Trabajo grupal Unidad 2 de Matemática 1. Ceballos y Artigas

1. Unidad n°2
Parte A
Nicolás Emmanuel Ceballos y Hernán Andrés Artigas
Los equiposde Basquetse dividenen1°,2° y 3° división.Cadadivisión,asuvez,cuentacon 20, 19
y 25 equiposrespectivamente.
La probabilidadde que unequipopermanezcaenla divisiónopase aotra, viene dadaporla
siguiente tablaque se lee de filahaciacolumnaenel sentidoindicado.
1° 2° 3°
1° 80% 20% 0%
2° 20% 60% 20%
3° 30% 30% 40%
Así, laprobabilidadde que unequipode 𝑖 𝑎 𝑎pasea 𝑗1 𝑎 esdel 𝑖𝑗20%. Así tal cual cada filai
da la sumadel 100% respectivamente.
a) Determine ladistribuciónde equiposporcategoríapara el próximoperiodode juegos.
b) Construyalaprobabilísticade permanecíaocambiode divisiónde losequiposdentrode
tresaños.
Previamenteconstruimos 𝐴 =
0.8 0.2 0
0.2 0.6 0.2
0.3 0.3 0.4
,enla cual 𝑎 𝑖𝑗 esla probabilidadde salirde i y llegar
a j al cabo de n-periodos, 𝑋 = 20 19 25 representael estadoincialde lasdivisionesy 𝑋𝐴 𝑛 es
la poblaciónenel n-ésimoperiodo.Luegolasrespuestassolicitadas son:
a) Solución:
P = X· A = 20 19 25 ·
0.8 0.2 0
0.2 0.6 0.2
0.3 0.3 0.4
=
= 27.3 22.9 13.8
Los componentes de lamatriz P se calculandel modo siguiente:
P1,1 = X1,1 · A1,1 + X1,2 · A2,1 + X1,3 · A3,1 =
= 20 · (0.8) + 19 · (0.2) + 25 · (0.3) = 16 + (3.8) + (7.5) = 27.3
P1,2 = X1,1 · A1,2 + X1,2 · A2,2 + X1,3 · A3,2 =
= 20 · (0.2) + 19 · (0.6) + 25 · (0.3) = 4 + (11.4) + (7.5) = 22.9
P1,3 = X1,1 · A1,3 + X1,2 · A2,3 + X1,3 · A3,3 =
= 20 · 0 + 19 · (0.2) + 25 · (0.4) = 0 + (3.8) + 10 = 13.8

2. Es decir que para el primer periodo va haber: 𝑃 = 27.3 22.9 13.8 equipos
b) Primero se debe multiplicar lamatrizA tres veces:
Solución:
B = A · A =
0.8 0.2 0
0.2 0.6 0.2
0.3 0.3 0.4
·
0.8 0.2 0
0.2 0.6 0.2
0.3 0.3 0.4
=
=
0.68 0.28 0.04
0.34 0.46 0.2
0.42 0.36 0.22
Los componentes de lamatriz B se calculandel modo siguiente:
B1,1 = A1,1 · A1,1 + A1,2 · A2,1 + A1,3 · A3,1 =
= (0.8) · (0.8) + (0.2) · (0.2) + 0 · (0.3) = (0.64) + (0.04) + (0) = 0.68
B1,2 = A1,1 · A1,2 + A1,2 · A2,2 + A1,3 · A3,2 =
= (0.8) · (0.2) + (0.2) · (0.6) + 0 · (0.3) = (0.16) + (0.12) + (0) = 0.28
B1,3 = A1,1 · A1,3 + A1,2 · A2,3 + A1,3 · A3,3 =
= (0.8) · 0 + (0.2) · (0.2) + 0 · (0.4) = (0) + (0.04) + (0) = 0.04
B2,1 = A2,1 · A1,1 + A2,2 · A2,1 + A2,3 · A3,1 =
= (0.2) · (0.8) + (0.6) · (0.2) + (0.2) · (0.3) = (0.16) + (0.12) + (0.06) = 0.34
B2,2 = A2,1 · A1,2 + A2,2 · A2,2 + A2,3 · A3,2 =
= (0.2) · (0.2) + (0.6) · (0.6) + (0.2) · (0.3) = (0.04) + (0.36) + (0.06) = 0.46
B2,3 = A2,1 · A1,3 + A2,2 · A2,3 + A2,3 · A3,3 =
= (0.2) · 0 + (0.6) · (0.2) + (0.2) · (0.4) = (0) + (0.12) + (0.08)= 0.2
B3,1 = A3,1 · A1,1 + A3,2 · A2,1 + A3,3 · A3,1 =
= (0.3) · (0.8) + (0.3) · (0.2) + (0.4) · (0.3) = (0.24) + (0.06) + (0.12) = 0.42
B3,2 = A3,1 · A1,2 + A3,2 · A2,2 + A3,3 · A3,2 =
= (0.3) · (0.2) + (0.3) · (0.6) + (0.4) · (0.3) = (0.06) + (0.18) + (0.12) = 0.36
B3,3 = A3,1 · A1,3 + A3,2 · A2,3 + A3,3 · A3,3 =
= (0.3) · 0 + (0.3) · (0.2) + (0.4) · (0.4) = (0) + (0.06) + (0.16)= 0.22

