Matrices 3

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Matrices 3

  1. 1. 32Tema 3. MATRICES Y DETERMINANTES3.1 Conceptos generales3.2 Operaciones matriciales3.3 Tipos de matrices3.4 Determinantes3.5 Matriz inversa3.6 Rango y traza3.7 Matrices particionadas3.8 Sistemas de ecuaciones lineales
  2. 2. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 333 MATRICES Y DETERMINANTES3.1 CONCEPTOS GENERALES3.1.1 ¶ DEFINICIONUna matriz de m ¯las y n columnas sobre un cuerpo IK es unaaplicaci¶n: o A : f1; : : : ; mg £ f1; : : : ; ng ¡! IK (i; j) 7¡! aij :La matriz A suele representarse por 0 1 B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n C B C B B a a ¢ ¢ ¢ a2n C C A = (aij ) = B 21 22 B B .................. C C C 1·i·m B C @ A 1·j·n am1 am2 ¢ ¢ ¢ amny se dice que es de orden m £ n . ² La ¯la i-¶sima de la matriz A es la formada por los elementos e ai1; ai2 ; : : : ; ain. ² La columna j-¶sima de la matriz A es la formada por los e elementos a1j ; a2j ; : : : ; amj . ² El t¶rmino (i; j) de la matriz A es aij . e ¶NOTACION: Se denota por Mm£n (IK) el conjunto de las matricesde orden m £ n con elementos en IK .
  3. 3. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 34Sean A; B 2 Mm£n(IR); A = (aij ) ; B = (bij ) . 1·i·m 1·i·m 1·j·n 1·j·nSe dice que A y B son iguales si y s¶lo si 8i 2 f1; : : : ; mg o8j 2 f1; : : : ; ng aij = bij .3.2 OPERACIONES MATRICIALES3.2.1 SUMA DE MATRICESSean A; B 2 Mm£n(IK); A = (aij ) ; B = (bij ) . Se 1·i·m 1·i·m 1·j·n 1·j·nde¯ne A + B = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij ) tal que 1·i·m 1·j·n 8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = aij + bij :3.2.2 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1. 8A; B; C 2 Mm£n (IK) (A + B) + C = A + (B + C). 2. 9 O = (0ij ) 2 Mm£n (IK) (matriz nula), tal que 1·i·m 1·j·n 8A 2 Mm£n(IK) A + O = O + A = A. 3. 8A 2 Mm£m (IK) 9 ¡ A 2 Mm£n(IK) tal que A + (¡A) = (¡A) + A = O: (¡A = (¡aij ) ). 1·i·m 1·j·n
  4. 4. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 35 4. 8A; B 2 Mm£n(IK) A + B = B + A.3.2.3 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZSean A 2 Mm£n(IK); A = (aij ) , y ¸ 2 IK. Se de¯ne 1·i·m 1·j·n¸A = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij ) , tal que 1·i·m 1·j·n 8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = ¸aij :3.2.4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR ESCALARES8A; B 2 Mm£n(IK) 8¸; ¹ 2 IK 1. ¸(A + B) = ¸A + ¸B. 2. (¸ + ¹)A = ¸A + ¹A. 3. (¸¹)A = ¸(¹A). 4. 1A = A (1 es la unidad del cuerpo IK).3.2.5 ¶ OBSERVACION:(Mm£n (IK); +; ¢) es un espacio vectorial sobre IK de dimensi¶n omn.
