Fracciones Parciales

1. FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y
obtener sumas de expresiones más simples.
Hay cuatro casos:
1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.
2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.
4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.
Procedimiento para:
Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.
Paso 1:
Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la
del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de
la función del numerador.
Paso 2:
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales,
px +q, o factores cuadráticos irreductibles, cbxax ++2
, y agrupar los factores
repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores
diferentes de la forma ( )m
qpx + , donde 1≥m o ( )n
cbxax ++2
los números m y n
no pueden ser negativos.
Paso 3:
Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es
lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.
...
factorfactor
++
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1:
Determinar la descomposición en fracciones parciales de:
xxx
xx
32
9134
23
2
−+
−+
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo
tanto no tengo que hacer una división larga.
Segundo: factorizo el denominador
( ) ( )( )133232 223
−+=−+=−+ xxxxxxxxx
Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
9134
23
2
−
+
+
+=
−+
−+
x
C
x
B
x
A
xxx
xx

2. Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2
++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga:
Opero los paréntesis
( ) ( ) ( )xxCxxBxxAxx 3329134 2222
++−+−+=−+
Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado asi
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
−+−+++=−+
−+−+++=−+
++−+−+=−+
++−+−+=−+
++−+−+=−+
Mis tres ecuaciones son:
4111 =+++ CBA
13312 +=+− CBA
A39 −=−
Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A
A39 −=−
A
A
=
=
−
−
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
( )( )
1
34
43
413
4111
=+
−=+
=++
=++
=+++
CB
CB
CB
CB
CBA
( )( )
73
6133
1336
13332
13312
=+−
−=+−
=+−
=+−
+=+−
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
=+−
=+
CB
CB
2C
84
=
=C
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi

3. 1
21
12
1
−=
−=
=+
=+
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
9134
23
2
−
+
+
−=
−
+
+
+=
−+
−+
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no
repetidos que es mucho mas fácil.
1332
9134
23
2
−
+
+
+=
−+
−+
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2
++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial
0=x
3
03
−=
=+
x
x
1
01
=
=−
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2
++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
A
A
CBA
CBA
=
−=−
++−=−+
++−+−+=−+
3
39
0013900
3001001030901304
2
x = -3
( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2
++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
B
B
CBA
CBA
=−
=−
−+−−+−=−−
+−−+−−−+−−+−=−−+−
1
1212
03434093936
3331331333931334
2
x = 1
( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2
++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
C
C
CBA
CBA
=
=
++=−+
++−+−+=−+
2
48
4101049134
3111111131911314
2

4. Respuesta:
1
2
3
13
1332
9134
23
2
−
+
+
−=
−
+
+
+=
−+
−+
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
EJERCICIOS
1)
( )( )32
18
+−
−
xx
x
2)
( )( )14
29
+−
−
xx
x
3)
124
34
2
−−
+
xx
x
4)
xx
x
4
125
2
−
−
5)
( )( )( )321
1154 2
−+−
−−
xxx
xx
6)
( )( )52
20192
−+
++
xxx
xx
7)
xxx
xx
54
1554
23
2
−−
−−
8)
( )( )651
1137
2
+−+
−
xxx
Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
Ejemplo:
( )2
2
3
3610
−
−+
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un término lineal repetido que es ( )2
3−x
Entonces lo colocamos asi:
( )2
33 −
+
−
+
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el término repetido ( )3
3−x lo pondríamos:
( ) ( )32
333 −
+
−
+
−
+
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos:
( )2
2
3
3610
−
−+
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en el
denominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el
denominador el término repetido elevado al cuadrado así:
( ) ( )22
2
333
3610
−
+
−
+=
−
−+
x
C
x
B
x
A
xx
xx

5. Como tenemos término repetido ya no podemos usar la forma fácil de resolver
únicamente por sistemas de ecuaciones.
Pasos operamos el mínimo común denominador y lo igualamos al numerador.
( ) ( )( ) ( )xCxxBxAxx +−+−=−+ 333610
22
Operamos los paréntesis
( ) ( ) ( )xCxxBxxAxx +−++−=−+ 3963610 222
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
++−−++=−+
++−−+=−+
+−++−=−+
+−++−=−+
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
−=
=+−−
=+
A
CBA
BA
Resolviendo me queda:
4
369
−=
−=
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuación:
5
14
14
1
=
+=
=+−
=+
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuación
1
910
109
101524
1036
=
−=
=+
=+−
=+−−
C
C
C
C
CBA
respuesta
( ) ( )22
2
3
1
3
54
3
3610
−
+
−
+
−
=
−
−+
xxxxx
xx
EJERCICIOS
9)
( )2
1
32
−
+
x
x
10)
( )2
45
2
2
+
−
xx
x
11) 23
2
53
255019
xx
xx
−
−+
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi

6. 12)
2510
10
2
++
−
xx
x
13)
( )( )122
62
−+
−
xx
x
14)
( ) ( )22
2
11
2
+−
+
xx
xx
Descomposición de una fracción parcial que contiene un factor
cuadrático irreducible.
482
29154
23
23
−+−
−+−
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que
tengo que realizar una división larga.
2
482 23
−+− xxx 29154 23
−+− xxx
81624 23
+−+− xxx
2
x x− 21−
482
21
2
482
29154
23
2
23
23
−+−
−−
+=
−+−
−+−
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador:

7. ( ) ( ) ( )( )12412412482 2223
−+=−+−=−+− xxxxxxxx
42
+x es un término cuadrático irreducible por lo que ahora opero asi:
124482
21
223
2
−
+
+
+
=
−+−
−−
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el mínimo común denominador
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
+−++−++=−−
+−+−+=−−
++−+−=−−
++−+=−−
Formar las ecuaciones:
214
12
12
−=+−
−=+−
=+
CB
BA
CA
Puedes resolverlo por el método que quieras, en este caso seguiremos practicando la
resolución por matices
21410
1021
1102
−−
−+−
+++
1102
21410
1021
+++
−−+
+−+
1140
21410
1021
−++
−−+
+−+
851700
21410
1021
−++
−−+
+−+
5
8517
−=
−=
C
C
1
2021
214
=
+−=−
−=+−
B
B
CB
3
21
21
12
=
+=
+=
=−
A
A
BA
BA
11 RR =−
3312 RRR =+−
1140
1102
2042
−++
+++
−+−
3324 RRR =+
851700
1140
841640
−+
−++
−−
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi

8. RESPUESTA:
12
5
4
13
2
124
2
482
21
2
482
29154
2223
2
23
23
−
−
+
+
+
+=
−
+
+
+
+=
−+−
−−
+=
−+−
−+−
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx