Soluciones a dos ejercicios de correlaciòn

1. REPUBLICA BOLIVARIAN DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRICA
Correlación de Pearson
BARQUISIMETO, 2015
ALUMNO:
Alberto J. Perozo M.
C.I. 20.923.199
PROFESOR:
Humberto Peña
SAIA C

2. Soluciones de los ejercicios
Ejercicio 1
Nº de clientes
(X)
8 7 6 4 2 1
Distancia
(Y)
15 19 25 23 34 40
Calcular el coeficiente de correlación de Pearson:
a) en puntuaciones directas,
b) puntuaciones diferenciales
c) puntuaciones estandarizadas.
Comprobar si existe una tendencia lineal en la relación

3. Gráfico X.vs.Y
Se observa la existencia de una cierta tendencia lineal en la relación. Se puede calcular el coeficiente de
correlación de Pearson

4. a) Puntuaciones directas.
Configurando la siguiente tabla:
𝑋 𝑌 𝑋2
𝑌2
𝑋𝑌 De donde:
𝑋 =
∑ 𝑋
𝑁
=
28
6
= 4,67
𝑌 =
∑ 𝑌
𝑁
=
156
6
= 26
𝑆 𝑋 = √
∑ 𝑋2
𝑁
− 𝑋2 = √
170
6
− (4,67)2 =2,5543
𝑆 𝑌 = √
∑ 𝑌2
𝑁
− 𝑌2 = √
4496
6
− (26)2 = 8,5635
𝑟𝑋𝑌 =
∑ 𝑋𝑌
𝑁 − 𝑋𝑌
𝑆 𝑋 𝑆 𝑌
=
603
6 − (4,67)(26)
(2,5543)(8,5635)
= −0,9564
8 15 64 225 120
7 19 49 361 133
6 25 36 625 150
4 23 16 529 92
2 34 4 1156 68
1 40 1 1600 40
∑
28 156 170 4496 603
𝑆 𝑟 = √
1 − 𝑟𝑥𝑦
2
𝑁 − 2
⟹ 𝑆 𝑟 = √
1 − (−0,9564)2
6 − 2
⟹ 𝑆 𝑟 = 0,15
𝑡 =
𝑟𝑥𝑦 − 0
√1 − 𝑟𝑥𝑦
2
𝑁 − 2
⟹ 𝑡 =
−0,9564 − 0
√1 − (−0,9564)2
6 − 2
⟹ 𝑡 = −6,55

5. b) Puntuaciones diferenciales o centradas
Se realizan las siguientes transformaciones:
𝑥 = 𝑋 − 𝑋
𝑦 = 𝑌 – 𝑌
𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 𝑥2
𝑦2
𝑥𝑦 De donde:
𝑋 =
∑ 𝑋
𝑁
=
28
6
= 4,67
𝑌 =
∑ 𝑌
𝑁
=
156
6
= 26
𝑟𝑋𝑌 =
∑ 𝑥𝑦
√𝑥2√𝑦2
=
−129,02
√39,33√440
= −0,9808
8 15 3,33 -11 11,09 121 -36,63
7 19 2,33 -7 5,43 49 -16,31
6 25 1,33 -1 1,77 1 -1,33
4 23 0,67 -3 0,45 9 -2,01
2 34 -2,67 8 7,13 64 -21,36
1 40 -3,67 14 13,47 196 -51,38
∑
28 156 39,33 440 -129,02
𝑆 𝑟 = √
1 − 𝑟𝑥𝑦
2
𝑁 − 2
⟹ 𝑆 𝑟 = √
1 − (−0,9808)2
6 − 2
⟹ 𝑆 𝑟 = 0,098
𝑡 =
𝑟𝑥𝑦 − 0
√1 − 𝑟𝑥𝑦
2
𝑁 − 2
⟹ 𝑡 =
−0,9808 − 0
√1 − (−0,9808)2
6 − 2
⟹ 𝑡 = −10,06

6. c) Puntuaciones estandarizadas
Se realizan las siguientes transformaciones:
𝑍 𝑥 =
𝑋 − 𝑋
𝑆 𝑥
→ 𝑍 𝑥 =
𝑥
𝑆 𝑥
𝑍 𝑦 =
𝑌 − 𝑌
𝑆 𝑦
𝑍 𝑥 =
𝑦
𝑆 𝑦
𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 𝑍 𝑋 𝑍 𝑌 𝑍 𝑋 𝑍 𝑌 De donde:
𝑋 =
∑ 𝑋
𝑁
=
28
6
= 4,67
𝑌 =
∑ 𝑌
𝑁
=
156
6
= 26
𝑆 𝑋 = √
∑ 𝑋2
𝑁
− 𝑋2 = √
170
6
− (4,67)2 =2,5543
𝑆 𝑌 = √
∑ 𝑌2
𝑁
− 𝑌2 = √
4496
6
− (26)2 = 8,5635
𝑟𝑋𝑌 =
∑ 𝑍 𝑋 𝑍 𝑌
𝑁
=
−5,92
6
= −0,987
8 15 3,33 -11 1,30 -1,29 -1,68
7 19 2,33 -7 0,91 -0,82 -0,75
6 25 1,33 -1 0,52 -0,12 -0,0624
4 23 0,67 -3 0,26 -0,35 -0,091
2 34 -2,67 8 -1,05 0,93 -0,98
1 40 -3,67 14 -1,44 1,64 -2,36
∑
28 156 -5,92
𝑆 𝑟 = √
1 − 𝑟𝑥𝑦
2
𝑁 − 2
⟹ 𝑆 𝑟 = √
1 − (−0,987)2
6 − 2
⟹ 𝑆 𝑟 = 0,08

7. 𝑡 =
𝑟𝑥𝑦 − 0
√1 − 𝑟𝑥𝑦
2
𝑁 − 2
⟹ 𝑡 =
−0,987 − 0
√1 − (−0,987)2
6 − 2
⟹ 𝑡 = −12,28
Por la tabla de t de Student para
α = 0.05 y grados de libertad 6 − 2 = 4
Se tiene que:
𝑡(0,05;4) = 2,78
Comparando el valor t obtenido con el de las tablas:
−12,28 < 2,78
Se acepta la Hipótesis nula con un riesgo (máximo) de equivocarnos de 0.05.
La correlación obtenida procede de una población caracterizada por una correlación de cero.

8. Se Concluye, que ambas variables no están relacionadas.
Ejercicio 2
Horas (X) 80 79 83 84 78 60 82 85 79 84 80 62
Unidad de
Producción (Y)
300 302 315 330 300 250 300 340 315 330 310 240
Calcular el coeficiente de correlación de Pearson:
a) en puntuaciones directas,
b) puntuaciones diferenciales
c) puntuaciones estandarizadas.
Comprobar si existe una tendencia lineal en la relación

10. a) Puntuaciones directas.
Configurando la siguiente
tabla:
𝑋 𝑌 𝑋2
𝑌2
𝑋𝑌 De donde:
𝑋 =
∑ 𝑋
𝑁
=
936
12
= 78
𝑌 =
∑ 𝑌
𝑁
=
3632
12
= 302,67
𝑆 𝑋 = √
∑ 𝑋2
𝑁
− 𝑋2 = √
73760
12
− (78)2 =7,916
𝑆 𝑌 = √
∑ 𝑌2
𝑁
− 𝑌2 = √
1109254
12
− (302,67)2
= 28,787
𝑟𝑋𝑌 =
∑ 𝑋𝑌
𝑁 − 𝑋𝑌
𝑆 𝑋 𝑆 𝑌
=
285908
12 − (78)(302,67)
(7,916)(28,787)
= 0,954
80 300 6400 90000 24000
79 302 6241 91204 23858
83 315 6889 99225 26145
84 330 7056 108900 27720
78 300 6084 90000 23400
60 250 3600 62500 15000
82 300 6724 90000 24600
85 340 7225 115600 28900
79 315 6241 99225 24885
84 330 7056 108900 27270
80 310 6400 96100 24800
62 240 3844 57600 14880
∑
936 3632 73760 1109254 285908
b) Puntuaciones diferenciales o centradas

11. Se realizan las siguientes transformaciones:
𝑥 = 𝑋 − 𝑋 𝑦 = 𝑌 – 𝑌
𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 𝑥2
𝑦2
𝑥𝑦 De donde:
𝑋 =
∑ 𝑋
𝑁
=
936
12
= 78
𝑌 =
∑ 𝑌
𝑁
=
3632
12
= 302,67
𝑟𝑋𝑌 =
∑ 𝑥𝑦
√∑ 𝑥2 √∑ 𝑦2
𝑟𝑋𝑌 =
2612
√752√9968,68
𝑟𝑋𝑌 = 0,954
80 300 2 -2,67 4 7,13 -5,34
79 302 1 -0,67 1 0,45 -0,67
83 315 5 12,33 25 152,03 61,65
84 330 6 27,33 36 746,93 163,98
78 300 0 -2,67 0 7,13 0
60 250 -18 -52,67 324 2774,13 948,06
82 300 4 -2,67 16 7,13 -10,68
85 340 7 37,33 49 1393,53 261,31
79 315 1 12,33 1 152,03 12,33
84 330 6 27,33 36 746,93 163,98
80 310 2 7,33 4 53,73 14,66
62 240 -16 -62,67 256 3927,53 1002,72
∑
936 3632 752 9968,68 2613

12. 𝑆 𝑟 = √
1 − 𝑟𝑥𝑦
2
𝑁 − 2
⟹ 𝑆 𝑟 = √
1 − (0,954)2
12 − 2
⟹ 𝑆 𝑟 = 0,095
𝑡 =
𝑟𝑥𝑦 − 0
√1 − 𝑟𝑥𝑦
2
𝑁 − 2
⟹ 𝑡 =
0,954 − 0
√1 − (0,954)2
12 − 2
⟹ 𝑡 = 10,04
c) Puntuaciones estandarizadas
Se realizan las siguientes transformaciones:
𝑍 𝑥 =
𝑋 − 𝑋
𝑆 𝑥
→ 𝑍 𝑥 =
𝑥
𝑆 𝑥
𝑍 𝑦 =
𝑌 − 𝑌
𝑆 𝑦
𝑍 𝑥 =
𝑦
𝑆 𝑦

13. 𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 𝑍 𝑋 𝑍 𝑌 𝑍 𝑋 𝑍 𝑌 De donde:
𝑋 =
∑ 𝑋
𝑁
=
936
12
= 78
𝑌 =
∑ 𝑌
𝑁
=
3632
12
= 302,67
𝑆 𝑋 = √
∑ 𝑋2
𝑁
− 𝑋2 =
√
73760
12
− (78)2 =7,916
𝑆 𝑌 = √
∑ 𝑌2
𝑁
− 𝑌2
= √
1109254
12
− (302,67)2
= 28,787
𝑟𝑋𝑌 =
∑ 𝑍 𝑋 𝑍 𝑌
𝑁
𝑟𝑋𝑌 =
11,46
12
𝑟𝑋𝑌 = 0,955
80 300 2 -2,67 0,25 -0,093 -0,465
79 302 1 -0,67 0,13 -0,023 -0,003
83 315 5 12,33 0,63 0,43 0,271
84 330 6 27,33 0,76 0,95 0,722
78 300 0 -2,67 0 -0,093 0
60 250 -18 -52,67 -2,27 -1,83 4,154
82 300 4 -2,67 0.51 -0,093 -0,0474
85 340 7 37,33 0,88 1,3 1,144
79 315 1 12,33 0,13 0,43 0,0559
84 330 6 27,33 0,76 0,95 0,722
80 310 2 7,33 0,25 0,26 0,065
62 240 -16 -62,67 -2,02 -2,18 4,404
∑
936 3632 11,46

14. 𝑆 𝑟 = √
1 − 𝑟𝑥𝑦
2
𝑁 − 2
⟹ 𝑆 𝑟 = √
1 − (0,954)2
12 − 2
⟹ 𝑆 𝑟 = 0,095
𝑡 =
𝑟𝑥𝑦 − 0
√1 − 𝑟𝑥𝑦
2
𝑁 − 2
⟹ 𝑡 =
0,954 − 0
√1 − (0,954)2
12 − 2
⟹ 𝑡 = 10,04
Por la tabla de t de Student para
α = 0.05 y grados de libertad 12 − 2 = 10
Se tiene que:
𝑡(0,05;10) = 2,23

15. Comparando el valor t obtenido con el de las tablas:
10,04 > 2,23
Se rechaza la Hipótesis nula con un riesgo (máximo) de equivocarnos de 0.05.
La correlación obtenida no procede de una población caracterizada por una correlación de cero.
Se Concluye, que ambas variables están relacionadas.