  5. 5. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 363.2.6 PRODUCTO DE MATRICESSean A 2 Mm£n(IK); B 2 Mn£p (IK) , donde A = (aij ) , 1·i·m 1·j·nB = (bij ) . Se de¯ne A ¢ B = C 2 Mm£p (IK); con C = 1·i·n 1·j·p(cij ) tal que: 1·i·m 1·j·p n X 8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; pg cij = aik bkj : k=13.2.7 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES 1. 8A 2 Mm£n(IK); 8B 2 Mn£p (IK); 8C 2 Mp£q (IK) (AB)C = A(BC): 2. 8A; B; C 2 Mn£n(IK) A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA: 3. 9 In 2 Mn£n(IK), tal que 8A 2 Mn£n(IK) AIn = InA = A; donde: 0 1 B 1 0 ¢¢¢ 0 C B C B 0 1 ¢¢¢ 0 C B C In = B B C: C B .......... C B C @ A 0 0 ¢¢¢ 1
  6. 6. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 37 4. 8A 2 Mm£n(IK); 8B 2 Mn£p (IK); 8¸; ¹ 2 IK (¸A)(¹B) = (¸¹)(AB):3.2.8 ¶ TRASPOSICION DE MATRICESSea A 2 Mm£n(IK), con A = (aij ) . Se de¯ne matriz tras- 1·i·m 1·j·npuesta de A, y se denota por At 2 Mn£m (IK), como At =µ ¶ 0 aij tal que 1·j·n 1·i·m 8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng a0ij = aji:3.2.9 ¶ PROPIEDADES DE LA TRASPOSICION DE MATRICESSean A 2 Mm£n (IK) y ¸ 2 IK. 1. (In)t = In. t 2. (At ) = A. 3. (¸A)t = ¸At. 4. Si B 2 Mm£n(IK), entonces (A + B)t = At + B t. 5. Si B 2 Mn£p (IK), entonces (AB)t = B t At.
  7. 7. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 383.3 TIPOS DE MATRICES3.3.1 DEFINICIONES 1. Matriz ¯la: posee una unica ¯la. ¶ (a11a12 : : : a1n) 2 M1£n(IK): 2. Matriz columna: posee una unica columna. ¶ 0 1 B a11 C B C B C B a21 C B B . . C C 2 Mm£1 (IK): B B . C C @ A am1 3. Matriz cuadrada de orden n : tiene el mismo n¶mero de ¯las u que de columnas, m = n . 0 1 B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n C B C B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n C B C A=B B B ................ C C: C B C @ A an1 an2 ¢ ¢ ¢ ann ² aii ; i = 1; : : : ; n, se denominan elementos diagonales. ² A es una matriz diagonal si y s¶lo si los elementos no dia- o gonales son nulos: i 6= j ) aij = 0. ² Una matriz es escalar si y s¶lo si es diagonal y todos los o elementos diagonales son iguales entre s¶. ³ ² Una matriz es triangular inferior si y s¶lo si los elementos o por encima de la diagonal son nulos: i < j ) aij = 0.
  8. 8. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 39 ² Una matriz es triangular superior si y s¶lo si los elementos o por debajo de la diagonal son nulos: i > j ) aij = 0. 4. A 2 Mn£n(IK) es idempotente si y s¶lo si A2 = A. o 5. A 2 Mn£n(IK) es nilpotente si y s¶lo si existe m 2 IN tal o que Am = O. 6. A 2 Mn£n(IK) es sim¶trica si y s¶lo si At = A , es decir, si e o A = (aij ) : 1·i·n 1·j·n 8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = aji : 7. A 2 Mn£n (IK) es antisim¶trica si y s¶lo si At = ¡A , es e o decir, si A = (aij ) : 1·i·n 1·j·n 8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = ¡aji :3.4 DETERMINANTESEl determinante es una aplicaci¶n o det : Mn£n(IK) ¡! IK A 7¡! det Atal que ² Para n = 1 y A = (a) : det A = a.
  9. 9. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 40 0 1 a a ² Para n = 2 y A = B 11 12 @ C A : det A = a11 a22 ¡ a12 a21 . a21 a22 0 1 B a11 a12 a13 C B C ² Para n = 3 y A = B a21 a22 a23 B B C C C : @ A a31 a32 a33 det A = a11 a22 a33 +a21 a32a13 +a31 a23 a12 ¡a13 a22 a31 ¡a23a32 a11 ¡a33 a21 a12:3.4.1 DEFINICIONES ² Los menores de una matriz cuadrada son los determinantes de las submatrices que se obtienen eliminando varias ¯las y el mismo n¶mero de columnas. u ² Se llama menor complementario del elemento aij de una ma- triz cuadrada, que denotamos por Mij , al determinante de la matriz resultante de suprimir la ¯la i y la columna j. ² Se denomina adjunto del elemento aij a Aij = (¡1)i+j Mij . ² Se llama matriz adjunta de A 2 Mn£n(IK) a la matriz A? 2 Mn£n (IK) que tiene por elementos los adjuntos de los elemen- tos de A .3.4.2 DESARROLLO DE DETERMINANTES POR LOS ELEMENTOS DE UNA FILA O COLUMNASea A = (aij ) 2 Mn£n(IK). Para n > 3 el determinante 1·i·n 1·j·nviene dado por:
  10. 10. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 41 n X ² Desarrollo por los elementos de la ¯la i : det A = aik Aik . k=1 n X ² Desarrollo por los elementos de la columna j : det A = akj Akj . k=13.4.3 PROPIEDADESSean A; B 2 Mn£n(IK). 1. det(A) = det(At). 2. Si se intercambian entre s¶ dos ¯las (o columnas), el determi- ³ nante cambia de signo. 3. Si una matriz tiene dos ¯las (columnas) iguales, su determi- nante es cero. 4. Si se multiplica a una ¯la (o columna) de A por un escalar ¸ , el determinante de la matriz resultante es igual a ¸ por det A. 5. Si ¸ 2 IK, entonces det(¸A) = ¸n det A. 6. El determinante de una matriz no var¶a si a una ¯la (o columna) ³ se le suma una combinaci¶n lineal de las restantes. o 7. Si una matriz tiene una ¯la (o columna) nula, su determinante es nulo. 8. det(AB) = det A det B.NOTA: Habitualmente, det(A + B) 6= det A + det B.
