1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
y
A
x
Q
sen
(-)

-1
sen
(+)

M
1sen
(+)
N

sen
(-)

P

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2014-II
TRIGONOMETRÍA
“Circunferencia Trigonométrica”
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con circunferencia trigonométrica.
 Representar gráficamente las razones trigonométricas de arcos dirigidos en posición
normal.
 Analizar las variaciones de las razones trigonométricas de los números reales.
Definición
Se llama circunferencia trigonométrica a aquella
circunferencia cuyo centro coincide con el origen del
sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del
sistema. En el gráfico adjunto tenemos:
Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en
grados sexagesimales, en radianes o como números reales,
para ello se recomienda tener en cuenta:
Líneas trigonométricas
Son segmentos de medida positiva, negativa o nula; que
van a representar los valores numéricos de las razones
trigonométricas de un arco, ángulo o número real, siempre
que esté definido.
1. L.T. seno
Variación del seno de un arco:
2. L.T. coseno
B
y
M
B' N
R = 1
A' A
x


(+)
(-)
y 
2

2
0
x
3
2

y
90º
180º
360º
270º
0º
x
y
0
x
1,57
6,28
4,71
3,14
y
A
x
Q
sen
(-)

-1
sen
(+)

M
1sen
(+)
N

sen
(-)

P

IC
0

2
IIC

2
IIIC

3
2

IVC
2
3
2

0 1 1 0 0 -1 -1 0
0<sen <1 0<sen <1 -1<sen <0 -1<sen <0
sen

Semana Nº 5

2. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
Variación del coseno de un arco:
3. L.T. tangente
4. L.T. Cotangente
En el gráfico:
Se observa que BT

representa a la cotangente del arco
trigonométrico .
Línea Secante:
En el gráfico:
Se observa que OR

representa a la secante del arco
trigonométrico.
Línea Cosecante:
En el gráfico:
Se observa que OM

representa a la cosecante del arco
trigonométrico.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de
c/u de las siguientes proposiciones
(I) sen2 > sen1 > sen3 ( )
(II) sen 6 > sen4 > sen5 ( )
(III)cos 6 cos1 cos5  ( )
(IV)cos 2 cos 4 cos3  ( )
A) FFVV B) VVFF C) VVFV
D) FVFV E) VFVF
y
x
N

M

cos
(-)
-1
1
cos
(+)
A

P
cos
(-)
 cos
(+)

Q
IC
0

2
IIC

2
IIIC

3
2

IVC
2
3
2

0 11 0 0 -1 -1 0
0<cos <1 0<cos <1-1<cos <0 -1<cos <0
cos

y
x
N

O
P


Q

M
T
T1
A
tan
tan
tan
tan


C.T.
P
0
T
rad
Tangente
Geométrica
tangente
geométrica


C.T.
P
0
rad
A
Y
tangente
geométrica


C.T.
P
M
0
rad
B(0;1)Y

3. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
RESOLUCIÓN
1,57
2


Según la C.T. las proposiciones serán:
(I)  (V)
(II)  (V)
(III)  (F)
(IV)  (F)
RPTA.: C
2. ¿Qué valores puede tomar “x” para que se
cumpla:
x 2 x 1
Sen
3 2
 
   siendo  un arco del
tercer cuadrante?
A)
5
3
;
5
1
B)
5
2
;
5
1
C)
1
1;
5

D)
5
2
;0 E)
5
3
;0
RESOLUCIÓN
6
15
2
1
3
2 





xxx
Sen 
Como: 01   SenCIII
5x 1
1 0
6

  
6 <5x  1 > 0
5 <5x < 1
1 < x <
1
5

5
1
;1x
RPTA.: C
3. Si: 1-2x
sen " " IIIC
3
    ; Halle la
variación de “x”
A) 2;
2
1
 B)
2
1
;2 C) 2;
2
1
D) 2;2 E) 1;1
RESOLUCIÓN
Si: CIII""  01  sen
Como: 0
3
21
1
3
21





xx
sen 
0213  x
 1
"x" ;2
2
 RPTA.: C
4. Del gráfico mostrado calcule el área del
cuadrilátero sombreado.

x
y
A)  0,5 sen cos   B)  0,5 sen cos  
C)  0,5 cos sen   D)  0,5 sen cos   
E) 0,5sen cos 
RESOLUCIÓN
21 SSS 
Calculamos
1
6
4
2
O
5
2 6,28 
cos 2
cos 1
cos 3
cos 4
cos 5
cos 6
sen1
sen2
sen4
sen5sen 3
314 
3
sen6
3
4,71
2


