1. Trigonometría
SEMANA 7 2. De la figura mostrada, determine:
RELACIONES M  tan   tan 
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS EN POSICIÓN 1
A)
NORMAL 3
(-3;2) y
2
1 B)
1. Si: cos2   ,   IV C 3 
16
C) 1

sec   csc  D) 2 x
Calcule: M 
1  ctg  E) 3
15 1  15
A) B) C) RESOLUCIÓN
4 4 4
1 (-3;2)
D)  E) 4
4 3
2

RESOLUCIÓN 
1
cos     IV C
4 4 15 

1
+ - (-2;-3)
3
sec   csc  sec   csc  tan  
M M 2
1  ctg 1  ctg  3 3
 tan   
2 2
 tan   tan   3
4 4
 RPTA.: E
1 15
M
1
1 3. Se tiene un ángulo“  ” en posición
15 normal que verifica las siguientes
condiciones:
 1  i) cos    cos 
4 1  
 5 ii) tg   tg 
M M4
 1  5
1   iii) sen  
 5 3
RPTA.: E determine el valor de:
M  5.csc   9 cos 
A) -11 B) -10 C) -9
D) -8 E) -6
Página 129

2. Trigonometría
RESOLUCIÓN 1
* P  2 sen   cos   ?
i) cos   0 4
  IIIC
ii) tan   0 y 1x
P  2    
5 5 r  4r 
iii) sen    sen    ;  III
3 3  5  1  12 
P   
 13  4  13 
Luego: y   5 , r =3  x= -2
 P  1
 3   2 RPTA.: A
 M  5   9     3  6  9
 5  3
RPTA.: C
5. Halle “n” del gráfico, si
4. Si: ctg   2, 4  csc   0; sabiendo ctg   0,333...
además que "  " es un ángulo en y
posición normal halle: A) 1 
1 B) 2
P  2 sen   cos  O
x
4 C) -2
A) -1 B) 1 C) 0 1
D)
D) -2 E) 2 2
RESOLUCIÓN 1
E)  P(n-1;4n-1)
* csc   0 2
(-) "  "  IIIC RESOLUCIÓN
24 Piden; n = ?
* ctg   2, 4  Dato:
10 ctg   0,333...
(+)
x
 0,3
x 12 12 y
   x2  y2  13
y 5 5 n 1 3

4n  1 9
3(n  1)  4n  1
3n  3  4n  1

x= -12  n  2
o RPTA.: C
13
r= 6. Si el punto (2m;-3m) pertenece al
y=-5 lado final de un ángulo “” en
(x,y)
posición normal. Calcule :

  13 sen2  cos2 ;m  0 
Página 130

3. Trigonometría
1 RESOLUCIÓN
A) -5 B) 5 C) 
5 5
tg     3er. C.
1 2
D) E) 0
5 5
sen   
29 29 5
RESOLUCIÓN 2
cos    
29
x = 2m 2
o L.I.
Se pide:

 29  29  2  2
E      29  
 5  4  29 
r
 5

   
m
13
x y 11 29
(2m; -3m) E
y = -3m 10
L.F. RPTA.: D
Sabemos: 8. Si “b” es un ángulo de 4to
2 2
r  x  y  r  m 13
24
cuadrante y cosb  , halle:
25
Piden:
  13 Sen2  Cos2  ? V  5senb  6 tgb  12 secb
 
 y 2  x 2 
  13       A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35
 r 
 r    D) 9,35 E) 8,35
 3m  2
 2m  
2
  13      RESOLUCIÓN
 m 13   m 13  
  24
cosb  ; b  4to C.
  5 25
RPTA.: B 7
senb  
25 25 7
5 7
7. Si: tg    sen   0 tgb  
2 24 b
Halle: Se pide: 24
29  7   7   25 
E  csc   cos   29 ctg  V  5   6   24   12  24 
4  25     
V  9,35
3 29 7 29 RPTA.: D
A)  B) 
10 10
29 11 29 Ctg 
C) 
10
D) 
10
9. Si 2Ctg 2  2
3 29 y   III C
E) 
10
Halle: G  17 sen   cos 
 
Página 131

4. Trigonometría
1
 cos   IV C
A) 2 B) 3 C) 4 3
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN 3 2 2
1
Ctg  
Ctg  2
2 2 2
1
1 1
 ctg   2  ctg  A  sec   tg 
2
2 2
ctg   4   III C
 3 1  2 2
A      
 1 2 2 
 1 

-4  A=3-1
A=2
RPTA.: B
17
1
11. Si: sen   ; tg   0
2
-1
(-4;-1) Halle:
H  csc   3 ctg 
E  17 sen   cos 
  A) 1 B) 5 C) 4
 1 4  D) -1 E) 3
E  17    E3
 17 17 
RESOLUCIÓN
RPTA.: B 1
sen   ;
2
sen   0    II, I C
cos 
10. Si: 6 4
sen2   4 sen  1
sen   ; tg  0
2
Además   IV cuadrante.    II C
1
Halle: A  sec   tg  2 1
8