  11. 11. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 423.5 MATRIZ INVERSA3.5.1 ¶ DEFINICIONSea A 2 Mn£n(IK). Se dice que A es inversible o regular si existeB 2 Mn£n(IK) de forma que AB = BA = In. En ese caso, Bse llama matriz inversa de A y se denota por A¡1.Si tal B no existe, se dice que A no es inversible o que es singular.3.5.2 PROPIEDADESSean A; B 2 Mn£n(IK). 1. A es inversible si y s¶lo si det A 6= 0. o 1 2. Si A es inversible, entonces det(A¡1 ) = . det A 3. Si A es inversible, entonces A¡1 es unica y viene dada por ¶ 1 A¡1 = (A?)t . det A ¡1 4. In es inversible y In = In. ¡1 5. Si A es inversible, entonces A¡1 es inversible y (A¡1 ) = A. 6. Sea ¸ 2 IK ¡ f0g . Si A es inversible, entonces ¸A es inversible y (¸A)¡1 = ¸¡1A¡1. 7. Si A y B son inversibles, entonces AB es inversible y (AB)¡1 = B ¡1 A¡1 . ¡1 8. Si A es inversible, entonces At es inversible y (At ) = t (A¡1 ) .
  12. 12. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 433.5.3 ¶ DEFINICIONA 2 Mn£n(IK) es ortogonal si y s¶lo si es inversible y A¡1 = At. o3.6 RANGO Y TRAZA3.6.1 ¶ DEFINICIONSean A 2 Mm£n(IK); con A = (aij ) ; i 2 f1; : : : ; mg; 1·i·m 1·j·n ¹j 2 f1; : : : ; ng . Se consideran los vectores fi = (ai1 ; ai2; : : : ; ain);vector ¯la i-¶sima de A y cj = (a1j ; a2j ; : : : ; amj ); vector columna e ¹j-¶sima de A. eSe denomina rango de A por ¯las al n¶mero m¶ximo de vectores u a¯la linealmente independientes.An¶logamente se denomina rango de A por columnas al n¶mero a um¶ximo de vectores columna linealmente independientes. a3.6.2 TEOREMA DEL RANGOEn cualquier matriz el rango por ¯las es igual al rango por colum-nas.NOTA: El rango de una matriz A , se denota por rg(A).3.6.3 TEOREMA (Caracterizaci¶n del rango mediante determinantes) oEl rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.
  13. 13. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 443.6.4 COROLARIOSean u1 ; : : : ; un 2 IKn. ¹ ¹ 1. u1 ; : : : ; uk , con k · n, son linealmente independientes si ¹ ¹ y s¶lo si rg(A) = k, donde A tiene como vectores ¯la (o o columna) a u1; : : : ; uk . ¹ ¹ 2. u1 ; : : : ; uk , con k · n, son linealmente dependientes si y s¶lo ¹ ¹ o si rg(A) < k, donde A tiene como vectores ¯la (o columna) a u1; : : : ; uk . ¹ ¹ 3. u1 ; : : : ; un son vectores linealmente dependientes si y s¶lo si ¹ ¹ o det A = 0 , donde A tiene como vectores ¯la (o columna) a u1 ; : : : ; un. ¹ ¹3.6.5 PROPIEDADES 1. Cambios en una matriz que no var¶an el rango: ³ (a) Intercambiar ¯las entre s¶ (columnas). ³ (b) Suprimir una ¯la (columna) cuyos elementos sean nulos. (c) Suprimir una ¯la (columna) que sea combinaci¶n lineal de o otras. (d) Multiplicar todos los elementos de una ¯la (columna) por un n¶mero distinto de cero. u (e) Sumar a una ¯la (columna) una combinaci¶n lineal de las o restantes. 2. Si A 2 Mm£n (IK), entonces rg(A) · minfm; ng.
  14. 14. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 45 3. Si A 2 Mn£n(IK) y A es inversible entonces rg(A) = n. 4. rg(In) = n. 5. rg(O) = 0. 6. Si A 2 Mm£n (IK); entonces rg(A) = rg(At). 7. Si A 2 Mm£n (IK) y B 2 Mn£p (IK), entonces rg(AB) · minfrg(A); rg(B)g:3.6.6 ¶ DEFINICIONSea A 2 Mn£n (IK), donde A = (aij ) . Se de¯ne traza de 1·i·n 1·j·nA, y se denota por tr(A), a la suma de los elementos de la diagonalde A, es decir, n X tr(A) = aii : i=13.6.7 PROPIEDADESSean A; B 2 Mn£n(IK) y ¸ 2 IK. 1. tr(At ) = tr(A). 2. Si ¸ 2 IK, entonces tr(¸A) = ¸ tr(A). 3. tr(A + B) = tr(A) + tr(B). 4. tr(AB) = tr(BA).
  15. 15. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 463.7 MATRICES PARTICIONADAS r XSean A 2 Mm£n(IK) , m1; : : : ; mr ; n1; : : : ; ns 2 IN con mi = m i=1 s Xy nj = n. La matriz A puede representarse como: j=1 0 1 B A11 ¢ ¢ ¢ A1s C B C B C A= B B ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ C C @ A Ar1 ¢ ¢ ¢ Arsdonde Aij 2 Mmi£nj (IK).Se dice que A est¶ particionada en rs bloques por a (m1; : : : ; mr ; n1 ; : : : ; ns):3.7.1 OPERACIONES CON MATRICES PARTICIONADAS ² Suma: Sean A; B 2 Mm£n(IK) matrices particionadas por (m1 ; : : : ; mr ; n1; : : : ; ns) , 0 1 0 1 B A11 ¢ ¢ ¢ A1s C B B11 ¢ ¢ ¢ B1s C B C B C B C B C A= B B ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ C C ;B = B B ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ C C @ A @ A Ar1 ¢ ¢ ¢ Ars Br1 ¢ ¢ ¢ Brs 0 1 B A11 + B11 ¢ ¢ ¢ A1s + B1s C B C B C Entonces, A + B = B B ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ C C : @ A Ar1 + Br1 ¢ ¢ ¢ Ars + Brs
  16. 16. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 47 ² Producto por escalares: Sean A 2 Mm£n(IK) matriz particionada por (m1; : : : ; mr ; n1 ; : : : ; ns) y ¸ 2 IK , entonces 0 1 B ¸A11 ¢ ¢ ¢ ¸A1s C B C B C ¸A = B B ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ C C : @ A ¸Ar1 ¢ ¢ ¢ ¸Ars ² Producto de matrices: Sean A 2 Mm£n(IK) y B 2 Mn£p (IK) matrices parti- cionadas por (m1 ; : : : ; mr ; n1; : : : ; ns) y (n1 ; : : : ; ns; p1; : : : ; pk ) , respectivamente, entonces C est¶ particionada por (m1 ; : : : ; mr ; a p1; : : : ; pk ) 0 1 B C11 ¢ ¢ ¢ C1k C B C B C C = AB = B B ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ C C ; @ A Cr1 ¢ ¢ ¢ Crk s X donde Cij = Ail Blj . l=13.7.2 ¶ PROPOSICIONSea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1 ; n2 ; n1 ; n2 ), 0 1 A11 A12 A=B @ C A : A21 A22Si A12 = O 2 Mn1£n2 (IK) o A21 = O 2 Mn2£n1 (IK), entoncesdet A = det A11 det A22.
