Pt mat 10

proyectos transversales
Matemáticas 10
Un programa que promueve el desarrollo
de las competencias básicas para el ciudadano del siglo XXI
Los Proyectos transversales:
+
Afianzan las
competencias
del área de…
Con talleres que
hacen énfasis en…
Y proyectos de formación para
el ejercicio de la ciudadanía desde
los programas transversales…
Más modelos de la
nueva Prueba Saber en…
Lenguaje Lectura crítica
3 Educación para el ejercicio
de los Derechos Humanos
3 Movilidad segura
(educación vial)
3 Educación económica
y financiera
3 Todos los grados (1 a 11)
3 Todas las áreas (lenguaje,
matemáticas, sociales
y ciencias)
Matemáticas Solución de problemas
Sociales Ciudadanía y Valores
Ciencias Educación ambiental

Autores
Jeinnson Giovanni Gamboa Sulvará
Anneris del Rocío Joya Vega
Marysol Ramírez Rincón
Alexis Aravena Coliñir
Jaime Ávila Hidalgo
Loreto Alvarado Carrasco
Matemáticas 10

Proyectos transversales Matemáticas 10, para educación media, es una obra colectiva
concebida, diseñada y creada por el Departamento Editorial de Santillana S. A. S., bajo la
dirección de Fabiola Nancy Ramírez Sarmiento.
Matemáticas 10
© 2015 EDITORIAL SANTILLANA S. A. S.
Carrera 11A No. 98-50
Bogotá, Colombia
ISBN 978-958-24-2267-7 Obra completa
ISBN 978-958-24-2286-8 Edición para el alumno
ISBN 978-958-24-2287-5 Edición para el docente
ISBN 978-958-24-3029-0 Libro Proyectos Transversales
Este libro está elaborado de acuerdo con las normas ICONTEC
NTC-4724 y NTC 4725 para textos escolares.
Depósito legal en trámite.
Impreso en Colombia por Quad Graphics Colombia S.A.
Prohibida la reproducción total o parcial, el registro o
la transmisión por cualquier medio de recuperación de
información, sin permiso previo por escrito de la Editorial.
Debido a la naturaleza dinámica de la Internet, las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que se hace referencia en este libro, pueden sufrir
modificaciones o desaparecer. El uso de Internet debe ser supervisado por los padres de familia, tutores y docentes.
Equipo editorial
Diana Constanza Salgado Ramírez. Editora ejecutiva
Edgar Alexander Olarte Chaparro. Editor júnior
Isabel Hernández Ayala. Asesora de contenidos
Autores
Jeinsson Giovanni Gamboa Sulvará
Magíster en enseñanza de las ciencias exactas y naturales. Universidad Nacional de Colombia.
Licenciado en física. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Anneris del Rocío Joya Vega
Especialista en Matemática Aplicada. Universidad Sergio Arboleda.
Especialista en Educación Bilingüe. Universidad del Bosque.
Magíster en docencia de la Matemática. Universidad Pedagógica Nacional.
Marysol Ramírez Rincón
Especialista en Matemática aplicada. Universidad Sergio Arboleda.
Licenciada en Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional.
Alexis Aravena Coliñir
Magíster en Educación Matemática. Universidad de los Lagos.
Licenciado en Matemáticas y en Educación. Universidad de Chile.
Jaime Ávila Hidalgo
Licenciado en Educación Matemática y Computación. Universidad de Santiago de Chile.
Loreto Alvarado Carrasco
Licenciada en Matemáticas. Pontificia Universidad Católica de Chile.
Magíster en Didáctica de la Matemática. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.
Equipo gráfico y técnico
Ana Catalina Schroeder Torres. Coordinadora de diseño
Maraldy Villamil Granados. Controller de gestión
Martha Jeanet Pulido Delgado, Orlando Bermúdez Rodríguez. Correctores de estilo
Alveiro Javier Bueno Aguirre. Controller banco digital
Alejandro Castro Jiménez. Operador preprensa
Sandra Patricia Acosta Tovar, César Alfonso Murillo Díaz, Luis Alberto Tamayo Sánchez.
Diseñadores gráficos
Antonio Ahumada Rojas. Ilustrador
Claudia Marcela Jaime Tapia, Claudia Ávila. Documentalistas
Repositorio Santillana, Archivo Santillana Colombia, Shutterstock. Fotografía
Diana Peralta. Jefe de producción
Se han hecho todos los esfuerzos para ubicar a los propietarios de los derechos de autor. Sin embargo, si es necesario efectuar
alguna rectificación, la Editorial estará dispuesta a hacer los arreglos pertinentes.

3
El programa Proyectos transversales Matemáticas 10 te enseña una metodología para que planifiques y elabores el
procedimiento de la solución de problemas. Además, te permite describir y aplicar estrategias para que desarrolles el
razonamiento matemático.
También podrás desarrollar proyectos como el de Educación económica y financiera, Educación para el ejercicio de los
derechos humanos y Movilidad segura, encaminados a que aprendas a tomar decisiones responsables que aporten a la
transformación de nuestra sociedad.
Proyectos transversales Matemáticas 10 está organizado en ocho talleres que se presentan así:
Análisis de un problema resuelto
Te presentamos la metodología y estrategias para que resuelvas un problema a partir de la presentación
y solución de un problema relacionado con alguna de las temáticas del grado.
¿Cómo está organizado tu libro?
3
Número del taller
Recuerda que…
Presenta algunos
de los contenidos
que se utilizan para
resolver el problema.
Título de la temática
que se trabaja
Problema resuelto paso
a paso. En el paso 2, se
destaca el planteamiento
y aplicación de una de las
estrategias y en el paso 3,
la prueba y redacción de
la respuesta.
Estrategias
Detalla estrategias
que se utilizan en
la solución del
problema.

4
Evalúo la estrategia
Podrás evaluar la estrategia que utilizaste para
resolver el problema y proponer otra, si es necesario.
Te presentamos más problemas para que apliques una de las estrategias propuestas
y utilices la metodología para resolverlo paso a paso.
Una estrategia es la forma en que puedes abordar un problema y encontrar su solución. La elección
de una estrategia hace parte de la resolución del problema y, para hacerlo, es necesario que sepas
cómo y cuándo utilizar dicha estrategia. La siguiente es la metodología que te proponemos
para resolver problemas y las preguntas que te debes hacer para lograrlo.
Paso 1.
Comprende el problema
¿Cuáles son los datos del
problema?
¿Cuál es la pregunta del
problema?
Paso 2.
Elabora un plan y llévalo a cabo
¿Este problema es similar a otro que hayas
resuelto? ¿Qué estrategia vas a utilizar?
¿Qué operación realizarás?
¿Cómo utilizas la estrategia para resolver
este problema? ¿Cómo puedes justificar los
procedimientos realizados en la utilización
de la estrategia?
Paso 3.
Verifica y redacta la respuesta
¿Las operaciones están realizadas
correctamente?
¿El resultado responde a la
pregunta?
¿Es lógico el resultado con
respecto a la pregunta que se
plantea?
Resolución de problemas propuestos

5
Espacio para que
redactes el problema.
Situación que
se plantea para
que formules
un problema.
Espacio para que
resuelvas el problema.
Selección del
contenido que
se va a trabajar y
la pregunta del
problema.
Podrás crear y resolver un problema utilizando una de las estrategias
que trabajaste en el desarrollo de los talleres.
Podrás medir tus saberes con un modelo de Prueba Saber que está ajustado al referente del ICFES
y alineado con los parámetros de evaluaciones internacionales como la prueba PISA.
También encuentras un modelo de Prueba Saber.
Creación de problemas

6
Además, ¡te sorprenderá lo que vas a aprender con los proyectos pedagógicos transversales!
Te proponemos este proyecto con el fin de que desarrolles el pensamiento crítico y reflexivo necesario para que
tomes decisiones responsables e informadas sobre temas económicos y financieros. Así, aprenderás a conocer y
manejar el dinero, a invertirlo y crear estrategias de ahorro, entre otras actividades.
1. Educación económica y financiera
Te planteamos este proyecto para que:
• Aprendas a cuidar tu integridad y la de los demás asumiendo conductas seguras en la vía.
• Te constituyas en ciudadano autónomo responsable de tus actos.
• Respetes lo público y uses racionalmente los recursos que encuentras en los espacios públicos, para garantizar la
movilidad y la seguridad de los ciudadanos.
Desarrollarás este proyecto para que, en el día a día de tu colegio, te formes como sujeto activo en la defensa de
los derechos humanos, ya sea conociendo tus derechos o los de quienes te rodean.
2. Movilidad segura (educación vial)
3. Educación para el ejercicio de los derechos humanos

7
Pensamiento numérico
◗ Taller 1. Solución de problemas. Números irracionales..........................................................................8
◗ Taller 2. Solución de problemas. Logaritmos.................................................................................................12
◗ Creación de problemas.......................................................................................................................................................16
Proyecto: Educación económica y financiera
¿Cómo los hábitos financieros informados y responsables influyen en
el presupuesto familiar, departamental o nacional?........................................................................................18
Pensamientos espacial y métrico
◗ Taller 3. Solución de problemas. Plano cartesiano....................................................................................24
◗ Taller 4. Solución de problemas. Vectores........................................................................................................28
Proyecto: Movilidad segura
¿Cómo puedo determinar el exceso de velocidad de un auto
en un accidente de tránsito a partir de la distancia de frenado?.........................................................32
Pensamiento variacional
◗ Taller 5. Solución de problemas. Funciones....................................................................................................36
◗ Taller 6. Solución de problemas. Función exponencial, logarítmica
y raíz cuadrada............................................................................................................................................................................40
◗ Creación de problemas.......................................................................................................................................................44
Proyecto: Educación para el ejercicio de los derechos humanos
¿Cómo puedo orientar a una persona que ha sido víctima de la violencia
por el conflicto armado en Colombia?.......................................................................................................................46
Pensamiento aleatorio
◗ Taller 7. Solución de problemas. Medidas de tendencia central y posición......................48
◗ Taller 8. Solución de problemas. Medidas de dispersión....................................................................52
Tabla de contenidos
Prueba Saber Matemáticas 8.......................................................................................56

TALLER
8
Solución de problemas
Números irracionales
1
Analiza la resolución del siguiente problema.
1. Al valorizar la secuencia sn = 1+
1
n
n
(donde n ! ) para n = 1.000,
n = 10.000 y n = 100.000. ¿Cuál de ellas es una aproximación más cercana del
número irracional e? Considera e ≈ 2,7182818.
Paso 1 Comprende el problema.
Datos: La secuenciasn = 1+
1
n
n
.
Pregunta: ¿Cuál de ellas es una aproximación más cercana del número
irracional e?
Paso 2 Elabora un plan y llévalo a cabo.
Se usarán propiedades numéricas para identificar cuál es la aproximación más
cercana del número e.
n = 1.000
1+
1
1.000
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1.000
1+
1
10.000
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
10.000
1+
1
100.000
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
100.000
s1.000
≈ 2,7169239
e ≈ 2,7182818

2 cifras decimales
n = 10.0001+
1
1.000
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1.000
1+
1
10.000
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
10.000
1+
1
100.000
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
100.000
s10.000
≈ 2,7181459
e ≈ 2,7182818

3 cifras decimales
n = 100.000
1+
1
1.000
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1.000
1+
1
10.000
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
10.000
1+
1
100.000
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
100.000
s100.000
≈ 2,7182682
e ≈ 2,7182818

4 cifras decimales
Paso 3 Verifica y redacta la respuesta.
Para comprobar lo obtenido, se construirá una secuencia numérica.
Considera la secuencia sn
con n H 1:
sn
= {2; 2,25; 2,3703703704; ...}
Es creciente, por lo que para n = 100.000 se obtiene la mejor aproximación.
Respuesta: La aproximación más cercana del número irracional e es s100.000
.
Usar propiedades
numéricas
Se puede aproximar
un número decimal a la
milésima, luego comparar
las cifras decimales para
establecer cuál es más
cercano al número irracional.
Construirunasecuencia
numérica
En este tipo de problemas,
es conveniente representar
los datos numéricos en una
secuencia.
Estrategias
Sonnúmerosirracionales
aquellos que no tienen
expresión de la forma
a
b
con a, b !  y b ≠ 0.
Ejemplo
p, e, an
si a ≠ bn
(b ! )
Recuerda que...

