Curso propedeutico eje2

Eje 2.
Razonamiento lógico matemático
Universidad Abierta y a Distancia de México
UnADM
Curso Propedéutico para el Aprendizaje
Autogestivo en un Ambiente Virtual

Eje 2. Razonamiento lógico matemático
“[…] Se ha convertido casi en un comentario cliché, que nadie hoy en día alardea de ser un ignorante en
literatura, pero es aceptable socialmente alardear de ignorar la ciencia y afirmar orgulloso que se es un
incompetente en matemáticas”.
Richard Dawkins
Dentro del razonamiento lógico-matemático se pretende medir habilidades para
contextualizar las matemáticas en nuevas situaciones, lo cual propicia generar nuevos
conocimientos y aplicarlos en trabajos prácticos. Estas habilidades permiten además,
procesar, analizar y utilizar gran cantidad de información en las áreas de las matemáticas
como la aritmética, el álgebra, la geometría y otros campos del conocimiento.
El razonamiento matemático está relacionado con la habilidad matemática, lo que permite
comprender conceptos y proponer algoritmos para resolver problemas, ya sean éstos
contextualizados o abstractos. En este apartado te presentamos problemas de razonamiento
lógico-matemático, puesto que el dominio de estas áreas es indispensable para iniciar tus
estudios en la Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM).
En la primera unidad se explican los métodos y técnicas para
resolver problemas, partiendo del razonamiento inductivo,
complementado con el razonamiento deductivo. Los
problemas se presentan de acuerdo al grado de complejidad,
pero, si se toman en cuenta los procedimientos presentados,
dicha complejidad no será impedimento para resolver los
problemas. En la segunda unidad se muestran métodos
de Polya para resolver problemas matemáticos, así como
diversos ejemplos correspondientes a éstos.
Universidad Abierta y a Distancia de México 1
Otra parte fundamental que revisaremos, es
el razonamiento lógico y abstracto, donde se
podrán desarrollar mecanismos para la solución
de secuencias de figuras. Para comprender mejor
estos elementos, es necesario prestar mucha
atención a los ejemplos que se presentan a lo
largo del curso, ya que éstos ayudarán a resolver
aquellas situaciones que se proponen dentro de
la actividad.

Competencias
A través de este eje desarrollarás la siguiente competencia específica:
• Desarrolla la habilidad de resolver problemas mediante los conceptos generales
de matemáticas básicas para su representación dentro de la vida cotidiana.
Propósitos
Los propósitos de este eje son los siguientes:
• Utilizar el razonamiento lógico-matemático para crear estructuras de cono-cimientos.
• Desarrollar la capacidad de análisis y construcción de esquemas que permi-tan
la solución de un problema.
• Resolver problemas mediante el uso del razonamiento lógico-matemático.
Metodología:
¿cómo vas a desarrollar las competencias?
La forma en que recomendamos cursar este eje es revisar y analizar los ejemplos que
proponemos, dado que ellos permitirán resolver los diferentes planteamientos que se presen-tan
en cada una de las unidades que estudiaremos. Además, es indispensable que revisemos
los recursos que se sugieren, ya que son una herramienta valiosa para lograr la competencia
del curso.
Este eje, aunque se asemeja al área de matemáticas, será de utilidad para la realización de
la actividad integradora, donde nos permitirá razonar, estructurar y tomar decisiones al
momento de elección o determinación del giro de tu lectura final. Así que te invitamos a
analizar y resolver los diferentes planteamientos que presentamos en este eje.
Planeación para tu aprendizaje
Para conocer las actividades, recursos y la forma en que será evaluado tu trabajo,
revisa la siguiente planeación en la cual te mostramos todos los elementos necesarios para
cursar este eje de manera satisfactoria.

Unidad 1. Razonamiento inductivo y razonamiento deductivo
1.1. Razonamiento inductivo
1.2. Razonamiento deductivo
Logros:
1. Identificar los elementos necesarios para la resolución de problemas.
2. Aplicar el razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo en la resolución de problemas.
Competencias digitales: Utilizar medios y entornos digitales para interactuar con otros.
Actividad Evaluación Horas Herramienta Recursos
Actividad 1.
10% 12 horas Cuestionario
Razonamiento
inductivo y
razonamiento
deductivo.
moodle
Contenido en plataforma
Lectura:
• Razonamiento inductivo
y deductivo
Videos:
• Razonamiento inductivo
• Razonamiento deductivo
9 para lectura de
contenidos
3 para la
resolución del
cuestionario
Unidad 2. El arte de resolver problemas
2.1. Uso de tabla o diagrama
2.2. Trabajar hacia atrás
2.3. Uso de ensayo y error
2.4. Suposición y verificación
2.5. Elaboración de un boceto
Logros:
1. Identificar los cuatro pasos de Polya para la resolución de problemas de razonamiento
lógico-matemático.(Compresión).
2. Resolver problemas de lógica matemática por medio de los pasos de Polya. (Análisis).
Competencias digitales: Maneja software para la elaboración de organizadores gráficos; utiliza
habilidades ofimáticas.
Actividad 2.
Ingenio lógico-matemático
moodle
Lectura:
• Método de cuatro pasos
de Polya.
9 para revisión de
recursos
3 para solución de
la actividad

Unidad 3. Razonamiento lógico y razonamiento abstracto
3.1. Ejemplos de razonamiento lógico
3.2. Relación de tiempo
3.3. Ordenamiento lineal
3.4. Parentesco
Logros:
1. Identificar problemas de orden lógico o abstracto por medio de sus características.
(Compresión).
2. Resolver problemas de lógica matemática utilizando los diferentes métodos aprendidos
en las unidades anteriores. (Análisis).
Competencias digitales: Publicar en un blog; postear en los blog de sus compañeros(as).
Actividad 3.
Razonamiento
moodle
abstracto
Lectura:
• Ordenamiento y
clasificación jerárquica
• Razonamiento lógico y
abstracto
Videos:
• Razonamiento lógico
• Razonamiento abstracto
10 para el estudio
de los recursos
3 para la solución
de la actividad
Mapa general del eje
Desarrolla la habilidad de resolver
problemas mediante los conceptos
generales de matemáticas básicas
para su representación dentro de
la vida cotidiana
Unidad 1.
Razonamiento Inductivo y deductivo
Actividad 1. Inducción y deducción
Unidad 2.
El arte de resolver problemas
Actividad 2. Ingenio lógico matemático
Unidad 3.
Razonamiento lógigo y abstract
Actividad 3. Razonamiento abstracto
Eje 2.
Razonamiento
lógico matemático

Unidad 1. Razonamiento inductivo y deductivo
En la vida cotidiana utilizamos el razonamiento para tomar decisiones en alguna si-tuación.
Dicho razonamiento nos permite estructurar diferentes enunciados que, a su vez,
permiten determinar un curso de acción, sea correcto o incorrecto.
Lo mismo sucede en la escuela, constantemente debemos tomar decisiones dentro del ámbito
estudiantil, para lo cual utilizamos dos tipos de razonamiento: el inductivo y el deductivo.
Pero, te has preguntado…
¿Cuál es la estructura del pensamiento al razonar
para determinar el resultado a un problema?
¿Pones en juego, por ejemplo, procesos de solución
para resolver un problema o simplemente intuyes el
resultado?
Para profundizar sobre los tipos de razonamiento, revisa la siguiente lectura Razonamiento
inductivo y deductivo.
Razonamiento deductivo e inductivo
La historia de las matemáticas se remonta al antiguo Egipto y Babilonia. Ante la
necesidad de resolver problemas a través de errores y victorias, estas culturas lograron
determinar técnicas que después utilizaron constantemente, como recetas de cocina,
lo cual se repitió una y otra vez en problemas similares.
Al observar que esta técnica funcionaba con ciertos tipos de problemas, concluyeron
que este método funcionaba para problemas del mismo tipo.
Cuando resolvemos un problema, podemos llamar a la solución conjetura, que es
una hipótesis que se fundamenta en observaciones repetidas de un proceso o patrón
determinado. A este tipo de procesos, por su parte, se le llama razonamiento inductivo.
El razonamiento inductivo se define como obtener una conclusión general, o
conjetura, a partir de observaciones repetidas en ejemplos específicos; dicha conclusión
puede llegar a ser verdadera o no. Es fácil demostrar que la solución a estos ejemplos
es falsa, pues basta con encontrar un ejemplo que así lo compruebe; a ese tipo se le
conoce como contraejemplo. Podemos mencionar, además, el siguiente ejemplo para
ilustrar mejor el punto.

Conjetura
Todos los números primos son impares: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...
Si observamos el conjunto de números, todos son números primos, mas no todos son
impares, por lo que podemos crear un contraejemplo para refutar la conjetura.
Contraejemplo
El número 2 es un número primo, pero no un número impar.
Observa los siguientes ejemplos de razonamiento inductivo:
Conjetura 1: Alberto tiene 25 años, vive en la ciudad de México y siempre vota
por partidos de izquierda.
Conjetura 2: Juan tiene 23 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por
partidos de Izquierda.
Conclusión:
Los ciudadanos entre 20 y 25 años que viven en la ciudad de México siempre votan
Estas premisas pueden ser refutadas y demostrarse su falsedad, dado que no todas las
personas que viven en la ciudad de México votarán por partidos de izquierda.
Este tipo de razonamiento inductivo es un método potencialmente fuerte para llegar a
una conclusión, mas no existe la certeza de que sea verdadera. Por esta razón, algunos
matemáticos no aceptan una verdad como absoluta en tanto que no se demuestre de
manera formal por medio del razonamiento deductivo. El razonamiento deductivo inició
con los matemáticos griegos, como revelan los trabajos de Pitágoras, Arquímedes y
Euclides, entre otros, quienes aplicaron conceptos generales a problemas específicos, lo
que dio como resultado un desarrollo lógico y estructurado de las matemáticas.
Un razonamiento deductivo se define como la aplicación de principios generales
a ejemplos específicos. En los siguientes ejemplos se muestra la diferencia entre un
razonamiento inductivo y otro deductivo.
Observa los siguientes ejemplos de razonamiento inductivo:

Conjetura 2: Juan tiene 23 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por
partidos de Izquierda.
Conclusión:
Los ciudadanos entre 20 y 25 años que viven en la ciudad de México siempre votan por
partidos de izquierda.
Estas premisas pueden ser refutadas y demostrarse su falsedad, dado que no todas las
personas que viven en la ciudad de México votarán por partidos de izquierda.
Ahora te presentamos un ejemplo de razonamiento deductivo, el cual es el más utilizado
en problemas lógico-matemáticos. Sin embargo, no dejamos de lado el razonamiento
inductivo, que nos lleva a resolver de manera parcial o total algunos problemas.
Conjetura 1: Todos los panecillos tardan una hora en hornearse.
Conjetura 2: Son las 2 de la tarde y Adriana mete los panecillos al horno.
Conclusión:
Los panecillos estarán listos a las 3:00 pm.
Veamos algunos ejemplos de los dos tipos de razonamientos, en los cuales utilizaremos
los números naturales o números cardinales.
Considera la siguiente secuencia de números: 1, 8, 15, 22, 29.
¿Cuál es el número que sigue en la lista?, ¿cuál es el patrón? Si observamos y analizamos
los números, vemos que 1+7= 8, y 8+7=15. ¿Sumamos 15 y 7 para obtener 22?,
¿sumamos 22 y 7 para obtener 29? Sí, efectivamente. Sumamos 7 a todo número
precedente, de modo que el número siguiente de la secuencia es 36, puesto que
29+7=36.
Considerando el ejemplo anterior, para identificar el siguiente número de la secuencia,
utilizamos la observación, y se determina tanto el patrón como el número que sigue en
la secuencia. Este es un ejemplo de razonamiento inductivo.
Usando el razonamiento inductivo se concluye que 41 era el número siguiente, pero,
¿qué pasa si se presenta otra respuesta, por ejemplo, se relaciona con las fechas de los
meses Junio y Julio?

Junio
D L M M J V S
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30
Julio
D L M M J V S
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
Entonces, la secuencia quedaría de manera diferente: 1, 8, 15, 22, 29, 6, 13, 20, 27
Si analizamos la secuencia, el patrón sigue siendo 7, pero el consecutivo cambia. Aquí se
muestra una falla importante del razonamiento inductivo, el cual no nos garantiza que
la verdad en un caso específico será verdad en lo general. Por lo tanto, el razonamiento
inductivo no garantiza un resultado verdadero, pero ofrece los medios para hacer una
conjetura.
En matemáticas es común utilizar la expresión exponencial, que no es otra cosa que
representar la multiplicación repetida:
Base 32 = 3.3.3 = 27
Hipotenusa
Exponente
En el razonamiento deductivo se usan enunciados generales para aplicarlos en
situaciones específicas, por ejemplo el teorema de Pitágoras:
“En un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos,
es igual al cuadrado de la hipotenusa.”
Cateto
opuesto
Cateto adyacente
h2=a2+b2

Si los catetos miden 4 y 6 metros, podemos calcular la longitud de la hipotenusa,
representada por h.
h2=a2+b2
h2=(6)2+(8)2
h2=36+64
h=√100
h=10
Por lo tanto, la hipotenusa mide10 metros,
aplicando la regla general del teorema de Pitágoras.
El razonamiento de un problema normalmente requiere de algunas premisas, lo cual
puede ser un supuesto, una ley, un teorema, una definición matemática, observación o
idea. Después, con el razonamiento inductivo o deductivo, se puede obtener la solución,
misma que se vuelve un argumento lógico.
Podemos concluir que el razonamiento inductivo se utiliza con frecuencia para predecir
la respuesta de ejercicios de cálculo, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Predice la multiplicación y el producto que sigue en esta lista de operaciones:
21 ×5=105
21×8=168
21×11=231
21×14=294
Primero, debemos identificar que el 21 se repite en todas las operaciones; en tanto
que en el segundo factor, el incremento entre 5 y 8 es 3, por lo tanto, la siguiente
multiplicación sería:
21×17=357
por lo cual es verdadero.

Cuando utilizamos el razonamiento inductivo, corremos ciertos riesgos asociados
al razonamiento. Un ejemplo clásico es el de dividir por regiones una circunferencia,
partiendo de puntos. Veamos la siguiente gráfica:
Puntos: 1
Regiones: 1
Puntos: 2
Regiones: 4
Puntos: 3
Regiones: 4
Si observamos la figura, en la primera se colocó un punto sobre la superficie, y se denota
una región; si en cambio, colocamos dos puntos sobre la circunferencia y los unimos con
una línea recta, formamos dos regiones.
Si finalmente, colocamos tres puntos sobre la circunferencia y los unimos por medio
de líneas rectas, no se crean tres regiones, sino cuatro. Esto se puede representar por
medio de una progresión geométrica: 1,2,4,
¿Qué pasaría si colocamos cuatro puntos en la circunferencia, o cinco?, ¿cuántas
regiones tendríamos?
Representando cuatro y cinco puntos en la circunferencia, quedarían de la siguiente
manera:
Puntos: 4
Regiones: 8
Puntos: 5
Regiones: 16
Si volvemos a representarlo en la progresión geométrica, quedaría de la siguiente
manera: 1,2,4,8,16