124  x
2
1
2  x

4. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo

2S
1S
sen 
cos 
1
1
S (cos )
2

  2
1
S (sen )
2

 
S 0,5(sen cos )    
RPTA.: A
5. Si 3
;
4

   , de la circunferencia
trigonométrica determina la variación de la
región sombreada.
A)
2
2
;
2
1 B)
2
2
;0
C)
2
1
;0
D)




2
2
;
2
1 E)
2
3
;
2
1
RESOLUCIÓN
cos 
 sen ; cos  
sen cos ;sen 
   cos1
2
1
 senS
)cos(
2
1
  senS
 42.
2
1 
  senS
Como: 


4
3
4
3
42



 1
42
2








sen
2
2
4
.
2
2
2
1








sen

2
2
;
2
1
S
RPTA.: A
6. El siguiente gráfico es una circunferencia
trigonométrica. Calcule el área del triángulo
EBF.
x
y
A
C.T.
B

F
E
A) cos B) 2cos  C) sen
D) 2sen E)
1
sen
2



5. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
5
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
RESOLUCIÓN
Área cos)2(
2
1
EBF
Área cosEBF
B

F
E

cos 
1
RPTA.: A
PROBLEMA DE CLASE
1) Ordene en forma decreciente las siguientes
razones trigonométricas:






4

Sen ; Sen 2; Cos 1; Cos 6; Tg 1.
A) Cos 6; Sen 2; Cos 1;






4

Sen ; Tg 1.
B) Sen 2; Tg 1 ;






4

Sen ; Cos 1; Cos 6.
C) Tg 1 ;Sen 2;






4

Sen ; Cos 1; Cos 6.
D) Tg 1 ;Cos 6 ;Sen 2;






4

Sen ; Cos 1.
E) Tg 1; Cos 1;






4

Sen ; Sen 2; Cos 6.
2) Sean
2121
2
;, xxyxx 

 ,
Indique verdadero (V) o falso (F) en las
siguientes proposiciones:
I. 21 SenxSenx 
II. 21 TgxTgx 
III. 12 CosxCosx 
A) VVV B) VFV C) VFF D) FVF E) FVV
3) Sabiendo que: 

 321
2
3
xxx ,
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. 21 SenxSenx 
II. 321 TgxTgxTgx 
III. 321 CosxCosxCosx 
A) VVV B) VFV C) FFF D) FVF E) VFF
4) Si





3
;
3
 y 122
 nxCos ,
Determine la extensión de “n”
A) 18
5
 n B) 14
5
 n C) 14
5
 n
D) 18
5
 n E) 17
5
 n
5) En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, mAM = , determinar el
área de la región sombreada.
a)   cos15,0  sen b)   cos15,0  sen
c)   cos15,0  sen d)   cos15,0  sen
e)   cos18,0  sen
6) En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, si mAp = , determinar la
suma de las áreas de las regiones BOP y PQA.

6. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
6
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
a)
2
cos  tgsen  b)
2
cos  tgsen 
c)
2
cos  Ctgsen  d)
2
cos  Ctgsen 
e)  tgsen  cos
7) En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada; si mAB´P = , determinar el
área de la región sombreada.
a)
1
5,0
tg
b)
1
1
tg
c)
1
2
tg
d)
1
5,0
tg
e)
1
2
tg
8) En un triángulo rectángulo ABC, B = 90º, el
ángulo A es el menor , determine la variación
de k , Si 4k - √2. SenA = 4
A)
3
5
;
2
1 B)
2;
3
1 C)
2
5
;
4
1
D)
5
6
;1
E)
4
5
;1
9) En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, mAB´P = ,
determinar el área de la región triangular
A´TP.
a)  
 

sen
sen


12
cos.cos1 b)  
 

sen
sen


12
cos.cos1
c)  
 12
.cos1




sen
sensen d)  
 12
.cos1




sen
sensen
e)  
 12
.cos1




sen
sensen
10) En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, mAB´M = ,
determinar el área de la región sombreada.
a)
 1
2
1
 senctg
b)
  senctg 1
2
1
c)
  sentg 1
2
1 d)
 1
2
1
 sentg
e)
 1
2
1
 sentg
11) Calcule el área de la región sombreada en
términos de " ".
A) B)
C) D)
E)

x
y

x + y = 1
22
1
sen cos
2
  
1
sen cos
2
  
1 sen cos  
1
2sen cos
2
  
1 sen cos  

7. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
7
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
12) Calcule el área de la región sombreada si M
es punto medio de y = -135°.
A) B) C) D) E)
13) Calcule el área de la región sombreada en
términos de " ".
A) B) C)
D) E)
14) Calcule el área de la región sombreada en
términos de " ".
A) B)
C) D) E)
15) Calcule el área de la región sombreada en
términos de " ".
A) B)
C) D) E)
PROBLEMAS DE REPASO
1. Calcule el área de la región sombreada sí
.
A) B) C)
D) E)
2. Hallar si el área de la región sombreada es
OB 
2
4
2
2
2
8
2
6 2
x
y

O
P
M
A
B
x + y = 1
22

x
y

O
x + y = 1
22
sen
2
 cos
2

sen2
sen2
2
 sen
2



x
y
x + y = 1
22

O
A
(0,5)sen 2
(0,5)cos 
2
(0,25)sen  2
(0,5)sen  (0,5)cos

1
(1 2sen )
2
 
1
(1 2sen )
4
 
1
(1 2sen )
2
 
1
(1 2sen )
4
 
(1 2sen ) 
x
y

x + y = 1
22
O
A
5
4

  
x
y

A
B
2
4
2 1
2

2 1
2 1
2

2 1
1
u
8
2

8. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
8
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
A) B) C) D) E)
3. Halle el área de la región sombreada:
A) B) C)
D) E) No se puede determinar
4. Si: 45° < x1 < x2 < 90° analice la
veracidad de lo siguiente:

√2
2
< 𝑆𝑒𝑛x1 < 𝑆𝑒𝑛x2 < 1
 −1 < 𝐶𝑜𝑠2x1 < 𝐶𝑜s2x2 < 0
 Tan2x2 < 𝑇𝑎𝑛2x1 < 0
 Sen2x1 < 𝑆𝑒𝑛2x2
a) VFFV b) VFFF c) VVVF
d) VFVF e) FVVF
5. Hallar la extensión de:
E =
1
|3 − 2|Senx||
a)[
1
3
; 1] b)[1; 3] c) [1; 9]
d) 〈0; 3] e) 〈0;
1
3
]
6. Indicar verdadero(V) o falso(F) según
corresponda: Si – π < x1 < x2 < −
π
2
Entonces:
 Tanx1 > 𝑇𝑎𝑛x2
 |Tanx1| < |Tanx2|
 Tan|x1| > 𝑇𝑎𝑛|x2|
a) FFV b) FVV c) VVF
d) FFF e) VVV
7. Si: θ ∈ IIIC. Hallartodos los valores que
toma ‘‘k’’ para que verifique la igualdad.
πCotθ = π − |k|
a) 〈– 𝜋; 𝜋〉 b) 𝑅— [𝜋; 𝜋] c) 〈0; 𝜋〉
d) 𝑅 − 〈−𝜋; 𝜋〉 e) [−𝜋; 𝜋]
8. Si:
π
2
< 𝜃 < 𝜋, Hallar la extension de:
E = Csc(Senθ)
a) 〈0; 𝐶𝑠𝑐1〉 b) 〈– 𝐶𝑠𝑐1; 𝐶𝑠𝑐1〉
c) 〈1; 𝐶𝑠𝑐1〉 d) 〈𝐶𝑠𝑐1; +∞〉 e) {1}
9. Indicar verdadero (V) o falso(F) segun
corresponda.
 Sen(Cos1) < 𝐶𝑜𝑠(𝑆𝑒𝑛1)
 Tan(Sen1) > 𝑆𝑒𝑛(𝑇𝑎𝑛1)
 Cos(Tan1) < 𝑇𝑎𝑛(𝐶𝑜𝑠1)
a) VVV b) VFV c) VFF
d) FVV e) FFV
10. Calcule el área de la región sombreada:
x
y
C.T.
α
6

8


4


6


3


1
.sen
2

1
.sen
2
 
sen
sen 

9. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Trigonometría.
9
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
a) 1 + 0,5𝑇𝑎𝑛𝛼 b) 1 + 𝑇𝑎𝑛𝛼
c) 2 + 0,5𝑇𝑎𝑛𝛼 d) 2 − 0,5𝑇𝑎𝑛𝛼
e) 3 + 0,5𝑇𝑎𝑛𝛼
11. Hallar el mayor valor de ‘‘k’’para que se
cumpla: 𝐶𝑜𝑡4
𝜃 + 8𝐶𝑜𝑡2
𝜃 + 3 ≥ 𝑘
a) -8 b) -3 c) 0 d) 3 e) 8