadora de diseño Maraldy Villamil Granados. Controller de gestión Martha Jeanet Pulido Delgado, Orlando Bermúdez Rodríguez. Correctores de estilo Alveiro Javier Bueno Aguirre. Controller banco digital Alejandro Castro Jiménez. Operador preprensa Sandra Patricia Acosta Tovar, César Alfonso Murillo Díaz, Luis Alberto Tamayo Sánchez. Diseñadores gráficos Antonio Ahumada Rojas. Ilustrador Claudia Marcela Jaime Tapia, Claudia Ávila. Documentalistas Repositorio Santillana, Archivo Santillana Colombia, Shutterstock. Fotografía Diana Peralta. Jefe de producción Se han hecho todos los esfuerzos para ubicar a los propietarios de los derechos de autor. Sin embargo, si es necesario efectuar alguna rectificación, la Editorial estará dispuesta a hacer los arreglos pertinentes.
  4. 4. proyectos transversales 3 El programa Proyectos transversales Matemáticas 10 te enseña una metodología para que planifiques y elabores el procedimiento de la solución de problemas. Además, te permite describir y aplicar estrategias para que desarrolles el razonamiento matemático. También podrás desarrollar proyectos como el de Educación económica y financiera, Educación para el ejercicio de los derechos humanos y Movilidad segura, encaminados a que aprendas a tomar decisiones responsables que aporten a la transformación de nuestra sociedad. Proyectos transversales Matemáticas 10 está organizado en ocho talleres que se presentan así: Análisis de un problema resuelto Te presentamos la metodología y estrategias para que resuelvas un problema a partir de la presentación y solución de un problema relacionado con alguna de las temáticas del grado. ¿Cómo está organizado tu libro? 3 Número del taller Recuerda que… Presenta algunos de los contenidos que se utilizan para resolver el problema. Título de la temática que se trabaja Problema resuelto paso a paso. En el paso 2, se destaca el planteamiento y aplicación de una de las estrategias y en el paso 3, la prueba y redacción de la respuesta. Estrategias Detalla estrategias que se utilizan en la solución del problema.
  5. 5. 4 Evalúo la estrategia Podrás evaluar la estrategia que utilizaste para resolver el problema y proponer otra, si es necesario. Te presentamos más problemas para que apliques una de las estrategias propuestas y utilices la metodología para resolverlo paso a paso. Una estrategia es la forma en que puedes abordar un problema y encontrar su solución. La elección de una estrategia hace parte de la resolución del problema y, para hacerlo, es necesario que sepas cómo y cuándo utilizar dicha estrategia. La siguiente es la metodología que te proponemos para resolver problemas y las preguntas que te debes hacer para lograrlo. Paso 1. Comprende el problema ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál es la pregunta del problema? Paso 2. Elabora un plan y llévalo a cabo ¿Este problema es similar a otro que hayas resuelto? ¿Qué estrategia vas a utilizar? ¿Qué operación realizarás? ¿Cómo utilizas la estrategia para resolver este problema? ¿Cómo puedes justificar los procedimientos realizados en la utilización de la estrategia? Paso 3. Verifica y redacta la respuesta ¿Las operaciones están realizadas correctamente? ¿El resultado responde a la pregunta? ¿Es lógico el resultado con respecto a la pregunta que se plantea? Resolución de problemas propuestos
  6. 6. 5 Espacio para que redactes el problema. Situación que se plantea para que formules un problema. Espacio para que resuelvas el problema. Selección del contenido que se va a trabajar y la pregunta del problema. Podrás crear y resolver un problema utilizando una de las estrategias que trabajaste en el desarrollo de los talleres. Podrás medir tus saberes con un modelo de Prueba Saber que está ajustado al referente del ICFES y alineado con los parámetros de evaluaciones internacionales como la prueba PISA. También encuentras un modelo de Prueba Saber. Creación de problemas
  7. 7. 6 Además, ¡te sorprenderá lo que vas a aprender con los proyectos pedagógicos transversales! Te proponemos este proyecto con el fin de que desarrolles el pensamiento crítico y reflexivo necesario para que tomes decisiones responsables e informadas sobre temas económicos y financieros. Así, aprenderás a conocer y manejar el dinero, a invertirlo y crear estrategias de ahorro, entre otras actividades. 1. Educación económica y financiera Te planteamos este proyecto para que: • Aprendas a cuidar tu integridad y la de los demás asumiendo conductas seguras en la vía. • Te constituyas en ciudadano autónomo responsable de tus actos. • Respetes lo público y uses racionalmente los recursos que encuentras en los espacios públicos, para garantizar la movilidad y la seguridad de los ciudadanos. Desarrollarás este proyecto para que, en el día a día de tu colegio, te formes como sujeto activo en la defensa de los derechos humanos, ya sea conociendo tus derechos o los de quienes te rodean. 2. Movilidad segura (educación vial) 3. Educación para el ejercicio de los derechos humanos
  8. 8. 7 Pensamiento numérico ◗ Taller 1. Solución de problemas. Números irracionales..........................................................................8 ◗ Taller 2. Solución de problemas. Logaritmos.................................................................................................12 ◗ Creación de problemas.......................................................................................................................................................16 Proyecto: Educación económica y financiera ¿Cómo los hábitos financieros informados y responsables influyen en el presupuesto familiar, departamental o nacional?........................................................................................18 Pensamientos espacial y métrico ◗ Taller 3. Solución de problemas. Plano cartesiano....................................................................................24 ◗ Taller 4. Solución de problemas. Vectores........................................................................................................28 Proyecto: Movilidad segura ¿Cómo puedo determinar el exceso de velocidad de un auto en un accidente de tránsito a partir de la distancia de frenado?.........................................................32 Pensamiento variacional ◗ Taller 5. Solución de problemas. Funciones....................................................................................................36 ◗ Taller 6. Solución de problemas. Función exponencial, logarítmica y raíz cuadrada............................................................................................................................................................................40 ◗ Creación de problemas.......................................................................................................................................................44 Proyecto: Educación para el ejercicio de los derechos humanos ¿Cómo puedo orientar a una persona que ha sido víctima de la violencia por el conflicto armado en Colombia?.......................................................................................................................46 Pensamiento aleatorio ◗ Taller 7. Solución de problemas. Medidas de tendencia central y posición......................48 ◗ Taller 8. Solución de problemas. Medidas de dispersión....................................................................52 Tabla de contenidos Prueba Saber Matemáticas 8.......................................................................................56
  9. 9. TALLER 8 Solución de problemas Números irracionales Pensamiento numérico 1 Analiza la resolución del siguiente problema. 1. Al valorizar la secuencia sn = 1+ 1 n n (donde n ! ) para n = 1.000, n = 10.000 y n = 100.000. ¿Cuál de ellas es una aproximación más cercana del número irracional e? Considera e ≈ 2,7182818. Paso 1 Comprende el problema. Datos: La secuenciasn = 1+ 1 n n . Pregunta: ¿Cuál de ellas es una aproximación más cercana del número irracional e? Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Se usarán propiedades numéricas para identificar cuál es la aproximación más cercana del número e. n = 1.000 1+ 1 1.000 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1.000 1+ 1 10.000 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 10.000 1+ 1 100.000 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 100.000 s1.000 ≈ 2,7169239 e ≈ 2,7182818 2 cifras decimales n = 10.0001+ 1 1.000 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1.000 1+ 1 10.000 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 10.000 1+ 1 100.000 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 100.000 s10.000 ≈ 2,7181459 e ≈ 2,7182818 3 cifras decimales n = 100.000 1+ 1 1.000 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1.000 1+ 1 10.000 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 10.000 1+ 1 100.000 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 100.000 s100.000 ≈ 2,7182682 e ≈ 2,7182818 4 cifras decimales Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Para comprobar lo obtenido, se construirá una secuencia numérica. Considera la secuencia sn con n H 1: sn = {2; 2,25; 2,3703703704; ...} Es creciente, por lo que para n = 100.000 se obtiene la mejor aproximación. Respuesta: La aproximación más cercana del número irracional e es s100.000 . Usar propiedades numéricas Se puede aproximar un número decimal a la milésima, luego comparar las cifras decimales para establecer cuál es más cercano al número irracional. Construirunasecuencia numérica En este tipo de problemas, es conveniente representar los datos numéricos en una secuencia. Estrategias Sonnúmerosirracionales aquellos que no tienen expresión de la forma a b con a, b !  y b ≠ 0. Ejemplo p, e, an si a ≠ bn (b ! ) Recuerda que...
  10. 10. Solución de problemas 9 Completa la resolución del siguiente problema. 2. Para resolver la expresión 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3( ) ( ), ¿qué propiedades de las operaciones utilizarías? ¿Qué resultado se obtiene? Paso 1 Comprende el problema. Datos: La expresión 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3( ) ( ). Pregunta: Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Se usarán propiedades numéricas, como la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición y sustracción. = • 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3 14 3 14 14• 3 + 3• 14 3 14 42 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + • 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3 14 3 14 14• 3 + 3• 14 3 14 42 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3 14 3 14 14• 3 + 3• 14 3 14 42 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) • – 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3 14 3 14 14• 3 + 3• 14 3 14 42 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) – • 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 14 3 14 14• 3 + 3• 14 3 14 42 2 ( ) ( ) ( ) ( ) = 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3 14 3 14 14• 3 + 3• 14 3 14 42 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) – + 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3 14 3 14 14• 3 + 3• 14 3 14 42 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) – = – = 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3 14 3 14 14• 3 + 3• 14 3 14 42 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. La estrategia que se utilizará para comprobar lo obtenido es . 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 3 3 14 + 3 2 2 ( ) ( ) +( ) ( ) = 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 3 3 14 + 3 2 2 ( ) ( ) +( ) ( ) • 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 3 3 14 + 3 2 2 ( ) ( ) +( ) ( ) = 14 – 3 2 2 ( ) ( ) = – = Respuesta: Para multiplicar raíces de igual índice se debe considerar lo siguiente: -- Si n es par, entonces a, b ! + . -- Si n es impar, entonces a, b ! . ( ) a • b = ab a • x + y = ax + ay 2 • 5 = 10 6 • 8 = 24 3 • 5 + 2 n n n 4 4 4 3 3 3 − − (( )= 15 + 6 • Propiedad distributiva de la multiplicación: ( ) a • b = ab a • x + y = ax + ay 2 • 5 = 10 6 • 8 = 24 3 • 5 + 2 n n n 4 4 4 3 3 3 − − (( )= 15 + 6 Ejemplos( ) a • b = ab a • x + y = ax + ay 2 • 5 = 10 6 • 8 = 24 3 • 5 + 2 n n n 4 4 4 3 3 3 − − (( )= 15 + 6 Recuerda que... En relación con las estrategias presentadas, ¿cuál crees que es más conveniente para resolver este problema? Justifica. Propón otra estrategia y resuelve el problema. Evalúo la estrategia
  11. 11. 10 Taller 1 Resuelve los siguientes problemas. 3. Para estimar el valor del número irracional 26, ¿qué propiedades utilizarías? ¿Qué valor obtuviste? Para estimar (≈) un número irracional de la forma m se puede realizar el siguiente procedimiento (m ! + ). m = 1+ a = a 1+ 1 a m a 1+ 1 2a • • 2 2 2 2 ≈ m = 1+ a2 = a2 • 1+ 1 a2 m a• 1+ 1 2a2 m = 1+ a2 = a2 • 1+ 1 a2 m a• 1+ 1 2a2 En donde a !  . Ejemplo 10 = 1+ 3 = 3 1+ 1 3 3 1+ 1 2 3 3 1+ 1 18 3 19 18 3,16 • • • • • 2 2 2 2     ≈     ≈     ≈     ≈ 10 = 1+ 32 = 32 • 1+ 1 32 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ≈ 3• 1+ 1 2•32 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ≈ 3• 1+ 1 18 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ≈ 3• 19 18 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ≈ 3,16 Recuerda que... Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  12. 12. Solución de problemas 11 4. Francisco resolvió la expresión 5 10 2 30 5 10 2 15 y obtuvo como resultado5 10 2 30 5 10 2 15 . ¿Es correcta su respuesta? Para dividir raíces de igual índice: a c = a c a ± b c = a c ± b c 50 5 = 50 5 = 10 n n n n n n n n 3 3 3 3 10 24 2 = 100 2 24 2 = 5 12 En donde c ≠ 0 y n H 2. Ejemplos • a c = a c a ± b c = a c ± b c 50 5 = 50 5 = 10 n n n n n n n n 3 3 3 3 10 24 2 = 100 2 24 2 = 5 12 • a c = a c a ± b c = a c ± b c 50 5 = 50 5 = 10 n n n n n n n n 3 3 3 3 10 24 2 = 100 2 24 2 = 5 12 Recuerda que... -- Lee el problema y elige la estrategia más conveniente para resolverlo. -- Usa propiedades numéricas. -- Revisa tus cálculos al finalizar la resolución del problema. Ayuda Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  13. 13. 2TALLER 12 Pensamiento numérico Solución de problemas Logaritmos Analiza la resolución del siguiente problema. 1. El nivel (D) de decibeles del sonido se puede calcular mediante la fórmula: D = log (10120 • i 10 ) En donde i es la intensidad del sonido en watts por m2 . ¿Cuánto es la intensidad (i) de un sonido de 140 decibeles? Paso 1 Comprende el problema. Datos: La fórmula para calcular el nivel de decibeles del sonido. Pregunta: ¿Cuánto es la intensidad (i) de un sonido de 140 decibeles? Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Se planteará una ecuación para calcular el valor de la intensidad (i) de un sonido de 140 decibeles, utilizando la fórmula. 140 = log (10120 • i10 ) 10140 = 10120 • i10 Definición de logaritmo en base 10. 10140 - 120 = i10 Se divide potencias de igual base. 1020 = i10 102010 = i Raíz de índice 10. 102 = i 100 = i Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Para comprobar lo obtenido, se usarán propiedades numéricas, donde se remplazará el valor anterior en la fórmula. 140 = log (10120 • 10010 ) 140 = log (10120 • 1020 ) 140 = log (10120 + 20 ) 140 = log 10140 140 = 140 • log 10 140 = 140 • 1 140 = 140 Se cumple la igualdad, por lo que i es igual a 100 Respuesta: La intensidad (i) es de 100 watts por m2 . El logaritmo de b en base a (a  1) es el valor del exponente x, tal que: x = loga b * a x = b En donde a, b ! + , x !  . Ejemplo log2 128 = 7, ya que 27 = 128 Recuerda que... Plantear una ecuación Cuando en una fórmula se identifica una incógnita, se remplazan los datos del problema y se obtiene una ecuación. Usar propiedades numéricas Para resolver expresiones numéricas con logaritmos es posible aplicar sus propiedades y las de las potencias. Estrategias
  14. 14. Solución de problemas 13 Completa la resolución del siguiente problema. 2. Si log a = p log a 3 25 , ¿cuál es el valor de log a = p log a 3 25 en función de p? Paso 1 Comprende el problema. Datos: log = p Pregunta: Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Se usarán propiedades numéricas para expresar log a25 en función de p. log = p → log 1 3 = p • log a = p log a = • p log a25 = log 2 5 = • log a = • • p = Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. log a 5 6 5 6 •log log 25 5 6 • = Se multiplica por log a 5 6 5 6 •log log 25 5 6 • log a 5 6 5 6 •log log 25 5 6 • = p Se aplica propiedades log a 5 6 5 6 •log log 25 5 6 • = p Propiedades de logaritmo log a = p Respuesta: Son propiedades de logaritmo: • log (a b ) = b • log a • log (a • b) = log a + log b • log (a 4 b) = log a – log b Con b ≠ 0. Raíces enésimas: a =amn m n , con n ≠ 0. Ejemplos • log (53 ) = 3 • log 5 • log (10 • 2) = log 10 + log 2 • log (35 4 7) = log 34 – log 7 • 3 = 35 1 5 • x = x34 3 4 Recuerda que... En relación con las estrategias presentadas, ¿cuál crees que es más conveniente para resolver este problema? Justifica. Propón otra estrategia y resuelve el problema. Evalúo la estrategia
  15. 15. 14 TALLER 2 Resuelve los siguientes problemas. 3. La escala de Richter para medir la energía liberada por un sismo, se expresa por: log E = 1,5R + 11,8 Donde E es la medida de la energía liberada (medida en ergios) y R es la magnitud del sismo en grados Richter. Un sismo de grado 8,8 en la escala de Richter, ¿cuánta energía libera? El logaritmo de b en base 10 se puede expresar por log10 b o también por log b. x = log b ↔ 10 x = b En donde b ∈ + . Ejemplo log10 75 = log 75 Recuerda que... Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  16. 16. Solución de problemas 15 4. Cristóbal respondió en una prueba que el valor de log 125•5• 253 6253 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ es (3 • log 5) y tiene la duda de si obtendrá el puntaje total en esa pregunta. ¿Respondió correctamente Cristóbal? Justifica. En la multiplicación de potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes: a x • a y = ax + y En la división de potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes: a x 4 a y = a x – y Ejemplos • 82 • 83 = 82 + 3 = 85 • 317 4 38 = 317 – 8 = 39 Recuerda que... -- Utiliza las propiedades de las potencias, raíces y logaritmos para comprobar la respuesta de Cristóbal. -- Comprueba tus cálculos utilizando otra estrategia para resolver el problema. -- Fíjate si estás respondiendo la pregunta del problema. Ayuda Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  17. 17. CREACIÓN DE PROBLEMAS 16 Lee la situación y luego sigue las instrucciones para la creación de un problema. El capital final C de una inversión inicial de C0 a t años plazo, con una tasa de interés anual del i %, se obtiene mediante la siguiente expresión: C(t ) = C0 • 1 + i 100 t En donde C y C0 están expresados en pesos chilenos y t !  a. Marca con un 4 el concepto que se relacionará con la resolución del problema. AA Números irracionales AA Números reales AA Potencias y raíces AA Logaritmos b. Elige una pregunta y márcala con un 4. AA ¿Cuánto tiempo demora en duplicarse una inversión inicial de $ 50.000 al 2% de interés anual? AA ¿Cuál es el capital final al invertir $ 120.000 en 4 años, con una tasa de interés anual del 2,2%? AA ¿A qué tasa de interés anual un capital inicial de $ 12.000 se convierte en $ 15.000 en 2 años? AA ¿En cuántos años habrá un capital de $ 3.000.000 si inicialmente se invirtió $ 2.000.000 al 1,5% de interés anual? AA Al invertir inicialmente $ 100 en un plazo de 20 años, con una tasa de interés del 0,5%, ¿cuánto capital se obtendrá? AA Si se invierten $ 100.000 con 2 años de plazo y se obtienen $ 140.000, ¿a qué tasa de interés anual se realizó la inversión?
  18. 18. 17 Creación de problemas c. Redacta el problema según tus elecciones anteriores. d. Resuelve el problema que acabas de escribir. Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  19. 19. 1. Exploro el problema El Presupuesto Nacional cumple las siguientes funciones: determina el dinero recaudado, distribuye los ingresos dependiendo de las necesi- dades del país y define las prioridades de gasto. Dado que los recursos provienen de la sociedad, todos los individuos tienen el derecho a exigir que el dinero público se recaude y se gaste de forma transparente y de acuerdo con las necesidades de la población. El Ministerio de Hacienda y Crédito Público realiza la programación y seguimiento presupuestal del Presupuesto General de la Nación cada año. Este presupuesto se presenta y se aprueba ante el Congreso de la República, de igual forma el presupuesto del Sistema General de Rega- lías se presenta cada dos años. • ¿Qué ocurre cuando el Gobierno no presenta a tiempo el presupuesto para el siguiente año? ✓✓ Ingresos corrientes de la nación: recursos que recibe el Estado de forma permanente. ✓✓ Meta financiera: objetivo al cual decides destinar todos tus esfuerzos económicos, como ahorros programados mensualmente. ✓✓ Ministerio de Hacienda y Crédito Público: ministerio encargado de definir, formular y ejecutar la política económica de Colombia. ✓✓ PIB: indicador económico que mide el valor monetario de los bienes y los servicios producidos dentro de un país durante un período determinado de tiempo, normalmente un año. ✓✓ Planificación financiera: estrategia y organización en la toma de decisiones, planteada para alcanzar unos objetivos económicos definidos y concretos a partir de una situación financiera de partida. ✓✓ Presupuesto: previsión de ingresos y gastos durante un período determinado. ✓✓ Renta: beneficio o utilidad que produce algo periódicamente. ¿Cómo los hábitos financieros informados y responsables influyen en el presupuesto familiar, departamental o nacional? En busca de la respuesta MinHacienda Ministerio de Hacienda y Crédito Público Pregunta clave Conceptos clave 18 Ámbito conceptual: Presupuesto PROYECTO Educación económica y financiera Desempeño Eje temático: Finanzas Compara el presupuesto familiar con otro tipo de presupuestos para determinar mejoras en su realización.
  20. 20. El presupuesto familiar es un plan de ingresos, gastos y ahorros que se realiza con la finalidad de planificar el mejor uso del dinero. Debe incluir todos los ingresos de los integrantes del grupo familiar y todos los gastos, distribuidos por cada mes. Entre las ventajas de hacer y planear un presupuesto familiar se tiene: Permitir un mayor control de ingresos y gastos, de allí que se convierte en un instrumento útil para evitar gastos innecesarios y así adquirir hábitos financieros responsables. Disponer del dinero necesario para cubrir necesidades y cumplir con las obligaciones. Formular y planear las metas financieras, para organizar los ahorros y las inversiones. • En relación con el presupuesto de tu familia responde. ¿Quién es el responsable de realizar la programación y seguimiento del presupuesto? ¿Crees que es necesario aprobar el presupuesto mensual de tu familia de una forma similar al del Presupuesto de la Nación? • En relación con el presupuesto departamental y municipal respon- de. ¿Cómo se planea y se ejecuta el presupuesto departamental y munici- pal en Colombia? ¿Quién fiscaliza y controla el presupuesto de cada departamento? Observa el diagrama sobre la meta fiscal respecto al balance estruc- tural del Gobierno Nacional Central en Colombia. Luego, determina la meta para el 2024, en términos del porcentaje del PIB. 19 Estándares: Pensamientos númerico, variacional y aleatorio Para tener en cuenta Para modelar situaciones de crecimiento o decaimiento, se utiliza la función exponencial: f(t) 5 P0 ekt Donde P0 es la cantidad inicial, cuando t 5 0, y k es una constante. Si k . 0, entonces la función representa un crecimiento. Si k , 0, entonces la función representa un decaimiento. Cuando tengas una meta financiera como un viaje, es importante hacer un plan de presupuesto para establecer cómo y en cuánto tiempo la puedes alcanzar. 0 -0,5 -2,4 -2,4 -2,3 -2,2 -2,1 -2,0 -1,4 -1,2 -1,0 -0,8-1,9 -1,6 -1 -2 -3 -1,5 -2,5 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 Metas de Déficit Estructural 2014: 2.3% del PIB 2018: 1.9% del PIB 2022 1.0% del PIB
  21. 21. Luego, completa la tabla con las semejanzas y diferencias con tu presu- puesto personal y presupuesto familiar. El siguiente presupuesto corresponde al Presupuesto de la Nación para el 2014, consulta sobre los ingresos, los gastos y las inversiones que realiza el Gobierno. En busca de la respuesta Describe los tipos de inversión que realiza el Gobierno de Colombia. Ahora que conoces este tema, te proponemos que investigues un poco más. Para ello, plantea una o varias preguntas que te servirán como punto de partida. Para este caso, te sugerimos las siguientes: ¿Cómo participan los ciudadanos en la creación del presupuesto nacio- nal? ¿Cuál es el seguimiento y control que tiene el Presupuesto de la Nación y el presupuesto de mi familia? • Escribe otra pregunta que sirva como planteamiento del problema. 20 Proyecto: Educación económica y financiera Para tener en cuenta El balance de un presupuesto, lo obtienes de la diferencia del total de tus ingresos con el total de tus gastos. Presupuesto Personal Familiar Nacional Semejanzas Diferencias Concepto $mm % PIB Ingresos Totales 132.036 17,1 Tributarios 113.819 14,8 Dian 113.616 14,7 Otros 203 0,0 No Tributarios 560 0,1 Fondos Especiales 2.381 0,3 Recursos de Capital 15.276 2,0 Gastos Totales 149.785 19,4 Intereses 19.102 2,5 Funcionamiento + Inversión 130.567 16,9 Funcionamiento 112.363 14,6 Servicios personales 17.219 2,2 Transferencias 89.478 11,6 Gastos Generales 5.667 0,7 Inversión 18.204 2,4 Préstamo neto 115 0,0 Balance Total -17.749 -2,3 Total a Financiar -17.749 -2,3 Balance Primario 1.353 0,2 Ingresos: Gastos: Inversiones:
  22. 22. 2. Propongo una hipótesis Las hipótesis son afirmaciones o posibles soluciones que podrían re- solver el problema que estás investigando. Durante el transcurso de la investigación debes comprobar, replantear o rechazar las diversas hipótesis para llegar a una respuesta. Lee los siguientes ejemplos de hipótesis. Luego, plantea las tuyas. • La participación de los colombianos en el Presupuesto de la Nación es escasa debido a la falta de información. • Faltan hábitos financieros responsables para la ejecución del presu- puesto nacional y familiar. 3. Busco la información pertinente • Consulta la página del Ministerio de Hacienda y Crédito Público para encontrar el Presupuesto de la Nación. www.minhacienda.gov.co/ • También podrás consultar sobre los mecanismos de seguimiento en el portal de transparencia económica. www.pte.gov.co/WebsitePTE/ • Busca en algunas de las siguientes fuentes la información que nece- sitas para hacer tu consulta. Periódicos Revistas Internet 4. Organizo y analizo la información • Lee cada uno de los siguientes hábitos en el presupuesto. Luego, identifica cuáles de ellos mejorarían el presupuesto nacional, de- partamental y familiar. Explica tu respuesta. El Banco de la República se encarga de realizar las proyecciones de los indicadores económicos. 21 Estándares: Pensamientos númerico, variacional y aleatorio Hacer seguimiento de presupuesto Transparencia en el presupuesto Presupuesto flexible
  23. 23. Observa la evolución del gasto del presupuesto nacional. Luego, indica estrategias para disminuir los gastos en algunos sectores. Explica tu respuesta. Analiza los gastos en tu presupuesto familiar. Luego, completa la tabla con los gastos familiares que puedes recortar o disminuir con el objeti- vo de alcanzar un balance positivo al final de cada mes. • Consulta cuatro posibles inversiones que puede realizar tu familia para generar mayores ingresos mensuales. En busca de la respuesta El portal de la transparencia económica permite realizar consultas sobre gestión de los recursos públicos incluido el presupuesto nacional. 22 Proyecto: Educación económica y financiera SGP Pensiones Gastos de Personal Resto de Funcionamiento CREE Inversión 64,8 73,2 72,4 68,9 80,7 86,9 90,0 99,0 102,0 118,8 117,5 125,6 136,4 148,8 155,4 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 BillonesdePesosde2014 En el mismo período el Funcionamiento se incrementó 29% con variación anual promedio de 6,48% Entre 2010 y 2014 Inversión creció 44%, con variación anual promedio de 9,51% 26% 23% 15% 18% 19% Gastos a reducir o eliminar Estrategia Ahorro mensual en pesos Agua y luz Alimentación
  24. 24. 5. Compruebo mi hipótesis Una vez recogida toda la información y realizado el estudio sobre el presupuesto nacional y familiar, debes proceder a interpretarla. Para ello, escribe las conclusiones. Luego, determina la hipótesis que expli- ca en forma clara el problema de tu investigación y explica su valor frente a las respuestas obtenidas. 6. Concluyo y expongo el producto final Finalmente, debes presentar las conclusiones de tu investigación. Para ello, te proponemos que lo hagas presentando un plan de presupuesto para la fiesta de grado once. Ten como guía el modelo. Para realizar el plan del presupuesto para la fiesta de grado es nece- sario determinar los ingresos con los que se puede contar. Para ello te proponemos los siguientes. Los aportes son los apoyos económicos que se recibirán, estos también pueden ser las actividades para recolectar fondos. Los patrocinadores son aquellas empresas o personas que apoyarán tu fiesta de grado a cambio de poder hacer publicidad con tu evento. 23 Estándares: Pensamientos numérico, variacional y aleatorio Trabajo en equipo Reúnete con uno de tus compañeros y analicen las conclusiones de sus proyectos. Luego, realicen una presentación multimedia en la cual expliquen los detalles de la inversión del Presupuesto de la Nación en alguno de los sectores propuestos por el Gobierno. Presupuesto de la fiesta Gastos Ingresos Valor en pesos Valor en pesos Lugar Aportes Alquiler Actividades para ingresos Sonido Decoración Totales Totales Decoración Patrocinios Flores Velas Iluminación Otros Totales Totales Refrigerio Otros Alimentación Totales Gastos totales Totales Resultados finales Valores reales Ingresos totales Gastos totales Balance total
  25. 25. TALLER 24 Pensamientos espacial y métrico 3 Solución de problemas Plano cartesiano Analiza la resolución del siguiente problema. 1. Martín quiere representar un rectángulo en el plano cartesiano; sin embargo, olvida las coordenadas de uno de sus vértices. Si los vértices que recuerda Martín son los puntos G(–3, –2), H(1, 4) e I(−3, 4), ¿cuáles son las coordenadas del vértice J para formar el rectángulo GJHI? AA Comprende el problema. Datos: Martin quiere representar un rectángulo GJHI en el plano cartesiano. Los vértices del rectángulo que recuerda son: G(–3, –2), H(1, 4) e I(−3, 4). Pregunta: ¿Cuáles son las coordenadas del vértice J del rectángulo GJHI? EE Elabora un plan y llévalo a cabo. Se usarán propiedades geométricas para determinar el vértice J del rectángulo GJHI. Se ubican los vértices conocidos en el plano cartesiano y se traza una recta L paralela al lado HI y una recta t paralela al lado GI, ya que un rectángulo tiene sus lados opuestos paralelos. Luego se ubica el vértice J en la intersección de ambas rectas y se determinan sus coordenadas. N J(1, −2) II Verifica y redacta la respuesta Para comprobar lo obtenido se utilizará como estrategia dibujar una cuadrícula. Se cuentan los cuadrados que forman el largo y el ancho del rectángulo. Respuesta: Las coordenadas del vértice J son (1, −2). Usar propiedades geométricas Para resolver problemas relacionados con las coordenadas de los vértices de un polígono en el plano cartesiano, se pueden utilizar las propiedades de los triángulos o paralelogramos. Dibujar una cuadrícula Cuando una figura está representada en el plano cartesiano, es posible dibujar una cuadrícula en este para contar los cuadrados que forman los lados de la figura y así identificar las coordenadas de un vértice o calcular su área y perímetro. Estrategias El plano cartesiano es un sistema que se utiliza para localizar puntos. Está formado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes, cuyo punto de intersección O recibe el nombre de origen, y corresponde al 0 en ambos ejes. La recta horizontal se denomina eje X o eje de las abscisas, y la vertical, eje Y o eje de las ordenadas. Para ubicar un punto (a, b) en el plano cartesiano, se sitúa a sobre el eje X, y b sobre el eje Y. Recuerda que... J(1, –2) X Y H 4 4 6 6 I G –1–1 –2 1 2 3 4 –3 –4 1 2 3 4–2–3–4–5 J X Y H G –1–1 –2 1 2 3 4 –3 –4 1 2 3 4–2–3–4–5 I t L
  26. 26. Solución de problemas 25 Completa la resolución del siguiente problema. 2. La imagen muestra la base de un triángulo LMK. Si este triángulo es isósceles, su altura en M mide 6 cm y dicho vértice se encuentra en el segundo cuadrante, ¿cuáles son sus coordenadas? AA Comprende el problema. Datos: El triángulo LMK es . La altura en M mide cm. El vértice M se encuentra en el cuadrante. Pregunta: EE Elabora un plan y llévalo a cabo. Se usarán propiedades geométricas para determinar las coordenadas del vértice M del triángulo LMK. La altura en M del triángulo isósceles KLM es un segmento de recta perpendicular al lado KL que pasa por su punto medio. Se traza este segmento hasta completar una altura de de 6 cm. II Verifica y redacta la respuesta La estrategia que se utilizará para comprobar lo obtenido es . d(K, M) = √ = d(L, M) = √ = Luego, d(K, M) d(L, M). Respuesta: La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras. X (b – d) cm P(a, b) Q(c, d) (a – c) cm d Y O–1–1 –2 1 2 3 4 –3 –4 1 2 3 4 5–2–3–4–5 d = (b – d) cm +(a – c) cm d = (b – d) +(a – c) cm 2 2 2 2 2 2 2 Recuerda que... En relación con las estrategias presentadas, ¿cuál crees que es más conveniente para resolver este problema? Justifica. Propón otra estrategia y resuelve el problema. Evalúo la estrategia X LK Y –1–1 –2 1 2 3 4 –3 –4 1 2 3 4 5–2–3–4–5 1 cm 1 cm X LK M Y O–1–1 –2 1 2 3 4 –3 –4 1 2 3 4 5–2–3–4–5 (x) LK (y) O–1–1 –2 1 2 3 –3 –4 1 2 3 4 5–2–3–4–5 N 4 M = ( , )
  27. 27. 26 Taller 3 Resuelve los siguientes problemas. 3. ¿Cuál es el área de un cuadrado de perímetro igual al perímetro del polígono ABCD representado en el plano cartesiano? El área de un trapecio isósceles de base a y altura b es equivalente al área de un rectángulo de largo a y ancho b. b a b a Recuerda que... (x) B CD A (y) O–1–1 –2 1 2 3 4 –3 –4 1 2 3 4 5–2–3–4–5 Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  28. 28. 27 Solución de problemas 4. Laura representa en el plano cartesiano un polígono ABCD de vértices: A(−2, 10), B(1, 6), C(4, 10) y D(1, 14). ¿Cuál es el área de la figura representada por Laura? Considera que cada unidad en el plano cartesiano representa 1 cm. En un rombo las diagonales son perpendiculares. O D B CA Además se cumple: AO = OC DO = OB Recuerda que... -- Destaca los datos y la pregunta del problema. -- Representa el polígono en el plano cartesiano. -- Aplica las propiedades geométricas que se cumplen en la figura. -- No olvides verificar tu resultado. -- Escribe la respuesta del problema. Ayuda Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  29. 29. TALLER 28 Pensamientos espacial y métrico Solución de problemas Vectores4 Analiza la resolución del siguiente problema. 1. Carlos parte de un punto A y se desplaza hacia el este 3 km. Luego, 1 km hacia el norte, después 5 km hacia el oeste y, por último, 4 km hacia el sur, y así llega a la ciudad B. ¿Cuáles son las componentes del vector BA si el punto A está en el origen? AA Comprende el problema. Datos: Carlos parte de un punto A que está en el origen. Se desplaza 3 km hacia el este, 1 km hacia el norte, 5 km hacia el oeste y 4 km hacia el sur. Pregunta: ¿Cuáles son las componentes del vector BA? EE Elabora un plan y llévalo a cabo. Se construirá un esquema para determinar las componentes del vector BA. Se ubica el punto A en el plano cartesiano y se representan con flechas los desplazamientos realizados por Carlos hasta el punto B. Luego, se identifican las coordenadas de B y se calcula la diferencia entre las coordenadas de los puntos A y B. N B(–2, –3) X B 5 km 3 km 4 km Oeste Norte Sur Este 1 km Y O–1–1 –2 1 2 3 4 –3 –4 1 2 3 4 5–2–3–4–5 A II Verifica y redacta la respuesta Para comprobar lo obtenido se utilizan propiedades numéricas. Se calcula la suma entre las componentes del vector BA y las coordenadas del punto B, verificando que el resultado sea igual a las coordenadas del punto A. (2 + –2, 3 + –3) = (0, 0) = A Respuesta: Las componentes del vector BA son (2, 3). Construir un esquema Para resolver problemas que traten de desplazamientos en los diferentes puntos cardinales, se puede utilizar una representación del plano cartesiano para ubicarlos y facilitar la resolución. Usar propiedades numéricas Para establecer las distintas relaciones entre las componentes de un vector y las coordenadas del punto de origen y del extremo, es posible utilizar la operatoria entre ellos. Estrategias Un vector es un segmento orientado con un punto inicial u origen y uno final o extremo. Si A y B son dos puntos en el plano cartesiano, el vector con origen en A y extremo en B se simboliza AB y se lee “vector AB". Un vector se caracteriza por su magnitud, dirección y sentido. Si A(a1 , a2 ) y B(b1 , b2 ), entonces las componentes del vector AB están dadas por: AB = (b1 – a1 , b2 – a2 ) Recuerda que... N BA = (0 – –2, 0 – –3) BA = (0 + 2, 0 + 3) BA = (2, 3)
  30. 30. Solución de problemas 29 Completa la resolución del siguiente problema. 2. Un automóvil comienza su recorrido en un punto P y viaja en línea recta hacia el este 4 km y luego hacia el norte 3 km. ¿Cuáles son las componentes del vector que representa el desplazamiento del automóvil si el punto P se ubica en el origen del plano cartesiano (0, 0)? AA Comprende el problema. Datos: El automóvil comienza su recorrido en que está ubicado en . El automóvil recorre hacia el y luego hacia el . Pregunta: EE Elabora un plan y llévalo a cabo. Se construirá un esquema para determinar las coordenadas del vector que representa el desplazamiento del automóvil. Se ubica el punto P en el plano cartesiano y se representa el vector posición w que indica el recorrido hacia el este, el vector posición v que corresponde al recorrido del automóvil hacia el norte y el vector u , que representa el desplazamiento total del automóvil. N w = (4, ) v = ( , 3) N u = w + v u = (4 + , + 3) u = ( , ) X Oeste Norte Sur Este Y II Verifica y redacta la respuesta La estrategia que se utilizará para comprobar lo obtenido es Respuesta: Dados dos vectores posición en el plano cartesiano, u = (a, b) y v = (c, d), el vector u + v se obtiene mediante la suma de sus componentes: u + v = (a + c, b + d) X Y –1–1 –2 1 2 3 –3 1 2 3 4 5–2 4 5 u + v u v Recuerda que... En relación con las estrategias presentadas, ¿cuál crees que es más conveniente para resolver este problema? Justifica. Propón otra estrategia y resuelve el problema. Evalúo la estrategia
  31. 31. 8 y x8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 30 Taller 4 Resuelve los siguientes problemas. 3. Un barco encallado es socorrido por dos remolcadores, como se muestra en la figura. Si las flechas representan la fuerza aplicada por cada remolcador, ¿cuál es la magnitud de la fuerza total aplicada al barco? La magnitud de un vector AB se simboliza IIABII. En el plano cartesiano, la magnitud se puede calcular de las siguientes formas: N IIABII = (b – a ) +(b – a )1 1 2 2 2 2 donde A(a1 , a2 ) y B(b1 , b2 ). N II v II = (v ) +(v )1 2 2 2 donde v = (v1 , v2 ). Recuerda que... Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  32. 32. Solución de problemas 31 4. Una araña está en un vértice de una pared con forma rectangular cuyas dimensiones son 8 m de largo y 6 m de alto, y quiere ir al vértice diametralmente opuesto. ¿Cuál es el vector que representa el desplazamiento que debe realizar la araña para recorrer la menor distancia posible? Dados dos vectores en el plano cartesiano u = (a, b) y v = (c, d), el vector u – v se obtiene mediante la sustracción de sus componentes: u – v = (a – c, b – d) u v u – v Recuerda que... -- Identifica los datos y la pregunta del problema. -- Representa las medidas del largo y del alto de la pared como vectores en el plano cartesiano. -- Ubica a la araña en el origen. -- Determina el vector correspondiente a la suma de los vectores que representan el largo y el alto de la pared. -- Calcula la magnitud del vector obtenido. -- Comprueba la solución obtenida. -- No olvides escribir la respuesta al problema. Ayuda Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  33. 33. 1. Exploro el problema En las vías del país se presentan muchos ac- cidentes de tránsito, de- bido al incumplimiento de un factor elemental que consiste en mante- ner una distancia pru- dente con el vehículo que va adelante. Esto se debe a que hay con- ductores que manejan a gran velocidad y con exceso de confianza, conducen muy cerca de otros automóviles y en el momento de una frenada intempestiva por alguna circunstancia, se ocasionan accidentes que se pueden prevenir si tuviesen mayor precau- ción. Pero ¿cuál es la distancia adecuada para frenar y evitar un accidente? Los factores que influyen son diversos como la distancia de percepción, el tiempo de frenado, el tiempo de reacción, la velocidad y las condicio- nes del asfalto o los neumáticos. La distancia de percepción es la distancia que alcanza a recorrer el ve- hículo mientras el conductor reacciona y acciona los frenos, posterior- mente existe la distancia de frenado que es la longitud que hay desde el momento que se aplican los frenos hasta que el vehículo se detiene completamente. El tiempo de reacción hace re- ferencia al tiempo que tarda el conductor en percibir la situa- ción y pisar el freno; y el tiempo de frenado es el tiempo que tarda el vehículo en detenerse comple- tamente desde que se accionan los frenos. El tiempo de reacción en promedio es de 0,75 s aunque dependiendo la pericia del con- ductor, el nivel de cansancio o concentración puede variar con- siderablemente. ¿Cómo puedo determinar el exceso de velocidad de un auto en un accidente de tránsito a partir de la distancia de frenado? En busca de la respuesta Pregunta clave 32 Ámbito conceptual: Comprensión del entorno PROYECTO Movilidad segura Eje temático: Movilidad Desempeño Conceptos clave Analizo situaciones en las vías en las cuales se identifican problemas de movilidad, comportamientos inadecuados y conductas riesgosas de peatones, pasajeros y conductores. ✓✓ Conceptos clave ✓✓ Distancia de frenado ✓✓ distancia de percepción ✓✓ movilidad ✓✓ norma ✓✓ prevención ✓✓ velocidad
  34. 34. La velocidad es la distancia que ha recorrido el vehículo en un tiempo determinado y se mide en kilómetros por hora (km/h). La velocidad resulta ser un factor determinante ya que entre mayor sea, más difícil será detener el vehículo completamente, por ello el Código de Tránsito en su artículo 108 establece la separación entre vehículos que circulan uno tras del otro por el mismo carril para diferentes velocidades. Para velocidades de hasta 30 kilómetros por hora, debe haber una dis- tancia de 10 metros. Para velocidades entre 30 y 60 kilómetros por hora, debe haber una distancia de 20 metros. Para velocidades entre 60 y 80 kilómetros por hora, debe haber una distancia de 25 metros. Para velocidades superiores a los 80 kilómetros por hora debe ser míni- mo de 30 metros o la que la autoridad competente indique. • Marca con una “7” el automotor que debería estar a mayor distancia de otro vehículo para prevenir un accidente si se mueven a una mis- ma velocidad. Justifica tu respuesta. • Indica cuál de los conductores tendría un menor tiempo de reacción. Explica tu respuesta. • Ahora que conoces algo de este tema, te proponemos que investi- gues un poco más. Para ello, es necesario que plantees una o varias preguntas que serán útiles como punto de partida de tu investiga- ción. Algunas preguntas que te pueden servir, son las siguientes: ¿Cómo calcular la distancia que se debe tener con respecto a otro ve- hículo que circula en la misma dirección y carril de acuerdo con la velocidad con que se conduce? A partir de la distancia de frenado, ¿es posible hallar la velocidad que llevaba el automóvil antes de frenar? • Escribe otra pregunta que sirva como planteamiento del problema. 33 Para tener en cuenta Estándares: Pensamientos númerico y variacional En todos los casos que se debe guardar distancia entre dos vehículos, es indispensable tener en cuenta otros factores físicos que pueden alterar la capacidad de frenado como es el estado del suelo, la humedad y el peso del vehículo.
  35. 35. 2. Propongo una hipótesis Las hipótesis son afirmaciones o posibles soluciones que podrían re- solver el problema que estás investigando. Durante el transcurso de la investigación debes comprobar, replantear o rechazar las diversas hipótesis para llegar a una respuesta. Lee los siguientes ejemplos de hipótesis. Luego, plantea las tuyas. • Entre mayor sea la velocidad de un vehículo la distancia que debe guardar respecto a otro que va delante de él debe ser mayor. • La eficacia de la frenada depende de la interacción entre la carretera y los neumáticos del automóvil, por ello la distancia de frenado puede variar dependiendo de las condiciones que tengan estos elementos. 3. Busco la información pertinente En los siguientes enlaces podrás encontrar una explicación de cómo calcular la distancia de percepción, distancia de frenado y la velocidad que lleva un automóvil midiendo su frenada. www.profesorenlinea.cl/fisica/Detencion_de_movil.html www.canaldeciencias.com/2013/02/16/c%C3%B3mo-funciona-4-calcu- lar-la-velocidad-de-un-autom%C3%B3vil-midiendo-su-frenada/ El Código de Tránsito de Colombia, estipula en su título III capítulo XI, los límites de velocidad. En el siguiente enlace puedes consultar dicha información www.colombia.com/noticias/codigotransito/t3c11.asp Para conocer cómo se define la culpabilidad en un choque por no con- servar la distancia necesaria te puedes entrevistar con un perito de tránsito o de una aseguradora. 4. Organizo y analizo la información • La gráfica representa la distancia de percepción de una situación riesgosa en función de la veloci- dad que lleva el automóvil. En- cuentra la expresión matemática que representa la gráfica. Luego, responde las siguientes pregun- tas: ¿Qué tipo de función es? ¿Qué puedes concluir de la relación que existe entre la distancia de percepción y la velocidad que lleva el automóvil? Si un automóvil viaja a 54 kilómetros por hora y percibe un peligro inminente en frente suyo y aplica los frenos, ¿qué distancia recorrerá antes de aplicar los frenos? ¿Cuánto tiempo ha transcurrido? En busca de la respuesta 34 Proyecto: Movilidad segura Trabajo en equipo Para cambiar las unidades de medida de la velocidad de kilómetros por hora a metros por segundo se utiliza el factor de conversión. h km s m " 1 km: 1.000 m 1 h: 3.600 s Entonces, se tiene h km m s 1 1 1 3.600 1 km h00 $ $ 0 0 10 20 20 Velocidad (m/s) Distancia depercepción(m) 40 60 30 40
  36. 36. • La expresión matemática que permite relacionar la velocidad que lleva un automóvil con la distancia de frenado es: Df g v 2ϭ 2 Donde Df es la distancia de frenado, v es la velocidad que lleva el ve- hículo cuando acciona los frenos, g es la constante gravitacional de la Tierra que equivale a 0,0098 km/s2 y m es el coeficiente de rozamien- to que corresponde aproximadamente a 0,5 para el contacto entre un neumático viejo y el asfalto. De acuerdo con la anterior información completa una tabla como la siguiente. • Construye las gráficas de v en función de Df y v2 en función de Df. Luego, responde: • ¿Qué tipo de función representa cada gráfica? • En la gráfica de v2 en función de Df, ¿qué representa el factor 2gm? • Consulta en los enlaces sugeridos el coeficiente de rozamiento para diferentes materiales de la carretera. Luego, calcula la distancia de frenado para un vehículo que viaja a una velocidad de 70 km/h para diferentes coeficientes de rozamiento. 5. Compruebo mi hipótesis Una vez almacenada la información necesaria en tablas y gráficas, debes proceder a interpretarla. Para ello, escribe las conclusiones que puedes obtener de los factores que se deben tener en cuenta para man- tener una distancia de frenado adecuada. Luego, determina la hipóte- sis que explica en forma clara el problema de tu investigación y com- prueba el grado de validez de cada una de las hipótesis planteadas. 6. Concluyo y expongo el producto final Finalmente, debes presentar las conclusio- nes de tu investigación. Para ello te propo- nemos que plantees un riesgo inminente para una persona que al cruzar la calle no se percata de la presencia de un vehículo que viene a gran velocidad. Asigna algu- nos datos a la situación planteada como la condición de las llantas del auto, material de la carretera, distancia de frenado que se marcó en la carretera y velocidad permitida en el sitio. Luego, expón a tus compañeros en una cartelera el resultado de tu análisis indicando si el vehículo atropelló al peatón y si sobrepasaba el límite de velocidad permitido en el lugar. m 35 Estándares: Pensamientos númerico y variacional Trabajo en equipo Reúnete con tres compañeros y planteen varias recomendaciones para mantener una distancia de frenada adecuada entre vehículos. Luego, en mesa redonda discute con todos tus compañeros de curso, la eficacia de las recomendaciones planteadas para prevenir accidentes. Df(m) 20 40 60 80 100 120 140 v (km/h) v2 (km/h)
  37. 37. TALLER 36 5 Solución de problemas Funciones Pensamiento variacional Analiza la resolución del siguiente problema. 1. En un parque de diversiones cada socio debe pagar $ 20.000 por el ingreso más $ 4.000 por cada juego en el que participe. Si una persona no es socio del parque, debe cancelar $ 15.000 por el acceso más $ 7.000 por cada juego en el que participe. Si una persona participa en cinco juegos, ¿le conviene ser socio del parque de diversiones? AA Identifica los datos y la pregunta del problema Datos: Si una persona es socio de un parque de diversiones debe pagar $ 20.000 por el ingreso más $ 4.000 por cada juego en el que participe. Si una persona no es socio debe pagar $ 15.000 por el ingreso y $ 7.000 por cada juego en el que participe. Pregunta: ¿A una persona que participa en cinco juegos le conviene ser socio del parque de diversiones? EE Elige una estrategia para resolver el problema Se modelará la situación con una función y luego se evaluará para determinar si es conveniente ser socio del parque si se participa en 5 juegos. Si x representa la cantidad de juegos del parque de diversiones en los que se participa y f el valor que se debe pagar: Si es socio del parque, la función que modela el valor a pagar es: f (x) = 4000 x + 20.000 f (5) = 4.000 · 5 + 20.000 = 20.000 + 20.000 = 40.000 Si no es socio del parque, la función que modela el valor a pagar es: f (x) = 7000 x + 15.000 f (5) = 7.000 · 5 + 15.000 = 35.000 + 15.500 = 50.000 II Verifica y redacta la respuesta Para comprobar lo obtenido se graficarán ambas funciones y se compararán sus valores para x = 5 juegos. Respuesta: Si una persona participa en cinco juegos le conviene ser socio del parque. Utilizar una función Una situación se puede modelar mediante una función estableciendo las relaciones existentes entre los datos del problema. Hacer un gráfico Para poder comparar los valores que toma una función, es posible construir un gráfico; para luego interpretarlo y visualizar el comportamiento de la variable. Estrategias Una función f de un conjunto A en un conjunto B (f : A " B) es una relación que asocia a cada elemento x de A, llamado preimagen, un único elemento y de B, llamado imagen. f: A " B conjunto de llegada x " y = f (x) preimagen imagen Recuerda que... conjunto de partida 45.000 $ Parque de diversiones 40.000 35.000 30.000 25.000 20.000 15.000 10.000 5.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Cantidad de juegos Es socio del parque No es socio del parque
  38. 38. 37 Solución de problemas Completa la resolución del siguiente problema. 2. Alberto quiere contratar los servicios de una compañía telefónica y cuenta con los datos de dos de ellas. Las tarifas de cada compañía se presentan en la tabla. ¿Cuál es la empresa más conveniente para Alberto si habla 300 minutos en un mes? AA Comprende el problema. Datos: La compañía A cobra un cargo fijo de y por minuto. La compañía B cobra un cargo fijo de y por minuto. Alberto habla minutos en un mes. Pregunta: EE Elabora un plan y llévalo a cabo. Se modelará la situación con una función y luego se evaluará para determinar qué compañía es más conveniente al hablar 300 minutos. Si x representa la cantidad de minutos y f el valor que se debe pagar: Compañía A: f (x) = · x + f (300) = Compañía B: f (x) = · x + f (300) = II Verifica y redacta la respuesta La estrategia que se utilizará para comprobar lo obtenido es Respuesta: La gráfica de una función f es el conjunto de pares ordenados (x, y) que cumplen y = f (x). Se dice que el par ordenado (x, y) pertenece a la gráfica de f, o bien que la gráfica de f pasa por el punto (x, y). Recuerda que... En relación con las estrategias presentadas, ¿cuál crees que es más conveniente para resolver este problema? Justifica. Propón otra estrategia y resuelve el problema. Evalúo la estrategia Compañía Cargo fijo Valor de 1 minuto A $ 8.000 $ 150 B $ 7.000 $ 200
  39. 39. 38 Taller 5 Resuelve los siguientes problemas. 3. Un teléfono celular baja de precio rápidamente cuando comienza a quedar obsoleto. Si el precio original es de $ 240.000 y se devalúa en $ 2.000 por mes, ¿después de cuánto tiempo el precio del teléfono celular se devaluará a la mitad? Una función lineal es una función f que puede escribirse de la forma f (x) = c · x, con c ! R. El gráfico de esta función corresponde a una recta que pasa por el origen (0, 0). El valor c representa la pendiente de la recta. Recuerda que... Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  40. 40. 39 Solución de problemas 4. En el detalle de una cuenta de uso de energía eléctrica se tiene que el cargo fijo es de $ 20.000 y por el consumo de 1 kWh se cobran $ 180, aproximadamente. Una familia obtiene un beneficio, que consiste en un descuento del 15% sobre el valor total que deberían pagar por su consumo de electricidad. Si consumen 317 kWh, ¿cuál es el valor del descuento? Una función afín es una función de la forma f (x) = m · x + n con m y n números reales distintos de cero. La constante m recibe el nombre de pendiente. El gráfico de esta función es una recta que corta el eje Y en el punto (0, n). Recuerda que... -- Representa la función que modela el cobro de los kWh consumidos. -- Evalúa la función para 317 kWh. -- Calcula el 15% del valor a pagar por 317 kWh. -- No olvides verificar tu resultado. -- Escribe la respuesta al problema. Ayuda Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  41. 41. TALLER 40 6 Solución de problemas Función exponencial, logarítmica y raíz cuadrada Pensamiento variacional Analiza la resolución del siguiente problema. 1. El crecimiento de un cultivo de bacterias se determina a partir de la función f (t) = t0 et , donde “e” es un número irracional que es aproximadamente igual a 2,718281 y “t” es el tiempo de reproducción en horas. Si inicialmente se tienen 10 bacterias, ¿cuántas bacterias habrá al cabo de 2 horas? AA Comprende el problema. Datos: El crecimiento de un cultivo de bacterias se determina por medio de la función f (t) = t0 e t . Inicialmente se tienen 10 bacterias. Pregunta: ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 2 horas? EE Elabora un plan y llévalo a cabo. Se utilizará la función exponencial correspondiente y luego se resolverá la situación. En la función exponencial f (t) = t0 e t , se tiene que t0 = 10 (bacterias iniciales). Luego, f(t) = 10et . f (2) = 10e2 Se remplaza t = 2 en la función. f (2) = 10(2,7182)2 Se escribe el valor aproximado de “e”. f (2) ≈ 73,8861 Se resuelven las operaciones. II Verifica y redacta la respuesta Para comprobar lo obtenido se utilizará ensayo y error. t Función 8 o 4 1 f (1) = 10(2,7182)1 = 27,182 8 2 f (2) = 10(2,7182)2 = 73,8861 4 Respuesta: Al cabo de 2 horas se tendrán 73,8861 bacterias. Unafunción exponencial f :  " + se define por: f (x) = a x , a ! + – {1}. Ejemplo Si f (x) = 5x , entonces: f(2) = 52 = 25 Un caso especial de la función exponencial se presenta cuando se tiene f (x) = e x , considerando el número irracional e = 2,718182… Recuerda que... Utilizar una función Para resolver un problema utilizando una función debes identificar la variable, luego relacionarla por medio de las expresiones involucradas y después resolverla. Ensayo y error Esta estrategia consiste en escoger un valor numérico y valorizar la función para ver si cumple con las condiciones pedidas. Estrategias
  42. 42. 41 Solución de problemas Completa la resolución del siguiente problema. 2. En 1935, el geólogo Charles Richter (1900-1984) estableció la expresión R = log I S para determinar la magnitud de un terremoto. En esta expresión I representa la intensidad del terremoto y S, la intensidad de un terremoto estándar. En 1999, hubo en Armenia (Colombia) un terremoto cuya magnitud fue de 6,4 grados en la escala de Richter y en 1960 hubo un terremoto cuya magnitud fue 1.584 veces mayor, en Valdivia (Chile). ¿Cuál fue la magnitud del terremoto de Valdivia? AA Comprende el problema. Datos: La magnitud del terremoto en Armenia fue de . En Valdivia hubo un terremoto cuya magnitud fue veces mayor que el de Armenia. Pregunta: EE Elabora un plan y llévalo a cabo. Se utilizará la función logarítmica correspondiente y luego se resolverá. R = log 1.584 + log R = R = log 1.584 • I S R = log I S = 6,4 II Verifica y redacta la respuesta La estrategia que se utilizará para comprobar lo obtenido es Magnitud Función 8 o 4 Respuesta: Considerando a ∈ + – {1}, x, y ∈ + , se tienen las siguientes propiedades: • loga (x • y) = loga x + loga y • log a x y = log a x log a y log a A = log y A log y a , y 1 • loga (xy ) = y loga x • log a x y = log a x log a y log a A = log y A log y a , y 1 Ejemplo log(50) = log (5 • 10) = log (5) + log (10) = log (5) + 1  0,69897 + 1  1,69897 Recuerda que... En relación con las estrategias presentadas, ¿cuál crees que es más conveniente para resolver este problema? Justifica. Propón otra estrategia y resuelve el problema. Evalúo la estrategia
  43. 43. 42 Taller 6 Resuelve los siguientes problemas. 3. El número de gametos g (un tipo especial de célula reproductiva) en cierta especie de plantas está determinado por la función g(n) = 2n , donde n es el número total de células que tiene, por lo común, un individuo de la especie. ¿Cuántas células tiene una planta que tiene 2.048 gametos? Alresolver una ecuación exponencial, puedes aplicar la propiedad de los logaritmos para calcular el valor de la incógnita. Ejemplo 3x = 19.683 log(3x ) = log (19.683) xlog(3) = log (19.683) x = log (19.683) log (3) x = 9 Recuerda que... Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  44. 44. 43 Solución de problemas 4. Se define la función ( )f(x) = 3x + 6 1 2 , ¿cuál es el dominio de la función? Una potencia con exponente racional se relaciona con una expresión radical de la siguiente forma: a = a a = a n p np 2 3 23 Ejemplo a = a a = a n p np 2 3 23 Recuerda que... El dominio de una función f(x) = x f(x) = x + 3 es+ ∪ {0}, ya que x H 0. Ejemplo El dominio de la funciónf(x) = x f(x) = x + 3 se puede representar con Dom(f  ) = [–3, +∞). Ayuda Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  45. 45. CREACIÓN DE PROBLEMAS 44 Analiza la información y luego sigue las instrucciones para la creación de un problema. Una piscina tiene un volumen de 90 m3 de agua. Esta se vacía a razón de 6 m3 por minuto. a. Marca con un 4 el concepto que se relacionará con la resolución del problema. AA Expresiones algebraicas AA Ecuaciones AA Inecuaciones AA Funciones b. Elige una pregunta y márcala con un 4. AA ¿Cuánta agua habrá en la piscina a los 5 minutos que empezó a vaciarse? AA Si la piscina contiene 30 m3 de agua, ¿cuánto tiempo ha transcurrido desde que comenzó a vaciarse? AA ¿En cuánto tiempo se vaciará la piscina por completo? AA ¿Cuánto tiempo como mínimo debe transcurrir para que el volumen de agua vaciada sea mayor a la mitad del volumen de agua inicial de la piscina? AA ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el volumen de agua vaciada sea a lo menos 60 m3 ? AA Si el largo de la piscina mide (10x + 3y) m y el perímetro de su contorno es igual a (36x + 16y) cm, ¿qué expresión algebraica representa la medida del ancho de la piscina? (Considera x > 0, y > 0)
  46. 46. 45 Creación de problemas c. Redacta el problema según tus elecciones anteriores. d. Resuelve el problema que acabas de escribir. Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  47. 47. 1. Exploro el problema El conflicto armado en Colombia ha dejado miles de víctimas que han sido reconocidas por el Gobierno colombiano, lo que lleva a un gran avance en el tema de derechos humanos y derecho internacional hu- manitario. Todas las personas que han sido víctimas de la violencia en Colombia desde el año 1985 tienen derecho a una reparación integral, tanto eco- nómica como social. El Estado por medio de esta ley indemniza mone- tariamente a las víctimas y también realiza un acompañamiento en temas de salud, educación, vivienda y empleo entre otros. A continuación, te proponemos que profundices sobre el tema y reali- ces una investigación. Para esto, debes elaborar varias preguntas; como punto de partida, te sugerimos algunas: • ¿Quiénes son las víctimas del conflicto armado en nuestro país? • ¿Cuáles son los derechos que tienen las víctimas? • ¿En qué consiste la reparación integral? Escribe otra pregunta que sirva como planteamiento del problema: 2. Propongo una hipótesis Las hipótesis son afirmaciones o posibles soluciones que podrían re- solver el problema que estás investigando. Durante el transcurso de la investigación debes comprobar, replantear o rechazar las diversas hipó- tesis para llegar a una respuesta. Lee los siguientes tipos de hipótesis. Luego, plantea las tuyas: • La Ley de víctimas es el primer paso del reconocimiento de las vícti- mas en el conflicto armado por parte del Estado colombiano. Las víctimas del conflicto armado tienen derecho a una reparación integral, tanto económica como social. ¿Cómo puedo orientar a una persona que ha sido víctima de la violencia por el conflicto armado en Colombia? En busca de la respuesta Pregunta clave 46 Dimensiones del sujeto activo de derechos: Sujeto político - Participación y responsabilidad democrática PROYECTO Eje temático: Igualdad de derechos Desempeño Conceptos clave Educación para el ejercicio de los derechos humanos Reconoce la Ley de víctimas y reparación de tierras como la posibilidad que tienen las víctimas del conflicto armado en Colombia para ser reparadas tanto económica como socialmente. ✓✓ Registro único de víctimas ✓✓ Restitución de tierras ✓✓ Víctimas del conflicto
  48. 48. 3. Busco la información pertinente Averigua la información que necesites en las siguientes fuentes: Ley de víctimas: www.unidadvictimas.gov.co Para consultar acerca del monto por el salario mínimo actual indaga en www.mintrabajo.gov.co/empleo/abece-del-salario-minimo.html Busca información adicional en otras fuentes. 4. Organizo y analizo la información Para organizar la información, puedes completar una tabla como la siguiente, referente a la reparación económica que puede recibir una víctima del conflicto armado: En busca de la respuesta Si la Unidad para la Atención y Reparación integral a las víctimas ha registrado 902.939 víctimas por homicidio, ¿cuánto dinero se ha otor- gado en total a este grupo de víctimas? ¿Podrías plantear una ecuación que permita realizar el cálculo del monto total que se tendría que pagar a cada grupo de víctimas? 5. Compruebo mi hipótesis Ahora, tienes que analizar la información que recogiste, organízala y toma nota de las ideas que pueden responder las preguntas que plan- teaste al comienzo de tu consulta. Para esto, lee nuevamente la hipó- tesis y verifica si los resultados obtenidos dan respuesta o explican de manera definitiva el problema de investigación. 6. Concluyo y expongo el producto final Finalmente, debes presentar el resultado de tu análisis. Puedes elegir la hipótesis que explica claramente el problema de tu investigación y justificar su valor frente a las respuestas obtenidas. También deberás explicar lo que concluiste de tu análisis. Presenta los resultados me- diante un resumen periodístico, para ello plásmalo en una ficha con las siguientes características: 47 Para tener en cuenta Estándares: Pensamientos numérico y aleatorio Las ecuaciones lineales pueden servir como modelo matemático para representar alguna situación real. Por ejemplo, la ecuación lineal C(x) 5 C ? x Representa el total de costos por unidad. Trabajo en equipo Reúnete con tres de tus compañeros de clase para que analicen las conclusiones del proyecto. Luego, realicen una cartelera en la que describan los derechos de una persona víctima del conflicto en nuestro país y lo que los ciudadanos podemos hacer para contribuir a su defensa. No olviden incluir imágenes alusivas al tema. Tipo de víctima Salarios mínimos Monto total recibido Homicidio 40 Desaparición forzada 40 Secuestro 40 Tortura 30 Violencia sexual 30 Título del artículo Ley de víctimas, ¿quiénes pueden acceder a la Ley de víctimas? Dinero que puede recibir una víctima Cifras sobre las víctimas (consultar web: www. unidadvictimas.gov.co/ Conclusiones de la investigación
  49. 49. TALLER 48 Pensamiento aleatorio 7 Analiza la resolución del siguiente problema. 1. En la siguiente tabla se registró la información obtenida de la medición de la masa corporal, en kilogramos, de 60 estudiantes. ¿Cuál es la media aritmética de los datos? AA Comprende el problema. Datos: La masa corporal de los estudiantes. Pregunta: ¿Cuál es la media aritmética de los datos? EE Elabora un plan y llévalo a cabo. Se construirá una tabla para determinar la media aritmética de los datos. Masa de un grupo de estudiantes Masa (kg) Mc f [50, 56) 53 6 [56, 62) 59 17 [62, 68) 65 22 [68, 74) 71 15 x = 53 • 6 + 59 • 17 + 65 • 22 + 71 • 15 60 x = 3.834 60 = 63,9 II Verifica y redacta la respuesta Para comprobar lo obtenido se construirá un histograma. x = 53 • 6 + 59 • 17 + 65 • 22 + 71 • 15 60 x = 3.834 60 = 63,9 25– 20– 15– 10– 5– 0– Masa de un grupo de estudiantes 0 50 56 62 68 74 53 59 65 71 Cantidaddeestudiantes Masa corporal (kg) Respuesta: La media aritmética de las masas corporales de los estudiantes es 63,9 kg. Construir una tabla En este tipo de problemas se utilizan tablas para organizar los datos y facilitar los cálculos necesarios para determinar medidas de tendencia central y de posición de un conjunto de datos. Construir un gráfico Para poder comparar un grupo de datos, es posible construir un histograma; para luego interpretarlo y visualizar el comportamiento de la variable. Estrategias La media aritmética (x) para datos agrupados en intervalos se calcula multiplicando la marca de clase (Mc ) de cada intervalo con su respectiva frecuencia absoluta (f  ), luego se suman estos valores y se divide el resultado por el número total de datos de la muestra (n). x = Mc1 • f1 + Mc2 • f2 + ... + McN • fN n Recuerda que... Masa corporal de un grupo de estudiantes Masa corporal (kg) f [50, 56) 6 [56, 62) 17 [62, 68) 22 [68, 74) 15 Solución de problemas Medidas de tendencia central y de posición
  50. 50. 49 Solución de problemas Para calcular la mediana (Me ) de datos agrupados en intervalos se utiliza la expresión: Me = a+(b – a)• n 2 – Fa f n: número total de datos. [a, b) : primer intervalo donde la frecuencia acumulada (Fa  ) sea mayor a n 2 . Fa : frecuencia acumulada anterior al intervalo [a, b). f: frecuencia absoluta de [a, b). Recuerda que... En relación con las estrategias presentadas, ¿cuál crees que es más conveniente para resolver este problema? Justifica. Propón otra estrategia y resuelve el problema. Evalúo la estrategia Completa la resolución del siguiente problema. 2. Los siguientes datos corresponden a la duración, en años, de 40 máquinas industriales. ¿Cuál es la mediana de la duración, en años, de las máquinas? Duración de 40 máquinas industriales Años de duración f [2, 5) 6 [5, 8) 17 [8, 11) 12 [11, 14) 5 AA Comprende el problema. Datos: La duración, en años, de las máquinas. Pregunta: EE Elabora un plan y llévalo a cabo. Se construirá una tabla para determinar la mediana de los años de duración de las 40 máquinas. Duración de 40 máquinas industriales Años de duración f F II Verifica y redacta la respuesta La estrategia que se utilizará para comprobar lo obtenido es . 20– 15– 10– 5– 0– Respuesta: Me = + • 40 2 –⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Me = + • Me = + =
  51. 51. 50 Taller 7 Para determinar la moda (Mo ) de datos agrupados en intervalos, se utiliza la expresión: Mo = a + (b – a) • fa fa + fs [a, b) : intervalo de mayor frecuencia absoluta (f). fa : diferencia entre la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia del intervalo anterior. fs : diferencia entre la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia del intervalo siguiente. Recuerda que... Resuelve los siguientes problemas. 3. En la tabla se muestran los puntajes obtenidos por un grupo de estudiantes en un examen. ¿Cuál es la moda de los puntajes obtenidos por el grupo de estudiantes? Puntajes obtenidos en un examen Puntajes f [0, 5) 9 [5, 10) 22 [10, 15) 55 [15, 20) 48 [20, 25] 16 Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  52. 52. 51 Solución de problemas Las medidas de posición dividen el conjunto de datos en partes iguales. Entre ellos se encuentran los cuartiles, los deciles y los percentiles. Los cuartiles (Qk , con k = 1, 2, 3) dividen al conjunto de datos en 4 partes iguales. Los deciles (Dk , con k = 1, 2, 3,…, 9) dividen al conjunto de datos en 10 partes iguales. Los percentiles (Pk , con k = 1, 2, 3,…, 99) dividen al conjunto de datos en 100 partes iguales. Recuerda que... -- Lee el problema y ordena los datos de forma creciente. -- Considera que el primer cuartil corresponde a Q1 . Y representa el 25% de los datos. -- Revisa tus cálculos al finalizar la resolución del problema. Ayuda 4. Los siguientes datos corresponden a las edades, en años, de los participantes de un taller de canto. 10 - 12 - 14 - 56 - 14 - 8 - 13 - 25 - 45 - 17 - 22 - 45 - 30 - 15 25 - 10 - 12 - 18 - 22 - 40 - 55 - 12 - 11 - 11 - 16 - 13 - 20 ¿Qué edad corresponde al primer cuartil? ¿Qué puedes interpretar de este valor? Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  53. 53. 52 Solución de problemas Medidas de dispersión Pensamiento aleatorio Construir una tabla En este tipo de problemas se utilizan tablas para organizar los datos y facilitar los cálculos necesarios con el fin de determinar medidas de dispersión de un conjunto de datos. Usarunarepresentación gráfica Los datos del problema se pueden representar gráficamente, con el fin de comprender la situación descrita y establecer relaciones entre los datos del problema. Estrategias El rango (R) es la medida determinada por la diferencia entre el dato mayor y el dato menor de la muestra. Para saber cuál es el rango para datos agrupados en intervalos se calcula la diferencia entre el límite inferior del primer intervalo y el límite superior del último intervalo. Recuerda que... Analiza la resolución del siguiente problema. 1. Un entrenador debe escoger, entre dos competidores, al que participará en un torneo de atletismo. Los dos candidatos lograron los siguientes tiempos, en segundos, en cinco carreras de 100 m. ¿Quién obtuvo una menor diferencia entre sus tiempos? Diego 11,6 - 11,5 - 16,0 - 12,9 - 15,0 Nicolás 12,7 - 13,0 - 13,9 - 13,4 - 14,0 AA Comprende el problema. Datos: Los tiempos logrados por Diego y Nicolás. Pregunta: ¿Quién obtuvo una menor diferencia entre sus tiempos? EE Elabora un plan y llévalo a cabo. Se construirá una tabla para determinar el rango de los datos y con esto identificar quién tuvo un desempeño más constante. Tiempo logrado en 5 carreras de 100 m Carrera 1 Carrera 2 Carrera 3 Carrera 4 Carrera 5 Diego 11,6 11,5 16,0 12,9 15,0 Nicolás 12,7 13,0 13,9 13,4 14,0 Competidor Tiempo (seg) RDiego = 16,0 – 11,5 = 4,5 s RNicolás = 14,0 – 12,7 = 1,3 s II Verifica y redacta la respuesta Para comprobar lo obtenido se usará una representación gráfica. 11 12 13 14 15 16 Tiempos logrados por Diego 11 12 13 14 15 16 Tiempos logrados por Nicolás Respuesta: Luego, el rango es mayor en los resultados obtenidos por Diego. Eso significa que la diferencia entre sus tiempos es mayor que los de Nicolás. TALLER 8
  54. 54. 53 Solución de problemas Para determinar la varianza (s2 ) se utiliza la expresión: s2  =  (x1  – x)2  + (x2  – x)2  + ... + (xn  – x)2 n n: tamaño de la muestra. xi : datos de la muestra. x: media muestral. Recuerda que... En relación con las estrategias presentadas, ¿cuál crees que es más conveniente para resolver este problema? Justifica. Propón otra estrategia y resuelve el problema. Evalúo la estrategia Completa la resolución del siguiente problema. 2. En un colegio se ha hecho un estudio para determinar la cantidad de libros que leen al año los estudiantes. Para ello, se encuestó a 50 estudiantes de dicho colegio. Los resultados fueron los siguientes: 5 - 8 - 6 - 9 - 10 - 9 - 6 - 6 - 7 - 6 - 10 - 10 - 5 - 5 - 8 - 8 - 10 - 10 - 6 - 6 - 5 - 5 - 10 - 10 6 - 10 - 5 - 7 - 5 - 8 - 10 - 5 - 7 - 5 - 5 - 6 - 6 - 7 - 6 - 10 - 10 - 5 - 6 - 6 - 9 - 5 - 5 - 6 - 8 - 6 ¿Cuál es el rango y la varianza de la muestra escogida? AA Comprende el problema. Datos: La cantidad de libros que leen al año estudiantes. Pregunta: EE Elabora un plan y llévalo a cabo. Se construirá una tabla para determinar el rango y la varianza de la muestra escogida. Cantidad de libros leídos por los estudiantes Cantidad de libros fi xi – x (xi – x)2 fi • (xi – x)2 II Verifica y redacta la respuesta La estrategia que se utilizará para comprobar lo obtenido es Respuesta:
  55. 55. 54 Taller 8 La desviación estándar (s) corresponde a la raíz cuadrada de la varianza y su unidad de medida es la misma que la de la variable observada. Se calcula utilizando la expresión: = − + − + + − s (x x) (x x) ... (x x) n 1 2 2 2 n 2 Recuerda que... Resuelve los siguientes problemas. 3. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de artículos electrónicos vendidos en dos tiendas, durante 10 días. Tienda 1 1 - 2 - 2 - 4 - 12 - 15 - 4 - 8 - 5 - 10 Tienda 2 4 - 5 - 5 - 7 - 7 - 8 - 3 - 7 - 5 - 5 Calcula la desviación estándar en cada caso. ¿En qué tienda la cantidad de artículos electrónicos vendidos diariamente fue más homogénea? Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  56. 56. 55 Solución de problemas Si al determinar el rango (R) en un conjunto de datos, este es un número grande, indica que los datos presentan una mayor dispersión; mientras que si es un valor pequeño, la dispersión de los datos es menor. Ejemplo Sean los conjuntos A = {1, 5, 6, 8, 4} B = {1, 2, 5, 4, 3} El rango del conjunto A es: 8 – 1 = 7 El rango del conjunto B es: 5 – 1 = 4 Por lo tanto, los datos del conjunto B presentan una menor dispersión que los datos del conjunto A. Recuerda que... -- Identifica los datos del problema. -- Utiliza una representación gráfica para organizar los datos. Ayuda 4. Las notas de dos estudiantes al final del año escolar son las siguientes. Luis 7,0 - 6,8 - 6,6 - 5,9 - 3,4 - 6,0 Franco 6,0 - 5,9 - 5,8 - 5,8 - 6,0 - 6,2 ¿Cuál es el estudiante con mejor promedio?, ¿quién tuvo un mejor rendimiento? Paso 1 Comprende el problema. Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo. Paso 3 Verifica y redacta la respuesta. Respuesta:
  57. 57. 56 PRUEBAS SABER Instrucciones 1. En primer lugar, escriba su nombre y apellido en el espacio correspondiente, en la hoja de respuestas. 2. En esta prueba encontrará 25 preguntas de diferentes situaciones. 3. Para contestar, en la hoja de respuestas, hágalo de la siguiente manera. Por ejemplo, si la respuesta correcta a la pregunta 1 es B: MATEMÁTICAS 10 Nombre: Grado: Fecha: Marque así: No marque así: Así tampoco: Para corregir, borre completamente 1. 1. 1. 1. A A A A B B B B C C C C D D D D Tiempo disponible 1 hora y 30 minutos 7
  58. 58. Hoja de respuestas 25. PRUEBA SABER 57 1. A B C D 2. A B C D 3. A B C D 4. A B C D 5. A B C D 6. A B C D 7. A B C D 8. A B C D 9. A B C D 10. A B C D 11. A B C D 12. A B C D Nombre: Grado: Fecha: 13. A B C D 14. A B C D 15. A B C D 16. A B C D 17. A B C D 18. A B C D 19. A B C D 20. A B C D 21. A B C D 22. A B C D 23. A B C D 24. A B C D
  59. 59. PRUEBA SABER 58 RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 Y 2 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN. Lasiguientegráficamuestralainversión deunapersonaenunfondodeahorros, en la que y representa la inversión en dólares y x el tiempo en años. 1. Respectoalcapitalinicialqueinvirtió lapersonaescorrectoafirmarque: A. El capital inicial fue de 400 dólares. B. El capital inicial coincide con el promedio de los valores que aparecen en el eje y de la gráfica. C. El capital inicial fue de 100 dólares. D. Es imposible conocer el capital con solo la gráfica. 2. A partir de la gráfica se puede argumentar que: A. La persona invirtió su dinero en el fondo de ahorros solo por 5 años, ya que este es el valor máximo que aparece en el eje x. B. La inversión aumenta en 50 dólares por año, ya que es la pendiente de la recta. C. La inversión inicial fue de 200 dólares, porque ese es el corte con el eje y. D. La cantidad máxima que alcanzará la inversión es de 400 dólares, ya que es el valor más grande que aparece en el eje y. RESPONDA LAS PREGUNTAS 3 Y 4 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN. Un diamante de béisbol tiene forma cuadradacomosemuestraenlasiguiente representación,endondeMcorresponde almontículodellanzador,Peslaprimera base y N es el Home. 3. Silasbasesestánseparadasentresí aproximadamente27m,ladistancia entre M y N: A. No se puede calcular, ya que 27 m no es una medida suficiente para hallar esa distancia. B. Sí se puede calcular porque coincide con la mitad de 27 m. C. No se puede calcular porque en un cuadrado es imposible aplicar el teorema de Pitágoras. D. Se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo formado por el Home, la primera base y la segunda base. 4. La distancia entre la segunda base y el home es: A. 13  2 m. B. 27  2 m. C. 18  3 m. D. 9  3 m. 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 x y Segunda base Primera base Tercera base PM N
  60. 60. PRUEBA SABER 59 RESPONDA LAS PREGUNTAS 5 Y 6 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN. Lasiguientetablamuestralacantidaddehombresymujeresquesegraduaroncierto año de los diferentes programas que ofrece una universidad. Programa Tecnológico Universitario Especialización Maestría Total Mujeres 80 100 24 18 222 Hombres 45 60 36 12 153 Total 125 160 60 30 375 5. De la tabla es posible deducir que: A. Es mayor la cantidad de mujeres que obtuvieron título de especialización o maestría que la cantidad de hombres que obtuvieron alguno de esos dos títulos. B. Por cada 3 hombres que obtuvieron título de especialización 2 mujeres obtuvieron ese mismo título. C. Es menor la cantidad de mujeres que obtuvieron título tecnológico o de especialización, que la cantidad de mujeres que obtuvieron título universitario. D. Por cada 2 mujeres que obtuvieron título de maestría 3 hombres obtuvieron ese mismo título. 6. Las directivas de la universidad quieren obsequiar un curso de idiomas gratis para una de las personas que se graduaron. Si se escoge al azar la persona, ¿qué probabilidad hay de que sea mujer y tenga título universitario? A. La probabilidad es de 3 15 . B. La probabilidad es aproximadamente del 40,33%. C. La probabilidad es de 2 5 . D. La probabilidad es aproximadamente del 26,66%. 7. El promedio de 25 números es 50 y el promedio de otros 15 números es 60. Respectoalpromediodelos40númerosquehayentotalsepuedeafirmarque: A. Se puede calcular multiplicando 25 por 50 y 15 por 60. Luego, se suman los resultados y se divide entre 40. B. No se puede calcular ya que se desconocen cuáles son los números. C. Se puede calcular sumando 50 más 60 y dividiendo entre 40. D. No se puede calcular porque los promedios dados son de diferentes cantidades de números.
  61. 61. PRUEBA SABER 60 RESPONDA LAS PREGUNTAS 8 Y 9 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN. La siguiente parábola representa el lanzamiento de un proyectil. Unestudiantedefísicasabequelaecuación deestaparábolaestádadaporlaexpresión: (x  h)2 = 4p(y  k) DondeelpuntoV(h,k)sonlascoordenadasdelvérticeykpdeterminalacoordenada en y del foco. 8. Si las distancias están dadas en metros, se puede afirmar que: A. El alcance horizontal del proyectil fue de 18 m. B. El proyectil alcanza su altura máxima cuando ha recorrido 4,5 m. C. El alcance horizontal no se puede determinar porque se desconoce el foco de la parábola. D. El proyectil alcanza una altura de 20 m cuando ha recorrido 6 m. 9. Respectoalvalorexactodelaalturamáximaquealcanzaelproyectilsepuede argumentar que: A. Es igual a 20 m, ya que así se muestra en la gráfica. B. Se puede determinar solo con los puntos por los que pasa la parábola (0, 0) y (9, 0). C. Se puede determinar a partir de las coordenadas del foco. D. Es igual a 20,1 m ya que en la gráfica se aprecia que la coordenada en y del vértice está un poco arriba de 20. RESPONDA LAS PREGUNTAS 10 Y 11 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN. En la siguiente figura se muestra un tetraedro que representa el enlace de tres átomos de hidrógeno (H) con uno de carbono (C). 10. Desde el punto de vista geométrico se considera que la medida de un ángulo externoauntriánguloesigualalasumadelosdosángulosinternosnoadyacentes. Según esta proposición, es correcto afirmar que: A. La medida del ángulo CHO es b  90°. C. La medida del ángulo CHO es 180°  b. B. La medida del ángulo CHO es 90°  b. D. La medida del ángulo CHO es b  180°. 30 20 10 x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y
  62. 62. PRUEBA SABER 61 11. La expresión que se puede utilizar para calcular la distancia n es: A. n  l  cos b B. n  l  sen (90°  b) C. n  l  cos (b  90°) D. n  l  sen b 12. Lasiguientegráficarepresentalaoscilacióndeunresortequetieneunapesaatada en su parte extrema y que inicialmente se comprime 10 cm. La ecuación que modela el movimiento del resorte es: A. La ecuación es y  10 sen t 2 , porque para t  0 resulta que y  10. B. La ecuación es y  10 cos t 2 , porque si t  0, entonces, y  10. Además, la gráfica muestra un alargamiento de la función y  10 cos t. C. La ecuación es y  sen 2t, porque si t  0, entonces, y  10. Además, la gráfica muestra un alargamiento de la gráfica y  10 sen t. D. La ecuación es y  cos 2t, porque si t  0, entonces, y  10. Además, la gráfica muestra una compresión de la gráfica y  10 cos t. RESPONDA LAS PREGUNTAS 13 Y 14 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN. Secircunscribeuncuadradoenunacircunferenciacomo se muestra en la siguiente gráfica. 10 -10 t(s) y 0 1 2 3 4 5 6 7 y x0 (6,2) 14. La ecuación de la circunferencia es: A. (x  4)2   y2   8, porque el radio es 2 2. B. (x  4)2   y2   8, porque la coordenada del centro es (4, 0). C. (x  4)2   y2   16, porque el radio es 4. D. (x  4)2   y2   16, porque el radio es igual a 4 y el centro es (4, 0). 13. Silasmedidassedanencentímetros, eláreadelapartesombreadaesiguala: A. 16  2p cm2 B. 36  2p cm2 C. 32  8p cm2 D. 16  4p cm2
  63. 63. PRUEBA SABER 62 17. Observa las siguientes gráficas. Las expresiones algebraicas que representan ambas gráficas son: A. y  x2   1 y y  x3   1 B. y  x2   1 y y  x3  1 C. y  x2   1 y y  x3   1 D. y  x2   1 y y  x3   1 18. La expresión s 5 r  u permite calcular la longitud de arco de una circunferencia a partir del radio y el ángulo central medido en radianes. Si el radio de la Tierra es 6.370 km, para determinar la longitud de arco que describe una ciudad, debido al movimiento de rotación, pasadas 6 de las 24 horas del día el procedimiento correcto que se debe seguir es: A. Hallar la razón entre 6 y 24 y multiplicarlo por 6.370. B. Hallar el ángulo en radianes correspondiente a un cuarto de vuelta y multiplicar por 6.370. C. Hallar el ángulo en radianes de cuatro vueltas y multiplicar por 6.370. D. Multiplicar 6.370 por 24 y el resultado se divide entre 6. RESPONDA LAS PREGUNTAS 15 Y 16 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN. El siguiente diagrama representa los resultados de una encuesta acerca del tipo de seguridad social que tienen algunas personas de un barrio. 15. Al observar la gráfica se puede deducir que: A. La muestra en la que se aplicó la encuesta la conforman 70 personas. B. El 12,5% de las personas encuestadas tienen Sisbén. C. El 28% de las personas encuestadas tienen medicina prepagada. D. Cinco veces la cantidad de personas con Sisbén es igual a la cantidad de personas con EPS. 16. La alcaldía de la localidad quiere otorgar un plan especial de odontología a una de las personas que participaron en la encuesta. La probabilidad de que la persona escogida tenga EPS o Sisbén es: A. Igual a 55%. B. Mayor que 40% pero menor que 60%. C. Igual a 65%. D. Mayor que 60% y menor que 70%. 0 EPS Sisbén Medicina prepagada 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Tipo de seguridad social No. personas y x 2 1 1 -2 -1 1
  64. 64. PRUEBA SABER 63 RESPONDA LAS PREGUNTAS 19 A 21 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN. Acontinuaciónsepresentanlasgráficasdedosfunciones,unaexponencial,esdecir,de la forma y  ax y otra logarítmica de la forma y  Loga  x, ambas con a  1. Función exponencial Función logarítmica 19. ¿Cuáldelassiguientessituacionessepodríamodelarconlafunciónexponencial teniendo en cuenta los valores para x  0? A. Una inversión donde el capital inicial es de 200 dólares y se incrementa 20 dólares por mes. B. El movimiento de un ciclista donde incrementa la velocidad de 10 a 20 kilómetros por hora desde el primer kilómetro del inicio de la carrera. C. La cantidad de bacterias que hay en un tiempo determinado, si se inicia con una bacteria que se divide en otras dos, y a su vez cada nueva bacteria se divide en otras dos. D. El interés que se genera al invertir un dólar, al uno por ciento mensual, durante un tiempo determinado. 20. Respecto a la relación entre ambas gráficas es correcto afirmar que: A. No hay relación porque para cada valor de x los valores de y son diferentes. B. La relación es que a ambas gráficas las interseca la recta y   1 2  x. C. No hay relación porque una función es exponencial y la otra es logarítmica, y son dos conceptos diferentes. D. La relación es que la función logarítmica es la función inversa de la exponencial. 21. Las ecuaciones que representan la función exponencial y logarítmica son, respectivamente: A. y  2x y y  Log2  x B. y  3x y y  Log3  x C. y  4x y y  Log2  x D. y  2x y y  Log4  x 2 y x 1 1-1-2 2 3 2 y x 1 1-1 -1 3 42
  65. 65. PRUEBA SABER 64 RESPONDA LAS PREGUNTAS 22 Y 23 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN. Alfinalizarunaconferenciaseencuestarona40 hombres y 60 mujeres para conocer cómo les habíaparecido.Losresultadosserepresentan en el siguiente gráfico. 22. En relación con los resultados de la encuesta es falso afirmar que: A. Fue mayor la cantidad de hombres que de mujeres los que opinaron que la conferencia fue regular o mala. B. Doce mujeres opinan que la conferencia estuvo regular. C. Diez hombres opinan que la conferencia estuvo regular. D. Hubo 16 mujeres más que hombres que opinaron que la conferencia fue buena. 23. ¿Quéporcentajedeltotaldelaspersonasencuestadasopinaquelaconferencia fue buena? A. Exactamente el 48%. C. Exactamente el 56%. B. Aproximadamente el 50%. D. Aproximadamente el 62%. 24. Alhacerunestudiodeplaneaciónenunpueblo, un ingeniero observó que una de las torres de energía y un molino equidistaban de la capilla como se muestra en la siguiente figura. Si la distancia entre la capilla y el molino es de 120metros,ladistanciaentrelatorredeenergía y el molino está dada por: A. 120  sen 50° B. 120    sen 50° sen 65° C. 120  sen 130° D. 60  sen 50° Responda la siguiente pregunta en la hoja de respuestas, con letra clara y sin salirse del recuadro previsto para ello. 25. Observa la imagen y explica cómo se mideladistanciadelaTierraalaLuna. PREGUNTA ABIERTA 50º B A L R RO α Luna Tierra Hombres Porcentaje Mala Buena Regular Mujeres 10 20 30 40 50 60
  66. 66. proyectos transversales Matemáticas 10 Un programa que promueve el desarrollo de las competencias básicas para el ciudadano del siglo XXI Los Proyectos transversales: + Afianzan las competencias del área de… Con talleres que hacen énfasis en… Y proyectos de formación para el ejercicio de la ciudadanía desde los programas transversales… Más modelos de la nueva Prueba Saber en… Lenguaje Lectura crítica 3 Educación para el ejercicio de los Derechos Humanos 3 Movilidad segura (educación vial) 3 Educación económica y financiera 3 Todos los grados (1 a 11) 3 Todas las áreas (lenguaje, matemáticas, sociales y ciencias) Matemáticas Solución de problemas Sociales Ciudadanía y Valores Ciencias Educación ambiental proyectos transversales

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