3. Da como resultado lasiguiente matriz:
0.68 0.28 0.04
0.34 0.46 0.2
0.42 0.36 0.22
C = B · A =
0.68 0.28 0.04
0.34 0.46 0.2
0.42 0.36 0.22
·
0.8 0.2 0
0.2 0.6 0.2
0.3 0.3 0.4
=
=
0.612 0.316 0.072
0.424 0.404 0.172
0.474 0.366 0.16
Los componentes de lamatriz C se calculan del modo siguiente:
C1,1 = B1,1 · A1,1 + B1,2 · A2,1 + B1,3 · A3,1 =
= (0.68) · (0.8) + (0.28) · (0.2) + (0.04) · (0.3) = (0.544) + (0.056)+ (0.012)
= 0.612
C1,2 = B1,1 · A1,2 + B1,2 · A2,2 + B1,3 · A3,2 =
= (0.68) · (0.2) + (0.28) · (0.6) + (0.04) · (0.3) = (0.136) + (0.168)+ (0.012)
= 0.316
C1,3 = B1,1 · A1,3 + B1,2 · A2,3 + B1,3 · A3,3 =
= (0.68) · 0 + (0.28) · (0.2) + (0.04) · (0.4) = (0) + (0.056) + (0.016) = 0.072
C2,1 = B2,1 · A1,1 + B2,2 · A2,1 + B2,3 · A3,1 =
= (0.34) · (0.8) + (0.46) · (0.2) + (0.2) · (0.3) = (0.272) + (0.092) + (0.06) =
0.424
C2,2 = B2,1 · A1,2 + B2,2 · A2,2 + B2,3 · A3,2 =
= (0.34) · (0.2) + (0.46) · (0.6) + (0.2) · (0.3) = (0.068) + (0.276) + (0.06) =
0.404
C2,3 = B2,1 · A1,3 + B2,2 · A2,3 + B2,3 · A3,3 =
= (0.34) · 0 + (0.46) · (0.2) + (0.2) · (0.4) = (0) + (0.092) + (0.08)= 0.172
C3,1 = B3,1 · A1,1 + B3,2 · A2,1 + B3,3 · A3,1 =
= (0.42) · (0.8) + (0.36) · (0.2) + (0.22) · (0.3) = (0.336) + (0.072)+ (0.066)
= 0.474
C3,2 = B3,1 · A1,2 + B3,2 · A2,2 + B3,3 · A3,2 =
= (0.42) · (0.2) + (0.36) · (0.6) + (0.22) · (0.3) = (0.084) + (0.216)+ (0.066)