9
Completa la resolución del siguiente problema.
2. Para resolver la expresión 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3( ) ( ), ¿qué propiedades
de las operaciones utilizarías? ¿Qué resultado se obtiene?
Datos: La expresión 7 • 2 + 3 • 7 • 2 3( ) ( ).
Pregunta:
Se usarán propiedades numéricas, como la propiedad distributiva de la
multiplicación sobre la adición y sustracción.
= •
7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3
14 3
14
14• 3 + 3• 14
3
14
42
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) + •
7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3
14 3
14
14• 3 + 3• 14
3
14
42
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
=
7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3
14 3
14
14• 3 + 3• 14
3
14
42
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
• –
7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3
14 3
14
14• 3 + 3• 14
3
14
42
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
– •
7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3
14 3
14
14• 3 + 3• 14
3
14
42
2
( ) ( ) ( )
( )
=
7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3
14 3
14
14• 3 + 3• 14
3
14
42
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
– +
7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3
14 3
14
14• 3 + 3• 14
3
14
42
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
–
= –
=
7 • 2 + 3 • 7 • 2 3 = 14 + 3 • 14 3
14 3
14
14• 3 + 3• 14
3
14
42
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
La estrategia que se utilizará para comprobar lo obtenido es
.
7 • 2 + 3 • 7 • 2 3
3
3
14 + 3
2 2
( ) ( )
+( )
( )
=
7 • 2 + 3 • 7 • 2 3
3
3
14 + 3
2 2
( ) ( )
+( )
( )
•
7 • 2 + 3 • 7 • 2 3
3
3
14 + 3
2 2
( ) ( )
+( )
( )
= 14 – 3
2 2
( ) ( )
= – =
Respuesta:
Para multiplicar raíces de
igual índice se debe considerar
lo siguiente:
-- Si n es par, entonces
a, b ! +
.
-- Si n es impar, entonces
a, b ! .
( )
a • b = ab
a • x + y = ax + ay
2 • 5 = 10
6 • 8 = 24
3 • 5 + 2
n n n
4 4 4
3 3 3
− −
(( )= 15 + 6
• Propiedad distributiva de la
multiplicación:
( )
a • b = ab
a • x + y = ax + ay
2 • 5 = 10
6 • 8 = 24
3 • 5 + 2
n n n
4 4 4
3 3 3
− −
(( )= 15 + 6
Ejemplos( )
a • b = ab
a • x + y = ax + ay
2 • 5 = 10
6 • 8 = 24
3 • 5 + 2
n n n
4 4 4
3 3 3
− −
(( )= 15 + 6
Recuerda que...
En relación con las
estrategias presentadas,
¿cuál crees que es más
conveniente para resolver
este problema? Justifica.
Propón otra estrategia y
resuelve el problema.
Evalúo la
estrategia

10
Taller 1
Resuelve los siguientes problemas.
3. Para estimar el valor del número irracional 26, ¿qué propiedades utilizarías?
¿Qué valor obtuviste?
Para estimar (≈) un número
irracional de la forma m se
puede realizar el siguiente
procedimiento (m ! +
).
m = 1+ a
= a 1+
1
a
m a 1+
1
2a
•
•
2
2
2
2
≈
m = 1+ a2
= a2
• 1+
1
a2
m a• 1+
1
2a2
m = 1+ a2
= a2
• 1+
1
a2
m a• 1+
1
2a2
En donde a !  .
Ejemplo
10 = 1+ 3
= 3 1+
1
3
3 1+
1
2 3
3 1+
1
18
3
19
18
3,16
•
•
•
•
•
2
2
2
2




≈




≈




≈




≈
10 = 1+ 32
= 32
• 1+
1
32
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≈ 3• 1+
1
2•32
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≈ 3• 1+
1
18
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≈ 3•
19
18
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≈ 3,16
Recuerda que...
Respuesta:

11
4. Francisco resolvió la expresión
5 10 2 30
5
10 2 15
y obtuvo como resultado5 10 2 30
5
10 2 15 . ¿Es correcta su respuesta? Para dividir raíces de igual índice:
a
c
=
a
c
a ± b
c
=
a
c
±
b
c
50
5
=
50
5
= 10
n
n
n
n n
n
n n
3
3
3 3
10 24
2
=
100
2
24
2
= 5 12
En donde c ≠ 0 y n H 2.
Ejemplos
•
a
c
=
a
c
a ± b
c
=
a
c
±
b
c
50
5
=
50
5
= 10
n
n
n
n n
n
n n
3
3
3 3
10 24
2
=
100
2
24
2
= 5 12
•
a
c
=
a
c
a ± b
c
=
a
c
±
b
c
50
5
=
50
5
= 10
n
n
n
n n
n
n n
3
3
3 3
10 24
2
=
100
2
24
2
= 5 12
Recuerda que...
-- Lee el problema y
elige la estrategia más
conveniente para
resolverlo.
-- Usa propiedades
numéricas.
-- Revisa tus cálculos al
finalizar la resolución
del problema.
Ayuda
Respuesta:

2TALLER
12
Logaritmos
1. El nivel (D) de decibeles del sonido se puede calcular mediante la fórmula:
D = log (10120
• i 10
)
En donde i es la intensidad del sonido en watts por m2
.
¿Cuánto es la intensidad (i) de un sonido de 140 decibeles?
Datos: La fórmula para calcular el nivel de decibeles del sonido.
Pregunta: ¿Cuánto es la intensidad (i) de un sonido de 140 decibeles?
Se planteará una ecuación para calcular el valor de la intensidad (i) de un
sonido de 140 decibeles, utilizando la fórmula.
140 = log (10120
• i10
)
10140
= 10120
• i10
Definición de logaritmo en base 10.
10140 - 120
= i10
Se divide potencias de igual base.
1020
= i10
102010
= i Raíz de índice 10.
102
= i
100 = i
Para comprobar lo obtenido, se usarán propiedades numéricas, donde se
remplazará el valor anterior en la fórmula.
140 = log (10120
• 10010
)
140 = log (10120
• 1020
)
140 = log (10120 + 20
)
140 = log 10140
140 = 140 • log 10
140 = 140 • 1
140 = 140 Se cumple la igualdad, por lo que i es igual a 100
Respuesta: La intensidad (i) es de 100 watts por m2
.
El logaritmo de b en base
a (a  1) es el valor del
exponente x, tal que:
x = loga
b * a x
= b
En donde a, b ! +
, x !  .
Ejemplo
log2
128 = 7, ya que 27
= 128
Recuerda que...
Plantear una ecuación
Cuando en una fórmula
se identifica una incógnita,
se remplazan los datos del
problema y se obtiene una
ecuación.
Usar propiedades
numéricas
Para resolver expresiones
numéricas con logaritmos
es posible aplicar sus
propiedades y las de las
potencias.
Estrategias

13
2. Si log a = p
log a
3
25
, ¿cuál es el valor de
log a = p
log a
3
25
en función de p?
Datos: log = p
Pregunta:
Se usarán propiedades numéricas para expresar log a25
en función de p.
log = p → log
1
3
= p
• log a = p
log a = • p
log a25
= log
2
5
= • log a = • • p =
log a
5
6
5
6
•log
log
25
5
6
•
= Se multiplica por
log a
5
6
5
6
•log
log
25
5
6
•
log a
5
6
5
6
•log
log
25
5
6
•
= p Se aplica propiedades
log a
5
6
5
6
•log
log
25
5
6
• = p Propiedades de logaritmo
log a = p
Respuesta:
Son propiedades de
logaritmo:
• log (a b
) = b • log a
• log (a • b) = log a + log b
• log (a 4 b) = log a – log b
Con b ≠ 0.
Raíces enésimas:
a =amn
m
n
, con n ≠ 0.
Ejemplos
• log (53
) = 3 • log 5
• log (10 • 2) = log 10 + log 2
• log (35 4 7) = log 34 – log 7
• 3 = 35
1
5
• x = x34
3
4
Recuerda que...
Evalúo la
estrategia

14
TALLER 2
3. La escala de Richter para medir la energía liberada por un sismo, se expresa por:
log E = 1,5R + 11,8
Donde E es la medida de la energía liberada (medida en ergios) y R es la
magnitud del sismo en grados Richter.
Un sismo de grado 8,8 en la escala de Richter, ¿cuánta energía libera?
El logaritmo de b en base 10
se puede expresar por log10
b
o también por log b.
x = log b ↔ 10 x
= b
En donde b ∈ +
.
Ejemplo
log10
75 = log 75
Recuerda que...
Respuesta:

15
4. Cristóbal respondió en una prueba que el valor de log
125•5• 253
6253
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
es (3 • log 5) y tiene la duda de si obtendrá el puntaje total en esa pregunta.
¿Respondió correctamente Cristóbal? Justifica.
En la multiplicación de
potencias de igual base,
se conserva la base y se
suman los exponentes:
a x
• a y
= ax + y
En la división de
potencias de igual base,
se conserva la base y se
restan los exponentes:
a x
4 a y
= a x – y
Ejemplos
• 82
• 83
= 82 + 3
= 85
• 317
4 38
= 317 – 8
= 39
Recuerda que...
-- Utiliza las propiedades
de las potencias, raíces y
logaritmos para comprobar
la respuesta de Cristóbal.
-- Comprueba tus cálculos
utilizando otra estrategia
para resolver el problema.
-- Fíjate si estás respondiendo
la pregunta del problema.
Ayuda
Respuesta:

CREACIÓN DE PROBLEMAS
16
Lee la situación y luego sigue las instrucciones para la creación de un problema.
El capital final C de una inversión inicial de C0
a t años plazo, con una tasa
de interés anual del i %, se obtiene mediante la siguiente expresión:
C(t ) = C0
• 1 +
i
100
t
En donde C y C0
están expresados en pesos chilenos y t ! 
a. Marca con un 4 el concepto que se relacionará con la resolución del problema.
AA Números irracionales
AA Números reales
AA Potencias y raíces
AA Logaritmos
b. Elige una pregunta y márcala con un 4.
AA ¿Cuánto tiempo demora en duplicarse una inversión inicial de $ 50.000 al 2% de interés anual?
AA ¿Cuál es el capital final al invertir $ 120.000 en 4 años, con una tasa de interés anual del 2,2%?
AA ¿A qué tasa de interés anual un capital inicial de $ 12.000 se convierte en $ 15.000 en 2 años?
AA ¿En cuántos años habrá un capital de $ 3.000.000 si inicialmente se invirtió $ 2.000.000 al 1,5%
de interés anual?
AA Al invertir inicialmente $ 100 en un plazo de 20 años, con una tasa de interés del 0,5%, ¿cuánto
capital se obtendrá?
AA Si se invierten $ 100.000 con 2 años de plazo y se obtienen $ 140.000, ¿a qué tasa de interés
anual se realizó la inversión?

17
c. Redacta el problema según tus elecciones anteriores.
d. Resuelve el problema que acabas de escribir.
Respuesta:

1. Exploro el problema
El Presupuesto Nacional cumple las siguientes funciones: determina el
dinero recaudado, distribuye los ingresos dependiendo de las necesi-
dades del país y define las prioridades de gasto. Dado que los recursos
provienen de la sociedad, todos los individuos tienen el derecho a exigir
que el dinero público se recaude y se gaste de forma transparente y de
acuerdo con las necesidades de la población.
El Ministerio de Hacienda y Crédito Público realiza la programación y
seguimiento presupuestal del Presupuesto General de la Nación cada
año. Este presupuesto se presenta y se aprueba ante el Congreso de la
República, de igual forma el presupuesto del Sistema General de Rega-
lías se presenta cada dos años.
• ¿Qué ocurre cuando el Gobierno no presenta a tiempo el presupuesto
para el siguiente año?
✓✓ Ingresos corrientes de la nación: recursos que recibe el Estado de
forma permanente.
✓✓ Meta financiera: objetivo al cual decides destinar todos tus esfuerzos
económicos, como ahorros programados mensualmente.
✓✓ Ministerio de Hacienda y Crédito Público: ministerio encargado de
definir, formular y ejecutar la política económica de Colombia.
✓✓ PIB: indicador económico que mide el valor monetario de los bienes
y los servicios producidos dentro de un país durante un período
determinado de tiempo, normalmente un año.
✓✓ Planificación financiera: estrategia y organización en la toma de
decisiones, planteada para alcanzar unos objetivos económicos
definidos y concretos a partir de una situación financiera de partida.
✓✓ Presupuesto: previsión de ingresos y gastos durante un período
determinado.
✓✓ Renta: beneficio o utilidad que produce algo periódicamente.
¿Cómo los hábitos financieros informados
y responsables influyen en el presupuesto
familiar, departamental o nacional?
En busca de la respuesta
MinHacienda
Ministerio de Hacienda
y Crédito Público
Pregunta clave
Conceptos clave
18
Ámbito conceptual: Presupuesto
PROYECTO Educación económica y financiera
Desempeño
Eje temático: Finanzas
Compara el presupuesto
familiar con otro tipo
de presupuestos para
determinar mejoras en su
realización.

El presupuesto familiar es un plan de ingresos, gastos y ahorros que
se realiza con la finalidad de planificar el mejor uso del dinero. Debe
incluir todos los ingresos de los integrantes del grupo familiar y todos
los gastos, distribuidos por cada mes.
Entre las ventajas de hacer y planear un presupuesto familiar se tiene:
Permitir un mayor control de ingresos y gastos, de allí que se convierte
en un instrumento útil para evitar gastos innecesarios y así adquirir
hábitos financieros responsables.
Disponer del dinero necesario para cubrir necesidades y cumplir con
las obligaciones.
Formular y planear las metas financieras, para organizar los ahorros
y las inversiones.
• En relación con el presupuesto de tu familia responde.
¿Quién es el responsable de realizar la programación y seguimiento
del presupuesto?
¿Crees que es necesario aprobar el presupuesto mensual de tu familia
de una forma similar al del Presupuesto de la Nación?
• En relación con el presupuesto departamental y municipal respon-
de.
¿Cómo se planea y se ejecuta el presupuesto departamental y munici-
pal en Colombia?
¿Quién fiscaliza y controla el presupuesto de cada departamento?
Observa el diagrama sobre la meta fiscal respecto al balance estruc-
tural del Gobierno Nacional Central en Colombia. Luego, determina la
meta para el 2024, en términos del porcentaje del PIB.
19
Estándares: Pensamientos númerico, variacional y aleatorio
Para tener en cuenta
Para modelar situaciones
de crecimiento o
decaimiento, se utiliza la
función exponencial:
f(t) 5 P0
ekt
Donde P0
es la cantidad
inicial, cuando t 5 0, y k
es una constante.
Si k . 0, entonces la
función representa un
crecimiento.
Si k , 0, entonces la
función representa un
decaimiento.
Cuando tengas una meta financiera
como un viaje, es importante
hacer un plan de presupuesto para
establecer cómo y en cuánto tiempo
la puedes alcanzar.
0
-0,5
-2,4 -2,4 -2,3 -2,2 -2,1 -2,0 -1,4 -1,2 -1,0 -0,8-1,9 -1,6
-1
-2
-3
-1,5
-2,5
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
Metas de Déﬁcit Estructural
2014: 2.3% del PIB
2018: 1.9% del PIB
2022 1.0% del PIB

Luego, completa la tabla con las semejanzas y diferencias con tu presu-
puesto personal y presupuesto familiar.
El siguiente presupuesto corresponde al Presupuesto de la Nación para
el 2014, consulta sobre los ingresos, los gastos y las inversiones que
realiza el Gobierno.
Describe los tipos de inversión que realiza el Gobierno de Colombia.
Ahora que conoces este tema, te proponemos que investigues un poco
más. Para ello, plantea una o varias preguntas que te servirán como
punto de partida. Para este caso, te sugerimos las siguientes:
¿Cómo participan los ciudadanos en la creación del presupuesto nacio-
nal?
¿Cuál es el seguimiento y control que tiene el Presupuesto de la Nación
y el presupuesto de mi familia?
• Escribe otra pregunta que sirva como planteamiento del problema.
20
El balance de un
presupuesto, lo obtienes
de la diferencia del total
de tus ingresos con el
total de tus gastos.
Presupuesto
Personal Familiar Nacional
Semejanzas
Diferencias
Concepto $mm % PIB
Ingresos Totales 132.036 17,1
Tributarios 113.819 14,8
Dian 113.616 14,7
Otros 203 0,0
No Tributarios 560 0,1
Fondos Especiales 2.381 0,3
Recursos de Capital 15.276 2,0
Gastos Totales 149.785 19,4
Intereses 19.102 2,5
Funcionamiento + Inversión 130.567 16,9
Funcionamiento 112.363 14,6
Servicios personales 17.219 2,2
Transferencias 89.478 11,6
Gastos Generales 5.667 0,7
Inversión 18.204 2,4
Préstamo neto 115 0,0
Balance Total -17.749 -2,3
Total a Financiar -17.749 -2,3
Balance Primario 1.353 0,2
Ingresos:
Gastos:
Inversiones:

2. Propongo una hipótesis
Las hipótesis son afirmaciones o posibles soluciones que podrían re-
solver el problema que estás investigando. Durante el transcurso de
la investigación debes comprobar, replantear o rechazar las diversas
hipótesis para llegar a una respuesta.
Lee los siguientes ejemplos de hipótesis. Luego, plantea las tuyas.
• La participación de los colombianos en el Presupuesto de la Nación
es escasa debido a la falta de información.
• Faltan hábitos financieros responsables para la ejecución del presu-
puesto nacional y familiar.
3. Busco la información pertinente
• Consulta la página del Ministerio de Hacienda y Crédito Público para
encontrar el Presupuesto de la Nación. www.minhacienda.gov.co/
• También podrás consultar sobre los mecanismos de seguimiento en
el portal de transparencia económica. www.pte.gov.co/WebsitePTE/
• Busca en algunas de las siguientes fuentes la información que nece-
sitas para hacer tu consulta.
Periódicos Revistas Internet
4. Organizo y analizo la información
• Lee cada uno de los siguientes hábitos en el presupuesto. Luego,
identifica cuáles de ellos mejorarían el presupuesto nacional, de-
partamental y familiar. Explica tu respuesta.
El Banco de la República se encarga
de realizar las proyecciones de los
indicadores económicos.
21
Estándares: Pensamientos númerico, variacional y aleatorio
Hacer seguimiento
de presupuesto
Transparencia en
el presupuesto
Presupuesto
flexible

Observa la evolución del gasto del presupuesto nacional. Luego, indica
estrategias para disminuir los gastos en algunos sectores. Explica tu
respuesta.
Analiza los gastos en tu presupuesto familiar. Luego, completa la tabla
con los gastos familiares que puedes recortar o disminuir con el objeti-
vo de alcanzar un balance positivo al final de cada mes.
• Consulta cuatro posibles inversiones que puede realizar tu familia
para generar mayores ingresos mensuales.
El portal de la transparencia
económica permite realizar
consultas sobre gestión de los
recursos públicos incluido el
presupuesto nacional.
22
SGP
Pensiones
Gastos de Personal
Resto de
Funcionamiento
CREE
Inversión
64,8
73,2 72,4 68,9
80,7
86,9 90,0
99,0 102,0
118,8 117,5
125,6
136,4
148,8
155,4
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
BillonesdePesosde2014
En el mismo período el Funcionamiento se
incrementó 29% con variación anual
promedio de 6,48%
Entre 2010 y 2014 Inversión creció 44%, con
variación anual promedio de 9,51%
26%
23%
15%
18%
19%
Gastos a reducir
o eliminar
Estrategia
Ahorro mensual
en pesos
Agua y luz
Alimentación

5. Compruebo mi hipótesis
Una vez recogida toda la información y realizado el estudio sobre el
presupuesto nacional y familiar, debes proceder a interpretarla. Para
ello, escribe las conclusiones. Luego, determina la hipótesis que expli-
ca en forma clara el problema de tu investigación y explica su valor
frente a las respuestas obtenidas.
6. Concluyo y expongo el producto final
Finalmente, debes presentar las conclusiones de tu investigación. Para
ello, te proponemos que lo hagas presentando un plan de presupuesto
para la fiesta de grado once. Ten como guía el modelo.
Para realizar el plan del presupuesto para la fiesta de grado es nece-
sario determinar los ingresos con los que se puede contar. Para ello te
proponemos los siguientes.
Los aportes son los apoyos económicos que se recibirán, estos también
pueden ser las actividades para recolectar fondos.
Los patrocinadores son aquellas empresas o personas que apoyarán
tu fiesta de grado a cambio de poder hacer publicidad con tu evento.
23
Estándares: Pensamientos numérico, variacional y aleatorio
Trabajo en equipo
Reúnete con uno de
tus compañeros y
analicen las conclusiones
de sus proyectos.
Luego, realicen una
presentación multimedia
en la cual expliquen los
detalles de la inversión
del Presupuesto de la
Nación en alguno de los
sectores propuestos por
el Gobierno.
Presupuesto de la fiesta
Gastos Ingresos
Valor en pesos Valor en pesos
Lugar Aportes
Alquiler
Actividades para
ingresos
Sonido
Decoración
Totales Totales
Decoración Patrocinios
Flores
Velas
Iluminación
Otros
Totales Totales
Refrigerio Otros
Alimentación
Totales
Gastos totales Totales
Resultados finales
Valores reales
Ingresos totales
Gastos totales
Balance total

TALLER
24
3
Plano cartesiano
1. Martín quiere representar un rectángulo en el plano cartesiano; sin embargo,
olvida las coordenadas de uno de sus vértices. Si los vértices que recuerda
Martín son los puntos G(–3, –2), H(1, 4) e I(−3, 4), ¿cuáles son las coordenadas
del vértice J para formar el rectángulo GJHI?
AA Comprende el problema.
Datos: Martin quiere representar un rectángulo GJHI en el plano cartesiano.
Los vértices del rectángulo que recuerda son: G(–3, –2), H(1, 4) e I(−3, 4).
Pregunta: ¿Cuáles son las coordenadas del vértice J del rectángulo GJHI?
EE Elabora un plan y llévalo a cabo.
Se usarán propiedades geométricas para determinar el vértice J del
rectángulo GJHI.
Se ubican los vértices conocidos en el plano cartesiano y se traza una recta L
paralela al lado HI y una recta t paralela al lado GI, ya que un rectángulo tiene sus
lados opuestos paralelos. Luego se ubica el vértice J en la intersección de ambas
rectas y se determinan sus coordenadas.
N J(1, −2)
II Verifica y redacta la respuesta
Para comprobar lo obtenido se utilizará como
estrategia dibujar una cuadrícula. Se cuentan
los cuadrados que forman el largo y el ancho
del rectángulo.
Respuesta: Las coordenadas del vértice J son (1, −2).
Usar propiedades
geométricas
Para resolver problemas
relacionados con las
coordenadas de los vértices
de un polígono en el plano
cartesiano, se pueden utilizar
las propiedades de los
triángulos o paralelogramos.
Dibujar una cuadrícula
Cuando una figura está
representada en el plano
cartesiano, es posible dibujar
una cuadrícula en este
para contar los cuadrados
que forman los lados de la
figura y así identificar las
coordenadas de un vértice o
calcular su área y perímetro.
Estrategias
El plano cartesiano es
un sistema que se utiliza
para localizar puntos.
Está formado por dos
rectas perpendiculares
llamadas ejes, cuyo punto
de intersección O recibe
el nombre de origen, y
corresponde al 0 en ambos
ejes. La recta horizontal se
denomina eje X o eje de las
abscisas, y la vertical, eje Y o
eje de las ordenadas.
Para ubicar un punto (a, b)
en el plano cartesiano, se
sitúa a sobre el eje X, y b
sobre el eje Y.
Recuerda que...
J(1, –2)
X
Y H
4
4
6 6
I
G
–1–1
–2
1
2
3
4
–3
–4
1 2 3 4–2–3–4–5
J
X
Y H
G
–1–1
–2
1
2
3
4
–3
–4
1 2 3 4–2–3–4–5
I
t
L

