1. Geometría
Página 371
SEMANA 5
CIRCUNFERENCIA I
1. En la figura, calcule m AB; si
m CDE º 145 .
D
B
A
E
o
C
A) 70º B) 145º C) 72,5
D) 140º E) 90º
RESOLUCIÓN
Como CDE º 145
m CME 290º ....( inscrito)
m CDE º 70
m COE º 70 ......( central)
m AB º 140 .......( inscrito)
RPTA.: D
2. Del gráfico, Calcule x.
A) 25º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 15º
RESOLUCIÓN
Como: m BCA x
m AB x 2
Por ángulo interior
CD 180º 2x
Por teorema de los recuadros:
180º 2x 2x
40º
2
x=25º
RPTA.: A
3. Según el gráfico, mBM mBN .
Calcule :
A) 120º
B) 150º
C) 90º
D) 130º
E) 180º
40º
x
N
B
CA
M
D
B
A
E
o145º70º
C
M
40º
x
C
B
D
2x
180-2x
A
2. Geometría
Página 372
RESOLUCIÓN
Sea mMB mBN a
mMA b, mAC c, mCN d
Del gráfico
2 a d...(I) .....( interior)
Por interior
b c a
2
b c a...(II) 2
Sumando (I) y (II):
a d b c a 2 2
º 2 2 360
º 180
RPTA.: E
4. Según el gráfico, calcule la
diferencia entre las medidas del
mayor y menor AB.
A) 90º B) 45º C) 180º
D) 270º E) 135º
RESOLUCIÓN
Por prop. del ex inscrito:
m ACB º 45
m ABmenor =90º
m ABmayor =360º-90º=270º
m AB mayor - m AB menor =180º
RPTA.: C
5. Según el gráfico, calcular x, si
ABCD es un paralelogramo.
A) 120º B) 60º C) 70º
D) 90º E) 80º
RESOLUCIÓN
B
A
A
B C
x
D
x
x
x
x
x
D
A
B
E
C
2x
x
N
B
CA
M
a
a
c
b
d
B
A
C
90º
45º
3. Geometría
Página 373
En el gráfico:
BCE x BAE x 2 como ABCD
es un paralelogramo m c x
Luego: BDC es equilátero.
x = 60º
RPTA.: B
6. En un trapecio ABCD
BC // AD inscrito en una
circunferencia , su altura mide H.
Calcule la longitud de la base
media del trapecio, si:
mBC mAD º 180 .
A)
H
3
B)
H3
2
C) H
D)
H2
3
E)
H
2
RESOLUCIÓN
Como BC // AD
Trapecio ABCD (Isósceles)
* Por dato BC AD º 180
AB CD =180º
AB CD º 90
m CAD m BDA º 45
* Del gráfico, la base media es:
a H H a
H
2
RPTA.: D
7. Según el gráfico, A, B y T son
puntos de tangencia. Calcule “x”.
A) 60º B) 30º C) 45º
D) 37º E) 53º
RESOLUCIÓN
En el MNP : º...(I) 60
En el ATB , por propiedad
m T º 90
x 90º...(II)
Reemplazando (I) en (II)
x = 30
RPTA.: B
120º
T
x
A B
P
T
x
A B
C
º2º2
º
º
N
M
120º
C
D
H-aB
90º 90º
A
45º
HH
a
H
a
45º
4. Geometría
Página 374
8. En el gráfico, calcule x, si
AE=2(BC) y mCD 20º
A) 130º
B) 120º
C) 110º
D) 150º
E) 160º
RESOLUCIÓN
Dato:
Sea BC a ; AE = 2a
AO OE a
En la semi circunferencia: el
ABE es rectángulo BO a
mCDE 180º
Como: mCD 20º DE 160º
Luego:
BC BO OE a entonces los
arcos son iguales.
BC BO OE CDE º 360
180
BC BO OE º 60
BCD BC CD 60º 20º 80º
m BED º 40
x = 130º
RPTA.: A
9. En el gráfico:
AT 7
mTB mCD, m
BC 1
y T es
punto de tangencia “m”. Calcule
m TEO.
A) 60º B) 30º C) 50º
D) 80º E) 40º
RESOLUCIÓN
Como:
mAT 7
mAT 7k; mBC k
1mBC
OHE: m EOH = 60º....(1)
En el gráfico: k CD º 60
k TB º 7 120 ..(2)
(2)(1) k TB CD º 6 60
6k + 0 = 60º
k º 10
TB CD º 50
m TOE º 50
x = 40º......( OTE)
RPTA.: E
x
DC
EoA
B
oA
T
E
D
C
B
30º
x
C
D
B
A Ea o
40º
a
a
a
oA
T
E
D
CB
30º
60º
120º
7k
x
k
50º
50º
H
5. Geometría
Página 375
10. Según el gráfico; calcule mBT , si
ABCD es un paralelogramo (D es
punto de tangencia).
A) 60º
B) 70º
C) 140º
D) 120º
E) 35º
RESOLUCIÓN
m AB mTD ........ Propiedad
m ADT = 70º
En el paralelogramo ABCD:
m BAD + m ADC = 180º
mTDC = 40º
Luego:
m TD = 80º
Pero:
mBDT = 140º ...(ángulo inscrito)
mBT = 140º 80º = 60º
RPTA.: A
11. Del gráfico, Calcule la m BAP,
Siendo T y P son puntos de
tangencia, TB = 4 y r = 5
A) 37º B) 53º C) 30º
D) 60º E) 45º
RESOLUCIÓN
Como P y T son puntos de
tangencia, entonces:OP PA y
OT TA, además:
OT OP r 5(dato)
En el PHO (notable);
m OPH 53º
m BPA 37º
x = 53º .....( PBA)
RPTA.: B
D
B
A
70º
T C
r
T
B
A
P
D
B
A
70º
T C
70º
40º
70º
T
B
A
P
5
o
5
x4
5 3
H
6. Geometría
Página 376
12. Calcule x, si AB=BC =DE=FE y
m ABC º 120 .
A) 60º B) 70º C) 40º
D) 30º E) 50º
RESOLUCIÓN
Como:
ABC º BOC BOA º 120 60
Los triángulos BOC y AOB son
equiláteros luego, ODEF es un
rombo, donde
m DEF m DOF x DF x
120º x
x
2
...........( exterior)
3x = 120º
x= 40º
RPTA.: C
13. Del gráfico, P y T son puntos de
tangencia, además R=3r. Calcule
mPT .
A) 60º B) 105º C) 100º
D) 120º E) 90º
RESOLUCIÓN
Del gráfico, como TA = R = 3r
AO = 2r
Luego, m TOP º 120
m TP 120 º
RPTA.: D
14. Según el gráfico, calcule
mTC mBC, si AB BC
A) 120º B) 150º C) 180º
D) 100º E) 90º
T
P
R
r
C
T
B
A
A
C
B
F
D
Eo x
T
P A
2r
r
r
30º
o
A
C
B
F
D
E
120º
x x x
60º
60º
o
7. Geometría
Página 377
RESOLUCIÓN
En la semi circunferencia el
m TBC es recto
El ATC es isósceles.
AT TC =2x
luego, en el gráfico
TC BC 2 2 2 =180º
90º
=180º
RPTA.: C
15. En la figura, mST mQT. 2 Calcule
PS, si T,Q y S son puntos de
tangencia.
A) 5
B) 3
C) 2,5
D) 4
E) 6
RESOLUCIÓN
Sea mQT a
por dato mST a 2
luego, O1 TO2 (notable)
1 2m TO O =53º
a = 53º
PS = 4
RPTA.: D
16. Según el gráfico; AB = 1,
BC = CD = 2, además B, C y T
son puntos de tangencia.
Calcule “x”.
A) 30º B) 37º C) 53º
D) 60º E)
º53
2
RESOLUCIÓN
Sea m ATC mTC 2
A
B
C
D
x
T
S
T
3
Q 2
P
C
T
B
A
2
2
A
B
C
D
x
T
4
3
x2
1
2
2
S
a
3 Q
P
2a
2 O2
3
3
53º 53º
T
4
O1
8. Geometría
Página 378
Como T y C son puntos de
tangencia
AT AC 3 m ACT
también B y T son puntos de
tangencia BD =TD=4
Entonces ATD(notable)
m ADT 37º ; + x = 90º ...(I)
2 2x
37º
2
.........( exterior)
x º...(II) 37
De (I) (II): 2x=53º
53º
x
2
RPTA.: E
17. Si “O” es el centro del cuadrado
ABCD y PA =AD=8. Calcule AM.
A) 6 B)
4
3
C) 3
D)
8
3
E)
2
3
RESOLUCIÓN
Como ABCD es cuadrado
el lado del cuadrado =8
AH=HD=4
Como “O” es centro OH=4
Luego: m OPH =
37º
2
PA 3x
8 = 3x
x
8
3
RPTA.: D
18. En la figura, calcule ; si T, Q y P
son puntos de tangencia y
CB=2(BT)=4(AQ).
A) 53º B)
º53
2
C) 37º
D)
º37
2
E) 45º
RESOLUCIÓN
Sea AQ=a BT=2a y BC=4a
Luego ABC (notable)
m BAQ º 127
mQP º 53
53º
2
..........( inscrito)
RPTA.: B
T
B
C
A
P
Q
D
B
C
P A
M
O
D
B
C
P A
M
o
4
x
8 4 H 4
T
B
C
A
P
Q
37º
a
2a
2a
a
4a
9. Geometría
Página 379
19. Se tiene el triángulo ABC inscrito
en una circunferencia, en el arco
BC se ubica el punto P, tal que
AP BC, luego se traza PH
perpendicular a AC en H. Calcule
la m EHP si la m ABC º 70 y
AP BC = E .
A) 53º B) 35º C) 10º
D) 20º E) 30º
RESOLUCIÓN
* En AHB: m HAB º 20
* Se traza AQ que pasa por D.
* Por proa. AEDH es inscriptible
m DHE m EAD x
* Por proa.m EPD m HCD
mAB 2 m BPA
Luego BPD(isósceles)
BE ED ABD (isósceles)
x=20º
RPTA.: D
20. En la figura mED a y
mBCD b . Calcule “x”.
A)
a b
2
B)
b a
2
C) b a D)
a b2
2
E)
b a2
2
RESOLUCIÓN
* Sea: FE c
a c
m FAD
2
.......( inscrito)
* En la menor: mFG a c luego
por pro. ex -inscrito:
a c
2
A
B
F
E
D
C
x
C
H
Q
x
P
A
70º
x
D
º
º
E
B
2
20º
A
B
F
E
D
C
G
a c
2
bx
c a
10. Geometría
Página 380
* En la mayor: T. cuerdas
c mBC
2
.............( interior)
a c c BC
BC a
2 2
mCD b a
b a
x
2
RPTA.: B
