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1. Caribbean University
Recinto de Bayamón
Curso: MATH 600: Algebra Lineal Avanzada
Prof. Jorge Espinosa
Estudiante: José R. Torres Núñez

2. Asignación 1. Algebra Lineal Avanzada
Problema del slide # 14.
Vectores que son iguales: C y G, I y E, M y K, L y N
Vectores que tienen igual dirección y sentido contrario:
D y H, I y J, C y F, F y G, E y J, O y P, B y J, My E, M y I, E y K?, I y K?
Problema del slide # 19.
𝐶 = (−4,3,0)
𝐷 = (−2,−3,0)
𝐸 = (6,−4,0)
𝐹 = (4,0,0)
Problema del slide # 21.
Calcular la magnitud de los vectores B, C y D
𝐵
⃗ = |𝐵
⃗ | = √(−8)2 + (6)2 = √64 + 36 = √100 = 10
𝐶 = |𝐶| = √(0)2 + (5)2 = √0 + 25 = √25 = 5
𝐷
⃗⃗ = |𝐷
⃗⃗ | = √(2)2 + (−6)2 = √4 + 40 = √44 ≈ 6.325
Pregunta: ¿Cómo se calcula el módulo de un vector en 3 dimensiones?
Para calcular el módulo (o la longitud del vector) en 3 dimensiones, tenemos que
determinar la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus tres
componentes. Es decir, dado que 𝐴 = (𝑥, 𝑦,𝑧), entonces |𝐴| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

3. Problema del slide # 23
2) Para el vector 𝑅 = (11,20), calcular su magnitud y el ángulo que forma con el
eje X.
Magnitud
𝑅
⃗ = |𝑅
⃗ | = √(11)2 + (20)2 = √121+ 400 = √521 ≈ 22.83
Angulo
tan 𝜃 =
20
11
𝜃 = tan−1
20
11
= 61°
Problema del slide # 24.
Dibujelos vectores A y B, y calcule la magnitud y el ángulo que forman los
vectores con el eje X si: 𝐴 = (4,10) y 𝐵 = (−5,6)
Para 𝐴 = (4,10)
Magnitud
𝐴 = |𝐴| = √(4)2 + (10)2 = √16 + 100 = √116 ≈ 10.8

4. Angulo
tan𝜃 =
10
4
𝜃 = tan−1
10
4
𝜃 = 68°
Dibujo

5. Para 𝐵 = (−5,6)
Magnitud
𝐵
⃗ = |𝐵
⃗ | = √(−5)2 + (6)2 = √25 + 36 = √61 ≈ 7.81
Angulo
tan 𝜃 =
6
−5
𝜃 = tan−1
6
−5
𝜃 = −50°
𝜃 = 180° − 50° = 130°
Dibujo
130°

6. Dibujar y escribir las componentes de un vector C que tiene magnitud de 15 y
forma un ángulo de 30 grados con el eje de X.
𝑥 = |𝑅|cos 𝜃 = 15cos 30° ≈ 12.9
𝑦 = |𝑅|sin 𝜃 = 15sin 30° = 7.5
𝐶 = (12.9,7.5)
Dibujo
Problema del slide # 25.
Dibujar y escribir las componentes de un vector D que tiene magnitud de 8 y
forma un ángulo de 50 grados con el eje de X.
𝑥 = |𝑅|cos 𝜃 = 8cos 50° ≈ 5.14
𝑦 = |𝑅|sin 𝜃 = 8sin 50° ≈ 6.13
𝐷
⃗⃗ = (5.14,6.13)

7. Dibujo
Dibujar y escribir las componentes de un vector E que tiene magnitud de 6 y
forma un ángulo de 120 grados con el eje de X.
𝑥 = |𝑅|cos 𝜃 = 6cos 120° = −3
𝑦 = |𝑅|sin 𝜃 = 6sin 120° ≈ 5.2
𝐸
⃗ = (−3,5.2)
Dibujo

8. Problema del slide # 31.
Dado los vectores A, B y C, calcular los vectores R, S, T
𝑅
⃗ = 3𝐴 = 3(1,2,3) = (3,6,9)
𝑆 =
1
4
𝐵
⃗ =
1
4
(16,−8,24) = (4,−2,6)
𝑇
⃗ = −2𝐶 = −2 (−
1
6
,0,
1
10
) = (
1
3
, 0,
−1
5
)
Problema del slide # 36.
𝑅
⃗ = (1,3,5)
𝑆 = (−2,9,−5)
𝑅
⃗ − 𝑆 = (1 + 2,3− 9,5 + 5) = (3,−6,10)
3𝑅
⃗ − 2𝑆 = 3(1,3,5) − 2(−2,9,−5) = (3,9,15) − (−4,18,−10)
= (3 + 4,9 − 18,15 + 10) = (7,−9,25)

9. Problema del slide # 37.
Utilice los vectores que encontró en el slide 19 y realice las siguientes operaciones
en forma gráfica y matemática:
1. 𝐴 + 𝐵
Forma gráfica
Nota: la recta roja es A, la recta azul es B, y la recta verde es A + B.
Forma matemática:
𝐴 = (5,2,0)
𝐵 = (1,3,0)
𝐴 + 𝐵 = (5 + 1,2+ 3,0 + 0) = (6,5,0)

10. 2. 𝐴 − 𝐵
Forma gráfica
Nota: la recta roja es A, la recta azul es B, la recta anaranjada es el vector opuesto
a B, y la recta verde es A – B.
Forma matemática
𝐴 = (5,2,0)
𝐵 = (1,3,0)
𝐴 − 𝐵 = (5 − 1,2− 3,0 − 0) = (4,−1,0)

11. 3. 𝐶 + 𝐵
Forma gráfica
Nota: la recta roja es C, la recta azul es B, y la recta verde es C + B.
Forma matemática:
𝐶 = (−4,3,0)
𝐵 = (1,3,0)
𝐶 + 𝐵 = (−4 + 1,3+ 3,0 + 0) = (−3,6,0)

12. 4. 𝐶 − 𝐵
Forma gráfica
Nota: la recta roja es C, la recta azul es B, la recta anaranjada es el vector opuesto
a B, y la recta verde claro oscuro es C – B.
Forma matemática:
𝐶 = (−4,3,0)
𝐵 = (1,3,0)
𝐶 − 𝐵 = (−4 − 1,3− 3,0 − 0) = (−5,0,0)

13. 5. 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
Forma gráfica
Nota: la recta roja es A, la recta azul es B, la recta negra es C, y la recta verde es
A + B + C.
Forma matemática:
𝐴 = (5,2,0)
𝐵 = (1,3,0)
𝐶 = (−4,3,0)
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = (5 + 1 − 4,2 + 3 + 3,0+ 0 + 0) = (2,8,0)

14. Pregunta del slide # 40
Pregunta: ¿Puede un vector unitario en el sistema de coordenadas cartesiano
escribirse en términos de otros vectores unitarios?
La respuesta es sí. Consideremos, por ejemplo, el vector 𝐴 = (5,4). La magnitud
de este vector es como sigue:
𝐴 = |𝐴| = √(5)2 + (4)2 = √25 + 16 = √41 ≈ 6.4
Ahora bien, para determinar el vector unitario de cualquier vector, dividimos sus
respectivos componentes entre la magnitud. Así que, si divido los componentes
de 𝐴 entre su magnitud, tenemos lo siguiente:
𝐵
⃗ = (
5
√41
,
4
√41
)
Por otro lado, si sacamos la magnitud de 𝐵
⃗ , tendremos lo siguiente:
𝐵
⃗ = |𝐵
⃗ | = √(
5
√41
)
2
+ (
4
√41
)
2
= √
25
41
+
16
41
= √
41
41
= √1 = 1
Aquí vemos que la magnitud de 𝐵
⃗ es 1, y éste vector posee el mismo sentido y
dirección que el vector 𝐴

15. Problema del slide # 48
Calcule los siguientes productos puntos:
1. 𝐴 ∙ 𝐵 𝑠𝑖 |𝐴| = 8,|𝐵| = 4 𝑦 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 30 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠.
𝐴 ∙ 𝐵
⃗ = |𝐴||𝐵| cos 𝜃 = 8 ∙ 4 ∙ cos 30° ≈ 27.7°
2. 𝐴 ∙ 𝐵 𝑠𝑖 |𝐴| = 20,|𝐵| = 30 𝑦 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 140 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠.
𝐴 ∙ 𝐵
⃗ = |𝐴||𝐵|cos 𝜃 = 20 ∙ 30∙ cos 140° ≈ −459.63
3. 𝐴 ∙ 𝐵 𝑠𝑖 𝐴 = (3,8) 𝑦 𝐵 = (6,−5).
Magnitud de 𝐴 = (3,8)
𝐴 = |𝐴| = √(3)2 + (8)2 = √9 + 64 = √73 ≈ 8.5
Magnitud de 𝐵 = (6,−5)
𝐵
⃗ = |𝐵
⃗ | = √(6)2 + (−5)2 = √36 + 25 = √61 ≈ 7.81
Para determina el ángulo 𝜃 entre el vector A y el vector B, podemos usar
trigonometría; es decir, buscamos el ángulo que se forma entre el vector A y el eje
X, y el ángulo que se forma entre el vector B y el eje X, y sumamos ambos ángulo
(ya el vector A está en el primer cuadrante, mientras que el vector B está ubicado
en el cuarto cuadrante. El resultado de dicha suma será el ángulo entre el vector
A y el vector B.

16. Angulo entre el vector A y el eje X.
tan 𝜃 =
8
3
𝜃 = tan−1
8
3
𝜃 ≈ 69°
Angulo entre el vector B y el eje X.
tan 𝜃 =
−5
6
𝜃 = tan−1
−5
6
𝜃 ≈ −40° ó ≈ 40
Angulo entre el vector A y el vector B
𝜃 = 69° + 40° = 109°
Cálculo de 𝐴 ∙ 𝐵
𝐴 ∙ 𝐵
⃗ = |𝐴||𝐵| cos 𝜃 = 8.5 ∙ 7.81 ∙ cos 109° ≈ −21.6
Notemos que, para un ángulo obtuso, tenemos el siguiente caso en los productos
puntos:
𝐴 ∙ 𝐵
⃗ < 0

17. 4. Qué ángulo forman dos vectores C y D si C = (10,12) y D = (30,17). Utilice el
producto punto para averiguarlo.
Magnitud de 𝐶 = (10,12)
𝐶 = |𝐶| = √(10)2 + (12)2 = √100 + 144 = √244 ≈ 15.62
Magnitud de 𝐷 = (30,17)
𝐷
⃗⃗ = |𝐷
⃗⃗ | = √(30)2 + (17)2 = √900+ 289 = √1189 ≈ 34.5
Tanto el vector C como el D están en el primer cuadrante, y el vector C se
encuentra por encima del vector D. Por lo tanto, si buscamos el ángulo que se
forma entre el vector C y el eje X, y lo restamos con el ángulo que se forma entre
el vector D y el eje X, obtenemos el ángulo entre el vector C y el vector D.
Angulo entre el vector C y el eje X.
tan𝜃 =
12
10
𝜃 = tan−1
12
10
𝜃 ≈ 50.2°
Angulo entre el vector D y el eje X.
tan𝜃 =
17
30
𝜃 = tan−1
17
30
𝜃 ≈ 29.5°

18. Angulo entre el vector C y el vector D
𝜃 = 50.2° − 29.5° = 20.7°
Sabemos que es un ángulo agudo. Por ende, tenemos que verificar que
𝐶 ∙ 𝐷
⃗⃗ > 0
𝐶 ∙ 𝐷
⃗⃗ = |𝐶||𝐷|cos 𝜃 = 15.62 ∙ 34.5 ∙ cos 20.7° ≈ 504.10