Matemáticas I - UTS

1. Derivadas
Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre
Extensión San Cristóbal
Matemática I Sección B
Andrea Peña Chacón
V:30338980

2. Introducción
Probablemente para muchos, las derivadas solo son un tema más de matemática que no utilizarán en su vida y quizás sea
el caso, pero lo cierto es que las derivadas si funcionan y funcionan para muchas cosas en muchos campos, normalmente
de la ciencia e ingeniería.
La derivada te permite conocer lo sensible que es al cambio una variable con respecto a otra.
Físicamente, miden la rapidez con la que cambia una variable con respecto a otra.
En cinemática, la derivada de la posición con el tiempo es la velocidad y la derivada de la velocidad con el tiempo es la
aceleración.
Geométricamente, la derivada del volumen es la superficie o área y la derivada de la superficie es la distancia.
En electrostática, la derivada de la carga eléctrica en el tiempo es la intensidad de corriente.
Y se puede continuar explicando su definición en cada ámbito, pero...
¿Qué son en matemáticas?

3. ¿Qué es?
Matemáticamente, la derivada de una función
en un punto es la pendiente de la recta
tangente a dicha recta en dicho punto.
Más concretamente, la derivada influye en una
función y esta es la relación entre dos valores,
en el cual un valor depende el otro y a su vez la
derivada es la razón de cambio instantánea con
la que varía el valor de dicha función, según se
modifique el valor de su variable independiente.
La derivada es el resultado del límite de la
rapidez de cambio media de la función en cierto
intervalo cada vez más pequeño y representa la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de la
función en un punto.

4. El origen de las derivadas empezó con los problemas típicos que
dieron origen al cálculo infinitesimal (Ahora simplemente llamado
cálculo, es la parte de las matemáticas que estudia el cambio).
Comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia
(siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de
resolución hasta veinte siglos después en el siglo XVII por Isaac
Newton y Gottfried Leibniz.
¿Cómo empezó?
Concretamente, de las derivadas existen dos
conceptos de tipo geométrico que le dieron
origen:
El problema de la tangente a una curva
El teorema de los extremos: máximos y mínimos
Fue a finales del siglo XVII que Leibniz y Newton sintetizaron en dos
conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos
«derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las
derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran
inversos (teorema fundamental del cálculo).

5. Se aplica en
aquellos casos
donde es necesario
medir la rapidez
con que se
produce el cambio
de una magnitud o
situación.
Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la
distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero,
es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta
interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los
gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si es creciente o
decreciente) y la concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus
puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que
se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso
¿Para qué funciona?
Las derivadas principalmente sirven para calcular un valor
en un punto determinado de una función matemática que
varía progresivamente.

6. Cálculo de una derivada
La derivada de una función, en principio,
puede ser calculada de la definición,
mediante el cociente de diferencias, y
después calcular su límite.
También se resuelven siguiendo una serie de reglas
o propiedades, dado que no todas se resuelven por
definición.
Derivada de una constante
es una de las más simples puesto que la
derivada de una constante es igual a 0

7. Reglas
Regla de la linealidad
La derivada de la suma de dos funciones es
igual a la suma de las derivadas de las dos
funciones tomadas individualmente. La misma
regla aplica también para la resta de dos
derivadas
Derivada de un producto
La derivada de un producto de dos funciones es igual a la
suma entre el producto, de la primera función sin derivar,
y la derivada de la segunda función y el producto de la
derivada de la primera función por la segunda función sin
derivar
Derivada de un cociente
La derivada de un cociente de dos funciones es la
función ubicada en el denominador por la derivada
del numerador menos la derivada de la función en el
denominador por la función del numerador sin
derivar, todo sobre la función del denominador al
cuadrado
Regla de la potencia
La derivada de una variable elevada a una potencia es
igual a las veces de la potencia de la derivada de la
misma variable elevada a una potencia reducida por
uno.

8. Reglas
Derivada de una raíz cuadrada
Es igual a la derivada del radicando partido por el
duplo de la raíz
Derivada de una función exponencial de base
es igual a la misma función por la derivada del
exponente
Regla de cadena
se aplica cuando buscamos derivar una
composición de funciones.

9. Derivadas Trigonométricas
La derivada de la función cotangente

10. Regla de la derivada de la función inversa
La derivada de la función inversa f-1 se puede obtener a
partir de la derivada de una función compuesta de f:
Símbolo de la función inversa

11. Conclusión
Cómo se observa, hay diferentes maneras de utilizar la derivada, ya sea
en su definición o con sus reglas y propiedades. Hay más en el contenido
de las derivaciones y sus funciones, como la realización de máximos y
mínimos o sus gráficas