A) 1 B) 2 C) 3
3
D) 4 E) 5 E  csc   13 ctg 
2  3
RESOLUCIÓN E     3 
 1 

2 1
cos 
1  
 sen 24  sen  4 E  23
E= -1
RPTA.: D
Página 132

5. Trigonometría
13. Del gráfico calcule:
12. Del gráfico calcule “ cot  ”
y E  25sen   tg 
y
53º
(24; 7)

x
 
x (-4; -8)
3 4 5 A) 1 B) 3 C) 5
A) B) C) D) 7 E) 9
7 7 7
3 4
D)  E)  RESOLUCIÓN
7 7
RESOLUCIÓN
25
 4 7  4k 7
 ; 
 x y 3k -4 
x
5k 53º
24

-8
37º
5k 4k
   7  8
E  25  
53º
3k  25  4
E 72 9
RPTA.: E

14. Siendo “  y  ” son las medidas
ctg 90º     ctg 
de dos ángulos en posición
tg    ctg normal, tal que:     360º ,
4 90º    180º
ctg   
7 cos   cos 
Calcule: E 
RPTA.: E sen   sen 
1
Dado que: tg   
2
1 1
A) B)  C) 2
2 2
D)  2 E) -1
Página 133

6. Trigonometría
RESOLUCIÓN 2
n
y 3
1 1
 P(  )   II C

3 3

2 1
x

1
V  ctg   csc2   sen  cos 
f    f  V  ctg  csc2   sen  cos 
1 1 1
Si: tg = V  1  2  
2 2 2
 ctg =  2 1
V 1
cos   cos  2 cos  2
E E
sen   sen 2 sen 1
V
2
E  ctg   E   2
RPTA.: A
RPTA.: D
16. Siendo “  ” y "  " dos ángulos
15. Si los puntos P (m, n + 1) y
Q (n, m + 1) pertenecen al lado positivos del IC y menores de una
final de un ángulo “  ” en posición vuelta para los cuales se cumple
normal: que:
Además: n = 2m Cos 2    0
Calcular: Halle el valor de:
5 sen       3 cos 
2
V  ctg   csc   sen  cos 
k
5 cos   3 sen     
1 2
A) B) -1 C)
2 2 A) sen B) 2 C) cos 
2 D) 4 E) 1
D)  E) -2
2
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN cos 2    0  2    90º
P(m,n  1),Q n,m  1  Lf   y   IC
n1 m1
   n(n  1)  (m  1)m 5 sen 90º    3 cos 
m n  k
Como: 5 cos   3 sen 90º  
n  2m  2m 2m  1  m  1 m 5 cos   3 cos 
k
5 cos   3 cos 
1 8 cos 
4m  2  m  1  m   k k 4
3 2 cos 
RPTA.: D
Página 134

7. Trigonometría
0
 45 
17. Si: ABCD es un cuadrado, del Si: tg    2 1
 2 
gráfico, calcule: ctg  AD  OB   RPTA.: E
y 18. En la figura AOB es un cuarto de
B C circunferencia.
Halle: " tg  " y
A

o x
A D
2 1 53º
x
A) B) 1 C) B o
2 2 
D) 2  1 E) 2 1
7 7
RESOLUCIÓN A) 1 B) C) 
24 24
y 24 24
a D) E) 
7 7

RESOLUCIÓN
 a y
a
  A
x (x;y) y=4k
 45º
 37º
a+
a 4k
5k
3k
4k
ctg   ctg  , 2   45º  180º
135º 53º
 3k o x
2 a 
0 7k
x=-a=-
 135  6
ctg   ctg  
 2  Del gráfico:
0
 45 
ctg   tg   Rayado (T. de Pitágoras):
 2 
a  3k    a   4k 
2 2 2
ctg   2  1
a2  6ak  9k2  a2  16k2
Página 135

8. Trigonometría
6ak  7k 2 20. Halle: ctg 
7k
a
6 37º
y 4k 24
 tg    
x 7k 7

6
RPTA.: E 
19. Halle: Ctg 
Y
5 5 3
 A) B)  C)
4 4 4
X 7 1
o 60º D)  E)
4 4
RESOLUCIÓN y
x y
(-7;4) 4
37º
4
4
A) 1  3 B) 3 1 4 3

x
C) 2 1 D) 1
x
1 Ctg    
E) y
3
7
Ctg   
RESOLUCIÓN 4
RPTA.: D

3 1
21. Si: ABCD es un cuadrado.
30º 60º
Halle: M=4 ctg -tg 
1 2
2 2
(- 3  1; 1) C D
 3 1 37º
Ctg  
1 
Ctg   3  1 x
B
RPTA.: A
Página 136

9. Trigonometría
(1) + (2):
A) 1 B) 2 C) 3 2  1320º 360ºn 
D) 4 E) 5
  660º 180ºn
RESOLUCIÓN
En (3)
900º  660º 180ºn  1200º
P(-1;4) 1, 3 < n <3  n=2 
3 1
Luego:   1020º    300º
RPTA.: D
4 4
23. Dos ángulos coterminales que
37º
 están en relación de 2 a 7 la
diferencia de ellos es mayor que
B 1200º pero menor que 1500º.
 M  4 ctg   tg  Halle los ángulos.
 1   4 
M 4   A) 1400º y 576º
 4   1 
B) 2130º y 576º
M  1  4
C) 2016º y 576º
M3
RPTA.: C D) 1080º y 576º
E) 720º y 216º
22. Determinar el menor de dos
ángulos coterminales, si la suma RESOLUCIÓN
de ellos es 1320º y el mayor está
 2
comprendido entre 900º y 1200º. 
 7
A) 100º B) 140º C) 240º
D) 300º E) 420º   2k
  7k
RESOLUCIÓN
Sean:
   : Coterminales:     5k
1200  5k  1500
    2n,n  …………………..(1) 5k   4 360  1440
 k  288
    360º n
  576
Dato:     1320º ……………… (2)   2016
900º    1200º …………….. (3) RPTA.: C
Página 137

10. Trigonometría
24. Las medidas de dos ángulos RESOLUCIÓN
coterminales son proporcionales a * “  ”y“  ” son ángulos cuadrantales
los número 5 y 2. Además la
medida del mayor ellos está
0º    360º y 0º    360º
comprendida entre 1000º y
1700º; halle la suma de medidas    90º ;180º; 270º
de dichos ángulos.
  90º, 180º ; 270º
A) 1880º B) 1860º C) 1680º
D) 1660º E) 1200º Probando en la condición:
RESOLUCIÓN cos   1  1  cos   1  sen
* Sean “” y “  ” ( >  ) las
medidas de los 2 ángulos  cos   1  0  cos   1    180º
coterminales, luego:  1  sen  0  sen  1    90º
    360º  n ….......(i); "n"      270
 5   5k RPTA.: D
*   … (ii)
 2   2k
1 1 1
26. Si sen       .... y cos   0
(ii) en (i): 3 15 35
5k - 2k = 360º x n  k = 120ºx n
  600º  n “n términos”
”k” en (ii):    240º n ...(iii)
Calcular el valor de:
* 1000º <  < 1700º  1000º<600º
x n < 1700º  n= 2 n1
M  tan   (sec )
  1200º 3n  1
”n” en (iii) :
  480º
1
A) -1 B) C) 1
2
  +  = 1680º
RPTA.: C D) 2 E) 2
25. Dada la ecuación: RESOLUCIÓN
cos   1  1  co s   1  sen  
1 1 1 1 1 1 1 1 
Halle “    ”; si cada uno de ellos sen    1       ...   
2 3 3 5 5 7 2n  1 2n  1 
es un ángulo cuadrantal, positivo
 
y menor a una vuelta. ESTE TÉRMINO
NO SE ANULA
A) 720º B) 90º C) 180º 1 1 
D) 270º E) 360º
 1  2n  1 
2 
1  2n  n x
 sen        2n  1  r  cos   0
2  2n  1 
Página 138

11. Trigonometría
   IIIC
RESOLUCIÓN
x  n
 y   n  1 3n  1
(5; 5r)
r  2n  1
Luego:
5r 3r

n  1  n  1 3n  1  2n  1 r r r
M  
3n  1 
 n 
 n 2 2r 3r 
n  1  2n  1  n
M     n  1
n  n  (4r; 2 2r)
RPTA.: A
5r
cot    5
27. En la figura mostrada “ O” es el 5r
centro de la circunferencia y
2 2r 2
además: OA  AB  BC , determine: tg   
4r 2
M  cot   10tg Luego:
y 2
M   5  10  5 5
2
 M0
RPTA.: B

A x 28. Si la expresión:
C B o
M 2  4 es real,

Calcule: R  sen   tg   cos ;
cuando “ ” es un ángulo
1 cuadrantal.
A) -1 B) 0 C)
2
A) -2 B) -1 C) 0
D) 2 E) 3
D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN
2
4
Página 139

12. Trigonometría
Si “M” es real:
  2  0  4    0   2    4
24
y como  es cuadrantal:   
Luego: R  sen  tan   cos 
 R  1
RPTA.: B
29. Sea  un ángulo positivo menor
que una vuelta cuyo lado final no
cae en el IC, y otro ángulo
 180º,0º con el cual se
verifica:
1   cos2   tan 
Determine el valor de:
tg  sen
M
2 sen 
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
RESOLUCIÓN
Si:
1   cos2   tan   cos   0
   90º  180º;0
 tan   1    225º IC
Luego:
tan 225º sen(90º ) 11
M  0
2 sen225º  2
2 
 2 

 
RPTA.: A
Página 140