Analicemos
¿Cuál sería el número de regiones si colocamos
6 puntos en la circunferencia?
Si respondemos por medio de una conjetura
tomada de un razonamiento inductivo, la
progresión quedaría de la siguiente manera:
1,2,4,8,16,32
Representándolo gráficamente, sería:
¡Nos han robado! Sólo tenemos 31 regiones.
Ahora probemos con siete puntos en la
circunferencia. Razonando inductivamente,
tendríamos: 1,2,4,8,16,32,64
Representándolo gráficamente, tendríamos:
¡Nos han vuelto a robar! Ahora tenemos 57
regiones, cuando deberíamos tener 64.
Conclusión:
Este tipo de ejemplos ilustran que en matemáticas no podemos simplemente guiarnos
por observaciones; en su lugar, necesitamos argumentos lógicos y rigurosos que
constituyen una prueba que demuestra la veracidad del proceso.

Una vez que hayas analizado la lectura recomendada, observa con atención los siguientes
videos, en los que encontrarás una explicación clara de los conceptos de inducción y deducción.
Mansilla, M. (2012). Razonamiento inductivo y deductivo parte 1 y 2.
[Archivo de video]. Recuperado de
https://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8c y
https://www.youtube.com/watch?v=LM6tl4baz8A
Después de haber analizado el documento y el video, te invitamos a leer la siguiente reflexión,
donde comprobaremos que, algunas veces, actuar de manera inductiva nos lleva a resultados
equivocados si no demostramos antes lo que solamente asumimos.
El científico y las pulgas
Un científico tenía dos frascos grandes
frente a él sobre la mesa del laborato-rio.
El frasco de la izquierda contenía
100 pulgas, en tanto que el frasco de la
derecha estaba vacío. El científico sacó
con cuidado una pulga del frasco de la
izquierda, la colocó sobre la mesa en
medio de los dos frascos, dio un paso
hacia atrás, y con voz fuerte dijo “sal-ta”.
La pulga saltó y luego la colocó en
el frasco de la derecha. El científico sacó
entonces cuidadosamente una segunda
pulga del frasco de la izquierda y la co-locó
sobre la mesa entre los dos frascos.
De nuevo dio un paso hacia atrás y, con
voz fuerte, dijo “salta”. La pulga saltó
y fue colocada en el frasco de la dere-cha.
El científico trató del mismo modo
a cada una de las 100 pulgas del frasco
de la izquierda y cada pulga saltó como
se le ordenó.
Aplicó la misma mecánica nuevamente
con las pulgas de la derecha, únicamen-te
con un cambio.
El científico sacó una pulga del frasco de
la derecha, le arrancó las patas traseras,
y colocó la pulga sobre la mesa, dio un
paso hacia atrás y dijo con voz fuerte
“salta”. La pulga no saltó y fue coloca-da
en el frasco de la izquierda. El cien-tífico
hizo lo mismo con las 100 pulgas
y ninguna de ellas saltó cuando se les
ordenó, por lo que el científico llegó a la
siguiente conclusión:
Cuando se arrancan las patas traseras a
una pulga, se vuelve sorda.

Actividad 1. Razonamiento inductivo y deductivo
Propósito:
Verificar el conocimiento obtenido sobre razonamiento deductivo y razonamiento
inductivo.
Descripción:
Con esta actividad podrás evaluar tus habilidades para la resolución de problemas
matemáticos aplicando el razonamiento inductivo y deductivo.
Indicaciones:
1. Regresa al aula y busca la Actividad 1. Razonamiento inductivo y deductivo, en la
lista de tareas. Una vez que la identifiques, da clic para acceder al cuestionario.
2. Responde el cuestionario, y cuando termines, revisa la realimentación.
3. El cuestionario te permitirá solamente dos intentos.
Criterios de evaluación:
El cuestionario tiene un valor del 10% sobre la evaluación final del curso.
Lineamientos de entrega:
Deberás responder el cuestionario en su totalidad.
Recursos:
Cuestionario: Razonamiento inductivo y deductivo
Para responder el cuestionario interactivo debes ingresar al aula virtual.
Cierre de la unidad
A lo largo de esta unidad revisamos que, antes de resolver un problema, ya sea de ámbito
matemático o cualquier situación, debemos estructurarlo para poder identificar los elementos
necesarios para resolverlo. El razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo nos
permiten formar estas estructuras; el primero determina inicialmente un resultado que puede
o no tener validez, en tanto que el segundo verifica este resultado, por lo cual ambos resultan
útiles.
Este principio nos ayuda no sólo a resolver cualquier tipo de problemas, sino a desarrollar
diferentes habilidades, así como la capacidad de razonar, tomar decisiones y generar nuevas
ideas en cualquier ámbito educativo.

Fuentes de consulta
Castro, L. (s/f). Diez plataformas para crear un blog [About.com]. Recuperado de:
http://aprenderinternet.about.com/od/ConceptosBasico/tp/Diez-Plataformas-Para-Crear-
Un-Blog.htm
Mansilla, M. (2012). Razonamiento inductivo, deductivo parte 1 y 2 [archivo de video].
Recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8c y https://www.youtube.com/
watch?v=LM6tl4baz8A
Zevallos, A. (2001, 30 de marzo). Razonamiento Lógico - 17 Problemas Resueltos -
(Razonamiento Inductivo y Deductivo, Problemas Recreativos) – Solucionario [El blog del
profe Alex]. Recuperado de:
http://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-17-problemas.html

Unidad 2. El arte de resolver problemas
Ahora en esta unidad te brindamos algunos métodos de solución de problemas, to-mados
desde la aportación de George Polya, quien fue uno de los autores que propusieron el
método de resolución de problemas. Además, te mostramos diferentes ejemplos y técnicas
por los cuales podemos resolver problemas.
Como hemos visto en la primera unidad, el razonamiento inductivo puede ser útil para iniciar
la solución de un problema, pero también debemos utilizar el razonamiento deductivo para
comprobar si la solución es veraz o falsa.
¿Pero, realmente podemos resolver problemas?
¿Tenemos una estructura hecha para resolverlos?
Para resolver problemas debemos tener una organización al momento de comprender,
analizar, clasificar y determinar el resultado, puesto que si sólo nos guiamos por conjeturas
o premisas, podemos caer en errores que no dificulte su solución adecuada. Es por ello
que existen procesos o tipos de estrategias para resolver un problema, a continuación te
mostramos algunos de éstos.
Método de cuatro pasos de Polya
La estrategia más conocida es la de George Polya. Nacido en Hungría en 1887, Polya fue
un matemático que desarrolló diversas técnicas para la solución de problemas. Su publicación
más famosa fue “How to solve it” (Cómo resolverlo), donde propuso un método de cuatro
pasos para la solución de problemas.
Revisa y reflexiona sobre el método de cuatro pasos que propuso Polya, expuesto en el
documento Método de cuatro pasos y relaciónalo con cada uno de los cinco ejemplos que a
continuación te mostramos:

Método de cuatro pasos de Polya
A continuación te presentamos en qué consiste el método de cuatro pasos de Polya
para la solución de problemas:
Paso 1 Comprenda el problema. Usted no puede resolver un problema si
no entiende qué le pidieron calcular. Se debe leer y analizar el problema
cuidadosamente. Tal vez sea necesario leerlo varias veces. Después de eso,
pregúntese, ¿qué debo calcular?
Paso 2 Elabore un plan: Existen muchas maneras de enfrentar un problema. Elija
un plan adecuado para el problema específico que está resolviendo.
Paso 3 Aplique un plan: Una vez que sabe cómo enfocar el problema, ponga
en práctica ese plan. Tal vez llegue a “un callejón sin salida” y encuentre
obstáculos imprevistos, pero debe ser persistente.
Paso 4 Revise y verifique: Revise su respuesta para ver que sea razonable.
¿Satisface las condiciones del problema? ¿Se han contestado todas las
preguntas que plantea el problema? ¿Es posible resolver el problema de
manera diferente y llegar a la misma respuesta?
El paso 2 del método para la solución de problemas de Polya aconseja elaborar un plan.
Aquí se presentan algunas sugerencias y estrategias que han demostrado ser útiles.
Sugerencias para la solución de problemas
• Elabore una tabla o diagrama
• Busque un patrón
• Resuelva un problema similar más
sencillo
• Elabore un bosquejo
• Use el razonamiento inductivo
• Formule una ecuación y resuélvala
• Si una fórmula aplica, úsela
• Trabaje hacia atrás
• Suponga y verifique
• Use ensayo y error
• Use el sentido común
• Busque la trampa que se le tiende en
el caso de que una respuesta parezca
demasiado evidente o imposible
Cuando a George Polya se le preguntaba cómo llegó a ser matemático, él contestaba
que no era lo suficientemente inteligente para ser físico, y demasiado para ser filósofo,
así que eligió matemáticas, que es una cosa intermedia.

Ahora que conociste los métodos propuestos por Polya, es momento de revisar algunos
ejemplos para que te vayas familiarizando con estos procesos. Recuerda que esto te
será útil durante toda la carrera profesional que curses.
El desarrollo del plan que nos propone Polya requiere el uso de varios métodos.
Ejemplos de Métodos para resolver problemas
1. Uso de tabla o diagrama
Se tomará un ejemplo del libro “Liber Abaci” del matemático Leonardo Pisano, conocido
como Fibonacci.
Ejemplo 1.
Un hombre colocó un par de conejos en una jaula. Durante el primer mes los conejos
no se reprodujeron, pero cada mes a partir de entonces tuvieron una nueva pareja de
conejos. Si cada nueva pareja se reprodujera de la misma manera, ¿cuántas parejas de
conejos habría al cabo de un año?
Solución:
Se comenzará con el método que propone George Polya:

Paso 1. Comprende el problema: la intención es comprender qué es lo que
solicita el problema, y la mejor manera de hacerlo es redactando el problema para
entenderlo correctamente. Por ejemplo, ¿cuántas parejas de conejos tendrá el
hombre al final del año, si inicia con una pareja de conejos que no procrea durante
el primer mes, pero cada mes siguiente cada pareja que tuvieron procrea un
nuevo par?
Paso 2. Elabora un plan: en el ejemplo se identifica un patrón definido de cómo
se reproducen los conejos, así que podrías construir la siguiente tabla:
Mes Números de
parejas al inicio
Número de nuevas
parejas procreadas=
Números de parejas
al final del mes
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
8°
9°
10°
11°
12°
La respuesta estará aquí.
Paso 3. Aplica el plan: al inicio del primer mes sólo hay una pareja de conejos,
y no se reproducen durante este periodo; es decir, 1+0 = 1. Este patrón continúa,
pero al segundo mes hay dos parejas; es decir, 1+1 =2. Al tercer mes solamente
se reproduce una pareja, porque la segunda no se reproduce durante su primer
mes de vida; es decir 2+1=3. Al seguir el patrón, la tabla quedaría de la
siguiente manera.

Mes Números de
parejas al inicio
Número de nuevas
parejas procreadas=
Números de parejas
al final del mes
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
8°
9°
10°
11°
12°
112358
13
21
34
55
89
144
0
112358
13
21
34
55
89
12358
13
21
34
55
89
144
233
Habrá 233 parejas de conejos al final del año.
Paso 4. Revisa y verifica: regresa y asegúrate de que la interpretación del problema
fue correcta; verifica si la suma de los números coincide con los resultados.
2. Trabajar hacia atrás
Planteamiento
Alberto asiste cada semana al Hipódromo de las Américas para las carreras de caballo
con sus amigos. En una semana duplicó su dinero, pero luego perdió $300. Regresó con
su dinero la siguiente semana, lo triplicó, y luego perdió $600. La siguiente semana
volvió a llevar su dinero y lo intentó nuevamente. En esta ocasión cuadruplicó su dinero,
y luego jugó lo suficiente para llevarse a su casa un total de $6,000. ¿Con cuánto inició
la primera semana?
Solución
Como el problema requiere determinar la cantidad de dinero con que inició Alberto, y se
conoce la cifra final, se puede aplicar el método de trabajar hacía atrás. La cantidad final
es $6,000, y representa cuatro veces la cantidad con la que inició la tercera semana.

Se divide $6,000 entre 4, para saber la cantidad que tenía la tercera semana, lo que
resulta ser $1,500. Antes de perder $600 la segunda semana, tenía 1500 + 600, o
sea, 2,100. Es decir, triplicó su dinero, pues la segunda semana inició con 2,100 dividido
entre 3, es decir, 700. Al repetir este proceso en la primera semana, sería:
700+300=1000
Lo cual representa el doble de la cifra con la que inició, por lo tanto:
1000 ÷2=500
Respuesta
Para verificar si el procedimiento es correcto, se puede representar en ecuaciones:
Primera semana, (2×500)-300=700
Segundo semana, (3×700)-600=1500
Tercera semana, (4×1500)=6000
3. Uso de ensayo y error
Pedro, Raúl y Ana son amigos, y cada uno es dueño de sólo uno de los siguientes
animales: perro, gato y tortuga. Identifica el nombre de la persona propietaria de cada
animal con base en los siguientes datos:
1. El sobrino de Ana tiene un gato
2. Pedro tiene un perro
3. Pedro no es el dueño de la tortuga
Solución:
Se parte por medio de ensayo y error. Se proponen cada uno de los datos y todas las
combinaciones posibles, y se eliminan aquellas que contradicen alguno de los datos
hasta obtener asignaciones completas.
El anterior sería un ejemplo de combinaciones posibles, aunque se podrían colocar otras,
como:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Pedro tiene la tortuga
Pedro tiene el perro
Raúl tiene la tortuga
Raúl tiene el perro
Raúl tiene el gato
Ana tiene la tortuga
Ana tiene el perro
Ana tiene el gato
Ana tiene el gato
Ana tiene la tortuga
Falso
Verdadero
Falso
Falso
Debe ser cierta por que no contradice ninguna
información y es la única opción disponible.
No contradice ninguna información
Falso
Falso, ya que un animal no puede tener dos dueños
Falso
Verdadero
4. Suposición y verificación
Planteamiento
A las orillas de un río se vio a la cuarta parte de una manada de borregos. El doble de la
raíz cuadrada de esa manada se fue al establo; y 3 por 5 camellos permanecieron a la
orilla del rio en espera del pastor. ¿Cuál es el número de camellos en esa manada?
Solución
Si te das cuenta, en este problema el resultado es un número natural. Como en el
planteamiento del problema se menciona “un cuarto de la manada”, y “la raíz cuadrada
de esa manada”, el número de borregos debe ser un múltiplo de 4, como un cuadrado
perfecto. Se inicia con una ecuación donde x representa el número de borregos en la
manada, el cual se sustituye por 4, para ver si es la solución.
Un cuarto de la
manada
¼ x
¼ (4)
1
1
El doble de la
raíz cuadrada de
la manada
2√x
2√4
4
4
3 veces 5
camellos
3∙5
15
15
20
Número de
camellos en la
manada
x
4
4
4
+
+
+++
+
+
+++
=
=
==≠