25
2. La imagen muestra la base de un triángulo LMK. Si este triángulo es isósceles,
su altura en M mide 6 cm y dicho vértice se encuentra en el segundo
cuadrante, ¿cuáles son sus coordenadas?
Datos: El triángulo LMK es .
La altura en M mide cm.
El vértice M se encuentra en el cuadrante.
Pregunta:
Se usarán propiedades geométricas para determinar las coordenadas del
vértice M del triángulo LMK.
La altura en M del triángulo isósceles KLM es un segmento de recta perpendicular
al lado KL que pasa por su punto medio. Se traza este segmento hasta completar
una altura de de 6 cm.
.
d(K, M) = √ =
d(L, M) = √ =
Luego, d(K, M) d(L, M).
Respuesta:
La distancia entre dos
puntos en el plano cartesiano
se puede calcular utilizando el
teorema de Pitágoras.
X
(b – d) cm
P(a, b)
Q(c, d)
(a – c) cm
d
Y
O–1–1
–2
1
2
3
4
–3
–4
1 2 3 4 5–2–3–4–5
d = (b – d) cm +(a – c) cm
d = (b – d) +(a – c) cm
2 2 2 2 2
2 2
Recuerda que...
Evalúo la
estrategia
X
LK
Y
–1–1
–2
1
2
3
4
–3
–4
1 2 3 4 5–2–3–4–5
1 cm
1 cm
X
LK
M
Y
O–1–1
–2
1
2
3
4
–3
–4
1 2 3 4 5–2–3–4–5
(x)
LK
(y)
O–1–1
–2
1
2
3
–3
–4
1 2 3 4 5–2–3–4–5 N
4
M = ( , )

26
Taller 3
3. ¿Cuál es el área de un cuadrado de perímetro igual al perímetro del polígono
ABCD representado en el plano cartesiano?
El área de un trapecio
isósceles de base a y altura
b es equivalente al área de
un rectángulo de largo a y
ancho b.
b
a
b
a
Recuerda que...
(x)
B
CD
A
(y)
O–1–1
–2
1
2
3
4
–3
–4
1 2 3 4 5–2–3–4–5
Respuesta:

27
4. Laura representa en el plano cartesiano un polígono ABCD de vértices: A(−2, 10),
B(1, 6), C(4, 10) y D(1, 14). ¿Cuál es el área de la figura representada por Laura?
Considera que cada unidad en el plano cartesiano representa 1 cm.
En un rombo las diagonales
son perpendiculares.
O
D
B
CA
Además se cumple:
AO = OC
DO = OB
Recuerda que...
-- Destaca los datos y la
pregunta del problema.
-- Representa el polígono
en el plano cartesiano.
-- Aplica las propiedades
geométricas que se
cumplen en la figura.
-- No olvides verificar tu
resultado.
-- Escribe la respuesta del
problema.
Ayuda
Respuesta:

TALLER
28
Vectores4
1. Carlos parte de un punto A y se desplaza hacia el este 3 km. Luego, 1 km hacia
el norte, después 5 km hacia el oeste y, por último, 4 km hacia el sur, y así llega
a la ciudad B. ¿Cuáles son las componentes del vector BA si el punto A está en
el origen?
Datos: Carlos parte de un punto A que está en el origen.
Se desplaza 3 km hacia el este, 1 km hacia el norte, 5 km hacia
el oeste y 4 km hacia el sur.
Pregunta: ¿Cuáles son las componentes del vector BA?
Se construirá un esquema para determinar las componentes del vector BA.
Se ubica el punto A en el plano cartesiano y se representan con flechas los
desplazamientos realizados por Carlos hasta el punto B. Luego, se identifican las
coordenadas de B y se calcula la diferencia entre las coordenadas de los puntos A y B.
N B(–2, –3)
X
B
5 km
3 km
4 km
Oeste
Norte
Sur
Este
1 km
Y
O–1–1
–2
1
2
3
4
–3
–4
1 2 3 4 5–2–3–4–5
A
Para comprobar lo obtenido se utilizan propiedades numéricas. Se calcula
la suma entre las componentes del vector BA y las coordenadas del punto B,
verificando que el resultado sea igual a las coordenadas del punto A.
(2 + –2, 3 + –3) = (0, 0) = A
Respuesta: Las componentes del vector BA son (2, 3).
Construir un esquema
Para resolver problemas que
traten de desplazamientos
en los diferentes puntos
cardinales, se puede utilizar
una representación del plano
cartesiano para ubicarlos y
facilitar la resolución.
Usar propiedades
numéricas
Para establecer las distintas
relaciones entre las
componentes de un vector
y las coordenadas del punto
de origen y del extremo, es
posible utilizar la operatoria
entre ellos.
Estrategias
Un vector es un segmento
orientado con un punto
inicial u origen y uno final
o extremo. Si A y B son
dos puntos en el plano
cartesiano, el vector con
origen en A y extremo
en B se simboliza AB y se
lee “vector AB". Un vector
se caracteriza por su
magnitud, dirección
y sentido.
Si A(a1
, a2
) y B(b1
, b2
), entonces
las componentes del
vector AB están dadas por:
AB = (b1
– a1
, b2
– a2
)
Recuerda que...
N BA = (0 – –2, 0 – –3)
BA = (0 + 2, 0 + 3)
BA = (2, 3)

29
2. Un automóvil comienza su recorrido en un punto P y viaja en línea recta hacia
el este 4 km y luego hacia el norte 3 km. ¿Cuáles son las componentes del
vector que representa el desplazamiento del automóvil si el punto P se ubica
en el origen del plano cartesiano (0, 0)?
Datos: El automóvil comienza su recorrido en que está
ubicado en .
El automóvil recorre hacia el y luego
hacia el .
Pregunta:
Se construirá un esquema para determinar las coordenadas del vector que
representa el desplazamiento del automóvil.
Se ubica el punto P en el plano cartesiano y se representa el vector posición
w que indica el recorrido hacia el este, el vector posición v que corresponde
al recorrido del automóvil hacia el norte y el vector u , que representa el
desplazamiento total del automóvil.
N w = (4, ) v = ( , 3)
N u = w + v
u = (4 + , + 3)
u = ( , )
X
Oeste
Norte
Sur
Este
Y
Respuesta:
Dados dos vectores posición
en el plano cartesiano,
u = (a, b) y v = (c, d),
el vector u + v se obtiene
mediante la suma de sus
componentes:
u + v = (a + c, b + d)
X
Y
–1–1
–2
1
2
3
–3
1 2 3 4 5–2
4
5
u + v
u
v
Recuerda que...
Evalúo la
estrategia

8
y
x8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
30
Taller 4
3. Un barco encallado es socorrido por dos remolcadores, como se muestra en la
figura. Si las flechas representan la fuerza aplicada por cada remolcador, ¿cuál es
la magnitud de la fuerza total aplicada al barco?
La magnitud de un vector
AB se simboliza IIABII. En el plano
cartesiano, la magnitud se puede
calcular de las siguientes formas:
N IIABII = (b – a ) +(b – a )1 1
2
2 2
2
donde A(a1
, a2
) y B(b1
, b2
).
N II v II = (v ) +(v )1
2
2
2
donde v = (v1
, v2
).
Recuerda que...
Respuesta:

31
4. Una araña está en un vértice de una pared con forma rectangular
cuyas dimensiones son 8 m de largo y 6 m de alto, y quiere ir al vértice
diametralmente opuesto. ¿Cuál es el vector que representa el desplazamiento
que debe realizar la araña para recorrer la menor distancia posible?
Dados dos vectores en el
plano cartesiano u = (a, b)
y v = (c, d), el vector
u – v se obtiene mediante
la sustracción de sus
componentes:
u – v = (a – c, b – d)
u
v
u – v
Recuerda que...
-- Identifica los datos y la
pregunta del problema.
-- Representa las medidas
del largo y del alto de la
pared como vectores en
el plano cartesiano.
-- Ubica a la araña en el
origen.
-- Determina el vector
correspondiente a la
suma de los vectores que
representan el largo y el
alto de la pared.
-- Calcula la magnitud del
vector obtenido.
-- Comprueba la solución
obtenida.
-- No olvides escribir la
respuesta al problema.
Ayuda
Respuesta:

En las vías del país se
presentan muchos ac-
cidentes de tránsito, de-
bido al incumplimiento
de un factor elemental
que consiste en mante-
ner una distancia pru-
dente con el vehículo
que va adelante. Esto
se debe a que hay con-
ductores que manejan
a gran velocidad y con
exceso de confianza, conducen muy cerca de otros automóviles y en
el momento de una frenada intempestiva por alguna circunstancia, se
ocasionan accidentes que se pueden prevenir si tuviesen mayor precau-
ción.
Pero ¿cuál es la distancia adecuada para frenar y evitar un accidente?
Los factores que influyen son diversos como la distancia de percepción,
el tiempo de frenado, el tiempo de reacción, la velocidad y las condicio-
nes del asfalto o los neumáticos.
La distancia de percepción es la distancia que alcanza a recorrer el ve-
hículo mientras el conductor reacciona y acciona los frenos, posterior-
mente existe la distancia de frenado que es la longitud que hay desde
el momento que se aplican los frenos hasta que el vehículo se detiene
completamente.
El tiempo de reacción hace re-
ferencia al tiempo que tarda el
conductor en percibir la situa-
ción y pisar el freno; y el tiempo
de frenado es el tiempo que tarda
el vehículo en detenerse comple-
tamente desde que se accionan
los frenos. El tiempo de reacción
en promedio es de 0,75 s aunque
dependiendo la pericia del con-
ductor, el nivel de cansancio o
concentración puede variar con-
siderablemente.
¿Cómo puedo determinar el exceso de velocidad
de un auto en un accidente de tránsito a partir
de la distancia de frenado?
Pregunta clave
32
Ámbito conceptual: Comprensión del entorno
PROYECTO Movilidad segura
Eje temático: Movilidad
Desempeño
Conceptos clave
Analizo situaciones
en las vías en las
cuales se identifican
problemas de movilidad,
comportamientos
inadecuados y conductas
riesgosas de peatones,
pasajeros y conductores.
✓✓ Conceptos clave
✓✓ Distancia de frenado
✓✓ distancia de percepción
✓✓ movilidad
✓✓ norma
✓✓ prevención
✓✓ velocidad

La velocidad es la distancia que ha recorrido el vehículo en un tiempo
determinado y se mide en kilómetros por hora (km/h). La velocidad
resulta ser un factor determinante ya que entre mayor sea, más difícil
será detener el vehículo completamente, por ello el Código de Tránsito
en su artículo 108 establece la separación entre vehículos que circulan
uno tras del otro por el mismo carril para diferentes velocidades.
Para velocidades de hasta 30 kilómetros por hora, debe haber una dis-
tancia de 10 metros.
Para velocidades entre 30 y 60 kilómetros por hora, debe haber una
distancia de 20 metros.
Para velocidades entre 60 y 80 kilómetros por hora, debe haber una
distancia de 25 metros.
Para velocidades superiores a los 80 kilómetros por hora debe ser míni-
mo de 30 metros o la que la autoridad competente indique.
• Marca con una “7” el automotor que debería estar a mayor distancia
de otro vehículo para prevenir un accidente si se mueven a una mis-
ma velocidad. Justifica tu respuesta.
• Indica cuál de los conductores tendría un menor tiempo de reacción.
Explica tu respuesta.
• Ahora que conoces algo de este tema, te proponemos que investi-
gues un poco más. Para ello, es necesario que plantees una o varias
preguntas que serán útiles como punto de partida de tu investiga-
ción. Algunas preguntas que te pueden servir, son las siguientes:
¿Cómo calcular la distancia que se debe tener con respecto a otro ve-
hículo que circula en la misma dirección y carril de acuerdo con la
velocidad con que se conduce?
A partir de la distancia de frenado, ¿es posible hallar la velocidad que
llevaba el automóvil antes de frenar?
• Escribe otra pregunta que sirva como planteamiento del problema.
33
Estándares: Pensamientos númerico y variacional
En todos los casos que se
debe guardar distancia
entre dos vehículos, es
indispensable tener en
cuenta otros factores
físicos que pueden alterar
la capacidad de frenado
como es el estado del
suelo, la humedad y el
peso del vehículo.

solver el problema que estás investigando. Durante el transcurso de
la investigación debes comprobar, replantear o rechazar las diversas
hipótesis para llegar a una respuesta.
Lee los siguientes ejemplos de hipótesis. Luego, plantea las tuyas.
• Entre mayor sea la velocidad de un vehículo la distancia que debe
guardar respecto a otro que va delante de él debe ser mayor.
• La eficacia de la frenada depende de la interacción entre la carretera
y los neumáticos del automóvil, por ello la distancia de frenado puede
variar dependiendo de las condiciones que tengan estos elementos.
En los siguientes enlaces podrás encontrar una explicación de cómo
calcular la distancia de percepción, distancia de frenado y la velocidad
que lleva un automóvil midiendo su frenada.
www.profesorenlinea.cl/fisica/Detencion_de_movil.html
www.canaldeciencias.com/2013/02/16/c%C3%B3mo-funciona-4-calcu-
lar-la-velocidad-de-un-autom%C3%B3vil-midiendo-su-frenada/
El Código de Tránsito de Colombia, estipula en su título III capítulo XI,
los límites de velocidad. En el siguiente enlace puedes consultar dicha
información www.colombia.com/noticias/codigotransito/t3c11.asp
Para conocer cómo se define la culpabilidad en un choque por no con-
servar la distancia necesaria te puedes entrevistar con un perito de
tránsito o de una aseguradora.
• La gráfica representa la distancia
de percepción de una situación
riesgosa en función de la veloci-
dad que lleva el automóvil. En-
cuentra la expresión matemática
que representa la gráfica. Luego,
responde las siguientes pregun-
tas:
¿Qué tipo de función es?
¿Qué puedes concluir de la relación que existe entre la distancia de
percepción y la velocidad que lleva el automóvil?
Si un automóvil viaja a 54 kilómetros por hora y percibe un peligro
inminente en frente suyo y aplica los frenos, ¿qué distancia recorrerá
antes de aplicar los frenos? ¿Cuánto tiempo ha transcurrido?
34
Proyecto: Movilidad segura
Trabajo en equipo
Para cambiar las
unidades de medida de la
velocidad de kilómetros
por hora a metros por
segundo se utiliza el
factor de conversión.
h
km
s
m
"
1 km: 1.000 m
1 h: 3.600 s
Entonces, se tiene
h
km m
s
1
1
1
3.600
1
km
h00
$ $
0
0
10
20
20
Velocidad (m/s)
Distancia
depercepción(m)
40 60
30
40

• La expresión matemática que permite relacionar la velocidad que
lleva un automóvil con la distancia de frenado es:
Df g
v
2ϭ
2
Donde Df es la distancia de frenado, v es la velocidad que lleva el ve-
hículo cuando acciona los frenos, g es la constante gravitacional de la
Tierra que equivale a 0,0098 km/s2
y m es el coeficiente de rozamien-
to que corresponde aproximadamente a 0,5 para el contacto entre un
neumático viejo y el asfalto.
De acuerdo con la anterior información completa una tabla como la
siguiente.
• Construye las gráficas de v en función de Df y v2
en función de Df.
Luego, responde:
• ¿Qué tipo de función representa cada gráfica?
• En la gráfica de v2
en función de Df, ¿qué representa el factor 2gm?
• Consulta en los enlaces sugeridos el coeficiente de rozamiento para
diferentes materiales de la carretera. Luego, calcula la distancia de
frenado para un vehículo que viaja a una velocidad de 70 km/h para
diferentes coeficientes de rozamiento.
Una vez almacenada la información necesaria en tablas y gráficas,
debes proceder a interpretarla. Para ello, escribe las conclusiones que
puedes obtener de los factores que se deben tener en cuenta para man-
tener una distancia de frenado adecuada. Luego, determina la hipóte-
sis que explica en forma clara el problema de tu investigación y com-
prueba el grado de validez de cada una de las hipótesis planteadas.
Finalmente, debes presentar las conclusio-
nes de tu investigación. Para ello te propo-
nemos que plantees un riesgo inminente
para una persona que al cruzar la calle no
se percata de la presencia de un vehículo
que viene a gran velocidad. Asigna algu-
nos datos a la situación planteada como la
condición de las llantas del auto, material
de la carretera, distancia de frenado que se marcó en la carretera y
velocidad permitida en el sitio. Luego, expón a tus compañeros en una
cartelera el resultado de tu análisis indicando si el vehículo atropelló
al peatón y si sobrepasaba el límite de velocidad permitido en el lugar.
m
35
Estándares: Pensamientos númerico y variacional
Trabajo en equipo
Reúnete con tres
compañeros y planteen
varias recomendaciones
para mantener una
distancia de frenada
adecuada entre
vehículos.
Luego, en mesa redonda
discute con todos
tus compañeros de
curso, la eficacia de
las recomendaciones
planteadas para prevenir
accidentes.
Df(m) 20 40 60 80 100 120 140
v (km/h)
v2
(km/h)

TALLER
36
5
Funciones
1. En un parque de diversiones cada socio debe pagar $ 20.000 por el ingreso más
$ 4.000 por cada juego en el que participe. Si una persona no es socio del
parque, debe cancelar $ 15.000 por el acceso más $ 7.000 por cada juego en el
que participe. Si una persona participa en cinco juegos, ¿le conviene ser socio
del parque de diversiones?
AA Identifica los datos y la pregunta del problema
Datos: Si una persona es socio de un parque de diversiones debe pagar
$ 20.000 por el ingreso más $ 4.000 por cada juego en el que participe.
Si una persona no es socio debe pagar $ 15.000 por el ingreso
y $ 7.000 por cada juego en el que participe.
Pregunta: ¿A una persona que participa en cinco juegos le conviene ser socio
del parque de diversiones?
EE Elige una estrategia para resolver el problema
Se modelará la situación con una función y luego se evaluará para
determinar si es conveniente ser socio del parque si se participa en 5 juegos.
Si x representa la cantidad de juegos del parque de diversiones en los que se
participa y f el valor que se debe pagar:
Si es socio del parque, la función que modela el valor a pagar es:
f (x) = 4000 x + 20.000 f (5) = 4.000 · 5 + 20.000 = 20.000 + 20.000 = 40.000
Si no es socio del parque, la función que modela el valor a pagar es:
f (x) = 7000 x + 15.000 f (5) = 7.000 · 5 + 15.000 = 35.000 + 15.500 = 50.000
Para comprobar lo obtenido se
graficarán ambas funciones
y se compararán sus valores para
x = 5 juegos.
Respuesta: Si una persona participa en cinco juegos le conviene ser socio del
parque.
Utilizar una función
Una situación se puede
modelar mediante una
función estableciendo las
relaciones existentes entre
los datos del problema.
Hacer un gráfico
Para poder comparar los
valores que toma una
función, es posible construir
un gráfico; para luego
interpretarlo y visualizar
el comportamiento de la
variable.
Estrategias
Una función f de un
conjunto A en un conjunto
B (f : A " B) es una relación
que asocia a cada elemento
x de A, llamado preimagen,
un único elemento y de B,
llamado imagen.
f: A " B
conjunto de llegada
x " y = f (x)
preimagen imagen
Recuerda que...
conjunto de partida
45.000
$
Parque de diversiones
40.000
35.000
30.000
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Cantidad de
juegos
Es socio
del parque
No es socio
del parque

37
2. Alberto quiere contratar los servicios de una compañía
telefónica y cuenta con los datos de dos de ellas.
Las tarifas de cada compañía se presentan en la tabla.
¿Cuál es la empresa más conveniente para Alberto
si habla 300 minutos en un mes?
Datos: La compañía A cobra un cargo fijo de y
por minuto.
La compañía B cobra un cargo fijo de y
por minuto.
Alberto habla minutos en un mes.
Pregunta:
Se modelará la situación con una función y luego se evaluará para
determinar qué compañía es más conveniente al hablar 300 minutos.
Si x representa la cantidad de minutos y f el valor que se debe pagar:
Compañía A: f (x) = · x + f (300) =
Compañía B: f (x) = · x + f (300) =
Respuesta:
La gráfica de una
función f es el conjunto de
pares ordenados (x, y) que
cumplen y = f (x). Se dice
que el par ordenado (x, y)
pertenece a la gráfica de f,
o bien que la gráfica de f
pasa por el punto (x, y).
Recuerda que...
Evalúo la
estrategia
Compañía Cargo fijo Valor de 1 minuto
A $ 8.000 $ 150
B $ 7.000 $ 200

38
Taller 5
3. Un teléfono celular baja de precio rápidamente cuando comienza a quedar
obsoleto. Si el precio original es de $ 240.000 y se devalúa en $ 2.000
por mes, ¿después de cuánto tiempo el precio del teléfono celular se devaluará
a la mitad?
Una función lineal es
una función f que puede
escribirse de la forma
f (x) = c · x, con c ! R.
El gráfico de esta función
corresponde a una recta
que pasa por el origen
(0, 0). El valor c representa
la pendiente de la recta.
Recuerda que...
Respuesta:

39
4. En el detalle de una cuenta de uso de energía eléctrica se tiene que el cargo fijo
es de $ 20.000 y por el consumo de 1 kWh se cobran $ 180, aproximadamente.
Una familia obtiene un beneficio, que consiste en un descuento del 15% sobre
el valor total que deberían pagar por su consumo de electricidad. Si consumen
317 kWh, ¿cuál es el valor del descuento?
Una función afín es una
función de la forma
f (x) = m · x + n con m y n
números reales distintos de
cero. La constante m recibe
el nombre de pendiente.
El gráfico de esta función es
una recta que corta el eje Y
en el punto (0, n).
Recuerda que...
-- Representa la función que
modela el cobro de los
kWh consumidos.
-- Evalúa la función para
317 kWh.
-- Calcula el 15% del valor a
pagar por 317 kWh.
-- No olvides verificar tu
resultado.
-- Escribe la respuesta al
problema.
Ayuda
Respuesta:

TALLER
40
6
Función exponencial, logarítmica y raíz cuadrada
1. El crecimiento de un cultivo de bacterias se determina a partir de la función
f (t) = t0
et
, donde “e” es un número irracional que es aproximadamente igual a
2,718281 y “t” es el tiempo de reproducción en horas. Si inicialmente se tienen
10 bacterias, ¿cuántas bacterias habrá al cabo de 2 horas?
Datos: El crecimiento de un cultivo de bacterias se determina por medio de la
función f (t) = t0
e t
.
Inicialmente se tienen 10 bacterias.
Pregunta: ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 2 horas?
Se utilizará la función exponencial correspondiente y luego se resolverá la
situación.
En la función exponencial f (t) = t0
e t
, se tiene que t0
= 10 (bacterias iniciales).
Luego, f(t) = 10et
.
f (2) = 10e2
Se remplaza t = 2 en la función.
f (2) = 10(2,7182)2
Se escribe el valor aproximado de “e”.
f (2) ≈ 73,8861 Se resuelven las operaciones.
Para comprobar lo obtenido se utilizará ensayo y error.
t Función 8 o 4
1 f (1) = 10(2,7182)1
= 27,182 8
2 f (2) = 10(2,7182)2
= 73,8861 4
Respuesta: Al cabo de 2 horas se tendrán 73,8861 bacterias.
Unafunción exponencial
f :  " +
se define por:
f (x) = a x
, a ! +
– {1}.
Ejemplo
Si f (x) = 5x
, entonces:
f(2) = 52
= 25
Un caso especial de la
función exponencial se
presenta cuando se tiene
f (x) = e x
, considerando el
número irracional
e = 2,718182…
Recuerda que...
Utilizar una función
Para resolver un problema
utilizando una función debes
identificar la variable, luego
relacionarla por medio de las
expresiones involucradas y
después resolverla.
Ensayo y error
Esta estrategia consiste en
escoger un valor numérico y
valorizar la función para ver
si cumple con las condiciones
pedidas.
Estrategias

41
2. En 1935, el geólogo Charles Richter (1900-1984) estableció la expresión
R = log
I
S
para determinar la magnitud de un terremoto. En esta expresión
I representa la intensidad del terremoto y S, la intensidad de un terremoto
estándar. En 1999, hubo en Armenia (Colombia) un terremoto cuya magnitud
fue de 6,4 grados en la escala de Richter y en 1960 hubo un terremoto cuya
magnitud fue 1.584 veces mayor, en Valdivia (Chile). ¿Cuál fue la magnitud del
terremoto de Valdivia?
Datos: La magnitud del terremoto en Armenia fue de
.
En Valdivia hubo un terremoto cuya magnitud fue
veces mayor que el de Armenia.
Pregunta:
Se utilizará la función logarítmica correspondiente y luego se resolverá.
R = log 1.584 + log
R =
R = log 1.584 •
I
S
R = log
I
S
= 6,4
Magnitud Función 8 o 4
Respuesta:
Considerando a ∈ +
– {1}, x,
y ∈ +
, se tienen las
siguientes propiedades:
• loga
(x • y) = loga
x + loga
y
• log
a
x
y
= log
a
x log
a
y
log
a
A =
log
y
A
log
y
a
, y 1
• loga
(xy
) = y loga
x
•
log
a
x
y
= log
a
x log
a
y
log
a
A =
log
y
A
log
y
a
, y 1
Ejemplo
log(50) = log (5 • 10)
= log (5) + log (10)
= log (5) + 1
 0,69897 + 1
 1,69897
Recuerda que...
Evalúo la
estrategia

42
Taller 6
3. El número de gametos g (un tipo especial de célula reproductiva) en cierta
especie de plantas está determinado por la función g(n) = 2n
, donde n es el
número total de células que tiene, por lo común, un individuo de la especie.
¿Cuántas células tiene una planta que tiene 2.048 gametos?
Alresolver una ecuación
exponencial, puedes
aplicar la propiedad de los
logaritmos para calcular el
valor de la incógnita.
Ejemplo
3x
= 19.683
log(3x
) = log (19.683)
xlog(3) = log (19.683)
x =
log (19.683)
log (3)
x = 9
Recuerda que...
Respuesta:

43
4. Se define la función ( )f(x) = 3x + 6
1
2 , ¿cuál es el dominio de la función?
Una potencia con
exponente racional se
relaciona con una expresión
radical de la siguiente forma:
a = a
a = a
n
p np
2
3 23
Ejemplo
a = a
a = a
n
p np
2
3 23
Recuerda que...
El dominio de una función
f(x) = x
f(x) = x + 3
es+
∪ {0},
ya que x H 0.
Ejemplo
El dominio de la funciónf(x) = x
f(x) = x + 3 se puede
representar con
Dom(f ) = [–3, +∞).
Ayuda
Respuesta:

CREACIÓN DE PROBLEMAS
44
Analiza la información y luego sigue las instrucciones para la creación de un problema.
Una piscina tiene un volumen de 90 m3
de agua.
Esta se vacía a razón de 6 m3
por minuto.
a. Marca con un 4 el concepto que se relacionará con la resolución del problema.
AA Expresiones algebraicas
AA Ecuaciones
AA Inecuaciones
AA Funciones
b. Elige una pregunta y márcala con un 4.
AA ¿Cuánta agua habrá en la piscina a los 5 minutos que empezó a vaciarse?
AA Si la piscina contiene 30 m3
de agua, ¿cuánto tiempo ha transcurrido desde que comenzó a vaciarse?
AA ¿En cuánto tiempo se vaciará la piscina por completo?
AA ¿Cuánto tiempo como mínimo debe transcurrir para que el volumen de agua vaciada sea mayor
a la mitad del volumen de agua inicial de la piscina?
AA ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el volumen de agua vaciada sea a lo menos 60 m3
?
AA Si el largo de la piscina mide (10x + 3y) m y el perímetro de su contorno es igual a (36x + 16y) cm,
¿qué expresión algebraica representa la medida del ancho de la piscina? (Considera x > 0, y > 0)

45
c. Redacta el problema según tus elecciones anteriores.
d. Resuelve el problema que acabas de escribir.
Respuesta:

El conflicto armado en Colombia ha dejado miles de víctimas que han
sido reconocidas por el Gobierno colombiano, lo que lleva a un gran
avance en el tema de derechos humanos y derecho internacional hu-
manitario.
Todas las personas que han sido víctimas de la violencia en Colombia
desde el año 1985 tienen derecho a una reparación integral, tanto eco-
nómica como social. El Estado por medio de esta ley indemniza mone-
tariamente a las víctimas y también realiza un acompañamiento en
temas de salud, educación, vivienda y empleo entre otros.
A continuación, te proponemos que profundices sobre el tema y reali-
ces una investigación. Para esto, debes elaborar varias preguntas; como
punto de partida, te sugerimos algunas:
• ¿Quiénes son las víctimas del conflicto armado en nuestro país?
• ¿Cuáles son los derechos que tienen las víctimas?
• ¿En qué consiste la reparación integral?
Escribe otra pregunta que sirva como planteamiento del problema:
solver el problema que estás investigando. Durante el transcurso de la
investigación debes comprobar, replantear o rechazar las diversas hipó-
tesis para llegar a una respuesta. Lee los siguientes tipos de hipótesis.
Luego, plantea las tuyas:
• La Ley de víctimas es el primer paso del reconocimiento de las vícti-
mas en el conflicto armado por parte del Estado colombiano.
Las víctimas del conflicto armado tienen derecho a una reparación
integral, tanto económica como social.
¿Cómo puedo orientar a una persona que ha
sido víctima de la violencia por el conflicto
armado en Colombia?
Pregunta clave
46
Dimensiones del sujeto activo de derechos:
Sujeto político - Participación y responsabilidad democrática
PROYECTO
Eje temático: Igualdad de derechos
Desempeño
Conceptos clave
Educación para el ejercicio de los derechos humanos
Reconoce la Ley de
víctimas y reparación de
tierras como la posibilidad
que tienen las víctimas
del conflicto armado
en Colombia para ser
reparadas tanto económica
como socialmente.
✓✓ Registro único de
víctimas
✓✓ Restitución de tierras
✓✓ Víctimas del conflicto

Averigua la información que necesites en las siguientes fuentes:
Ley de víctimas: www.unidadvictimas.gov.co
Para consultar acerca del monto por el salario mínimo actual indaga
en www.mintrabajo.gov.co/empleo/abece-del-salario-minimo.html
Busca información adicional en otras fuentes.
Para organizar la información, puedes completar una tabla como la
siguiente, referente a la reparación económica que puede recibir una
víctima del conflicto armado:
Si la Unidad para la Atención y Reparación integral a las víctimas ha
registrado 902.939 víctimas por homicidio, ¿cuánto dinero se ha otor-
gado en total a este grupo de víctimas?
¿Podrías plantear una ecuación que permita realizar el cálculo del
monto total que se tendría que pagar a cada grupo de víctimas?
Ahora, tienes que analizar la información que recogiste, organízala y
toma nota de las ideas que pueden responder las preguntas que plan-
teaste al comienzo de tu consulta. Para esto, lee nuevamente la hipó-
tesis y verifica si los resultados obtenidos dan respuesta o explican de
manera definitiva el problema de investigación.
Finalmente, debes presentar el resultado de tu análisis. Puedes elegir
la hipótesis que explica claramente el problema de tu investigación y
justificar su valor frente a las respuestas obtenidas. También deberás
explicar lo que concluiste de tu análisis. Presenta los resultados me-
diante un resumen periodístico, para ello plásmalo en una ficha con
las siguientes características:
47
Estándares: Pensamientos numérico y aleatorio
Las ecuaciones lineales
pueden servir como
modelo matemático
para representar alguna
situación real.
Por ejemplo, la ecuación
lineal
C(x) 5 C ? x
Representa el total de
costos por unidad.
Trabajo en equipo
Reúnete con tres de tus
compañeros de clase
para que analicen las
conclusiones del proyecto.
Luego, realicen una
cartelera en la que
describan los derechos de
una persona víctima del
conflicto en nuestro país
y lo que los ciudadanos
podemos hacer para
contribuir a su defensa.
No olviden incluir
imágenes alusivas al tema.
Tipo de víctima Salarios mínimos Monto total recibido
Homicidio 40
Desaparición forzada 40
Secuestro 40
Tortura 30
Violencia sexual 30
Título del artículo
Ley de víctimas, ¿quiénes pueden
acceder a la Ley de víctimas?
Dinero que puede recibir una
víctima
Cifras sobre las víctimas
(consultar web: www.
unidadvictimas.gov.co/
Conclusiones de la investigación

TALLER
48
7
Analiza la resolución del
siguiente problema.
1. En la siguiente tabla se registró
la información obtenida
de la medición de la masa
corporal, en kilogramos, de 60
estudiantes. ¿Cuál es la media
aritmética de los datos?
Datos: La masa corporal de los estudiantes.
Pregunta: ¿Cuál es la media aritmética de los datos?
Se construirá una tabla para determinar la media aritmética de los datos.
Masa de un grupo de estudiantes
Masa (kg) Mc
f
[50, 56) 53 6
[56, 62) 59 17
[62, 68) 65 22
[68, 74) 71 15
x =
53 • 6 + 59 • 17 + 65 • 22 + 71 • 15
60
x =
3.834
60
= 63,9
Para comprobar lo obtenido se construirá un histograma.
x =
53 • 6 + 59 • 17 + 65 • 22 + 71 • 15
60
x =
3.834
60
= 63,9
25–
20–
15–
10–
5–
0–
Masa de un grupo de estudiantes
0 50 56 62 68 74
53
59
65
71
Cantidaddeestudiantes
Masa
corporal
(kg)
Respuesta: La media aritmética de las masas corporales de los estudiantes es 63,9 kg.
Construir una tabla
En este tipo de problemas
se utilizan tablas para
organizar los datos y facilitar
los cálculos necesarios
para determinar medidas
de tendencia central y de
posición de un conjunto de
datos.
Construir un gráfico
Para poder comparar un
grupo de datos, es posible
construir un histograma;
para luego interpretarlo y
visualizar el comportamiento
de la variable.
Estrategias
La media aritmética (x)
para datos agrupados
en intervalos se calcula
multiplicando la marca de clase
(Mc
) de cada intervalo con su
respectiva frecuencia absoluta
(f ), luego se suman estos valores
y se divide el resultado por el
número total de datos de la
muestra (n).
x =
Mc1
• f1
+ Mc2
• f2
+ ... + McN
• fN
n
Recuerda que... Masa corporal de un grupo de estudiantes
Masa corporal (kg) f
[50, 56) 6
[56, 62) 17
[62, 68) 22
[68, 74) 15
Medidas de tendencia central y de posición

49
Para calcular la mediana
(Me
) de datos agrupados
en intervalos se utiliza la
expresión:
Me = a+(b – a)•
n
2
– Fa
f
n: número total de datos.
[a, b) : primer intervalo
donde la frecuencia
acumulada (Fa
) sea mayor
a n
2
.
Fa
: frecuencia acumulada
anterior al intervalo [a, b).
f: frecuencia absoluta de
[a, b).
Recuerda que...
Evalúo la
estrategia
2. Los siguientes datos corresponden a la duración, en años, de 40 máquinas
industriales. ¿Cuál es la mediana de la duración, en años, de las máquinas?
Duración de 40 máquinas industriales
Años de duración f
[2, 5) 6
[5, 8) 17
[8, 11) 12
[11, 14) 5
Datos: La duración, en años, de las máquinas.
Pregunta:
Se construirá una tabla para determinar la mediana de los años de duración de
las 40 máquinas.
Duración de 40 máquinas industriales
Años de duración f F
.
20–
15–
10–
5–
0–
Respuesta:
Me
= + •
40
2
–⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Me
= + •
Me
= + =

50
Taller 7
Para determinar la moda
(Mo
) de datos agrupados
en intervalos, se utiliza la
expresión:
Mo
= a + (b – a) •
fa
fa + fs
[a, b) : intervalo de mayor
frecuencia absoluta (f).
fa
: diferencia entre la
frecuencia del intervalo
modal y la frecuencia del
intervalo anterior.
fs
: diferencia entre la
frecuencia del intervalo
modal y la frecuencia del
intervalo siguiente.
Recuerda que...
3. En la tabla se muestran los puntajes obtenidos por un grupo de estudiantes
en un examen. ¿Cuál es la moda de los puntajes obtenidos por el grupo de
estudiantes?
Puntajes obtenidos en un examen
Puntajes f
[0, 5) 9
[5, 10) 22
[10, 15) 55
[15, 20) 48
[20, 25] 16
Respuesta:

51
Las medidas de posición
dividen el conjunto de datos
en partes iguales. Entre ellos
se encuentran los cuartiles,
los deciles y los percentiles.
Los cuartiles (Qk
, con
k = 1, 2, 3) dividen al
conjunto de datos en
4 partes iguales.
Los deciles (Dk
, con
k = 1, 2, 3,…, 9) dividen al
conjunto de datos en 10
partes iguales.
Los percentiles (Pk
, con
k = 1, 2, 3,…, 99) dividen
al conjunto de datos en
100 partes iguales.
Recuerda que...
-- Lee el problema y ordena
los datos de forma
creciente.
-- Considera que el primer
cuartil corresponde a Q1
.
Y representa el 25% de
los datos.
-- Revisa tus cálculos al
finalizar la resolución
del problema.
Ayuda
4. Los siguientes datos corresponden a las edades, en años, de los participantes
de un taller de canto.
10 - 12 - 14 - 56 - 14 - 8 - 13 - 25 - 45 - 17 - 22 - 45 - 30 - 15
25 - 10 - 12 - 18 - 22 - 40 - 55 - 12 - 11 - 11 - 16 - 13 - 20
¿Qué edad corresponde al primer cuartil? ¿Qué puedes interpretar de este
valor?
Respuesta:

52
Medidas de dispersión
Construir una tabla
En este tipo de problemas se
utilizan tablas para organizar
los datos y facilitar los
cálculos necesarios con el fin
de determinar medidas de
dispersión de un conjunto
de datos.
Usarunarepresentación
gráfica
Los datos del problema
se pueden representar
gráficamente, con el fin de
comprender la situación
descrita y establecer
relaciones entre los datos
del problema.
Estrategias
El rango (R) es la medida
determinada por la diferencia
entre el dato mayor y el dato
menor de la muestra.
Para saber cuál es el rango
para datos agrupados
en intervalos se calcula la
diferencia entre el límite
inferior del primer intervalo
y el límite superior del último
intervalo.
Recuerda que...
1. Un entrenador debe escoger, entre dos competidores, al que participará en
un torneo de atletismo. Los dos candidatos lograron los siguientes tiempos, en
segundos, en cinco carreras de 100 m. ¿Quién obtuvo una menor diferencia
entre sus tiempos?
Diego 11,6 - 11,5 - 16,0 - 12,9 - 15,0 Nicolás 12,7 - 13,0 - 13,9 - 13,4 - 14,0
Datos: Los tiempos logrados por Diego y Nicolás.
Pregunta: ¿Quién obtuvo una menor diferencia entre sus tiempos?
Se construirá una tabla para determinar el rango de los datos y con esto
identificar quién tuvo un desempeño más constante.
Tiempo logrado en 5 carreras de 100 m
Carrera 1 Carrera 2 Carrera 3 Carrera 4 Carrera 5
Diego 11,6 11,5 16,0 12,9 15,0
Nicolás 12,7 13,0 13,9 13,4 14,0
Competidor
Tiempo (seg)
RDiego
= 16,0 – 11,5 = 4,5 s RNicolás
= 14,0 – 12,7 = 1,3 s
Para comprobar lo obtenido se usará una representación gráfica.
11 12 13 14 15 16
Tiempos logrados por Diego
11 12 13 14 15 16
Tiempos logrados por Nicolás
Respuesta: Luego, el rango es mayor en los resultados obtenidos por Diego. Eso
significa que la diferencia entre sus tiempos es mayor que los de Nicolás.
TALLER 8

53
Para determinar la varianza (s2
)
se utiliza la expresión:
s2
=
(x1
– x)2
+ (x2
– x)2
+ ... + (xn
– x)2
n
n: tamaño de la muestra.
xi
: datos de la muestra.
x: media muestral.
Recuerda que...
Evalúo la
estrategia
2. En un colegio se ha hecho un estudio para determinar la cantidad de libros que
leen al año los estudiantes. Para ello, se encuestó a 50 estudiantes de dicho
colegio. Los resultados fueron los siguientes:
5 - 8 - 6 - 9 - 10 - 9 - 6 - 6 - 7 - 6 - 10 - 10 - 5 - 5 - 8 - 8 - 10 - 10 - 6 - 6 - 5 - 5 - 10 - 10
6 - 10 - 5 - 7 - 5 - 8 - 10 - 5 - 7 - 5 - 5 - 6 - 6 - 7 - 6 - 10 - 10 - 5 - 6 - 6 - 9 - 5 - 5 - 6 - 8 - 6
¿Cuál es el rango y la varianza de la muestra escogida?
Datos: La cantidad de libros que leen al año estudiantes.
Pregunta:
Se construirá una tabla para determinar el rango y la varianza de la muestra
escogida.
Cantidad de libros leídos por los estudiantes
Cantidad de libros fi
xi
– x (xi
– x)2
fi
• (xi
– x)2
Respuesta:

54
Taller 8
La desviación estándar (s)
corresponde a la raíz cuadrada
de la varianza y su unidad de
medida es la misma que la
de la variable observada. Se
calcula utilizando la expresión:
=
− + − + + −
s
(x x) (x x) ... (x x)
n
1
2
2
2
n
2
Recuerda que...
3. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de artículos electrónicos
vendidos en dos tiendas, durante 10 días.
Tienda 1 1 - 2 - 2 - 4 - 12 - 15 - 4 - 8 - 5 - 10 Tienda 2 4 - 5 - 5 - 7 - 7 - 8 - 3 - 7 - 5 - 5
Calcula la desviación estándar en cada caso. ¿En qué tienda la cantidad de
artículos electrónicos vendidos diariamente fue más homogénea?
Respuesta:

55
Si al determinar el rango (R)
en un conjunto de datos,
este es un número grande,
indica que los datos
presentan una mayor
dispersión; mientras que
si es un valor pequeño, la
dispersión de los datos es
menor.
Ejemplo
Sean los conjuntos
A = {1, 5, 6, 8, 4}
B = {1, 2, 5, 4, 3}
El rango del conjunto A es:
8 – 1 = 7
El rango del conjunto B es:
5 – 1 = 4
Por lo tanto, los datos del
conjunto B presentan una
menor dispersión que los
datos del conjunto A.
Recuerda que...
-- Identifica los datos del
problema.
-- Utiliza una representación
gráfica para organizar los
datos.
Ayuda
4. Las notas de dos estudiantes al final del año escolar son las siguientes.
Luis 7,0 - 6,8 - 6,6 - 5,9 - 3,4 - 6,0 Franco 6,0 - 5,9 - 5,8 - 5,8 - 6,0 - 6,2
¿Cuál es el estudiante con mejor promedio?, ¿quién tuvo un mejor rendimiento?
Respuesta:

56
PRUEBAS SABER
Instrucciones
1. En primer lugar, escriba su nombre y apellido en el espacio correspondiente,
en la hoja de respuestas.
2. En esta prueba encontrará 25 preguntas de diferentes situaciones.
3. Para contestar, en la hoja de respuestas, hágalo de la siguiente manera.
Por ejemplo, si la respuesta correcta a la pregunta 1 es B:
MATEMÁTICAS 10
Nombre:
Grado: Fecha:
Marque
así:
No marque
así:
Así
tampoco:
Para corregir,
borre
completamente
1. 1. 1. 1.
A A A A
B B B B
C C C C
D D D D
Tiempo disponible 1 hora y 30 minutos
7

Hoja de respuestas
25.
PRUEBA SABER
57
1. A B C D
2. A B C D
3. A B C D
4. A B C D
5. A B C D
6. A B C D
7. A B C D
8. A B C D
9. A B C D
10. A B C D
11. A B C D
12. A B C D
Nombre:
Grado: Fecha:
13. A B C D
14. A B C D
15. A B C D
16. A B C D
17. A B C D
18. A B C D
19. A B C D
20. A B C D
21. A B C D
22. A B C D
23. A B C D
24. A B C D

PRUEBA SABER
58
RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 Y 2
DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE
INFORMACIÓN.
Lasiguientegráficamuestralainversión
deunapersonaenunfondodeahorros,
en la que y representa la inversión en
dólares y x el tiempo en años.
1. Respectoalcapitalinicialqueinvirtió
lapersonaescorrectoafirmarque:
A. El capital inicial fue de 400 dólares.
B. El capital inicial coincide con el
promedio de los valores que aparecen
en el eje y de la gráfica.
C. El capital inicial fue de 100 dólares.
D. Es imposible conocer el capital con solo
la gráfica.
2. A partir de la gráfica se puede
argumentar que:
A. La persona invirtió su dinero en el fondo
de ahorros solo por 5 años, ya que este es
el valor máximo que aparece en el eje x.
B. La inversión aumenta en 50 dólares por
año, ya que es la pendiente de la recta.
C. La inversión inicial fue de 200 dólares,
porque ese es el corte con el eje y.
D. La cantidad máxima que alcanzará la
inversión es de 400 dólares, ya que es el
valor más grande que aparece en el eje y.
INFORMACIÓN.
Un diamante de béisbol tiene forma
cuadradacomosemuestraenlasiguiente
representación,endondeMcorresponde
almontículodellanzador,Peslaprimera
base y N es el Home.
3. Silasbasesestánseparadasentresí
aproximadamente27m,ladistancia
entre M y N:
A. No se puede calcular, ya que 27 m no
es una medida suficiente para hallar esa
distancia.
B. Sí se puede calcular porque coincide
con la mitad de 27 m.
C. No se puede calcular porque en
un cuadrado es imposible aplicar el
teorema de Pitágoras.
D. Se puede calcular aplicando el teorema
de Pitágoras al triángulo formado por el
Home, la primera base y la segunda base.
4. La distancia entre la segunda base
y el home es:
A. 13 2 m.
B. 27 2 m.
C. 18 3 m.
D. 9 3 m.
400
300
200
100
0 1 2 3 4 5
x
y
Segunda base
Primera base
Tercera base
PM
N

PRUEBA SABER
59
RESPONDA LAS PREGUNTAS 5 Y 6 DE ACUERDO
CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN.
Lasiguientetablamuestralacantidaddehombresymujeresquesegraduaroncierto
año de los diferentes programas que ofrece una universidad.
Programa
Tecnológico Universitario Especialización Maestría Total
Mujeres 80 100 24 18 222
Hombres 45 60 36 12 153
Total 125 160 60 30 375
5. De la tabla es posible deducir que:
A. Es mayor la cantidad de mujeres que obtuvieron título de especialización o maestría que
la cantidad de hombres que obtuvieron alguno de esos dos títulos.
B. Por cada 3 hombres que obtuvieron título de especialización 2 mujeres obtuvieron ese
mismo título.
C. Es menor la cantidad de mujeres que obtuvieron título tecnológico o de especialización,
que la cantidad de mujeres que obtuvieron título universitario.
D. Por cada 2 mujeres que obtuvieron título de maestría 3 hombres obtuvieron ese mismo título.
6. Las directivas de la universidad quieren obsequiar un curso de idiomas gratis
para una de las personas que se graduaron. Si se escoge al azar la persona,
¿qué probabilidad hay de que sea mujer y tenga título universitario?
A. La probabilidad es de
3
15
.
B. La probabilidad es aproximadamente del 40,33%.
C. La probabilidad es de
2
5
.
D. La probabilidad es aproximadamente del 26,66%.
7. El promedio de 25 números es 50 y el promedio de otros 15 números es 60.
Respectoalpromediodelos40númerosquehayentotalsepuedeafirmarque:
A. Se puede calcular multiplicando 25 por 50 y 15 por 60. Luego, se suman los resultados
y se divide entre 40.
B. No se puede calcular ya que se desconocen cuáles son los números.
C. Se puede calcular sumando 50 más 60 y dividiendo entre 40.
D. No se puede calcular porque los promedios dados son de diferentes cantidades de números.

PRUEBA SABER
60
La siguiente parábola representa el
lanzamiento de un proyectil.
Unestudiantedefísicasabequelaecuación
deestaparábolaestádadaporlaexpresión:
(x  h)2 = 4p(y  k)
DondeelpuntoV(h,k)sonlascoordenadasdelvérticeykpdeterminalacoordenada
en y del foco.
8. Si las distancias están dadas en metros, se puede afirmar que:
A. El alcance horizontal del proyectil fue de 18 m.
B. El proyectil alcanza su altura máxima cuando ha recorrido 4,5 m.
C. El alcance horizontal no se puede determinar porque se desconoce el foco de la parábola.
D. El proyectil alcanza una altura de 20 m cuando ha recorrido 6 m.
9. Respectoalvalorexactodelaalturamáximaquealcanzaelproyectilsepuede
argumentar que:
A. Es igual a 20 m, ya que así se muestra en la gráfica.
B. Se puede determinar solo con los puntos por los que pasa la parábola (0, 0) y (9, 0).
C. Se puede determinar a partir de las coordenadas del foco.
D. Es igual a 20,1 m ya que en la gráfica se aprecia que la coordenada en y del vértice está un poco
arriba de 20.
En la siguiente figura se muestra un tetraedro que
representa el enlace de tres átomos de hidrógeno
(H) con uno de carbono (C).
10. Desde el punto de vista geométrico se considera que la medida de un ángulo
externoauntriánguloesigualalasumadelosdosángulosinternosnoadyacentes.
Según esta proposición, es correcto afirmar que:
A. La medida del ángulo CHO es b  90°. C. La medida del ángulo CHO es 180°  b.
B. La medida del ángulo CHO es 90°  b. D. La medida del ángulo CHO es b  180°.
30
20
10
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y

PRUEBA SABER
61
11. La expresión que se puede utilizar para calcular la distancia n es:
A. n  l  cos b B. n  l  sen (90°  b) C. n  l  cos (b  90°) D. n  l  sen b
12. Lasiguientegráficarepresentalaoscilacióndeunresortequetieneunapesaatada
en su parte extrema y que inicialmente se comprime 10 cm.
La ecuación que modela el movimiento del resorte es:
A. La ecuación es y  10 sen
t
2
, porque para t  0 resulta que y  10.
B. La ecuación es y  10 cos
t
2
, porque si t  0, entonces, y  10. Además, la gráfica muestra
un alargamiento de la función y  10 cos t.
C. La ecuación es y  sen 2t, porque si t  0, entonces, y  10. Además, la gráfica muestra
un alargamiento de la gráfica y  10 sen t.
D. La ecuación es y  cos 2t, porque si t  0, entonces, y  10. Además, la gráfica muestra una
compresión de la gráfica y  10 cos t.
Secircunscribeuncuadradoenunacircunferenciacomo
se muestra en la siguiente gráfica.
10
-10
t(s)
y
0 1 2 3 4 5 6 7
y
x0
(6,2)
14. La ecuación de la circunferencia es:
A. (x  4)2
 y2
 8, porque el radio es 2 2.
B. (x  4)2
 y2
 8, porque la coordenada
del centro es (4, 0).
C. (x  4)2
 y2
 16, porque el radio es 4.
D. (x  4)2
 y2
 16, porque el radio es igual
a 4 y el centro es (4, 0).
13. Silasmedidassedanencentímetros,
eláreadelapartesombreadaesiguala:
A. 16  2p cm2
B. 36  2p cm2
C. 32  8p cm2
D. 16  4p cm2

PRUEBA SABER
62
17. Observa las siguientes gráficas.
Las expresiones algebraicas que
representan ambas gráficas son:
A. y  x2
 1 y y  x3
 1
B. y  x2
 1 y y  x3
1
C. y  x2
 1 y y  x3
 1
D. y  x2
 1 y y  x3
 1
18. La expresión s 5 r  u permite
calcular la longitud de arco de una
circunferencia a partir del radio y
el ángulo central medido en
radianes. Si el radio de la Tierra
es 6.370 km, para determinar la
longitud de arco que describe una
ciudad, debido al movimiento de
rotación, pasadas 6 de las 24 horas
del día el procedimiento correcto
que se debe seguir es:
A. Hallar la razón entre 6 y 24 y multiplicarlo
por 6.370.
B. Hallar el ángulo en radianes
correspondiente a un cuarto de vuelta
y multiplicar por 6.370.
C. Hallar el ángulo en radianes de cuatro
vueltas y multiplicar por 6.370.
D. Multiplicar 6.370 por 24 y el resultado
se divide entre 6.
INFORMACIÓN.
El siguiente diagrama representa los
resultados de una encuesta acerca del
tipo de seguridad social que tienen
algunas personas de un barrio.
15. Al observar la gráfica se puede
deducir que:
A. La muestra en la que se aplicó la
encuesta la conforman 70 personas.
B. El 12,5% de las personas encuestadas
tienen Sisbén.
C. El 28% de las personas encuestadas
tienen medicina prepagada.
D. Cinco veces la cantidad de personas con
Sisbén es igual a la cantidad de personas
con EPS.
16. La alcaldía de la localidad quiere
otorgar un plan especial de
odontología a una de las personas
que participaron en la encuesta.
La probabilidad de que la persona
escogida tenga EPS o Sisbén es:
A. Igual a 55%.
B. Mayor que 40% pero menor que 60%.
C. Igual a 65%.
D. Mayor que 60% y menor que 70%.
0
EPS Sisbén Medicina
prepagada
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Tipo de seguridad social
No. personas
y
x
2
1
1
-2 -1
1

PRUEBA SABER
63
RESPONDA LAS PREGUNTAS 19 A 21 DE ACUERDO
Acontinuaciónsepresentanlasgráficasdedosfunciones,unaexponencial,esdecir,de
la forma y  ax
y otra logarítmica de la forma y  Loga
x, ambas con a  1.
Función exponencial Función logarítmica
19. ¿Cuáldelassiguientessituacionessepodríamodelarconlafunciónexponencial
teniendo en cuenta los valores para x  0?
A. Una inversión donde el capital inicial es de 200 dólares y se incrementa 20 dólares por mes.
B. El movimiento de un ciclista donde incrementa la velocidad de 10 a 20 kilómetros por hora
desde el primer kilómetro del inicio de la carrera.
C. La cantidad de bacterias que hay en un tiempo determinado, si se inicia con una bacteria que se
divide en otras dos, y a su vez cada nueva bacteria se divide en otras dos.
D. El interés que se genera al invertir un dólar, al uno por ciento mensual, durante un tiempo
determinado.
20. Respecto a la relación entre ambas gráficas es correcto afirmar que:
A. No hay relación porque para cada valor de x los valores de y son diferentes.
B. La relación es que a ambas gráficas las interseca la recta y 
1
2
x.
C. No hay relación porque una función es exponencial y la otra es logarítmica, y son dos
conceptos diferentes.
D. La relación es que la función logarítmica es la función inversa de la exponencial.
21. Las ecuaciones que representan la función exponencial y logarítmica
son, respectivamente:
A. y  2x
y y  Log2
x
B. y  3x
y y  Log3
x
C. y  4x
y y  Log2
x
D. y  2x
y y  Log4
x
2
y
x
1
1-1-2 2
3 2
y
x
1
1-1
-1
3 42

PRUEBA SABER
64
Alfinalizarunaconferenciaseencuestarona40
hombres y 60 mujeres para conocer cómo les
habíaparecido.Losresultadosserepresentan
en el siguiente gráfico.
22. En relación con los resultados de la encuesta es falso afirmar que:
A. Fue mayor la cantidad de hombres que de mujeres los que opinaron que la conferencia
fue regular o mala.
B. Doce mujeres opinan que la conferencia estuvo regular.
C. Diez hombres opinan que la conferencia estuvo regular.
D. Hubo 16 mujeres más que hombres que opinaron que la conferencia fue buena.
23. ¿Quéporcentajedeltotaldelaspersonasencuestadasopinaquelaconferencia
fue buena?
A. Exactamente el 48%. C. Exactamente el 56%.
B. Aproximadamente el 50%. D. Aproximadamente el 62%.
24. Alhacerunestudiodeplaneaciónenunpueblo,
un ingeniero observó que una de las torres de
energía y un molino equidistaban de la capilla
como se muestra en la siguiente figura.
Si la distancia entre la capilla y el molino es de
120metros,ladistanciaentrelatorredeenergía
y el molino está dada por:
A. 120  sen 50° B. 120 
sen 50°
sen 65°
C. 120  sen 130° D. 60  sen 50°
Responda la siguiente pregunta en la hoja de respuestas, con
letra clara y sin salirse del recuadro previsto para ello.
25. Observa la imagen y explica cómo se
mideladistanciadelaTierraalaLuna.
PREGUNTA ABIERTA
50º
B
A L
R
RO
α
Luna
Tierra
Hombres
Porcentaje
Mala
Buena
Regular
Mujeres
10
20
30
40
50
60

Pt mat 10

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