Semana 4

1
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
x
y
P( )x ;y
o o
r
xo
y
o

'
Se define:
o
o
o
o
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen



o
o
o
o
y
r
Csc
x
r
Sec
y
x
Cot



UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-II
TRIGONOMETRÍA
“F.T. de Ángulos Especiales”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para
resolver problemas con funciones trigonométricas de ángulos especiales.
 Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición
Normal, aplicando definiciones, propiedades y criterios vistos en clase.
Definiciones Previas:
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Llamado también en posición canónica o estándar.
Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide
con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial
coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo,
está en posición normal, el lado final puede estar en
uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste
pertenece a tal cuadrante.
Del gráfico:
* : es un ángulo en posición normal
*
* β : Es un ángulo en posición normal
*
Definición de las Razones
Trigonométricas:
Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en
posición normal, tomaremos un punto perteneciente
a su lado final.
*
* α´: se denomina ángulo de referencia
Signos de las R.T. en los cuiadrantes
Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un
ángulo en posicion normal, sus R.T. pueden ser
positivas o negativas. Es asi como se obtiene el cuadro
adjunto
Lado Final
Lado Inicial
Vértice
 (+ )
x
y

0;IIC 
Lado Final
Lado InicialVértice
(-)
x
y

0;IIIC 
x
y
P( )x ;y
o o
r
xo
y
o

'
Se defin
Tan
Cos
Sen



x
y
P( )x ;y
o o
r
xo
y
o

'
Se define:
o
o
o
o
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen



o
o
o
o
y
r
Csc
x
r
Sec
y
x
Cot



2
o
2
o
yxr 
Semana Nº 04

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2


Propiedad:
Si  es un ángulo en posición normal positivo y
menor que una vuelta entonces se cumple:
Si   I  0 <  < 90º
Si   II  90º<  <180º
Si   III  180º <  < 270º
Si   IV  270º <  < 360º
Ángulos Cuadrantales
Son ángulos en posición normal, cuyo lado final
coincide con cualquiera de los semiejes del
sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no
pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son
ángulos frontera.
Forma General
< Cuadrantal = 90º.k ; Zk 
También
<Cuadrantal =
2
k ; Zk 
Observación: para determinar si un ángulo es
cuadrantal, se divide entre 90º ó .
2
rad
 según
corresponda; si el resultado de la división es un
numero entero, significa que dicho < es cuadrantal.
Razones Trigonométricas de Ángulos
Cuadrantales
Nota: N.D. no definido
Ángulos Coterminales:
Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el
mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:
Se tiene que:
* α y  : son coterminales
* Ф y β: son coterminales (están en P. N.)
Propiedades:
Si α y  son coterminales se cumple que:
0º 90º 180º 270º 360º
SEN 0 1 0 -1 0
COS 1 0 -1 0 1
TAN 0 ND 0 ND 0
COT ND 0 ND 0 ND
SEC 1 ND -1 ND 1
CSC ND 1 ND -1 ND

Vértice
Lado
inicial
Lado
final
i) ii)
P( ;x x
o

Vértice
Lado
inicial
Lado
final
i) ii)
P( ; )x x
o o
x
y


3
4

15
1
Observacion: en forma practica para determinar
si dos angulos son coterminales:
Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o
y si el resultado es un numero entero ,
entonces los angulos son coterminales.
R.T. de Ángulos Negativos:
Sen (- ) = - sen  ; Cos (- ) = cos 
Tg (- ) = - tg  ; Ctg (- ) = - Ctg 
Sec (- ) = Sec  ; Csc (-  )= - Csc 
¡Muy importante!
PROBLEMA RESUELTOS
1) Si “b” es un ángulo de 4to cuadrante y
24
cosb
25
 , Halle:
V 5senb 6tgb 12secb  
A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35 D) 9,35 E) 8,35
RESOLUCIÓN
24
cosb ;
25
 b  4to C.
7
senb
25
 
7
tgb
24
 
Se pide:
7 7 25
V 5 6 12
25 24 24
     
         
     
V 9,35 RPTA.: D
2) Si: 2 1
cos , IV C
16
   
Calcule: sec csc
M
1 ctg
  

 
A) 15
4
B) 1
4
C) 15
4
 D)
1
4
 E) 4
RESOLUCIÓN
1
cos
4
  IVC 
sec csc sec csc
M M
1 ctg 1 ctg

     
  
   
4 4
1 15M
1
1
15



1
4 1
5
M
 
 
 

1
1
5
 
 
 
M 4 
RPTA.: E
3) Halle: ctg
A) 5
4
B) 5
4
 C) 3
4
D) 7
4
 E) 1
4
I. II.
 - = 360ºn ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )
II.
R.T. ( ) = R.T.( )
Y
X
Q(–b;a)
P(a;b)
R(–a; b)–
M(b;–a)
+ -
25 7
b
24
37º


4
RESOLUCIÓN
x
Ctg
y
 
   
 
7
Ctg
4
   RPTA.: D
4) Las medidas de dos ángulos coterminales son
proporcionales a los número 5 y 2. Además la
medida del mayor ellos está comprendida entre
1000º y 1700º; halle la suma de medidas de
dichos ángulos.
A) 1880º B) 1860º C) 1680º D) 1660º E) 1200º
RESOLUCIÓN
 Sean “” y “  ” ( >  ) las medidas de los 2
ángulos coterminales, luego:
360º n    ….......(i);
"n"

5
2

 

… (ii)
(ii) en (i):
5k - 2k = 360º x n  k = 120ºx n
”k” en (ii):  ...(iii)
* 1000º <  < 1700º  1000º<600º
x n < 1700º  n= 2
”n” en (iii) :
  +  = 1680º
RPTA.: C
PROBLEMA DE CLASE
1) En la figura mostrada, AN = 3NB y las
coordenadas del punto N son (a,0). Si el valor
del área del triángulo OAB es a2
, halla Tg∝
A) −
3
2
B) −
2
3
C)
1
3
D)
2
3
E)
3
2
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2014 - II
2) Si P (a;-2a) es un punto del lado terminal del
ángulo en posición normal θ; hallar el valor de:
(𝑆𝑒𝑐𝜃 + 𝐶𝑠𝑐𝜃)
|𝑎|
𝑎
, 𝑎 < 0
A) -√5 B) – 0,5 √5 C) √5 D) 0,5 √5 E) 2√5
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - III
3) Si: 𝐶𝑜𝑠𝛼 = −0. 63̂ , 𝛼 𝜖 𝐼𝐼𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒. Calcule
“𝑆𝑒𝑛2
𝛼”
A)
62
121
B)
140
121
C)
60
121
D)
72
121
E)
52
121
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - II
4) Si "𝛼" está en el segundo cuadrante y
√√√𝑆𝑒𝑛2 𝛼
43
= (𝑆𝑒𝑛𝛼)−𝐶𝑜𝑠𝛼
Calcule : 𝑇𝑔𝛼 − 𝑆𝑒𝑛𝛼
A) −
11√143
12
B)
9√143
12
C)
13√143
12
D)
11√143
12
E) −
13√143
12
5) Sabiendo que: 2𝑆𝑒𝑛𝜃 = 1 +
1
2+
1
2+
1
√2+1
Donde 𝜃𝜖 𝐼𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑇𝑔𝜃
A) −√2 B) −
√2
2
C) −
√3
3
D) −√3 E) -1
37º

(-7;4)
x y
4
4
4 3
4
x
y
5k
2k
 
 
600º n
240º n
  
  
1200º
480º
 
 

5
6) Del gráfico , calcular el valor de : 𝐹 = 𝑇𝑔3
𝛼 +
𝑆𝑒𝑐2
𝛼 , si ABCD es un cuadrado
A) -3 B) -2 C) -1 D) 0 E) 2
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III
7) Si se sabe que Cos < 0, Cos < 0 , Tg  = 5
y Sen = 0,6.
Calcular el valor de : “Cos + Csc 2
 "
A) 1/5 B) 2 C) ¼ D) 1 E) 2/5
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - I
8) Del grafico mostrado. Calcular:
 22
CosSen 
A) 1,5 B) 2 C) 1 D) 3 E) 2,5
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I
9) Si  es la medida de un ángulo en posición
normal, además:
0
3
2
cos;0;0   tgtgsensen
Calcular:  SecctgF  .5
A) -1 B) -2 C) -½ D) ½ E) 1
10) El producto de cinco razones trigonométricas
de un ángulo que pertenece al segundo
cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y
coseno.
a)
5
53 b)
5
5
 c)
2
31 d)
2
13  e)
5
53

11) En el grafico mostrado el área del
triángulo AOB es igual al área del
triángulo DCB. Hallar el valor de:
E = Secθ − Tanθ
y
x
θ
A
B
C
D
O
a) ½ b) 1/3 c) √2 − 1
d) 1 − √2 e) −√2 − 1
12) Q es un punto perteneciente a la
circunferencia mostrada, cuya ordenada
es máxima, halle R = √26Senα +
10Tanθ. Siendo αun ángulo en posición
normal, cuyo lado final pasa por el punto
Q. Además AB=3BC.
x
y
θ
A
B
C
(x+5)2+(y+2)2=169
a)16 b) 19 c) 14 d) √3 e) -15
13) Del gráfico adjunto calcular:

6
, si las abscisas de A y B son
y respectivamente.
A) -1 B) -2 C) 2 D) 4 E)
14) Si: 30° < 𝜃 < 53°. ¿A que es igual?
E = √Sen2θ − 4Senθ + 4
+ √Sen2θ − Senθ +
1
4
a) 2Senθ + 5/2 b) 2Senθ − 5/2
c) 3/2 d) 5/2 e) 1/2
15) Si: , donde: a < b < 0
Calcular: tan
A) B)
C) D) E) -b/a
16) Si: Senθ = −
1
3
−
1
15
−
1
35
− ⋯⏟
´´n´´términos
y Cosθ < 0. Hallar el valor de:
E =
√n + 1
√3n + 1
(Tanθ − Secθ)
a) 0 b) 1 c) -1 d) -1 e) -2
17) Si α ∈ 〈0; π〉 y β ∈ 〈π; 2π〉,
Determine el signo de P, Q y R
P = Csc(β/2) − Cot(1,57 + α/2)
Q = Cos (
β+α
2
) + PCscβ
R = Pcscβ + QCscα
a)(-),(-),(-) b)(-),(+),(+)
c) (+),(+),(+) d)(-),(-),(+)
e)(+),(-),(-)
18) Indicar el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. −
π
2
< 𝜃 < 0 → |Sen|θ|| = −Senθ
II. −π < 𝜃 < −
π
2
→ |Cos|θ|| = Cosθ
III. −
3π
2
< 𝜃 < −𝜋 → |Tan|θ|| = −Tanθ
a) VVV b) VFF c) FVV
d) FFF e) N.A
19) Si θ es un ángulo agudo , hallar todos lo
valores de ‘‘θ’’ para que la expresión:
√2Senθ − 1 + √3 − 5Senθ
Resulte un número real
a) [30°; 53°] b)[30°; 90°〉 c) [53°; 60°]
d) [37°; 90°] e)[30°; 37°〉
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Determine E = sen + cos PM = MN
A) B) C) D) E)
2. Sean A(-2; -1) , B(4;7) y C(6;-3) los
vértices de un triángulo ABC y K un punto
perteneciente al lado final de una ángulo en
posición normal  Si K Es circuncentro del
triángulo ABC .calcula 11Tg 
A) 4/7 B) 3/4 C) 4/3 D) 2 E) 6
W=Tanθ 10Cosθ
π
Cot
8
 
 
 
π
Tan
8
 
 
 
(0;4)
(-2;0)
A
B
y
X
2 2
b
Sen
a

IIC
a
a b2 2
b
a b2 2
a
a b2 2


b
a b2 2


1
41
 11
41
6
41
 6
41
5
41


7
3. De la figura mostrada calcular:


tg
tg
E
9

A) – 49 B) -9 C) 1 D) 9 E) 49
4. De la figura mostrada, calcular: F= Ctg.ctg
A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -6
20) Calcular dos ángulos coterminales en donde el
mayor es el séxtuplo del menor y su suma está
comprendido entre 1000º y 1050º. Indique el
ángulo mayor.
A) 630º B) 680º C) 700º D) 800º E) 864º
21) De la figura mostrada, simplifique:
)().cos(.
2







 
 CtgsenM
A) sen.2 B) Cos.2 C) sen.
2
2
D) Cos.
2
2 E) Tg.2
5. La expresión :
E = √θ − 2 + √4 − θ
Es real, hallar el valor de:
M = Senθ + Tanθ + Cosθ
Cuando ‘‘θ’’ es ángulo cuadrantal
a) 1 b) -1 c) -2 d) 2 e) 3
6. Del grafico siguiente; hallar tg  + tg
a) 1 b)2 c) 3 d) 2/3 e) 4
EXAMEN PREFERENTE 2012 - I
7. Si ‘‘n’’ es un numero entero positivo, calcule el
valor de:
E =
Tan [(24n + 1)
π
6
]
Sec [(16n + 1)
π
4
]
a) √3/6 b) √6/3 c) √6/6
d) √6/2 e) √3/4
8. Del grafico mostrado, calcular el valor de:
E = |Cscθ| + Cot|β|
x
y
(2Tanβ; -Secβ)
θ
β

8
a) √3 b)−√3 c)√3/3 d)−√3/3e) 1
9. Del gráfico mostrado, calcular:
“tan ”, sí; OP = 2PQ.
A) B)
C) D) E)
10. La figura adjunta, calcule el valor de:
Si: a > 0, b > 0
A) ½ B) -1 C) 2 D) 1 E) -2
11. Dos ángulos coterminales están en la relación
de 2 a 5, si la suma de dichos ángulos están
comprendidos entre 1400° y 1700°. Calcular la
medida del menor ángulo.
A) 340° B) 380° C) 420°
D) 460° E) 480°
12. Si el triángulo ABC es equilátero calcule
A) B) C)
D) E)
13. Si ABCD es un cuadrado, calcular las
coordenadas del vértice "C".
A) (-12 ; 13) B) (-17 ; 15)
C) (-15 ; 5) D) (-13 ; 12) E) (-17 ; 12)
14. Del gráfico, ABCD es un rombo. Calcular:
.
A) B) C)
D) E)
3/5 3/7
3/9 3/6 3/4
a cos b sen
M
a b
  


y
x
P(- a ; - b)
cot .
y
x

A B
C
3 2
2 3
3
3
2
2
2
tan cot  
x
y
DA
B
30º

M
12
5
3

3
5
 28 3
15

25 3
3
 18 3
15


Semana 4

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