Si observas el proceso, 4 no es la solución, por lo que se intenta con el siguiente número
perfecto, que es múltiplo de 4.
¼ (16)+2√16+3∙5=16
4+8+15=16
27≠16
Observas que 16 tampoco es la solución al problema, así que se utiliza el siguiente
número cuadrado perfecto, y que es múltiplo de 4.
¼ (36)+2√36+3∙5=16
9+12+15=16
36=36
Aquí se cumple la igualdad y se encuentra el resultado al problema. La ecuación permite
verificar el resultado.
5. Elaboración de un boceto
Planteamiento
La copa y el botón
De la siguiente figura, y moviendo solamente dos palillos, deja el botón
fuera de la copa. No puedes mover el botón. La copa puede quedar en
cualquier orientación, pero debe mantenerse formada.
Solución
Para solucionar este
tipo de problemas,
debes realizar
procesos
y dibujarlos.
Para profundizar un poco más sobre la resolución de problemas, a través de la creatividad
y el juego, te invitamos a consultar el siguiente vínculo electrónico, donde se muestran
más ejemplos de razonamiento:
Tomado de: Lerdo, I.N. (2011). Juegos de todo el mundo: juegos con cerillas y palillos
[Museo del juego] Recuperado de: http://museodeljuego.org/wp-content/uploads/
contenidos_0000001237_docu1.pdf

Actividad 2. Ingenio lógico matemático
Propósito
Resolver problemas matemáticos usando las estructuras del razonamiento lógico-matemático.
Descripción
Con esta actividad podrás evaluar tus habilidades utilizando algunos métodos revisados
durante esta unidad para la resolución de problemas lógico-matemáticos.
Indicaciones
1. Regresa al aula y busca la Actividad 2. Ingenio lógico matemático, en la lista de
tareas. Una vez que la identifiques, da clic para acceder al cuestionario.
Criterios de evaluación
Lineamientos de entrega
Recursos
Cuestionario: Ingenio lógico matemático
Para responder el cuestionario interactivo debe ingresar al aula virtual.
Constante de Kaprekar
Como podemos ver, cada uno de los problemas que acabas de resolver tiene particularidades
que necesitan diversos métodos de solución. Ahora te invitamos a revisar la siguiente reflexión
que aporta un conocimiento muy útil en diferentes momentos de tu vida estudiantil.

¿Alguna vez has escuchado de la constante de Kaprekar?
Cierre de la unidad
Hasta ahora nos hemos dado cuenta de que la resolución de problemas no se aplica sólo a
las matemáticas, sino que se amplían en otras ramas de la educación universitaria. Además,
cuando se presenta un problema, algunas veces lo resolvemos por medio de la intuición y su
resultado nos convence, pero existen otros que necesitan más de una predicción inductiva;
necesitan estructuras, métodos, técnicas y demás herramientas que permiten llegar a su
solución.
Te exhortamos a revisar la última unidad de este eje, donde fortalecerás todo lo aprendido
hasta el momento.
Fuentes de consulta
Lerdo, I.N. (2011). Juegos de todo el mundo: juegos con cerillas y palillos [Museo del juego].
Recuperado de :http://museodeljuego.org/wp-content/uploads/contenidos_0000001237_
docu1.pdf
Miller, C. D., Heeren, V. E., y Hornsby, J. (2013). Matemática: Razonamiento y aplicaciones.
12ª Edición. México: Editorial Pearson Educación.
Si no la conoces, realiza la siguiente
actividad para identificarla.
Selecciona un número de tres dígitos
diferentes. Primero, ordénalos de
manera descendente, y resta los mismos
tres dígitos, pero ahora ordenados
de manera ascendente. Por ejemplo,
selecciona los dígitos 4, 6 y 9, de modo
que, en primera instancia, obtienes 964.
964 954
- 469 - 459
495 495
Observa que obtuviste 495. Repitiendo
el proceso, vuelves a obtener el número
495. A este número se le conoce como
la constante de Kaprekar, en la cual el
resultado siempre será 495, si el proceso
se aplica a cantidades de tres dígitos.
Te invitamos a realizar el mismo proceso
de Kaprekar a un número de dos dígitos
diferentes (interpreta 9 como 09, si es
necesario) y compara los resultados.
¿Qué parece ser verdad?
Realiza lo mismo, pero, en lugar de
dos dígitos, utiliza cuatro dígitos ¿Qué
conjetura se puede formar respecto a
esta situación?

Unidad 3. Razonamiento lógico y abstracto
Muchos de los ejercicios que hemos revisado en las dos unidades anteriores han sido
para orientarte y proporcionarte métodos para la solución de problemas, métodos que te sir-ven
para determinar procesos y técnicas. Los ejemplos tratados en esta unidad nos muestran
situaciones relacionadas con el pensamiento creativo y a medida que los vayamos resolvien-do,
mejorará notablemente tu capacidad de razonamiento.
Reflexionemos en lo siguiente:
¿Has realizado algún test psicotécnico?
¿Cómo detectas características en un patrón de figuras
o en un problema?
La forma de resolverlos es ir sacando conclusiones con un criterio lógico, sin hacer uso de
conocimientos matemáticos o de lógica.
Por su parte, el razonamiento abstracto se constituye por series de figuras, y debemos escoger
cuál de las figuras es la que continúa; para ello, tenemos que notar ciertas características
como el cambio de posición, rotación y analogías de las figuras.
Para precisar, reforzar y continuar con el aprendizaje dentro de esta unidad, te recomendamos
leer la siguiente presentación sobre ordenamiento jerárquico:
Habilidades del desarrollo
del pensamiento
Ordenamiento
y
Clasificación jerárquica

Ordenamiento

Clasificación jerárquica

Para verificar a través de videos algunos procesos de solución, te sugerimos revisar los
ejemplos en el siguiente par de vínculos electrónicos sobre razonamiento lógico y abstracto:
ZeVvallos, A. (2013). Razonamiento lógico 152 - verdades y mentiras [video].
Recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozE
Zevallos, A. (2013). Analogías gráficas problema 201 - razonamiento
abstracto [video]. Recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4
Por último, te brindamos un documento donde revisarás diversos ejemplos y ejercicios sobre
razonamiento lógico y abstracto, tomado de la siguiente referencia:
Ayala, O. (s/f). Razonamiento. Recuperado de:
http://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.pdf
Después de que hemos tenido un acercamiento al razonamiento lógico y al razonamiento
abstracto, te mostramos ciertos ejemplos que pueden ayudarte en la realización de la
actividad de aprendizaje:
Razonamiento
lógico Relación de tiempo
Ordenamiento
lineal
Parentesco
Razonamiento
abstracto

1. Razonamiento Lógico
• Relación de tiempo
• Ordenamiento lineal
• Parentesco
2. Razonamiento abstracto
Ahora veamos los siguientes ejemplos de cada uno de ellos.
Relación de tiempo
Si el ayer del pasado mañana del mañana de anteayer de mañana es jueves, ¿qué día
fue ayer?
Para solucionarlo, lo más conveniente es crear una recta numérica para representar los
días.
Si el ayer:
Del pasado mañana:
Del mañana:
De anteayer:
De mañana:
Entonces:
-1
+2
+1
-2
+1
-1+2+1-2+1=Jueves
Del resultado se deduce que mañana (+1) es jueves, y hoy es miércoles; así que ayer
fue martes.

Ordenamiento lineal
Jorge es mayor que Sandra y ella es menor que Fidel. Marco es mayor que Jorge y Fidel,
y éste es menor que Jorge. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?
a. Fidel es mayor que Jorge y menor que Sandra
a. Jorge es mayor que Sandra y Fidel
a. Marco es menor que Jorge y mayor que Fidel
Para resolver este problema, puedes relacionarlos de acuerdo a los enunciados:
J>S<F
M>J>F
Por lo tanto,
J>S
J>F
El enunciado verdadero es el de la opción b.
Parentesco
En un restaurante estaban presentes: un padre, una madre, un tío, una tía, un hermano,
una hermana, un sobrino, una sobrina y dos primos. Si cada uno consumió $350, ¿cuánto
gastaron en total como mínimo?
Solución:
Analizando el problema, puedes determinar que cada integrante de la familia puede
desempeñar diferentes papeles.
Representado en un esquema, quedaría de la siguiente manera.
Por consiguiente, estuvieron cuatro personas, así que 4 ($350)=$1400

Ejemplos de razonamiento abstracto
1.- ¿Cuál es la figura que sigue en la secuencia?
Solución:
Suprimiendo las puntas de la flechas, la respuesta correcta sería C).
2.- ¿Cuál es la figura que sigue en esta serie?
Solución:
Si analizas el movimiento de las figuras, éstas van rotando 90°, por lo tanto, la solución
es B).

Actividad 3. Razonamiento abstracto
Propósito:
Aplicar el razonamiento abstracto para resolver problemas lógicos, deduciendo ciertas
consecuencias de la situación planteada figuras.
Descripción:
En esta actividad tendrás oportunidad de verificar las habilidades adquiridas para la
aplicación del razonamiento abstracto.
Indicaciones:
1. Regresa al aula y busca la Actividad 3. Razonamiento abstracto, en la lista de
tareas. Una vez que la identifiques, da clic para acceder al cuestionario.
Criterios de evaluación:
Lineamientos de entrega:
Recursos:
• Cuestionario: Razonamiento abstracto.
Para responder el cuestionario interactivo ingresa al aula virtual
Cierre de la unidad
A través de esta unidad revisamos diferentes ejemplos que nos permitieron desarrollar el
razonamiento lógico-matemático, crear estructuras, resolver problemas no tan comunes
en una asignatura como las matemáticas pero que contienen fundamentos matemáticos.
No se abordaron contenidos matemáticos de manera específica porque la principal intención
es aportar herramientas fundamentales para la creación de textos, utilizando el análisis y la
toma de decisiones. Deberás considerar estos elementos para los conocimientos que vas a
adquirir en el futuro.

Fuentes de consulta
Zevallos, A. (2013). Razonamiento lógico 152 - verdades y mentiras. [Archivo de video].
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozE
Zevallos, A. (2013). Analogías gráficas problema 201 - razonamiento abstracto. [Archivo de
video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4
Ayala, O. (s/f). Razonamiento. Recuperado de:
http://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.pdf

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