4. = 0.366
C3,3 = B3,1 · A1,3 + B3,2 · A2,3 + B3,3 · A3,3 =
= (0.42) · 0 + (0.36) · (0.2) + (0.22) · (0.4) = (0) + (0.072) + (0.088) = 0.16
La matriz final es: 𝐴3
0.612 0.316 0.072
0.424 0.404 0.172
0.474 0.366 0.16
Entonces multiplicamos lamatrizX inicial, conestamatriz final que será la
matriz 𝐴3
:
Solución:
C = X ·𝐴3
= 20 19 25 ·
0.612 0.316 0.072
0.424 0.404 0.172
0.474 0.366 0.16
=
= 32.146 23.146 8.708
Los componentes de lamatriz C se calculan del modo siguiente:
C1,1 = X1,1 · 𝐴3
1,1 + X1,2 · 𝐴3
2,1 + X1,3 · 𝐴3
3,1 =
= 20 · (0.612) + 19 · (0.424) + 25 · (0.474) = (12.24) + (8.056) + (11.85) =
32.146
C1,2 = X1,1 · 𝐴3
1,2 + X1,2 · 𝐴3
2,2 + X1,3 · 𝐴3
3,2 =
= 20 · (0.316) + 19 · (0.404) + 25 · (0.366) = (6.32) + (7.676) + (9.15)=
23.146
C1,3 = X1,1 · 𝐴3
1,3 + X1,2 · 𝐴3
2,3 + X1,3 · 𝐴3
3,3 =
= 20 · (0.072) + 19 · (0.172) + 25 · (0.16)= (1.44)+ (3.268) + 4 = 8.708
Es decir que al pasar los tres años las distintas divisiones van a estar compuestas
por 𝐶 = 32.146 23.146 8.708
Si bien estaoperación, dio resultado matemáticamente, lógicamente, no va a ser
factible ya que no pueden haber partes de equipos en una división y después en
otra.

5. Parte B
La actividad consiste en recrear el Ejemplo 28 del material de estudio. Para recrearlo:
1) Reemplace la matriz T de la Guía de estudio por otra de la lista siguiente, y observe
la acción que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.
Nombres identificatorios:
 T= nueva matriz de transformación
 D= matriz de coordenadas.
 TD=H=nueva matriz del transformado por T.
𝐷 =
0 0.5 6
0 0 0
5.5 0.5 0
1.58 6.42 8
5.5 6
8 8
T=
𝑘 0
0 1
(𝑘 ∈ ℝ,0 < 𝑘 < 1)
A k le doy valor 3/4
T.D=H=Nueva matriz
Wolfram Alfa

6. Wiris
Obtenemos: 𝐻 =
0 0.375 4.5
0 0 0
4.125 0.375 0
1.58 6.42 8
4.125 4.5
8 8
¿Qué matriz calcularía y cómo la usaría con la matriz del transformado H, para
obtener la matriz de coordenadas original? Esto es, ¿cómo procedería, operando con
matrices, para obtener las coordenadas de la letra original?
Multiplicaría la inversa de la matriz T, por la matriz H, que sería de la siguiente
forma:
3/4 0
0 1
−1
∗
0 0.375 4.5
0 0 0
4.125 0.375 0
1.58 6.42 8
4.125 4.5
8 8

7. Wiris:
Wolfram Alfa:

8. Gráfico concoordenadas Originales:
Gráfico conlas nuevas Coordenadas:
2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llámela S, y repita el proceso pero
ahora tomando como matriz de coordenadas a H.
Nuevos nombres identificatorios:
 S= nueva matriz de transformación
 H= nueva matriz de coordenadas.
 SH=J=nueva matriz del transformado por S.

9. La idea es aplicar un movimiento atrás de otro y estudiar cómo cambia de posición la
letra N (esto es, hacer una composición). Así se trabajan las imágenes en una pantalla.
𝐻: 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
𝐻 =
0 0.375 4.5
0 0 0
4.125 0.375 0
1.58 6.42 8
4.125 4.5
8 8
𝑆 = 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑆 =
𝑘 0
0 1
,(𝑘 ∈ ℝ,𝑘 > 1)
“k” toma valor 2
𝑆𝐻 = 𝐽 = 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑆
2 0
0 1
∗
0 0.375 4.5
0 0 0
4.125 0.375 0
1.58 6.42 8
4.125 4.5
8 8
= 𝐽
Wiris:

10. WolframAlfa:
Obtenemos 𝐽 =
0 0.75 9
0 0 0
8.25 0.75 0
1.58 6.42 8
8.25 9
8 8
¿Qué matriz calcularíay cómo lausaría conla matriz del transformado H, para obtener
la matriz de coordenadas original?Esto es, ¿cómo procedería, operando conmatrices,
para obtener las coordenadas de la letraoriginal?
Multiplicaríalainversa de la matriz S, por la matriz J, que seríade la siguiente forma:

11. Wiris:
WolframAlfa:

12. Gráfico concoordenadas originales:
Grafico connuevas Coordenadas: