Este documento contiene 3 exámenes de trigonometría de la Universidad Nacional de San Agustín (UNS) del año 2009. El primer examen contiene 8 problemas que involucran cálculos trigonométricos, como senos, cosenos, tangentes y cotangentes. El segundo examen también contiene 8 problemas de trigonometría. El tercer examen presenta 9 problemas que evalúan conceptos como funciones trigonométricas, triángulos rectángulos, sistemas de ecuaciones y ángulos.
1. 2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2008 - III Trigonometría
69. En un triángulo ABC, si P es el semiperímetro del triángulo ,calcular:
a c .CosB b a .CosC C b .CosA
M
CosC CosA CosB
a) P/3 b) P c) 2P d) P/2 e) 3P
(ley de proyecciones)
70. De las siguientes identidades :
1. Cos 45º.sen 45º 1 cos 45º
2
tg 45º
tg 30 ºCtg 60 º
2. Csc 60 º.Csc 45º
Cos 45º
3. 2Sec30º = Sec60º
Se verifican, en este orden:
a) VVF b) VFV c) FVV d) FVF e) FFF
71. El arco de 90º se divide dos partes de manera que el seno: de la primera parte
Es igual al triple del seno de la segunda parte. La secante del arco de la primera
parte, es:
a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 e) 11
72. si es un ángulo del tercer cuadrante tal que sec = -2 , entonces los valores de sen2y tg2respectivamente,
son:
2 2 3 2 3 3
a) y 2 3 b) y 3 c) y 3 d) y 2 3 e) y 3
2 3 2 3 2
73. un valor de que satisface a la ecuación:
2 3 4 5
tg tg tg Cos .tg
7 7 7 7
a) 0 b) c)
d)
3 e)
2 2 3
3º EXAMEN FORMATIVO – UNS 2009 - III Trigonometría
1. Calcular “n”. Si: C S C S C S ... C S 3800R
"2n " sumandos
A)1 B) 10 C) 30 D) 40 E) 50
2. Si: m C S y n S C donde S: numero de grados sexagesimales, C: numero de grados centesimales de
9 10
un mismo ángulo. Además se cumple que: mn = nm . calcular: E 9
m 10 n
a) 1,6 b) 1,8 c) 1,4 d) 1,2 e) 1
3. En la siguiente figura, para que las esferas A y B lleguen al mismo nivel, la suma de las medidas de los ángulos
girados por ambas poleas es 4. hallar “r” (los radios de las circunferencias son r y 3r)
a) 3 b) 4 c) 5 d) 5/3 e) 3/5
4. En la figura, la circunferencia tiene radio igual a 3 . si: AB = AB 14 4 10 , BC 22 4 10 y AC = 6
2 2 2
Calcular: Sen A + Sen B + Sen C
2. a) 72 b) 52 c) 36 d) 34 e) 2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2009 - II Trigonometría
Sabiendo que ABCD es un cuadrado, además :
AM = MB y BN = 2.NC. Hallar sen
A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3
2 3 2
Los lados de un triangulo rectángulo están en progresión aritmética. El coseno del mayor ángulo agudo de dicho
triangulo es:
A) 1 B) 3 C) 3 D) 4 E) 3
2 4 5 5 2
Si Tg = sec53º + tg53º y además tg
C S , donde S y C son los números de grados
4 2 2
sexagesimales y centesimales de un ángulo cuyo número de radianes es R. calcular R.
A) B) C) 3 D) 2 E) 4
2
En un triangulo ABC de lados a, b y c , se cumple que: cosA B
1
2
; a
7 1 ;b
7 1 ; el valor de
C
Ctg , es:
2
A) 21 B) 3 C) 1 D) 7 E) 3
3 3 3 3
Si: x = kcos ; y = ksen cos ; Z = ksen sen .cos ; w = ksen sen sen
El valor de M x 2 y 2 z 2 w 2 , es:
A) k B) 2k C) k2 D) 2k2 E) 2
El valor de: sen105º - sen15º , es:
A) 2 B) 3 C) 2 3 D) 2 3 E) NA
2 2 3
2
Al reducir: M tg tg .ctg 2 2 , se obtiene:
4
4
A) 3 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.
2 3
Si ABC es un rombo y BC = CE, entonces, el ángulo “x” mide:
3. A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 30º
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2009 - III Trigonometría
69. Sabiendo que cos = 1 , 270º < < 360º , entonces el valor de la expresión Sec Csc , es:
4 1 Ctg
a) 0,25 b)0,50 c) 2,5 d) 4,00 e) 4,50
70. Sobre el cateto BC de un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se construye un triángulo rectángulo BCD (recto
en D). Si es el ángulo formado por los segmentos BC y AD, y es el ángulo al que se opone el lado AB tal que la
medida de los ángulos <BAC y <BCD igual a 30' y 45º respectivamente, entonces el valor de cot es:
2 3 1 2 3 1 3 1
a) 3 1 b) c) 2 3 1 d) e)
11 11 2
71. En la figura, con la información dada, el valor de x es:
a) 6 3
b) 8 2
c) 10 3
d) 12 2
e) 13 3
72. Al simplificar la expresión: 3
Secx Cosx , se obtiene:
Cscx Senx
a) senx b) cosx c) tgx d) Ctgx e) secx
73. Si tg +Ctg =
40 , entonces el valor de sen2, es;
9
a) 9/10 b) 9/20 c) 19/25 d) 11/13 e) 19/20
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2009 - III Trigonometría
1. En el gráfico mostrado, calcular "tg ".
Si: O y O' son centro y P, Q y T son puntos de tangencia.
2
A) 1/3 B) ½ C) 2 D) 2 E) 2 2
4. 2. De la figura, calcular: tg
a) 2 1 b) 2 1 c) 2 2 1 d) 2 2 1 e) 2 2
2 2
3. Los lados de un triangulo son : 2x + 3 ; x +3x + 3 y x +2x .hallar el mayor ángulo agudo
a) 90º b) 100º c) 110º d) 120º e) 130º
4. El producto de Sen2B.Sen2C del triangulo ABC de la figura, es igual a:
A) 105 B) 15 C) 86 D) 105 E) 86
256 18 125 256 125
5. Al reducir: senx .sen2x sen2x .sen5x sen3x .sen10x , se obtiene
K ;n N
cos x .sen2x sen2x . cos 5x cos 3x .sen10x
A) ctg7x B) tg7x C) – tg7x D) –ctg7x E) cos 7x
6. Al eliminar x en el sistema de ecuaciones:
sec x csc x m
2 , se obtiene
tg x 1 n .tgx
A) n 2 m 2 2n B) n 2 m 2 3n C) n 2 m 2 2n D) n 3 m 3 2n E) n 2 m 2 2n
7. La región sombreada del grafico: -1 < x < 1 , puede representarse por la desigualdad:
A) y senx B) y arcsenx C) y arccos x D) seny x E) cos y x
8. Al simplificar p q q r , se obtiene:
E arctg
arctg
1 q .r
1 p .q
A) arctg p q r B) p q r C) arctg 2p q r D) p r E) p 2q r
arctg
arctg
arctg
2qr 1 pr 2pr
9. Dos edificios de altura H y h (H > h ) están separados por una distancia “d” . desde el punto más alto del edificio de altura H se observa
la parte más alta y más baja del otro edificio con ángulos de depresión de 30º y 60º , respectivamente . la razón H/h , es::
A) 4 B) 3 C) 2 D) 5 E) 8
3 2 2 3
EXAMEN PREFERENTE – UNS 2009 Trigonometría
En un triangulo ABC se tiene que AB = 6,5u y AC = 12u. si tgA = 5/12, entonces el área de dicho triangulo es:
A) 30 u2 B) 25 u2 C) 20 u2 D) 15 u2 E) 10 u2
5. y que a Csc .Csc y b Sec .Sec
Se sabe que: Sen a . .Sec b . 3.tg
3 2
3 6
entonces el valor de H 2 .Sec , es:
2
A) 4 B) 2 C) 6 D) 8 E) 10
Con los datos de la figura si tg 76º =4 , entonces el valor de “x” es:
A) 6 B) 8 C) 12 D) 18 E) 24
En la figura AOB es un cuadrante, tal que OD = 4 DE, entonces el valor de tg es:
A) 41 1 B) 41 3 C) 41 5 D) 1 E) 1
4 4 4 4 2
Los lados de un triangulo ABC están en progresión aritmética donde “a” es el lado menor. Si b y c con c > b
Son los otros lados del triángulo. entonces el valor de CosA, en términos de dichos lados es:
A) 4c 3b B) 3b 4c C) 4c 3b D) 2c 3b E) c b
2c 2c c 2c c
En un triangulo ABC, la expresión Cos 2A Cos 2B es equivalente a:
a2 b2
A) 1 1 B) 1 1 C) 1 1 D) 1 1 E) N.A.
a b a b a 2
b 2
a2 b2
EXAMEN PREFERENTE – UNS 2010 Trigonometría
El área de la región limitada por el polígono regular de “n” lados, inscrito en una circunferencia de radio “R”
cm. es:
A) n .R 2 sen 2
B) n . .R C) n . .R 2 D) n 2 .R 2 E) R 2sen . cos
2 n n n
En un triángulo BAC, recto en A, la mediana BM y el cateto AC forman un ángulo x; luego tgx es igual a:
A) 2tgC B) TgB + TgC C) 2tgB D) tgC + ctgC E) 2(tgC + tgB)
Si cos 0, 63 , III C . Calcular Sen2
A) 0,5850 B) 0,5950 C) 0,6061 D) 0,6062 E) 0,6350
En un sector circular cuyo ángulo central es “” esta inscrito un cuadrado de lado “L” , el radio de la
circunferencia correspondiente es:
6. x
A) L ctg 2 ctg 5 L
rrt
B) 2 C) L ctg 2 4ctg 5
2
2
2 ctg 2ctg 5
2 2 2
2 2 2
dd
D) L Csc 2 E) L
ctg 2
2 2 2 2
En la figura adjunta, si N es punto medio de la arista y el sólido es un cubo, entonces el valor de sen , es:
A) 2 B) 5 C) 5 D) 2 6 E) 3
5 3 6 5 5
2º EXAMEN FORMATIVO – UNS 2010 - III Trigonometría
75. La circunferencia mostrada es trigonométrica, calcular el área (S) del triangulo sombreado
a) Sen b) -Cos c) -Sen d) 1 e) 1/2
76. Si: 2.senx = 3cosx ; (x IIIC)
Calcular: R Sen x
605
.Cos x 903
2
a 5/7 b) 1/13 c)7/13 d) 4/13 e) N.A.
77. Hallar el valor numérico de la siguiente expresión : tg 3 x Ctg 3 x ; Sabiendo que: 4tgx=3
Sec 2 x Ctg 2 x 2
a 1/12 b) 5/12 c)25/12 d) 7/12 e) 3/4
2 cos 2 x cos x .sen x
78. Simplifique la siguiente expresión: E 2 2
sen3x
1 1 3x 1 1 3x e) sec 3x . sec
3x
a) .Csc 3x b) .Csc c) .Sec3x d) .Sec
2 2 2 2 2 2 2
79. Si sen (+ x) = a; Calcular : M 1 1 .Ctg 2 x
1 a
2
2 2
a) -1 b) 1 c) a d) a + 1 e) a - 1
80. Si la igualdad se verifica para un valor de 'x' en 0;
2
x .Senx x .Cosx . x .Cosx . x .Cosx . ...
7. Indicar el valor de: E 6tg 6 x 8tg 81x
16.Ctg 61x 18.Ctg 18x
a 9/19 b) 7/17 c)1 d) 1/2 e) -1
81. Determina el valor mínimo de F, si
F = a(senx - cosx) +b(Senx + cosx)
d) 2a b
2 2
a) 2 a b b) a 2 b 2 c) 2 ab e) 2 a 2 b 2
82. Del gráfico mostrado, R= 9 y r = 4.Calcular tg
a 11/3 b) -11/3 c)13/7 d) -13/7 e) -5/12
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2010 - III Trigonometría
Si ctg = -4 , IV C. calcular : R cos 13sen 2
17
a 0 b)1 c) -1 d) 2 e) -2
En la siguiente figura, la medida del ángulo AOB, en radianes, es:
a)
b)
c)
d)
e)
6 36 18 12 22
Al reducir E
tg 4 x sen 4 x tg 4 x .sen 4 x se obtiene:
tgx senx tgx senx
.
a 1 b)2 c) 3 d) 4 e) 5
Al simplificar la expresión: E
tg 2 Ctg 2 2 tg 2 Ctg 2 1 ; se obtiene
tg Ctg 2 tg Ctg 1
a 1 b)2 c) 3 d) 2tg e) 3ctg
Si: 2 y 2 son ángulos agudos, de tal manera que: Sec2. Ctg = 2. Sec 2; entonces
el valor de R= sen2( ).sec( ).Cos
, es:
2
2 3 3 1 3 2 3 3 2 3 1
a) b) c) d) e)
2 4 3 4 4
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2010 - III Trigonometría
Si A, B y C son los ángulos de un triangulo rectángulo ABC recto en B. Calcular el valor de:
E cos 2 A Cos 2C Csc 2C Tg 2 A
a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 3
Si Sen 40 y 0 , hallar
Ctg
41 2 4
a) 41 5 b) 41 5 c) 41 3 d) 41 3 e) 3
4 4 4 4 4
8. Un árbol se ha roto formando con el piso un triangulo rectángulo, la copa del árbol hace con el piso un ángulo de 35º y la distancia de la
punta hasta la raíz del tronco es de 50 pies. Calcular la longitud del árbol. (Ctg22º30` = 2,414)
a) 55,5 b) 100 c) 120,70 d) 140,5 e) 150,71
Una paloma que se encuentra a cierta distancia de un niño empieza a volar siguiendo la trayectoria de una circunferencia en sentido anti
horario y es observado en un punto P con un ángulo de elevación igual . luego es observado por segunda vez en un punto Q con un ángulo de
elevación igual a 53º/2 (la visual pasa por el centro de la circunferencia). Calcular Ctg si además PQ es una vertical.
a) 2 5 b) 3 5 c) 4 5 d) 6 5 e) 8 5
En un triángulo ABC: A = 45º Y B = 60º. el valor de c/a , es:
a) 3 1 b) 6 2 c) 3 1
d) 3 1 e) 3 1
2 2
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2010 III )
Transformando las sumas y diferencias del seno, en productos; entonces sen sen ; es igual a:
sen sen
1
a) sen . cos b) 2 sen .cos c) Ctg .Ctg
2
d) tg .Ctg e) Ctg .tg
Resolver la ecuación: Tg 2a + Ctg a = 8.Cos2a
a) 5 b) c)
y y y
24 24 24 2 12
d) e) 5
y y
12 2 12 12
El rango de la siguiente función: g(x) = senx + cos2x , es:
a) 9 b) 3 c) 7
2; 8
4; 8
1; 8
d) 7 e) 5
2; 8
0; 8
Sea “f” la función definida por: x
f (x ) arccos
1
2
El dominio de “f” es:
a) 3;2 b) 2;0 c) 3;1
d) 4;0 e) 1;1
En un triangulo ABC, de circunradio R , se cumple: a.cosB + b.cosA = 4R.senC.cosC
La medida del ángulo C, en radianes, es:
a) b) c) d) e) 2
6 4 3 2 3
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2010 III )
EXAMEN PREFERENTE – UNS 2011 - I Trigonometría
1) Un triángulo ABC, recto en A y de área “S”. La siguiente expresión: P
c 2
b 2 .tgB .sen 2C , expresada en función del área S, es:
cos 2 B Sen 2 B
A) 2S B) 4S C) 6S D) 7S E) 8S
2) Si “” es la medida de un ángulo agudo que satisface la igualdad: Sec Tg Csc Tg , entonces el valor de la
3 4
expresión E 2Sen Cos , es:
Cos Sen
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
3) En un triángulo, donde a, b y c son los lados opuestos a los ángulos A, B y C, respectivamente, se cumple que: y b c a 2
B C
2
entonces, B A es:
2
a)
b)
c)
d) 0 e)
8 4 2 3
9. 2º EXAMEN FORMATIVO – UNS 2011 - II Trigonometría
1) Se tienen los números reales x 1 y x 2 en el intervalo:
2
indicar el valor de verdad, de las siguientes proposiciones:
I) sen sen
II) sen sen
III) cos cos
a) VFF b) VVV c) VFF d) FVF e) FFF
2) Si: 60º 200º . Calcular la suma del máximo y mínimo valor de: R = 3cos – 1
a) 1,5 b) -3,5 c) -1,5 d) -2,5 e) 0
3) Si: 60º 200º a ;b ;k Z
Sen a 4k 1 cos b 4k 1
Simplificar: E 2 2
senk cos 2k
a) (-1)a b) (-1)b c) (-1)a + b d) -1 e) 0
4) Al simplificar: Sen 2 x Sec 3 x
Cos 3 x Csc 2 x
Hay diferentes formas de expresar las respuestas, marque la que no corresponda:
a) Sen2 x.Sec3x b) Tg x.Cscx c) Tg2x. Sec2x d) Sec x - Secx e) Ctg3 x.Secx
3 3
5) Si: 1 Cosx
2 Tgx ; decir a que es igual: E
Cos x 1 Cosx
a) 2/9 b) 4/9 c) 4/15 d) 2/15 e) 5/9
6) Del grafico mostrado, Calcular “tgx”, si AB = BC = 2AM
a) 2/9 b) 4/9 c) 4/15 d) 2/15 e) 5/9
7) Reducir: Ctg 1º - Tg 1º - 2Tg2º + 4Tg 4º
a) 20 2 b) 15 2 c) 80 2 d) 24 2 e) 40 2
8) Reducir: E = Cos3 . Sen – Sen3 .Cos
a) Sen4 b) 2Sen c) 4Sen d) Cos4 e) 0
3
4
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 - II Trigonometría
1) Si cos 10º = a, ¿a que es igual E = Sen100º.cos190º?
a) a b) 2a c)
a d) a
2
e) -a
2
2
2) “c” es la medida del radio vector de un punto P(a,b), tal que a.sen + b.cos = c. si es la medida de un ángulo
en posición normal, hallar W = tg + Ctg , en función de a, b y c.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3) Hallar “A” para que la siguiente igualdad sea identidad: sec 2
x tgx tgx 1 tgx A
sec
2
x tgx tgx 1 tgx A
a) ctgx b) Sec x c)Ctg x d) Tg x e) tgx
2 2 2
10. 4) Si x + y = 90º , calcular ECtg(x – y ), donde E = tgx – tgy + tgx.tgy.tg(x – y)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5) Al reducir sen 2 cos 2 , se obtiene:
N 1
1 ctg 1 tg
a) 2 cos b) 1 sen 1 c) 1 sen2
2 2
d) 1 e) 2sen2
1 cos
2
6) Si: tg 5 , determinar el valor de 3
Cos
2 2
a) 1 5 b) 1 2 c) 1 5
. . .
2 6 2 3 3 6
d) 5 e) 6
5 5
(Segundo examen sumativo 2011 – II)
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 - II Trigonometría
Los valores de x, comprendidos entre 0 y 3 , que resuelve la ecuación trigonométrica: 2Sen2x – sen x – 1 = 0 , son:
2
a) y 2 b) y 7 c) 2 y 5 d) y 3 e) y 3
2 3 2 6 3 6 3 4 2
Si: 4
senx 1 cos x 0 , entonces la suma de las soluciones, x , tal que x 0;2 , es:
a) b) 3 c) 2 d) e) 0
2 2
Si k R ; de las siguientes proposiciones:
Función Dominio Rango
1. Y = senx R 1;1
2. Y = tgx R x R / x 2k 1
R
2
3. Y = Ctgx R x R / x k R
4. Y = cosx R 1;1
5. Y = Secx R R
Es falsa :
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Calcular el valor de x, si:
2 1 1
x arctg arctg
2 1 2
a) 22º30` b)45º c) 67º30` d)30º e) 60º
Des de los puntos A y B situados a ambos lados de un edificio y en un mismo plano vertical, se observa desde A la parte más alta y más
baja de un pararrayos que se encuentra sobre el edificio con un ángulo de elevación de 60º y 53º respectivamente y desde B se
observa la parte alta del para rayos con elevación de 30º. Si AB = 60m, Calcule la altura del pararrayos.
a) 10 3 20 m
b) 15 3 18 m c) 40m d) 30 m
e) 15 3 20 m
Una torre esta al pie de una colina cuya inclinación con respecto al plano horizontal es de 15º. Una persona se encuentra en la colina a
12m de la base de la torre y observa la parte más alta de esta con un ángulo de elevación de 45º. la altura de la torre, es:
a) 4 6m b) 6 6m c) 15m d) 14 m e) 5 6m
Examen Ordinario uns 2011 II – Trigonometría
En un triangulo ABC el perímetro es 18cm, si sus lados son tres números enteros consecutivos, el valor del
coseno del mayor ángulo agudo, es:
a) ¼ b) 1/3 c) 1/5 d) 1/6 e) 1/7
Si: f(x) = a.sen bx es una función cuya grafica se muestra en la figura, entonces el valor de a + b, es:
a) 2,0 b) 6,0 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,5
11. Si 0 x , entonces la suma de las soluciones de la ecuación : Ctgx 2 2x Tgx 4
Tg
Calcular el máximo valor que puede tomar la siguiente expresión:
Una expresión equivalente a: Entonces el valor de a + b + c, es:
1º EXAMEN FORMATIVO – UNS 2011 III Trigonometría
El número de minutos sexagesimales de un ángulo más el número de minutos centesimales del mismo ángulo es
igual a 308. Calcular el número de radianes de dicho ángulo.
a) b) c) d) e) 3
20 50 100 25 10
Calcular el valor de x en el grafico mostrado
a) 0,5 b) 1 c) 2 d) 1,5 e) 2
Si: Csc Csc
Tg
Tg
Simplificar: E 4Cos Cos Sen
Ctg 2Ctg
a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1
Del grafico mostrado, obtener el valor de: Cos.Sen
a) - 5/2 b) 2/5 c) - 1/5 d) -2/5 e) 5/2
De acuerdo al grafico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados
a) = 1 vuelta
b) = 1 vuelta
c) = 1 vuelta
d) = 1 vuelta
e) = ½ vuelta
La longitud de una circunferencia es (7x + 3) metros, un ángulo central de x rad, subtiende un arco de ( 4x + 1)
metros, calcular el valor de x.
a) 1 b) 2 c) 2/7 d) 7/2 e) 1/5
Si ABCD es un cuadrado, calcular el perímetro del trapecio AECD en función de “L” y ”“
a) L(1+ 2sen – cos) b) L(1+ 3sen – cos)
c) L(1+ sen – cos) d) L(1+ sen – 2cos)
e) L(1+ sen – 3cos)
2º EXAMEN FORMATIVO – UNS 2011 III Trigonometría
Si el punto P 3 ; y se encuentra en el tercer cuadrante y pertenece a la C.T. el valor de y0 es:
2 0
12. a -1/2 b)1/2 c) 3 d) 3 e) 2
2 2 2
¿Cuál es el máximo valor entero que puede tomar tg (x – 45º) en el intervalo para x en 135º ;180º ?
a -2 b)1 c) -1 d) 0 e) 3
Si: sen25º = 0,3 . calcular el valor de K = Sen205º.cos 115º
a 0,3 b) 0,9 c) - 0,3 d) 0,09 e) - 0,09
Si la siguiente igualdad Cosx Cosx 2 , es una identidad ; calcular K
1 Senx 1 Senx K
a Senx b) Cosx c) 1 d) Tgx e) Secx
Si Sen (x + y) = 3.sen ( x – y )
Calcular el valor de E = tgx.Ctg
a 1/3 b) 1/2 c) 3 d) 2 e) 1
Calcular el valor de E = (Ctg5º + tg5º).sen10º
a 1/2 b)2 c) 1 d) 2 e) 1/4
Reducir: E = Cos3 . Sen – Sen3 .Cos
a) Sen4 b) 2Sen c) 4Sen d) Cos4 e) 0
3
4
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III Trigonometría
69. Los ángulos y son coterminales y se encuentran en relación de 5 es a 4 respectivamente.
Hallar el menor de ellos sabiendo que el mayor es menos que 3700º pero mayor que 2360º.
a) 1800º b) 2560º c) 2880º d) 3300º e) 3600º
70. Sabiendo que: Csc 2a 1 2(ctg 2b Csc 2b ) , calcular Y tgb
tga
a) 2 b) 1 c) 3 d) -2 e) -1
71. Si: tg( - ) = 2 y tg() = 3, calcular: K 7sen2 cos 2
a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2
72. Si: sec2 x ntgx , n 2 , entonces sen x cos x es igual a:
3 3
senx cos x 3
n 3 n 1 n 1 n 3 n 2
a) b) c) d) e)
n 2 n 2 n 2 n 2 n 2
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
73. Si: 0 , entonces el máximo valor de: E ctg ctg ; es
2
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
+cos x = a ; entonces P = cos 3x – sen 3x , es iguial a:
74. si: senx
a) 2a 3a b) a 3a c) 3a 2a d) 3a 2a a 2 2a
2 2 5 3
e)
EXAMEN PREFERENTE – UNS 2011 II Trigonometría
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I Trigonometría
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I Trigonometría
13. Calcular: E = tg100º.tg120º.tg160º.tg250º.tg350º
a)
3 b) 3 c)-1 d) 1 e) 3
3
Sec Cos x.Cscx
Al eliminar , de : , se obtiene:
Csc Sen y.Sec
a) 4
xy 2 4 x 2 y 1 b) 4
x 3 y 4 xy 3 1 c) 4
xy 2 4 x 2 y xy d) 4
xy 2 4 x 2 y xy e) 4
xy 3 4 x 3 y 1
Si y son ángulos suplementarios , entonces al simplificar la expresión:
Sen Sen Cos Cos
E Cos , Se obtiene:
Tg Tg Ctg Ctg
1
a) 1 b) c)-1 d) 1 e) 0
2 2
Si: Tg Tg 3 , entonces el valor de R = Tg . Ctg , es:
2 2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Si x 0, , al reducir:
8
2
, se obtiene:
2 2 2Cos4 x
a) Senx b) Cosx c) Secx d) Cscx e) Tgx
Sen3 Cos3
Al reducir: 2 Sen2 , se obtiene:
Sen Cos
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) 4
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I Trigonometría
Si: K Sen4 .Ctg 2 .Sec2 donde: 3 ; se afirma que:
Csc 2 8 2
a) K > 0 b) K = Sen2 c) K = Sen4 d) K = 0 e) K = Cos2
Si Tg 78 º a hallar W = tg18º + Tg60º + Tg102º
Tg 72 º Tg 300 º
a) 1 b) 2 c) 2a d) a e) 3a
Del grafico mostrado, Hallar “x”
a) X = 6 b) X = 8 c) x = 10 d) x = 12 e) x = 14
Sabiendo que: a b 2 ; calcular : F Sen2 a Sen2b Sena.Senb
3
a) 1 b) 0 c) ¾ d) 4/3 e) ½
Resolver para x: 3 2senx 1 2(4 Senx)
14. a)
b)
c)
d)
k (1) k ,k Z k (1) k ,k Z k (1) k ,k Z 2k (1) k ,k Z
4 3 6 4
e) No tiene solucion en R
Señale el dominio de la función: y hx 3 cos x 1
Cos 2 x 1
a) R (n ), n Z b) R (2n 1) , n Z c)
d)
e) R
R (2n 1) ,nZ R (4n 3) ,nZ
2 2
1) Al simplificar : Q tg arcsen 3 arctg 1 ,
5 3
Se obtiene:
a) -1/2 b) 1/3 c) -1/3 d)2/3 e) 2
Un árbol está en una ladera que tiene una inclinación de 12º con la horizontal. A una distancia de 45m colina abajo desde el pie de un árbol , el
ángulo de elevación hasta su parte superior es de 39º. ¿Cuánto mide la altura del árbol?
a) 26,28m b) 26,82m c) 27,28m d) 27,82m e) 28m
Dado el triángulo ABC, cuyo grafico es:
Calcular el ángulo B
A) arcsen 3 3 B) arctg 3
C) arctg3 3 D) arc sec 3 3
E) arctg3 3
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2012 I )
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 II Trigonometría
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 II Trigonometría
2) Der la figura mostrada ; calcular tg 2
a) Tg .tg 2 b) Tg .tg 3 c) Tg .tg 4 d) Tg 2 .tg 3 e) Tg 2 .tg 4
3) La condición que debe cumplir los números reales para que la ecuación: asenx + bcosx = c tenga soluciones reales; es que:
a) a + b + c 0 b) a2 + b 2 + c2 0 c) a3 + b 3 + c3 0 d) ab + ac + bc 0 e) a2 + b 2 c2
4) Calcular “x” de la ecuación : arcCtg 2 arcCos 3 arcCscx
5
15. a) 5 b) 5 5 c) 5 5 d) 11 5 e) 5 5
11 5 10
5) Evaluar: sen arcsen 12 arcsen 4
13 5
a) 14/5 b) 2/35 c) 1/4 d) 1/5 e) 16/65
6) Un niño observa una nube con un ángulo de elevación de 37º; luego de avanzar cierta distancia acercándose a la nube, el ángulo de
elevación con el cual ve la nube es de 53º. Si la nube se mantiene estática a una altura de 120m; entonces, la distancia que camino el niño
es de :
a) 60m b) 70m c) 40m d) 50m e) 45m
7) Si el coseno del mayor ángulo agudo de un triángulo de lados enteros consecutivos es 1/5; entonces. El semiperimetro de dicho triángulo
mide:
a) 3 b) 9 c) 10 d) 12 e) 13
EXAMEN PREFERENTE – UNS 2012 - I Trigonometría
1) Del grafico siguiente; hallar tg + tg
a 1 b)2 c) 3 d) 2/3 e) 4
2) En un triángulo isósceles de base “a” y lado “b” el ángulo del vértice opuesto a la base es igual a si se cumple
que: a + b =3ab , entonces el valor del ángulo agudo , es igual a:
3 3 2
a) º b) º c) º d) º e) º
3) Una torre esta al pie de una colina cuya inclinación con respecto al plano horizontal es de 15º. Si una persona se
encuentra en la colina a 12m de la base de la torre y observa la punta más alta de esta con un ángulo de
elevación de 45º .¿cuál es la altura de la torre?
a) 4 6 b) 6 6 c) 15m d) 14m e) 5 6
4) El producto de Sen2B.Sen2C del triangulo ABC de la figura, es igual a:
A) 105 B) 15 C) 86 D) 105 E) 86
256 18 125 256 125
2º EXAMEN FORMATIVO – UNS 2012 - III Trigonometría
Simplificar:
Tan 5 Sen 7 Sec 9
K 2 2 2
Cos (5 )Csc(7 )Ctg(9 )
a) 0 b) - 1 c) 1 d) - 2 e) 2
Calcular: T
2 3 29
cos cos cos ... cos
30 30
30 30
29 tér min os
16. a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) - 2
2
Sen 4 x Cos 2 x
Simplificar la expresión: E
Cos 4 x Sen 2 x
a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) - 2
2
7 tg
Si: , tg , hallar : P = Ctg( )
1 7tg
a) 7 b) 8 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/7
2 3 2
Calcular: tg 2tg tg .tg tg 3tg
18 9 9 3 9 18 9
a) 3 b) 3 c) 1 d) 4 3 e) 5 3
3 3 3
Reducir: Ctg1º - Tg1º - 2Tg2º + 4Tg4º
a) 20 2 b) 15 2 c) 80 2 d) 24 2 e) 40 2
1 m2 1 m2 m4 n4
Si: Tg
; Ctg
: entonces es igual a:
4 n2 4 n2 n2
a) b) c) d) e)
sen
Tg
Ctg
Sec
Csc
2 2 2 2 2
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 - III Trigonometría
Dada las relaciones:
Sen(a+b)º=cos(a-b)º
Tg (2a-b).ctg(a+2b) = 1
Calcular el valor de : Tg2 (a+b) + Csc (a-b)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Por propiedades recíprocas y complementarias:
Sen(a+b)º=cos(a-b)º ……………a + b + a – b =90º…………. a = 45º
Tg (2a-b).ctg(a+2b) = 1 ………… 2a – b = a + 2b ………….. b = 15º
Por lo tanto:
Tg2 (a+b) + Csc (a-b) = tg260º + csc 30º = 5
Al simplificar M = (Cscx-Ctgx). senx
1 3senx , se obtiene:
1 cos x senx
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
aplicando ángulo mitad:
M = (Cscx-Ctgx). senx
1 3senx
1 cos x senx
M = tg x senx 1 cos x 1 3senx
2 1 cos x 1 cos x
senx
M = tg x 1 cos x 1 3senx
2 senx
senx
M = tg x 2 2 cos x
2 senx
M = 2.tg x 1 cos x
2 senx
M= x 2 cos 2 x
2.tg
2 2sen x . cos x
2 2
M = 2.tg x x
ctg 2
2 2
Dada las condiciones: Senx +cosy = a
17. Seny – cosy = b
Sen (x – y) = c
Y al eliminar los arcos x e y , se obtiene:
a) a2 + b2 +2c = 1 b) a2 + b2 - c = 1 c) a2 + b2 +c = 2 d) a2 + b2 +2c = 2 e) a2 + b2 -2c = 2
elevamos al cuadrado a y b , tenemos:
Sen2x +cos2y + 2senx.cosy = a2 ………... ( 1 )
Sen2y – cos2y - 2seny.cosx = b2………… ( 2 )
Sumamos (1) y (2)
2 + 2 sen (x - y) = a2 + b2
2 + 2c = a2 + b2
a 2 b 2 2c 2
Si: Tg2 +ctg2= 66; y ; entonces, el valor de Ctg2es:
4 2
a) 2 b) 3 c) -3 d) -4 e) 5
restamos 2 y obtenemos:
Tg2 +ctg2.Tg .ctg= 64
(Tg -ctg2 =64
1
tg 8
tg
tg 2 1
8
tg
1 tg 2
2
2tg 8
ctg 2 4
Si: x = 11º15`; entonces el valor de E, tal que x x
E 8.sen . cos . cos x . cos 2x , es
2 2
a) 2 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2
2
reduciendo la expresión :
E= sen4x =sen 45º
2
E
2
Si: cos 40º = 2n, entonces el valor de la expresión : 1
E 3.sen 3 20º cos 3 20º
4
a) n b) 2n c) 3n d) 4n e) 5n
recordar 4Sen x 3Senx Sen 3x
3
4Cos 3 x 3Cosx Cos 3x
multiplicamos por 4 :
4E 3.4sen 3 20º 4 cos 3 20º 1
3 1
4E 3 3sen20º 3 cos 20º 1
2 2
4E 1
3 2
1
3sen20º cos 20º
2
2E 3 1
.sen20º . cos 20º
3 2 2
2E
cos 40º
3
E 3n
Examen ordinario
Si los catetos de un triángulo rectángulo son como 3 es a 5, el coseno del ángulo agudo mayor Es:
a) 1 b) 1 c) 3 d) 3 e) 34
43 34 34 43 3
En un triángulo ABC, AC = 10m, <A = 2<B y la longitud desde el pie de la altura trazada desde el vértice C hasta el
punto B es igual a 15m, luego el ángulo C mide:
18. a) 3 b) 3 c) d) 2 e) 3
8 4 2 5 7
3
tg x Cos x
Simplificar: R 2
Ctg 270º x Sen360º x
a) 1 b) -1 c) 0 d) -2 e) 2
Si Secx + Tgx = n , Calcular M = Cscx + Ctgx
a) M n 1 b) M n 1 c) M n 1 d) M n 2 e) M n 3
2 2
n 1 n 1 2
n 1 5 n 1
Los valores de x, Comprendidos entre 0 y 2, que satisfacen la ecuación: senx 3 1
5senx 1
a) y 2 b) y 2 c) y 5 d) y 7 e)
y
2
3 3 6 3 6 6 4 6 5 6
señale la regla de correspondencia de la función dada por la gráfica:
a) Cos x b) sen x c) 2 cos x d) 2 sen x e) sen 3 x
2 2 2 2
En un triángulo AB, se tiene:
2m<BCA = m<BAC
Cos(2C) = 1/8 ; c = 4u
La medida de los lados a y b, respectivamente, son:
a) 6u y 7u b) 6u y 4u c) 6u y 5u d) 6u y 6u e) 6u y 3u
EXAMEN Ordinario – UNS 2013 - I Trigonometría
3
Al resolver la ecuación : Sen3 x.Cosx Senx.Cos3 x
2
a) 15º b) 20º c) 30º d) 40º e) 60º
Calcular el rango de la función : f x Senx Cos2 x
a) 9 b) 3 7 c) 5 d) 7 e) 9
2; 8
8 ; 8
1; 8
1; 8
3; 8
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I Trigonometría
Si 0; , entonces, el valor de : M 1 2Sen .Cos
4
a) Sen – Cos b) Sen c) Cos d) Cos - Sen e) tg
9
El valor positivo más pequeño de t para el cual Sent Sen , es:
4
a) b) c) d) e) 3
6 4 3 2 4
19.
El valor de x para el cual se cumple : arctg 2 x arctg 3x , es:
4
a) 1/8 b) 1/12 c) 1/6 d) 1/20 e) 2
Desde el extremo superior de una torre de 24m de altura se observan los puntos “A” y “B” con ángulos de depresión de 37º
y 53º respectivamente. Si los puntos A y B se encuentran alineados con la torre, entonces, la distancia entre dichos puntos ,
es:
a) 14m b) 18m c) 32m d) 6m e) 16m
EXAMEN PREFERENTE – UNS 2013 - I Trigonometría
Sean x, y, z los lados de cualquier triángulo y correspondientes ángulos a los cuales se oponen los lados
61
respectivamente. Si se sabe que Sen 2 Sen 2 Sen 2 y que x 61.Sen , el valor de x2 y2 z 2 , es
144
igual a:
a) 16 b) 16 c) 61 d) 61 e) 12
21 12 12 12 61
Una persona colocada a la orilla de un rio ve un árbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un ángulo de 60º, se aleja 40m
y este ángulo mide 30º, Cuál es la altura del árbol
a)43.60m b) 30.6m c) 34.6m d) 36.4m e) 38.4 m
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I Trigonometría
Si los sectores circulares AOB y COD , tiene igual área, además OA = 2; entonces el área de la región sombreada es:
a) x – y b) 2( x - y ) c) 2( y - x ) d) 4 ( x – y ) e) 4( y - x)
Si Sen 40 y 0 , hallar
Ctg
41 2 4
a) 41 5 b) 41 5 c) 41 3 d) 41 3 e) 3
4 4 4 4 4
Hallar el modulo del radio vector OB en la siguiente figura si: AB = BC = CD = DE y además A( 1 ; 2 ) , E( 11 ; 14 )
a) 149 b) 47 c) 31 d) 59 e) 17
2 5 7 9 13
En la circunferencia trigonométrica mostrada, ABCD es un cuadrado. calcular Sen
a) 3 b) 2 c) 2 2 d) 2 5 e) 2
5 5 5 5
Calcular BQ en la circunferencia trigonométrico adjunto en función de "α"
B
Q
O
a) 1 Sen b) 1 Sen
2(1 Sen ) 2(1 Sen ) 2(1 Cos )
c) d) e)
20. 2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I Trigonometría
10 3 15
Si 4 Sen 3 4 Sen , Evaluar: Sen 3 Sen
2 2
2 2 M
16 7
Cos Cos
2 2
a) 7 b) 32 c) 39 d) 25 e) 32
32 7 32 32 25
Para que se cumpla la desigualdad (Tg x + Ctgx)>a , a R y x I C , el mayor valor de “a” es:
a) 4 b) 1 c) 2 d) 2 e) infinito
2
El valor de la expresión: ( Tg 80º - Tg10º) Ctg70º es:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
Si Tg = m, entonces el valor de S 2Sen4 , es:
Cos4 1
a) m 1 b) 1 m 2 c) m 2 1 d) m 1 e) m 1
2 2
m m m
Al simplificar la expresión: E Cos Sen se obtiene:
3 3
Csc Sec
a) Sen4 b) 4Sen4 c) Sen4 d) Sen2 e) 0
4
Calcular la suma de : m + n +p , para que la siguiente igualdad sea una identidad: Sen3a.Sen 3 a Cos3a.Cos 3 a mCos n pa
a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 4
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I Trigonometría
Del grafico mostrado. Calcular: Sen 2 Cos 2
a) 1,5 b) 2 c) 1 d) 3 e) 2,5
Se desea formar un triángulo, con un par de lados que midan 3m y 5m, respectivamente. Si se cuenta con un pedazo de
alambre de 8m de longitud que al doblarlo forma un ángulo de 30º cuyos Lados tienen 3m y 5m .¿Cuánto más de alambre
se necesita para formar el tercer lado?
a) 43 15 3 m b) 34 15 3 m c) 34 51 3 m d) 34 15 5 m e) 34 3 m
Si 0; , entonces , el valor de M 1 2Sen .Cos ; es igual a:
4
a) Sen Cos b) Sen c) Cos d) Cos Sen e) Tg
El valor positivo más pequeño de t para el cual Sent Sen 9 , es:
4
a) b) c) d) e) 3
6 4 3 2 4
Calcular los valores de “x” positivos menores que 90º, los cuales satisfacen la ecuación:
21. Cos3x 3Cos5x 3Cos7 x Cos9x 0
a) 10º, 15º y 70º b) 15º, 45º y 75º c) 10º, 75º y 80º d) 5º, 20º y 75º e) 5º, 30º y 60º
El valor de x para el cual se cumple: Arctg2 x Arctg3x , es:
4
a) 1/8 b) 1/12 c) 1/6 d) 1/20 e) 2
Desde el extremo superior de una torre de 24m de altura se observan los puntos “A” y “B” con ángulos de depresión de 37º
y 53º respectivamente. Si los puntos A y B se encuentran alineados con la torre, entonces, la distancia entre dichos puntos,
es:
a) 14m b) 18m c) 32m d) 6m e) 16m
En un triángulo ABC, de circunradio R, se cumple b c 2 bCtgB cCtgC 2 4R 2 la medida del ángulo A, en radianes, es:
a) b) c) d) e) 5
12 6 4 3 12
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - I Trigonometría
Calcular: E = 4.Sen(x+8º) + 7.Cos ( x+8º)
a) 65 b) 67 c) 69 d) 57 e) 45
Si se sabe que Cos < 0, Cos < 0 , Tg = 5 y Sen = 0,6. Calcular el valor de : “Cos + Csc 2 "
a) 1/5 b) 2 c) ¼ d) 1 e) 2/5
Al simplificar : Y = Ctga 4 .Csc 2 – Ctg 2 .Csc 2 + Csc 2 – 1, se obtiene:
a) Csc 2 b) Ctg 8 c) Csc 6 d) Csc 8 e) Ctg 6
Simplificando: Tg 2 5 x Tg 2 3x , se obtiene:
P
1 Tg 2 5 x.Tg 2 3x
a) Tg 4 x.Tg3x b) Tg 2 x.Tg5x c) Tg8x.Tg 2 x d) Tgx.Tg6 x e) Tg3x.Tgx
3
Al resolver la ecuación: Sen3x.Cosx + Senx.Cos3x = , un valor de “x”, es:
2
a) 15º b) 20º c) 30º d) 40º e) 60º
El rango de la función f(x) = Senx + Cos2x :
a) 9 b) 3 7 c) 5 d) 7 e) 9
2; 8 8 ; 8 1; 8 1; 8 3; 8
Si las medidas e los lados de un triángulo son tres números consecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor , entonces
el coseno del ángulo de medida intermedia es igual a:
a) ¾ b) 4/9 c) 7/8 d) 9/16 e) 13/16
EXAMEN PREFERENTE – UNS 2013 - I Trigonometría
Sean x, y, ,z los lados de cualquier triangulo y , , los correspondientes ángulos a los cuales se oponen los lados
respectivamente. Si se sabe qué Sen 2 Sen 2 Sen 2 61 y que x 61.Sen , el valor de x 2 y 2 z 2 , es igual a:
144
a) 16 b) 16 c) 61 d) 61 e) 12
21 12 12 12 61
Una per4sona colocada a la orilla de un rio ve un árbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un anguilo de 60º, se aleja
40m y este ángulo mide 30º, cual es la altura del árbol.
a) 43,60 m b) 30,6 m c) 34,6 m d) 36,4 m e) 38,4 m
22. 1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - II Trigonometría
La figura adjunta es un semicírculo. Hallar l 1 + l2 – l 3
a) 3 2m b) 1 2 m c) 3 2 m d) 2 2 m e) 7 2 m
4 2 2 3 12
Los números “S” y “C” representan la medidas de un ángulo en grados sexagesimales y centesimales respectivamente, se
relacionan así: S = 2x – 1 y C = 2x + 4 . Hallar la medida de dicho ángulo en radianes.
a) rad . b) rad . c) rad . d) rad . e) rad .
6 5 4 3 2
Se ha medido un ángulo en los sistemas conocidos en grados y radianes respectivamente, lográndose S, C y R ; si C S R ,
CS
entonces el valor de R es:
a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21
En un círculo se inscribe un triángulo isósceles, el ángulo formado por los lados congruentes mide 14º y la base intercepta
un arco de longitud 66m. Calcular la longitud del radio de dicho círculo. ( Considerar 22 )
7
a) 140m b) 270m c) 40m d) 135m e) 120m
En el triángulo rectángulo mostrado, si Tg 3 , entonces el perímetro del triángulo es igual a
4
a) 48m b) 96m c) 120m d) 80m e) 192m
El máximo valor que puede tomar la función f ( x) Sen( x 90º ) en el intervalo 0º ;72 º , es:
a) Sen (-20º) b) -1 c) – ½ d) 0,55 e) – Sen 18º
En la circunferencia trigonométrica adjunta, indicar OC DB es función de
a) Sec Tg b) Sec Tg c) 1 Cos d) 1 Cos e) Sec Tg
Sen Sen Cos
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - II Trigonometría
Del grafico calcular Tg 2
a) 3/5 b) 4/9 c) 9/10 d) 5/12 e) 5/14
Reducir: M 1 Tg 2 x 1 Sen 2 x 1 Cos 2 x 1 Ctg 2 x
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Si: Sen5 Cos8 0 y Tg .Ctg 2 1 , entonces el valor de M Sen2 4 5º Tg 2 5 2 Sen3 2º , es:
a) 1,1 b) 2,1 c) 3,1 d) 4,1 e) 5,1
Al calcular: M Ctg15 º 4 2 Ctg 67 º30 '12 , se obtiene:
a) 9 4 3 b) 9 2 3 c) 7 9 3 d) 9 2 3 e) 9 4 3
23. Al simplificar Ctgx Tgx 2Tg 2 x 4Tg 4 x , se tiene:
a) 0 b) 8Ctg 8x c) Ctg 8x d) Tg x e) Ctg x
Determinar la medidas del ángulo “” (en radianes), si se cumple:
2Cos 1
Ctg , si 0
2Cos 1 2 3
a) 0 b) rad . c) rad . d) rad . e) rad .
6 4 8 12