bueno

1. 5
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universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matematicas
Marque las respuestas verdaderas (s´lo hay una por pregunta).
o
3.1 Sean A, B ∈ Mn×n (IR). Entonces:
(a) (At + B t )t = At + B t .
(b) (At + B)t = B t + A.
LI
D
(c) (At B)t = AB t .
´
A
T
V
A
(c) (A − B)(A + B) es sim´trica.
e
IC
LL
(b) AB es antisim´trica.
e
A
A
(a) A + B es sim´trica.
e
–
3.4 Sean A, B ∈ Mn×n (IR). Entonces:
A
T
SI
D
A
M
D
(b) (A + B t )t = At + B.
E
D
(a) det(AB) = det A det B.
M
E
3.3 Si A ∈ M3×2 (IR) y B ∈ M2×3 (IR), entonces:
(c) AB = BA.
S
D
O
3.2 Si A ∈ Mn×n (IR) es sim´trica y B ∈ Mn×n (IR) es antisim´trica, entonces:
e
e
det(AB) = 0.
(b) det A = det B = 0
⇒
det(A + B) = 0.
E
det(A + B) = 0.
E
⇒
Y
E
IV
U
N
(c) det A = − det B
E
⇒
R
(a) det A = det B = 0
C
(a) det A = 0.
C
E
3.5 Si A ∈ Mn×n (IR) es ortogonal (At = A−1 ), entonces:
(b) det A = 1.
F
(c) det A = 0.
3.6 Sean A, B, C ∈ Mn×n (IR) tales que C = ABAt . Entonces:
(a) B es sim´trica
e
⇒
C es sim´trica.
e
(b) B es inversible
⇒
det C = 0.
(c) A es sim´trica
e
⇒
C = A2 B.
3.7 Si A, B ∈ Mn×n (IR), entonces:
(a) AB = (0)
2
⇒
A = (0) o B = (0).
(b) (A + B) = A + 2AB + B 2 .
(c) AB = In
2
⇒
A y B son inversibles.

2. 6
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3.8 Si A, B ∈ Mn×n (IR) son inversibles, entonces:
(a) AB es inversible.
(b) αA es inversible, cualquiera que sea α ∈ IR.
(c) A + B es inversible.
LI
D
3.9 Si A, B ∈ Mn×n (IR) son tales que A es inversible y AB = (0), entonces:
O
(a) B = (0).
B = C.
M
⇒
E
(c) (A + B) = A + B 2 + 2AB.
SI
D
A
A
T
2
D
2
D
(b) AB = AC
E
(a) AB = BA.
´
A
T
V
A
3.10 Sean A, B, C ∈ Mn×n (IR). Si A es inversible, entonces:
IC
LL
A
A
(c) A = (0).
S
D
(b) B = A−1 .
–
E
E
R
(b) (A−1 + B −1 )t = (At + B t )−1 .
E
(a) (At + B t )−1 = (A−1 )t + (B −1 )t .
M
3.11 Sean A, B ∈ Mn×n (IR) inversibles. Entonces:
Y
IV
(c) (A−1 + B −1 )t = (At )−1 + (B t )−1 .
E
E
U
N
3.12 Sean A, B ∈ Mn×n (IR). Si A es inversible y sim´trica, entonces:
e
C
(a) (AB t A−1 )t = A−1 B t A.
C
(b) (AB t A−1 )t = ABA−1 .
F
(c) (AB t A−1 )t = A−1 BA.
3.13 Si A ∈ M3×4 (IR) es tal que rg A = 3, entonces:
(a) Los 4 vectores columna de A son linealmente independientes.
(b) Los 3 vectores fila de A son linealmente independientes.
(c) det A = 0.
3.14 Sean A ∈ M3×3 (IR) y c1 , c2 , c3 los tres vectores columna de A. Entonces:
¯ ¯ ¯
(a) c1 , c2 , c3 son linealmente independientes
¯ ¯ ¯
(b) c1 , c2 son linealmente independientes
¯ ¯
(c) c1 , c2 , c3 son linealmente dependientes
¯ ¯ ¯
⇒
⇒
⇒
A es inversible.
rg A < 3.
A es la matriz nula.

3. 7
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3.15 Sea A ∈ M3×3 (IR) tal que det A = 2. Entonces:
(a) rg(A) = 2.
(b) rg(A) = 3.
(c) A no es inversible.
LI
D
3.16 Si A ∈ M3×4 (IR), entonces:
A es inversible.
(a) det A = det B = 0.
D
E
rg B < n.
M
SI
D
A
3.18 Si A ∈ Mn×n (IR), entonces:
–
(a) det(−A) = det(A).
A
T
⇒
D
(c) A es inversible
M
E
(b) rg(AB) = n.
´
A
T
V
A
3.17 Sean A, B ∈ Mn×n (IR) tales que det(AB) = 0. Entonces:
E
R
(b) rg(−A) = rg(A).
Y
IV
E
E
(c) tr(−A) = tr(A).
E
U
N
3.19 Sean A, B ∈ Mn×n (IR). Entonces:
E
(a) rg(A + B) = rg A + rg B.
C
(b) tr(A + B) = tr A + tr B.
F
C
(c) det(A + B) = det A + det B.
3.20 Si A =
α 1
1 β
, donde α, β ∈ IR, entonces:
(a) tr A = 2
⇒
α = β = 1.
(b) rg A = 1
⇒
α = β = 1.
(c) rg A = 1
⇒
αβ = 1.
3.21 Si A ∈ Mn×n (IR) es inversible, entonces:
(a) El sistema A¯ = ¯ tiene infinitas soluciones.
x 0
(b) det A = 0.
(c) rg A = n.
IC
LL
A
A
(c) rg(A) ≤ 3.
S
⇒
D
(b) rg(A) = 3
O
(a) rg(A) ≥ 3.

4. 8
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3.22 Sea A ∈ Mn×n (IR). Entonces:
(a) El sistema A¯ = ¯ tiene alguna soluci´n no trivial
x 0
o
(b) El sistema A¯ = ¯ tiene alguna soluci´n no trivial
x 0
o
(c) El sistema A¯ = 0 tiene infinitas soluciones.
x ¯
⇔
det A = 0.
⇔
det A = 0.
LI
D
3.23 Sea A ∈ Mm×n (IR) una matriz de rango m´ximo. Si m < n, entonces el sistema A¯ = ¯
a
x 0
es:
IC
LL
(c) Compatible determinado.
A
A
(b) Incompatible.
S
D
O
(a) Compatible indeterminado.
´
A
T
V
A
3.24 Si A ∈ Mn×n (IR), ¯ ∈ IRn es no nulo y el sistema A¯ = ¯ tiene soluci´n unica, entonces:
b
x b
o ´
E
D
M
E
(a) A¯ = ¯ tiene infinitas soluciones.
x 0
(b) A−1¯ es la soluci´n del sistema.
b
o
F
C
C
E
E
U
N
Y
IV
E
E
E
R
–
A
T
M
SI
D
A
D
(c) El vector ¯ no es combinaci´n lineal de los vectores columna de A.
b
o