  17. 17. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 483.7.3 INVERSA PARTICIONADASea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1 ; n2 ; n1 ; n2 ) 0 1 A11 A12 A=B @ C A : A21 A22Si A22 es regular, entonces 0 1 B11 B12 A¡1 = B @ C A ; B21 B22donde: ¡1 B11 = (A11 ¡ A12A¡1 A21) ; 22 ¡1 B21 = ¡A22 A21B11; B12 = ¡B11A12 A¡1; 22 ¡1 ¡1 B22 = A22 ¡ A22 A21 B12:Si A11 es regular, entonces 0 1 C11 C12 A¡1 = B @ C A ; C21 C22donde: C11 = A¡1 + A¡1A12 C22 A21A¡1; 11 11 11 C12 = ¡A¡1 A12C22; 11 C21 = ¡C22 A21A¡1; 11 ¡1 C22 = (A22 ¡ A21 A¡1 A12) : 11
  18. 18. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 493.8 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES3.8.1 ¶ DEFINICIONSe denomina sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶gnitas a oun conjunto de ecuaciones de la forma: a11 x1 + a12 x2 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2 ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ am1x1 + am2x2 + ¢ ¢ ¢ + amnxn = bmdonde 8 i 2 f1; : : : ; mg 8 j 2 f1; : : : ; ng aij ; bi 2 IR . ² aij son los coe¯cientes del sistema. ² bi son los t¶rminos independientes del sistema. e ² xj son las inc¶gnitas del sistema. oSe denomina soluci¶n del sistema a todo vector (s1; s2; : : : ; sn ) que overi¯ca las siguientes igualdades: a11s1 + a12 s2 + ¢ ¢ ¢ + a1n sn = b1 a21s1 + a22 s2 + ¢ ¢ ¢ + a2n sn = b2 ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ am1 s1 + am2 s2 + ¢ ¢ ¢ + amn sn = bmForma matricial del sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶gnitas: o 0 10 1 0 1 B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n C B x1 C B b1 C B CB C B C B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n C B x2 C B CB C B C B b2 C B CB C = B C ; o bien A¹ = ¹ x b; B CB C B C B .................. CB ¢ C B ¢ C B CB C B C @ A@ A @ A am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn xm bm
  19. 19. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 50donde A 2 Mm£n(IK) es la matriz de los coe¯cientes del sis-tema, x 2 Mn£1(IK) el vector de las inc¶gnitas del sistema y ¹ o¹ 2 Mm£1(IK) el vector de t¶rminos independientes del sistema.b eClasi¯caci¶n de los sistemas de ecuaciones en funci¶n del conjunto o ode soluciones: 1. Incompatible: cuando no admite soluci¶n. o 2. Compatible: cuando admite soluci¶n. A su vez puede ser: o (a) Determinado: cuando admite una unica soluci¶n. ¶ o (b) Indeterminado: cuando admite m¶s de una soluci¶n. a oClasi¯caci¶n de los sistemas de ecuaciones atendiendo a sus t¶rminos o eindependientes: 1. Homog¶neo: el vector ¹ es nulo. e b 2. No homog¶neo: al menos alguna de las componentes de ¹ es e b distinta de cero.Se denomina matriz ampliada o completa del sistema, y se repre-senta por (Aj¹ , a la matriz que se obtiene al aadir a la matriz A b)la matriz columna ¹ Por tanto, (Aj¹ 2 Mm£(n+1)(IK) y toma b. b)la forma: 0 1 B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n b1 C B C B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n b2 C B C ¹ =B (Ajb) B C: C B ...................... C B C @ A am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn bm
  20. 20. ¶ Matematicas Matrices y determinantes 513.8.2 ¶ TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUSUn sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶gnitas es: o 1. Compatible si y s¶lo si rg(A) = rg(Aj¹ . Adem¶s, o b) a (a) Si rg(A) = n, entonces el sistema es determinado. (b) Si rg(A) < n, entonces el sistema es indeterminado. 2. Incompatible si y s¶lo si rg(A) < rg(Aj¹ . o b)3.8.3 ¶ OBSERVACIONTodos los sistemas homog¶neos de la forma A¹ = ¹ son compati- e x 0bles, rg(A) = rg(Aj¹ y siempre admiten como soluci¶n: 0), o x1 = 0; x2 = 0; : : : ; xn = 0;denominada soluci¶n trivial. oEl sistema homog¶neo A¹ = ¹ de m ecuaciones lineales con n e x 0inc¶gnitas: o ² S¶lo tiene soluci¶n trivial si rg(A) = n. o o ² Admite in¯nitas soluciones si rg(A) < n.

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